MÉTHODE
Pour calculer les éléments des planètes^ ou, plus généralement y des autres dont les orbites sont peu inclinées à l'écUptique, fondée sur t emploi des dérii^ées relatives au temps, des trois premiers ordres de la longitude géocentrique et du premier ordre de la latitude;
Par M. YVON VILLARCEAU.
(Présentée à l'Académie des Sciences, le 3o juillet iS/jg.;
1. Le grand nombre des petites planètes découvertes dans ces derniers temps m'a fourni l'occasion de comparer diverses méthodes employées pour calculer les orbites des corps célestes, et de reconnaître, dans leur théorie, Texistence d'une lacune qui restait à remplir.
On peut classer ces méthodes de diverses manières , suivant le point de vue où Ton se place : par exemple, on distinguera celles qui n'admettent que le nombre d'observations strictement nécessaire à la détermination des inconnues, et celles qui, au contraire, admettent un nombre d'observadons quelconque supérieur au précédent. Parmi les premières , on remarquera la célèbre méthode de Gauss , et celle d'Olbers , pour les comètes. Parmi les secondes , on devra distinguer celles dont l'objet est de fournir seulement une première approximation , puis les méthodes de correction des éléments approchés. Je citerai, comme méthode servant à obtenir une première approximation, celle de Laplace (*), et celle qu'a donnée M. Cauchy (**), dans les Comptes rendus , tome XXV, page 4o i .
L' étroite connexité de ces deux dernières méthodes ne permet cependant
{*) Aycc un peu d^attention, ou reconnaît que les formules de la Mécanique céleste ne diiïèrcnt que par la forme, de celles qui se trouvent dans la note (i), section vu, ajoutée à la dernière édition de la Mécanique analytique.
(**} Ayant Poccasion de discuter, dans ce Mémoire, la méthode* de Laplace et l'une des Méthodes de M. Cauchy , je désire qu^il soit bien entendu tout d^ûboi*d que le caraetère d^indétdrmluation qui leur est pi^pré à toutes deux, dans lâ^ft déi petites planètes, ne s''étend point à une autre méthode du savant académicien , eiposée Com/><^^i rendus, tome XXV, pages 77.5 et 879.
Je suis conduit à discuter seulement les procédés dans lesquels on fait usage des dé-
pas (le les confoiulre entièrement. En effet, Laplace ne considérait sa méthode que comme propre à donner un preiflier degré d'approximation ; il était si loin de penser qu'elle pût fournir des résultats plus précis, qu*il a cru nécessaire d'en faire suivre l'exposé, d'un procédé pour la correction des éléments, qui n'a absolument rien de commun avec elle, et constitue dès lors une méthode de correction entièrement indépendante de la précédente. Il faut attribuer l'insuccès de la méthode de Laplace pour obtemr des résultats plus approchés, à l'emploi qu'il indique de sa formule d'interpolation , pour calculer les dérivées de la longitude et de la latitude géocentri<|ues , sur lesquelles repose sa méthode. 11 est aisé de reconnaître , en effet, que cette formule , qui reproduit exactement les données de l'observation , si elle contient un nombre suffisant de termes, donne néanmoins des valeurs inexactes des dérivées cherchées, et d'autant plus inexactes que les observations sont plus rapprochées dans le voisinage de l'époque pour laquelle on calcule les dérivées.
Pour éviter cet inconvénient, j'avais eu recours plusieurs fois à l'application de. la méthode des moindres carrés , dans le développement de la longitude et de la latitude géocentriques suivadt les puissances du temps, en limitant ce développement à un certain nombre de termes dépendant de l'intervalle de temps embrassé par les observations, et que l'expérience m'avait permis de fixer suivant les cas , mais non sans qu'il restât cependant quelque incertitude dans mon esprit sur ce nombre de termes. Mon objet étant de me procurer un premier degré d'approximation que je corrigeas ensuite par des méthodes particulières, je n'avais pas lieu, quant à la pratique, de m'arrêtera cette difficulté.
Les formules d'interpolation que M. Cauchy a publiées dans le Journal de M. Liouville, et reproduites dads son Mémoire sur la détermination des orbites îles planètes, sont de nature à. éclairer sur le nombre de termes qu'il est convenable de comprendre dans les développements en question. Elles
rivées des divers ordres du la lonj^ilud» cù do lu lalitiide géocenlriques, déduites d'un grand nombre d'observalions, et calculées pour une époque unique.
La dernière mélliode ciléo do M. Cauchy résout le problème de la dcterminalion des orbites |>iu inclinées, en exigeant remploi des dérivées du prcnnier ordre seulement, mais calculées pour deux époques différenles. Elle l'ournit, par ce moyen, les valeurs approchées des distances à la Terre ol au Soleil , et, par suite , les valeurs approchées des éléments que Ton corrige cusixite au moyen de quatre observations.
On voit que mes conclusions ne peuvent s^aj)pliquer à ce travail, qui se trouve tout à iail en dehors de la discussion; mes remarques portant, je le répète, sur les procèdes destinés à fournir des éléments aussi approchés qu''on peut Pcspérer en négligeant les perturbations, et fondés sur l'emploi des valeurs, à un instant donné, des dérivées des divers ordres obtenue» par le concours d^in grand nombre d'observations.
permettent même , étant appliquées avec discernement , d^obtenir de l'emploi de la méthode de Lapla^e ou de celle de M. Cauchy, un degré d^exactitude que Ton n'aurait osé espérer sans le secours de ces formules; aussi M. Cauchy annonce>t-il , dans son Mémoire , qu'il fournit un moyen facile de fixer, avec une grande précision, les éléments des orbites des petites planètes récemment découvertes. Je dois ajouter, d'ailleurs , que c*est sur l'emploi des formules d'interpolation de M. Cauchy, que je fonde actuellement le succès des applications de la méthode que j'ai Thonneur de présenter à T Académie.
Pour terminer l'énumération des méthodes qui admettent un nombre d'observations supérieur à celui strictement nécessaire, nous citerons les méthodes de correction fondées sur l'expression des variations des coordonnées géocentriques en fonction des variations de t04is les éléments, et particulièrement celle de M. Le Veirier, qui remplace les éléments et leurs variations par trois positions géocentriques et leurs variations. Diverses méthodes, du genre de celle qui a été présentée une autre fois à l'Académie et jugée digne de l'insertion dans le Recueil des Savants étrangers, et un procédé dont j'ai eu plusieurs fois l'occasion de faire mention, font dépendre les variations d'une partie des éléments , de celles de tous les autres,
a. Les méthodes citées qui n'admettent que le nombre de données strictement nécessaire , ne laissent rien ù désirer quant à la rigueur mathématique , et l'on ne peut qu'admirer l'élégance des combinaisons analytiques dont elles font usage. Les autres méthodes ne sont pas toutes aussi rigoureuses; mais le grand avantage qu'elles présentent, d'ailleurs, de pouvoir faire concourir au résultat un grand nombre d'observations, est tellement considérable au point de vue pratique , qu'on ne saurait trop s'attacher à perfectionner ces méthodes, auxquelles la découverte de nombreuses petites planètes peut donner un certain degré d'importance. Je dis qu'il y a' intérêt à baser une orbite sur plus de trois ou quatre observations isolées : cette proposition , qui semblerait ne plus être aussi rigoureuse , depuis que l'on a établi dans les observatoires, des instruments astronomiques d'une grande précision , et lorsqu'il s'agit de planètes au lieu de comètes , mérite néanmoins d'être prise en considération dans l'état actuel des choses. En effet, les observations méridiennes des nouvelles petites planètes, faites dans divers observatoires avec les instruments précis dont nous venons de parler, sont loin de présenter le même degré de concordance que les observations d'étoiles ou de planètes, telles que Uranus, Neptune, Cérès, Pallas et Vesta, qui sont beaucoup plus brillantes. L'insufBsance des instruments méridiens actuels, pour l'observation de ces astres, a été tellement sentie, qu'on s'est décidé, à Greenwich, n en installer un nouveau d'une puissance beaucoup plus
considérable. D'un autre côté, les observations extra- méridiennes faites à Téquatorial exigent, pour leur réduction, la connaissance des positions des étoiles de comparaison , positions dont le plus grand nombre , déduites des catalogues , sont affectées d*un certain degré d'incertitude ; cette incertitude n'est levée que par les observations méridiennes des mêmes étoiles, faites souvent six ou huit mois après les comparaisons. Lors donc qu'on ne veut pas attendre un si long espace de temps, pour obtenir les éléments de Torbite d^une planète nouvelle, on est réduit à employer des observations dont le caractère d'incertitude oblige à en faire concourir un nombre plus grand que le nombre strictement nécessaire.
Cependant on peut dire que la formation des observations dites normales permet de n'appliquer les calculs qn'à trois on quatre observations, suivant les cas; mais il faut reconnaître que ces positions résultent de la comparaison des observations avec les positions tirées d'une éphéméride , ce qui suppose que Ton est déjà en possession d'une première orbite approchée. Or le calcul d'une première orbite, basé sur le nombre d'observations théoriquement suffisant, peut conduire à des résultats fort éloignés de la vérité, attendu que, dans ce cas, les erreurs des observations ont une influence très-grande, et d'autant plus grande que ces observations sont plus voisines.
Il y a donc intérêt à faire usage du plus gi*and nombre possible d'observations, afin que les erreurs s'atténuent mutuellement. D'ailleurs, il n'existe alors aucun moyen de contrôle qui puisse décider le choix des trois ou quatre observations à employer, si les erreurs sont peu considérables, comme cela arrive le plus ordinairement.
Enfin, ajoutons que la perfection des résultats fournis par les méthodes fondées sur Temploi des dérivées des coordonnées géocentriques , peut être amenée à ne plus dépendre sensiblement que des formules d'interpolation dont on fera usage pour obtenir les valeurs de ces dérivées. Nous supposons ici les observations assez nombreuses, pour qu'il s'établisse une sorte de compensation des erreurs.
5. La méthode qui fait l'objet du présent xMémoire est fondée , comme celles de Laplace et d<î M. Cauchy, sur l'emploi des dérivées par rapport au temps^ dos longitudes et latitudes géocentriques ; elle vient , ainsi que nous l'avons dit en commençant, combler une lacune dans la théorie du mouvement des corps célestes.
En se reportant aux formules données par Laplace pour la détermination des orbites des comètes, on reconnaît que tous les résultats dépendent d'une certaine fonction pt' de la latitude géocentrique et de ses dérivées des deux premiers ordres; celte fonction se présente sous la forme d'une fraction dont
tous les termes du numérateur et du dénominateur sont affectifs de Tun au
mmns des facteurs suivants : sin 9 , tangO, —9 --rj (9 désignant la latitude
géocentrique). Or, quand Tinclinaison est très- petite, comme cela a lieu généralement dans le cas des planètes, ces différents facteurs sont très-petits , et la fonction fi' est mal déterminée ; elle deriendrait absolument indéterminée, si l'inclinaison était nulle, car tous ces facteurs s'annuleraient simultanément. Il n' j a point à rechercher si riudéterroination n*est qu'apparente ,
,.. . - 1 r rr . , . ^ dB d'9
S il n existe pas quelque facteur commun : en elTet, les quantités 0, — ? -
sont indépendantes Tune de l'autre; dles peuvent être considérées comme étant trois des six arbitraires du problème. D'un autre côté, il est aisé de reconnaître que, dans le cas des inclinaisons nulles, il n'y a pas possibilité de déduire les éléments de Forbite, d'une longitude et d'une latitude géocentrique et de leurs dérivées du premier et du deuxième ordre. On sait que, dans cette circonstance, deux des six éléments disparaissent; ce sont Tinciinaison et la longitude du nœud : il reste alors quatre éléments à déterminer, ce qui exige le concours de quatre longitudes , ou bien d'une longitude et de ses dérivées des trois premiers ordres. Les formules de Laplace tombent donc en défiaiut, dans le cas des faibles inclinaisons. ( L'application de ces formules à la planète Iris ne peut donner une approximation , même grossière, qu'avec des précautions très*minutieûses.)
Si l'on examine actuellement les expressions auxquelles a été conduit M. (Jauchy, on verra que la quantité qu'il désigne par CR, troisièine équation (11), Comptes rendus y tome XXY, page.4iO, est identique avec la fonction f^' de Laplace ; pour s'en assurer, il suffit d'éliminer de cette exprèssion les auxiliaires qu'elle renferme , et de remplacer les dérivées du premier et du deuxième ordre du logarithme- tangente de la latitude géocentrique, par leurs valeurs en fonction des dérivées de la latitude elle-même.
A dire vrai, les formules de M. Cauchy peuvent être considérées comme donnant lieu à deux systèmes distincts. Par exemple , en groupant les équations (10), (11) [*], (12) et (i5), on aura un système propre à fournir les valeurs des distances à la Terre et au Soleil, n'employant que les dérivées des deux premiers ordres, et qui n'est autre, au fond, que celui donne sous une autre forme par Laplace; il est sujet, par conséquent, aux inconvénients que nous avons signalés plus haut. On obtiendra un autre système de formules, an moyen des précédentes, moins l'équation {1 5), qui serait remplacée par l'équation ( 9) ^ et auxquelles on ajouterait les équations ( 1 3) et ( i4)' Ce système , outre les dérivées des deux premiers ordres de la longitude et
[*] Je distrais ici du groupe des équations (11) celle qui donne la Taleur de Df A.
de la ladtode, coBtieni celles de t n is ièmt ordre, et il a l'avantage de conduire à une éqnatioo finale d« troinènie degré, résoloble par une simple extraction de raciiie cnlHqiie. Mais ce sTstème, oalre rinconvénient d'exiger l'emploi des dérÎTées da troîsîèine ordre de la loogitode et de la latitude à la fois , présente encore celui de donner on résidtat indéterminé , dans le cas des inclinaisons nulles; ce sont les dérivées du logarithme-tangente de la latitude qui iatrodoisent rindéfcminationy et il est aisé de grouper les termes qui les contiennent, de manière à faire apparaître la même fonctioh CE ou ^' de Laplace, qui ne peut perdre son caractère d*îndétermination, par sa combinaison avec d'autres termes. Toutefois, nous devons dire que M. Cauchy n'emploie ce second système de formules, que pour obtenir une valeur approchée de Finoonnue principale. H la corrige ensuite, de manière à ce qu'elle satisfasse aux formules do premier système, c'est-à-dire. à celles qui ne contiennent que les dérivées des deux premiers ordres.
Ainsi , la méthode de Laplace et odle de M. Cauchy, sous quelque aspect que l'on envisage cette dernière , ne peuvent fournir de résultats précis, lorsqu'on les applique au calcul des éléments des orbites des planètes peu inclinées, et ne pourraient fournir absolument aucun résultat, si on les appliquait à des planètes se mouvant dans le plan de l'écliplique.
Nous avons reconnu que le problème des planètes exige généralement l'emploi des troisièmes dérivées de la longitude géocentrique : en considérant que M. Cauchy a fait usage de cette troisième dérivée, et que néanmoins l'indétermination persiste dans les formules qu'il a obtenues, j'aurais pu renoncer à établir de nouvelles formules qui fussent exemptes de ce défaut, si le caractère de détermination du problème , dans ce cas ; n'avait été pour moi la preuve suffisante de la possibilité de construire ces formules. J'y suis effectiveraent parvenu, et l'objet principal de ce Mémoire est d'en exposer la déduction.
Calcul de la distance d'une planète à la Terre, au moyen de la longitude géocentrique et de ses dérivées des trois premiers ordres, puis de la latitude et de sa dérivée du prernier ordre.
4. Nous adopterons des notations qui se rapprochent, autant que possible , de celles de la Mécanique céleste.
Soient : f\e coefficient de l'attraction planétaire;
M, m , //l' les masses respectives du Soleil , de la planète et de la Terre;
(i) pt = M-H/w, p' = M-i-/ii';
en prenant la masse du Soleil pour unité , on a
/x'=ri,000 00282,* logfx'=rO,0<
Nous prendrons pour unité de distance, la dislance moyenne du Soleil à la Terre; et pour unité de temps, celui pendant lequel la Terre décrit un angle d'anomalie moyenne égal à l'unité abstraite.
Désignant par :
t le temps exprimé en cette espèce d'unité ;
j le nombre de jours correspondant ;
T' la durée de Tannée sidérale exprimée en jours solaires moyens ; on a
- = t;t = ^*> 'og^ :=8,235 5821,
^'^^ \ii^"^hir' compl.logX z= 1,764 4179,
compl. log X^ = 3,528 8359, compl. log^^ = 5,293 2538 ;
on a, en outre.
/p' = I , log/'= 9 ,999 9988 ,
Jogv(/" = 9>999 9994; et, en négligeant la masse inconnue m de la planète, devant celle du Soleil, (4) P = ' ou fiL z=f.
Soient actuellement, au bout du temps t:
OL la longitude géocenlrique de la planète ;
sa latitude géocenlrique ;
A sa distance à la Terre ;
p la projection de celte distance sur le plan de Técliptique;
x, j, 3 les trois coordonnées de la planète, parallèles à trois axes rectangulaires passant par le centre du Soleil; les axes des x et àesy étant situés dans le plan de Técliptique , de manière que le premier coïncide avec unéquinoxe fixe, et le second soit plus avancé de 90 degrés dans Tordre des signes. Taxe des z se confondant d'ailleurs avec le pôle boréal de Técliptique ;
r le rayon vecteur de la planète ;
r, sa projection sur Técliptique ;
V la longitude héliocen trique , comptée dans le plan de Técliptique jusqu'au nœud ascendant, et dans le plan de l'orbite depuis ce nœud jusqu'au lieu de la planète ;
Vx sa longitude mesurée dans le plan de Técliptique ou projetée ;
> sa latitude héliocen trique ;
Q la longitude du nœud ascendant de Torbite ;
I rinclinaison du plan de cette orbite sur l'écliptique ;
ts la longitude du périhélie mesurée, partie dans Técliptique, et partie dans le plan de Torbite;
V l'anomalie vraie ;
u l'anomalie excentrique ;
A le demi-grand axe de Torbite ;
£ Texcentricité ;
n le demi-paramètre;
N'^ le moyen mouvement héliocentrique diurne exprimé en i " de degré ;
g la longitude moyenne à l'époque choisie pour origine du temps ;
n l'angle (sin == E).
Soient encore , au bout du temps t :
la longitude du Soleil comptée de l'équinoxe fixe;
fy sa latitude;
^ la longitude héliocentrique vraie de la Terre, qu'on obtient en retranchant l'aberration du Soleil, de sa longitude Q, et ajoutant ou retranchant i8o degrés au résultat;
j?', x' les coordonnées rectangulaires du centre de la Terre rapportées aux mêmes axes que ci-dessus ;
R le rayon vecteur terrestre;
A' le demi-grand-axe de Torbite terrestre ;
E' l'excentricité de cette orbite ;
n' son demi-paramètre.
Soient enfin :
Rt le rayon vecteur terrestre correspondant à Tanomalie actuelle diminuée de 90 degrés , ou à la longitude diminuée de 90 degrés plus le mouvement du point équinoxial entre les deux époques correspondantes;
R' le rayon vecteur terrestre correspondant à l'anomalie actuelle augmentée de 90 degrés , ou- à la longitude augmentée de 90 degrés plus le déplacement du point équinoxial entre les époques correspondantes à R et R'.
6, Les équations du mouvement relatif de translation de la planète sont , en négligeant les forces perturbatrices,
—z h / Pt — == O.
Celles du mouTcment relatif de la Terre sont , de mcine ,
Seuleilient nous devons faire remarquer que ces équations sont plutôt celles du mouvement du centre de gravité de la Terre et de la Lune. Dans ce qui va suivre, nous procéderons comme si les observations avaient été faites en ce point y et nous prendrons les icoordonnées angulaires ou rectangulaires du centre de la Terre, pour celles du centre de gravité des deux corps. Nous dirons en son lieu, comment il faut tenir compte de ce que le centre de figure de la Terre ne coïncide pas avec le centre de gravité de sa propre niasse réunie à celle de son satellite. Il serait impossible d'y avoir égard tout d'abord , sans introduire une complication inutile dans les équations et les notations.
Les coordonnées de la planète, en fonction de celles de la Terre, ont pour expression
ix = x' -+- p cos a , y ==y-+-psina, *.
z z=z ^ tang 9.
I^es coordonnées de la Terre sont, elles-mêmes,
I j:' = R cos S , ^^ |/ = RsinJ.
En différentiant, par rapport au temps, deux fois de suite, les formules (7),
on a
dx dx* dp doL
-p-==-p 4- cosa— ^— psma— -9 dt dt dt ^ dt
(q) ( -r- = -4- -h sma-^-h pcosa—-,
^^' \ dt dt dt dt
dz ^dp P d$
-- = tang Ô -7- H i—- -^;
dt ^ dt cos^e dt
d^x d^a/ d^p . dpdct da^ , d^ ol
-r-r = — TT -+- cosa -p^ — 2 sm a -rr j P cosa p sm a ~ — 9
dt^ dt^ dt^ dt dt ^ dt^ ^ lit^
, , ,fl?»r d^y . d'p dpdct . da,^ d^ijL
(ïo) {-TT = — rr +sina-7^-h2C0Sa'-^ psma-— +pcosa --— ,
^ ' \dt^ dt^ dt^ dt dt dt^ ^ dt^
dH ^d^p 2 dp d^ sinOfi^e^ p d^B
dt^ ^ dt^ co^'^^dt dt ^ cos^B dt'' cos' B dt^
Enfin , difTéreniiant ane seale fois les équations (8) , il vient
= cosS--Rs.nS^,
= «„j+RcosS— .
6. Avant d'aller plus loin, il convient dUndiquer uo moyen de former les
valeurs de — et -^j qui se présentent dans les équations (i 1)9 et sont au
nombre des données du problème.
En désignant généralement par Y et r l'anomalie vraie el le rayon vecteur d'une planète, par ^ et n son excentricité et son demi-paramètre, on a
12) =LLÇffsmV, -3-==*^-4l-.
^ ^ dt ^n ' dt r'
Appliquons ces formules au mouvement de la Terre , et remarquons que les axes ét^nt supposés fixes, et les quantités $ ou Q , rapportées aussi à une origine fixe, il faut faire abstraction, dans leurs dérivées, de l'eflet
de la précession et de la nutation. De cette manière, la valeur de --~ s'identifie avec -3-: et Ton a, en vertu des notations du n" 4,
ai
^^V^E'sinV, £^=VS1^.
^ ^ dt y^if' ' dt R»
L'équation polaire de Tellipse terrestre est
I 4-F/cosV équation qu'on peut mettre d'abord sous la forme
— = — >-f- -7COSV.
Ayant désigné plus haut par R, et R' les rayons vecteurs terrestres correspondant respectivement aux anomalies V — go° et V ^- 90°, ^i l'on substitue successivement ces systèmes de valeurs, à la place de R et V, dans la précédente équation , il tiendra
— = — , 4 — ; sm V,
-—-=:—,— ~,sin V.
mi
Ces équations vont nous donner les valeurs de n' et E' sin V, dont nous avons besoin. En les ajoutant membre à membre, on obtient la relation suivante, entre deux rayons vecteurs situés sur le prolongement Tun de l'autre.
En retranchant la deuxième de la première, il vient
divisons cette équation membre à membre par la précédente, en réduisant
les termes des premiers membres au même dénominateur; — disparaît, et Ton a
L'équation (i4) donne, d'ailleurs,
Les deux expressions (i5) et (i6) étant substituées dans les équations (i3), il vient
^^^ df V^2R'R,(R'-hR.)' de R' VR'-+-R.'
Ces formules permettent de calculer les valeurs numériques des composantes
da/ dy
— ) -^ de la vitesse de la Terre ^ données par les équations (i i) [*].
L'auteur de la Mécanique céleste, en se servant du rayon R' combiné avec R , a donné , pour la détermination des orbites des comètes , des expressions de — et —p- analogues à nos expressions (17); mais il y a négligé le carré de l'excentricité de l'orbite terrestre.
[*] Si Ton vonlail être rigoureux, il faudrait, dans Inapplication des formules (17), corriger les valeurs de Kj et R', données par les Tables du Soleil , de Tefiet des perturbations produites dans Pintervalle qui sépare les époques auxquelles se rapportent R,
«t R', de Pépoque actuelle à laquelle répond R; attendu que les valeurs de ■■-=- et -j-i
données par les formules (17), supposent que les éléments de Torbite terrestre n^out pas changé. II faudrait, en outre , supprimer dans le calcul des trois rayons vecteurs terrestres
7. Poursuivons maintenant nos olruls. En multipliant la première équation (lo) par rosa, la deuxièiDc parsinz, et ajoutant membre à membre,
d'x rf'j d'j:' d'r' d'o da}
ces a H sma— ;— = cosa (- sm a — 1 : o — •
rfC de dp dt> dl' ^ df
Multipliant actue'Iement la première des mêmes équations par sintc, la ileuxième par cos^x, et relranchaat celle-ci île l'autre, il viendra
d'x d^y d^jf J'r' dp da. rf'a sm B —r, «Ma -rr = sin a — (os a — f 2 -/
df de de de dt dt ' de
Ces équations, en ayant égard aux relations (5) el(6), ileriennent
fu. fa.' d
^[xcosa-t-j-sina, = — -^(ycosa-Hj'sina)-!-^
dtdi
— -^(xsina — r«»")=— ^{-^Mno— r'cosa)
Enfin les équations (7) et (8) donnent
*cosa-!-/sina=^x'cosa-+-j'stnŒ -|-p, f sina — j-cosassa/sina — j-'cosa,
1 a; cosa + r sîn « = R(co» J cosa -H sin J sin») + p = RcosÇ + p, ^' I ^sin a — y cos« = R (cos è sina - sin J cosa) = - Rsinï;
sitbstiliiant ces valeurs dans les équations (18) et transposant, on aura
d'p ,di^ .Jv- n,™p \^^ ■'f
dç da
+ p---RsinÇ
\ dt dt ^ de
les termes proTeniinl de l'aclian de la Lune, de niBDièro que ces rayons recteuis fusaent ceui de l'orbile décrite par le centru de gravité de la Terre et do la Lane, an lieu d'appartenir il l'orbite décrite par le centre de ligure de la Terre. Celte dernière condition entraînerait enmiDe conséquence la rédiielion des obBi^rva tiens , non pas seulement nu centre de la Terre, par la panllaie, mais encore an caiitredc gravité de la Terre et de la Lone, BU mo;en d'une autre lorte do parallaie. On pent négliger cette rédiretion dana une première approximation , des éléments, ainsi que nous 1 Quant aux perlnrbalions des ^ les négliger lorsqu'on népligi 'iTniËres ëtnnl souvent bien p Âdditi'inx i852.
îjfi
H. LeA nquatum» .u» T* .1 et 7 iom .a ^ompie rB|iraiinctâiB iTmmt pirtie <|p i'^ic»4fiie :* m tmuveàaHKla JEcranv^ue cjefescer. LAtSQÛBè^ircqaadoo 'lo '^antimt senle .a tpnv4«e tu tienxième onire par rapport a la ladlMlr, et je (tnis «UrR, lits i presmt, fu «^ile ne runconm puint j. la forntnriwi da equannnft iii pmhiêaïc; ]e se /n -^mwiyire irz que pour &l cirery aioaîqB'on le v>erra plus tard . one oouiiiuuidan le /exactitutie di» (ionaecs fosniks par l*ohflervatian. Mu» le» «ittes »*quiriian» me (^xmtiesnunt pu» cstrovr h dériFoe (ta troissème <irdre par rapport a la Inniptiuie, (pi il «sC uiJ i apemia ble d y
ifitmiiuûre.
Pour Gsla, e difSBnntîe ia. deuxième eipialiuu na , ce qni dcMBc
^dzi'-x dxd'j d X ^'m /x . ^dK ^ ^dl\
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L'efpiatioa 21 . a incrotiiiit «ne aiiaireiLe d et luge ^m est — - On pourrait «etîe d«^rWe« de la relation
en ftobstîtoant dans ie deuxième BHubre les Talteuis 7 et 9' ; mais il est ptn» jj—pk de ki déduire d une ffcèatu» iMraie par le trîaiigle recdUgDe dcioC k Soleil, la Terre et la planète ocrup^nt les sommées. Les côtés de ce
îriatode sont r, R et — ^ : en désignant par x raii4;le à la Terre, k comous de: cet angle, à came de J = Q±:i6o^y est fît3) cosx = — ros|cos9;
ee triangle fournit réqaation
(«4) r^ = R'-^2R?cos;-|--^-
^ ^' cos'O
Différentîons complètement cette dernière , il viendra
^/^ r// dt ^ dt dt cf^Hdt
sin r/0 ^ ros'9^/f
9. Nous avons maintenant à considérer les équations (20) , (21), (24)
et (26), qui sont au nombre de cinq; elles contiennent les cinq inconnues p,
du d^p dr
-T-t ■— , r et — : il reste donc à résoudre ce système d*équations.
Nous mettrons d'abord IVquation (24) sous une autre forme , en la résolvant par rapport à p : ayant égard à la relation (28 ) ,
cos y.r=z — cos H cos ô , il vient
= R cos 6 I cos y. ± t / =: sin' y. | •
Sous cette forme, la valeur de p est ambiguë; mais observons qu'elle est nécessairement positive : il s*ensuit que toutes les fois que cos y. sera négatif ou r, compris entre go et 270 degrés, il faudra prendre le signe supérieur. D'un autre côté, lorsque r sera ^R, la valeur du radical excédera la valeur absolue de cosx; on ne pourrait alors admettre le double signe, quand bien même celle quantité serait positive. On ne devra donc avoir égard qu'au signe supérieur, toutes les fois que r sera > R , ou bien que y, sera compris entre 90 et 270 degrés. Or ce cas est celui des planètes supérieures, les seules que Ton ait découvertes depuis l'antiquité. Lorsque r pourra être supposé <1R> «" 4"'iî s'agira d'une planète inférieure, il ne pourra cependant pas être <C I^ sinx, afin que le radical ne devienne pas imaginaire; mais alors les deuic racines seront positives, et, jndépendamment de considérations physiques, le choix de la racine sera fixé par la condition de satisfaire aux autres équations du problème. Il n'est pas présumable que ce cas présente jamais de difficulté, à moins qu'on ne découvre quelque petite planète entre Mercure et le Soleil, et si voisine de ce dernier, qu'elle disparaisse presque en même temps que lui sous l'horizon.
Nous avons résolu l'équation (24) par rapport à p , attendu qu'il ne sera possible d'obtenir les valeurs de rou de p que par tâtonnement, et qu'il sera bien plus aisé de faire, sur la valeur de r, une hypothèse approchée de la vérité, que sur celle de p. En effet, les distances p varient beaucoup, tandis que les rayons vecteurs r, à cause des faibles excentricités des orbites planétaires , sont beaucoup moins variables; les limites de la région dans laquelle circulent les petites planètes autour du Soleil , sont assez bien connues pour qu'on en puisse déduire une valeur de r qui serve utilement de point de départ dans les calculs d'approximation.
Voici d'abord comment on pourrait concevoir la résolution des équations
du problème (toutefois, j'avertis que je ne m'attacherai pas à la pratique de ce procédé).
En partant d'une valeur hypothétique de r, les équations (?6) donneraient celle de p; les équations (20) fourniraient, Tune la valeur de -7-^ ^ l'autre
celle de -j-' Notons, en passant, que cette, dernière présenterait l'expression
de -j- sous la forme -9 si la planète était stationnaire en longitude, cas
auquel -r serait nul; la valeur de -7- ne saurait, en effet, devenir infinie. ^ dt dt
Laissons celte difficulté pour le moment. L'équation (26 ) donnerait la va-
dr leur de --r ; et cette dernière, ainsi que la précédente, étant substituées dans
le premier membre de l'équation (21), devraient le rendre nul, si la valeur de r avait été convenablement choisie. Il est clair qu'une série plus ou moins longue de tâtonnements conduirait à la valeur de r, capable de satisfaire à réquation (21).
Au lieu de procéder ainsi qu'il vient d'être dit, je vais former l'équation finale, et je donnerai ensuite la valeur approchée de la correction ^r, qu'il convient de faire subir à la valeur hypothétique de r.
Formation de réquation finale,
10. Substituons d'abord la valeur de — -—9 tirée de la seconde équa-
dt dt ^
doL tion (20), dans l'équation (26) multipliée par — ; il viendra
dr da. dK da. f^' ^ fl*- t>^ - >- y-
r ---- = R-~ -— H-^ smÇcosg ^R'smÇcosÇ
dt dt dt dt :iK 2 r^
( ^dadK Kcosi d'oL ^ . ^d^doL /a' sin?\
-H p cos H z ; R sm ? -r- -;- H — Ît I
f^ \ ^ dt dt 2 dt^ ^dt dt :iK^cos'B/
/apRsinÇ p' I i d'à dOdoL\
r3 2 cos' cos' \ 2 dt^ ^ dt dt J
Maintenant, Téquation (24) donne
— î--- = /•'— R2— ^pRcosc.
cos* ^
Subatituant celte valeur et divisant tout par / '', on aura
-+-— R-T- — -h^smÇcosÇH XT — R' tango— -- )
"^ R' sin Ç ces Ç
2R^cos'0 dt dt
r* 2cos'6 Multiplions encore l'équation (21) par —5 et mettons-y les valeurs de -7-7'
dû dcL ... I dr dot
~i: ~jr'* tirées des équations (20) , ainsi que la valeur précédente *^^ ~ "77 ;J7 '
Ayant ensuite égard à la relation
d% dX doL . , doL d\ ^doL dX
-j- = --— — -7- î qui donne 2 — --=z=3-; 7- \
dt dt dt ■ dt dt dt dt '
opérant les réductions, et posant
' , -,sinÇ/3^'a 1 d^^.da\ ^,cosÇ/€/a d^\d(f. A =/(* ^ (^-^+ j^ -^^j +/f* -^(^3^ - — j ^,
C'=~3/f.R3sin?rfi^-tange^\^ + i^-|.i*gsin|cos?l,
L\R ^^^ dt jdt 2.dt' 2 R3 * I
D' = - (/p)' R3 sin' Ç cos Ç ;
a rfa^\ ^/a 3 / d^a\^
dt^ I dt 2 \ r/r
r/i ^R ^dB\do, I rf'al cos H ( r— 2 tang 9 -;- -7- H rr
"^ *'" ^ \2 COS' Ô R^ r// ^^ yl ]
^..^3 (/f.)-R-sin-^ ^ \ 2 cos' 9
réquation (ai) y transformée, pourra s'écrire
Il suffirait d'y substituer la valeur de p , équation (26), pour qu'elle ne contînt plus que la seule inconnue r,
Nous devons nous attendre à ce que l'équation (28) soit satisfaite par /*= R , en supposant d'ailleurs f^- =/*/*'• Pour nous en assurer, formons d'abord l'expression
(/^'r /f^'/f^R^ wf\^^' ifi^y^'
au moyen des valeurs (27); nous trouverons cette quantité nulle identiquement, et si nous cherchons à former une expression analogue, en substituant R à r dans le coefficient dep, équation (28), il nous suffira, pour reconnaître
que ce coefficient ne s^annule pas, d'observer que -j— entre dans un seul
terme des expressions (27) ; il vient donc p = o , comme cela doit être. Quant à l'équation (26), elle se trouve satisfaite en donnant au radical le signe contraire à celui de cosx.
La relation
(f/y /p'/p^R^ /p'/pB^ (/p)'R^
pourra être employée à la vérification de l'exactitude des valeurs numériques des coefficients A', B', C, D'.
On voit aisément qu'en faisant disparaître de l'équation (28) les dénominateurs, puis élevant au carré pour faire disparaître le radical introduit par p, on obtiendrait une réduite en r qui s'élèverait au dix-huitième degré; nous ne procéderons point de la sorte , afin de ne pas introduire de racines étrangères, et pour éviter d'ailleurs toute complication inutile. Nous con* serverons donc aux équations {26) et (28) leur forme actuelle , et nous en tirerons les valeurs de r et p par des approximations successives.
Soit $ la valeur du premier membre de Téquation (28) relative à une valeur quelconque de /*, en y supposant celle de p fournie par l'équation {26). Construisons la dérivée de 4> par rapport à r ; il viendra
d<P 3B' 5C' 8D' dp/^„ B" C" D"
(/r r* r« r^ dr\ ^ r^ r^^ r«
La valeur de -— tirée de (5ette équation étant substituée dans la précédente,
dr
et, si Ton fait varier /* et o seulement dans i'é€]uation (34)» ^^ ^wva
rdr = (r cos Ç -f- —^ ) rfp.
dû .
Q — — tir<
il s'ensuivra
Rcos? + -^^ /
Kd supposant que la valeur de r, d'où Ton a tiré p et 4», ne soit pas trèséloignée de satisfaire à Téquation (28), une valeur approchée de la correction ir de cette inconnue sera donnée par la formule
Ir
Au moyen de la valeur corrigée de r, on devra de nouveau calculer p par réquation (26) , et introduire ces valeurs de r et de p dans le premier membre de l'équation (28). Si celte équation n'est pas exactement satisfaite, on procédera de la même manière à une nouvelle correction.
Examinons ce que devient Téquation (28), lorsque — est nul, ou lorsque
la planète est stationnaire en longitude. On voit d'abord que les coefficients B' et B'^ s'annulent. On peut dès lors écrire l'équation (28) sous la forme
Celle-ci devient, en y substituant les valeurs que prennent, dans cette cir-
constance , les coefficients (27) , et supprimant le facteur - ?
d^OL ff\tl sin Ç ^ d^ ~di^\ R» ^ dt''
Or l'équation (24), mise sous la forme
(3o bis) r*^ = R(R H- û cos Ç) 4- /= ( R cos? -4- —^1
\ cos'ô/
donne
^(R 4- p cosÇ) = 1 - -^ (rcosS +-^^ /•" r' \ cos'ô/
don (20] dans l'hypothèse de — = o, et l'on aurait pu immédiatement poser.
Substituant cette valeur dans le second terme de l'équation précédente , il vient
//^ \ R» "" r' ^li")
__/f.Rsing/ ^ ( d^ U' sin g fy R sin j\
r» \ ^ cos'Q/ \ ^ rf#» ^ R* r' J
On peut aisément mettre cette équation sous la forme
Le premier de ces facteurs , égalé à zéro , est ce que devient la seconde équa-
da
dt dans ce cas ,
comme l'une des équations du problème; en effet, cette équation, combinée
avec l'équation (24) , donnerait ret p, tandis que la première équation (20)
d^p , . , . df
donnerait -y^ 9 et les équations (21) et (25) feraient connaître ensuite r-r-
et -j^» Le deuxième facteur ci-dessus est donc un faeteur étranger à la quesde
tion, et introduit seulement par l'élimination des trois inconnues que nous
venons de désigner.
Il n'est pas hors de propos d'indiquer un moyen de résoudre l'équation (3a).
Soit
^ RcosQ' l'équation (24) pourra s'écrire
r'= R»(i -f- 2p' cosQ cosÇ + p") ou
r* = R' (1 — 2 p' cos X -h p'"^ ) ;.
au moyen de cette valeur, l'équation (32) devient
r/'a sin^r --~\
p'cos9 — -.^^f (,'-/(, (l - 2p' COSX 4- p") '1=0.
Si l'on pose ensuite
fu.' sing
COSÔ -r-
^ ^ » il viendra
p' — ^*T^(i - ap'cosx -f-p")"^-^ i|=o.
Or on peut y dans une première approximation , supposer ^ = i, et Téqua-
tion précédente, ainsi modifiée, a été résolue, il y a déjà longtemps, par M. Binet, au moyen d'une construction très-élégante : on corrigerait la valeur approchée de p' en employant tes équations
^=l^3fL h'^' (p' — COSx) (l — 2p' COSX -f- p'^)" %
dans lesquelles cp désigne le premier membre de la seconde équation (33).
Les équations (33) mettent en évidence ce fait intéressant , que dans le cas où un astre est stationnaire en longitude, il suffit d'en connaître les coordonnées angulaires et la deuxième dérivée de la longitude géocentrique, pour déterminer ses distances à la Terre et au Soleil ; mais ces données sont insuffisantes, comme on le prévoit aisément , pour déterminer les éléments de l'orbite.
On remarquera, en outre, que si l'époque choisie est Tinstant de l'opposition, auquel cas \ devient nul, Féquation du problème se simplifie considérablement; elle se réduit, en effet, à
et les coefficients A', B' se réduisent eux-mêmes aux termes affectés du facteur
COSç.
fll. Les valeurs de r et p étant connues, dans tous les cas, par ce qui précède, il s'agit maintenant de calculer leurs dérivées - et -j-* Distinguons.
deux circoDstances : i® le mouvement en longitude géocentiîque sera considérable , comme cela a lieu vers l'opposition ; 2*^ il sera nul ou presque nul , c*est-à-dire que la planète sera stationnaire en longitude , ou à peu près. Si la planète est voisine de l'opposition, on aura facilement les valeui^
de— et --—? par les équations (20) , qui donneront
dt doL [ \R' r^ ) ^ dt^ }
(35) { '^ dt
dt^ nR» r^/ ' df' ^ r'
L'équation (sS), dans laquelle nous grouperons les termes du deuxième
dr Ji
dr membre, fournira la valeur suivante de r — ? en ayant égard à la seconde
équation (22),
dr ,^ V ^R • ^l
r-r = (R + pcos?) — pR smS -7-
. dt ^ ^ ' dt ^ dt
RcosÇ H ^1^+-— 7 tango—.
^ cos' Q/dt cos^ô ^ dt
d^p Toutefois, nous remarquerons que le calcul de -jj serait ici sans objet, si
nous ne devions pas nous ménager un moyen de vérifier les calculs effectués. Or cette vérification s'obtiendra en substituant dans Téquation (21) toutes les quantités déterminées précédemment ; celle-ci devra être satisfaite si tous les calculs sont exacts. Il va sans dire que les données elles-mêmes sont supposées l'être.
Si la planète est stationnaire en longitude, ou peu éloignée d'une station,
la première équation (35) est impropre à fournir la valeur de —-^ attendu que - - serait nul ou très-petit, et que ■—- ne peut devenir infini; la parenthèse qui multiplie —j- deviendrait donc elle-même nulle ou très-petite, ce
dt
qui donnerait la valeur de -r- sous la forme -? ou mal déterminée.
' dt o
Pour éviter cet inconvénient, nous allons former une autre expression de -r^9 et, à cet effet, déduire cette inconnue et r — des deux équations (21)
€C (25) OU (36). Afin d'abréger, posons
. rfR . dt p' • dB
Q=(R + pco.ï)^-pR„oïj- + ji,ttn6«j-,
les équations (36) et (21) deviendront
r-^ = Q + ( RcosÇ -h — ^ ) -/^ dt ^ \ cos^Bj dt
Éliminons r-— entre ces équations, il viendra
dpd^a /fxRsinÇ^ /aRsinÇ/ ^ P \ '^P ^ ^/
dt df r* ^ r^ \ ^ co%^B) dt Z^ '
d'où
dt ^ d'^çf. /ixRsin?
•^ ' R cos Ç
cos'Ô/
r/r^ r* \ cos'Ô
on aurait de même, par l'élimination de -~- 9
^ dt
rf'a /(.Rsing /
cos'ô
On pourra donc calculer ;7^ et r— par ces deux dernières formules, ou
bien en employer une seule, en se servant de Tune des deux équations (38)
pour déduire l'autre inconnue, et n'oubliant pas que la valeur de — i
contenue dans Q', doit être calculée par la seconde équation (35). On devra substituer ensuite tous les nombres obtenus , dans la seconde équation (20) qui sera satisfaite si les calculs sont exacts.
Nous ferons remarquer qu'il eût été possible d'établir notre équation (28) en
éliminant -j- entre réquation (39) et la seconde équation (20) ; le résultat de rélimination est '
En mettant dans Q' l'expression de -r^ ? seconde équation (35), et substituant
ici les valeurs de Q et de Q', on obtiendrait, à Taide de Téquation (24), une
transformée qui serait identique avec Téq nation (28). L'équation actuelle se
doL change immédiatement en l'équation (3i), si Ton fait — = o.
d^ Examinons actuellement le dénominateur commun des valeurs de -7^
dt
cir . doL
et r—t équations (39) et (4o). C'est vers l'opposition que la valeur de ---
atteint un de ses .naxin.ums; la valeur de Ç^l est donc alors nulle , et à cette
' dt^ '
même époque l'angle Ç, et, par suite, le facteur sin^ sont pareillement
nuls. Le dénominateur dont il s'agit se réduit donc à zéro, et comme
dû dr
y- et r -- ne peuvent devenir infinis , les formules (39) et (4o) donnent des
résultats indéterminés. Rappelons que ce n'est point pour en faire usage dans ce cas, que nous avons établi ces formules, mais bien pour les appliquer lorsque la planète est stationnaire en longitude. Dans cette circonstance , la seconde équation (20) donne
^^RsinJ//i/y>\.
df" p \R^ r^j'
on tire aussi de l'équation (3o bis) ,
i; (rCOS? + 4^) = i[l - ^ (R + p cOS?)]
r-\ cos'0
Au moyen de ces valeurs, le dénominateur en question devient , toute réduction faite,
Rsingr/tx' fu. fiiK,^ ^r\
Enfin , si l'on désigne par a l'angle au Soleil, compris entre les rayons vecteurs
(le la Terre et de la planète, la théorie des projections montre que
l'on a
R -f- p cos Ç =r r ces 0".
On peut évidemment déduire cette relation de la considération du triangle formé par le Soleil, la Terre et la planète: ce triangle, dans lequel le côté
opposé au Soleil est — ^^ donne
cosQ
^ ^R'+ r' — 2RrcoSf7;
cos^ Q
mais l'équation (24) est
P' r»=: R^-h 2Rpcos?-4-- -^•
^ cos'ô
ajoutant membre à membre et réduisant , il vient
o = 2R^ + 2Rp cosÇ — 2Rrcoso',
d'où
R -f- p cos S = rcoso".
Cette valeur donne au dénominateur commun des seconds membres des équations (Sg) et (4o) la forme
ou bien la suivante, en faisant, pour plus de simplicité, f^znf^'^
fufsmll R^ R^ \
Pour discuter complètement cette expression , il y aurait à exprimer les conditions géométriques et mécaniques du phénomène de la station en longitude. On parviendrait, de la sorte, à une relation entre r et coso-, qui permettrait d'exprimer cette dernière quantité en fonction de r; mais cette expression contiendrait les demi-grands axes, les excentricités et les inclinaisons , et serait d'une discussion très-difficile.
Nous allons rechercher les limites entre lesquelles l'expression (4i bis) pourrait devenir nulle. Dans les circonstances où nous en voulons faire usage, les facteurs sin ? et p ne peuvent s'annuler ; il n'y a donc à examiner que les cas où la parenthèse elle-même pourrait se réduire à zéro.
1èi>sons, à cet effet , — = v , et désignons par P' la valeur de cette paren-
thèse ; il viendra
„, 2 COS ff
En la réduisant à zéro et tirant la valeur de coso-, on aura
coser = 2u — u*.
Considérons maintenant séparément le cas où cos <t serait positif, et celui où il serait négatif.
1®. Goso- étant supposé positif, on a les deux conditions
cos (T <^I, cos 0" ^ o ,
ou bien
Les premiers membres de ces inégalités étant réduits en facteurs, donnent, en changeant leur& signes,
(u— i) (y — 0,5437) (u»-hi,5437y-+-i,8393)>o; «(v^ — 2)<o.
Or, yj étant essentiellement positif, on peut supprimer ici les facteurs que celte circonstance rend positifs; il en résulte les conditions
La première de ces conditions donne lieu aux deux systèmes suivants :
y>ï> y><>>5437; y<Cï> y <[ 0,5437.
La fonction P' ne peut donc s^annuler que pour des valeurs de y prises en dehors des limites o y 5437 et i .
La seconde condition revient à
y <C Y 2 ou y <1 ï > 2599.
Ainsi P' ne s^annulera pas pour des valeurs de y[]> 1,2599. ^' ^^ ^^°^ établi, pour le cas où cos<t est positif, que P' ne peut s^annuler que pour des valeurs de y comprises entre o et 0,5437, puis entre 1 et 1,2599. 2°. Coso- étant supposé négatif, les deux conditions
— cos C <^ ï > — cos ff ^ o ,
donnent
On en tire, en procédant comme plus haut,
ou, en supprimant ]es facteurs essentiellement positifs,
Ainsi, la valeur de P' ne pourrait s'annuler, lorsque coso- est négatif, que pour des valeurs de u comprises entre 1,2599 et 1,3954» c'est-à-dire dans le cas de planètes supérieures situées dans une zone dont la limite inférieure serait le milieu des distances moyennes de la Terre et de Mars au Soleil; la largeur de cette zone serait 0,1 355.
La zone pour laquelle l'indétermination paraîtrait possible, dans le cas des planètes supérieures , est assez peu étendue pour que Ton soit tenté de croire à l'impossibilité d'annuler P' lorsque u est ]>• i . S'il n*est pas possible de le démontrer généralement, il est, au contraire, très-aisé de le faire dans Thypothèse des excentricités et inclinaisons nulles.
Nous allons former Téquation de la station, dans cette hypothèse. Soient : (PI. Illyfig. i) S, T, P les lieux du Soleil, de la Terre et de la planète; T' et P' deux lieux de la Terre et de la planète infiniment voisins des précédents, et situés sur les perpendiculaires aux rayons vecteurs R et r. La condition pour que la planète paraisse stationnaire est que deux directions consécutives PT, P'T' soient parallèles. Nous les supposerons telles; menons par le point P une parallèle P/ à TT', jusqu'à la rencontre de la droite P'T' prolongée s'il est nécessaire. Le triangle infinitésimal PP'^ donnera la relation suivante :
p7 sin PP'^
^' ^ sin P'/P
mais F/=: tFt, et les déplacements T'T, P'P sont respectivement égaux à RN'c/f, rNrf^, N' désignant le moyen mouvement terrestre, de sorte que le
R W premier membre de celte équation est égal à — ^^ • D'un autre côté , la troisième loi de Kepler donne
d'oii
ou
on
La valeur du rapport -. — - devient donc simplement W= ou yû. Si 1
désigne par P et T les angles en P et T dans le triangle PST, et par *, comme ci-dessus, Tangle en S; le second membre de l'équation considérée
tl2
cos P
deviendra -? et Ton aura
cosT
/- cos P
^ cosT
La proportionnalité des sinus, dans le triangle PST, donne d'ailleurs
sinT """«iiP'
enfin Ton a
d'où
cos(T= - cos(P-l-T).
En éliminant P et T entre ces trois équations, on a, pour déterminer l'angle ff au moment de la station ,
coso- =
D^ailleurs, si l'on calcule les valeurs de coso- correspondantes à u = 1,2599 et u = 1, 39549 on trouve o ,99 et o ,97 environ ; ces quantités sont, comme on le voit, fort éloignées d'être négatives.
Si Ton suppose v]> i, V^ — i sera une quantité positive; il s'ensuit que cos (T sera essentiellement positif. Or nous avons trouvé généralement que cos (7 étant négatif, on ne peut redouter l'indétermination que pour des valeurs de y comprises entre i , 2599 et 1 , 3^5/{ ; iJ en résulte que , dans l'hypothèse du mouvement circulaire et dMnclinaisons nulles^ l'indétermination n'est point à redouter pour les planètes supérieures.
On peut encore examiner ce que devient P' dans le cas des planètes inférieures, et toujours dans l'hypothèse des excentricités et inclinaisons nulles. Celte fonction devient, en y introduisant la valeur de coso-,
En égalant P' à zéro et cherchant les valeurs positives de v qui y satisfont , on trouve d'abord y = i, puis ensuite u = o ,45 environ. L'équation P'= étant développée s'élève au neuvième degré : elle a seulement trois racines positives; mais la troisième racine, dont la valeur est i,3 à peu près, répond à
une valeur négative de yu , et doit être rejetée.
De ce qui précède, il faut conclure que l'indétermination des exprès-
sioDS (39) et (4o) , relatives au cas où la planète est dans le voisinage de sa station, n'est réellement à redouter que pour des planètes inférieui^es qui seraient situées à une distance d|i Soleil, comprise entre 0,4 et 0,6.
Les valeurs de — ^ et r — ^ équations (Bg) et (4o), dépendent de Q et Q'.
Ces dernières quantités introduisent les valeurs de ■— et de —t qui étaient
doL devenues inutiles pour le calcul des distances r et p lorsqu'on a — = o,
mais qui ne disparaissent pas des expressions de leurs dérivées dans la même circonstance. Ainsi, il ne paraît pas jusqu'ici que Ton doive obtenir beaucoup moins d'exactitude en prenant une époque voisine de la station en lon< gitude, que dans tout autre cas, puisqu'il faut toujours, en définitive, faire usage des dérivées du troisième ordre. Le choix d'une époque voisine de l'opposition n'aurait d'autre avantage que de faire dépendre les coordonnées héiiocentriques et leurs dérivées, de distancés à la Terre beaucoup moindres et, par conséquent , susceptibles d'être déterminées avec plus d'exactitude. II est évident qu'il faut en profiler toutes les fois que cela est possible; mais il était important de montrer que les formules, convenablement établies, donnent néanmoins des résultats qu'on ne saurait considérer comme défectueux , si on les applique aux époques voisines de la station , attendu que , dans plusieurs cas, cette époque a coïncidé à peu près avec l'époque moyenne des observations faites pendant la durée de l'apparition des nouvelles petites planètes.
On pourrait combiner de diverses manières la première équation (35) et
l'équation (39) pour en déduire une valeur de -7^ à la fois convenable au
cas de la station et de l'opposition , et qui ser«iit , par suite , d'un u^age général . Ainsi, par exemple , si l'on pose
= RsmÇU^-^^ -p — ,
. /a R sin Ç ^ I ^,
<'/'a /V-RsinH/ p \
^ dt' . /••' \ cos'ô/
la seconde équation (20) et l'équation (39) donneront
dp doL
dt dt ^'
dt Additions i852. 8
multipliant la première éipiation par ?- ;^ ^ 1^ seconde par 9', puis ajoutant membre à membre, il viendra
d'oîi
(l^ "^ dt
dot. ,
4xr + 7'
dt
Le dénominateur de cette expression ne s'annulerait que si les quantités' y-
vx q' pouvaient se réduire en même temps à zéro; et nous avons vu que cela n'est point à craindre pour les planètes supérieures.
Si Ton fait usage de la formule (43) , on devra calculer ensuite r —5 au
moyen de la première équation (38) ; la substitution des valeurs calculées, dans le second membre de l'équation (36), offrira un moyen de vérifier l'exaclitude des calculs.
Calcul des coordonnées, des composantes de la vitesse parallèles aiix axes coordonnés , et des éléments de r orbite.
12. Ce qui va suivre n'est qu'une reproduction des formules de Laplace, sauf le calcul de l'anomalie vraie et de l'excentricité.
Les coordonnées de la Terre se déduisent des équations (8). Les composantes de sa vitesse sont données par les équations (17) et (iij. Les équations (7) et (9) font connaître les coordonnées de la planète et les composantes de sa vitesse.
Le calcul des coordonnées de la planète peut se vérifier par la relation
(44) ,'2=^2-1^ ja-f. 2»;
la valeur de /• qu'on en tire doit coïncider avec la racine de Tcquation (28). Si l'on c.ilcule ensuite le second membre de l'expression
, , ^, <//■ dx dy dz
on devra trouver une v.ileur de /-r concordante avec celle qui a été
dt ^
obtenue plus haut.
Les constantes des aires sont données par les formules
/ dz dr
' di di
dx dz
dt -^ dt
La valeur de C, étant tronrée positÎTe, montrera que le mouvement projeté sur récliptique est direct , et que, par suite , rinclinaison est comprise entre o et 90 degrés; dans le cas contraire, qui ne se présente pas pour les planètes, le mouvement projeté serait rétrograde, et l'inclinaison serait comprise entre 90 et 1 80 degrés. Le calcul de ces formules se vérifie par l'équation
(4?) Gx-hG'/-4-G"z=o,
qui est celle du plan de Torbite.
On obtient ensuite Pinclinaison du plan de Torbite, par Téquation suivante
JG' 4- G'*
(48) tangl= ^ ^ .
dans laquelle le radical n'est pas affecté du signe ±, attendu que le signe est donné, en vertu de ce qui précède, par celui de G'^ La longitude du nœud ascendant se déduit de
(49) tangQ=— -.
La valeur de ^ déduite de cette formule est anribiguë : pour distinguer s'il faut ou non ajouter 180 degrés à Pangle donné par les Tables, nous aurons égard à la relation
(50) tang X = sin («'i — Jî) tang I ,
qui doit être satisfaite par un choix convenable de Tangle Q •
Soit , pour abréger,
r, = sjx" + y\ on aura
(5i) X = r, cos ï', , y =^rx sin c^ , zz= r, tang X ;
d'où, en vertu de l'équation (5o),
z = (r, sin c, cos S^ — ''1 cos v^ sin Q) tang I j
on
z = cosÇl(x -—x ung Q ) tang I ,
et, à cause de Téquation (49)»
Mais réquation (47) permet d*en déduire , après la suppression du facteur commun z,
1= g^G'langl;
en ayant égard aux équations (48) et (49)9 cette relation donne
smQ cosQ
Il s'ensuit que Q doit être choisi de manière que son sinus ait le signe de G^ ou son cosinus le signe contraire à celui de G'.
Cette dernière expression permet de donner au calcul de tang I la forme logarithmique, en supposant qu^on ait d'abord calculé Q ; il vient, en effet,
Pour obtenir le demi-paramètre n , que Ton désigne en fonction de Texcentricité, par A (i — E') ou A cos' n , on emploiera Tune des formules
^ ^ ^ I r (dx^ dy^ dz'\ l dr\^-\
Le demi-grand axe se déduira de l'équation des forces vives
I 2 I fdx^ dy^ dz^\
La durée de la révolution sera fournie par la troisième loi de Kepler : en prenant la durée de Tannée sidérale pour unité de temps, on a
vf^*-
La valeur du moyen mouvement héliocentrique diurne exprimé en secondes
sexagésimales s'en déduira y et aura pour expression
(56) »" = --: — -y log-. — j^=3,55o 0072, ^ ' T sin 1" "sin i" '
€Dvertu de la première équadoa(a).
On formera ensuite
(57) cos' »?=-->
€t l'on en tirera cesu, mais non point Pangle ti lui-même, attendu que cet angle, étant généralement très-petit, ne saurait être donné avec précision par son cosinus.
De même, il faudra bien se garder généralement de déduire Tanomalie vraie, de réquation de Torbite, celle-ci ne pouvant la donner en fonction du rayon vecteur qu'au moyen de son cosinus; les anomalies voisines de o ou 180 degrés seraient mal déterminées par cette équation. Pour obvier à cet inconvénient, nous emploierons à la fois Téquation de Torbite et la première équation ( 1 2) que nous écrirons comme il suit :
(58) E«nV=^^''-,
Véquation de l'orbite donne elle-même
(Sg) EcosV = I.
On tire de ces deux équations, en divisant membre à membre,
v/n dr
(60) lang V = lÙL-, •
et Ton en déduit V, en prenant cet angle de manière que son sinus et son cosinus aient respectivement les signes des seconds membres des équations (58) et (59).
L'une ou l'autre de ces dernières donne Ë : on doit choisir «elle qui contient la plus grande valeur absolue des deux quantités sin Y et cos Y ; on a dès lors , pour déterminer m ,
(61) sinin = E.
Déduisant ensuite la valeur de cos n , il faudra que cette valeur s'accorde avec celle que Ton aura tirée de l'équation (67).
L^anomalie excentrique sera fournie par l'équation
, tangiv
{62) tang-w= —
tang
elle prend le $igne de V.
L'anomalie moyenne de l'époque ou Tangle s — zj sera , en désignant ici par t le nombre de jours écoulé depuis cette époque qui est entièrement arbitraire,
(63) g — cj = a — -A-^ sin u — N" t.
^ ^ sm 1
Il reste à calculer la longitude du périhélie. A cet effet, les équations (5i) donnent
tangp, = -»
et Ton doit prendre (^, de sorte que son sinus et son cosinus aient respectivement les signes de 7- et de jf ; il vient ensuite
(64) ta,g(.-Q) = "°g (-■-«) .
En faisant usage de cette formule, il faut choisir (p — Q) de manière que l'équation
(65) cos («'i — Q) cos A = cos (p — Q)
soit satisfaite quant aux signes ; c'est-à-dire que cos {p — Q) doit avoir le même signe que cos [vi — Q).
On a, pour calculer la distance du périhélie au nœud,
ajoutant la longitude du nœud , on obtient celle du périhélie.
Si les longitudes a ou j^ sont rapportées à Téquinoxe vrai de l'époque, o et Çl se trouveront aussi rapportées à l'équiuQxe vrai ; il conviendra d'en retrancher la nut^tion, afin que ces quantités puissent être comptées depuis réquinoxe moyen. Enfin, si l'on choisit l'équinoxe moyen d'une autre époque, il faudra retrancher le mouvement de précession depuis cette époque.
Formules ayant pour objet de déduire les dérivées de la longitude et de la latitude par rapport au temps, des éléments de iorbite supposés donnés,
15. La déduction de ces formules présente , d'après Ténoncé , le problème
inverse de celui qui vient d^être résolu. Voici dans quel but nous allons nous
occuper de sa solution. La méthode de calcul exposée dans les numéros
précédents est encore propre à la correction des éléments ; il suffit de cor-
, . , da. d^a d^ et ^ dû „ ,. - ,
riger les quantités a , -7- 7 -r— ? — r— •> Ô et -7- 9 et d appliquer nos formules
dt di^ dt^ dt '^'^ ^
à ces quantités corrigées. Or, si la première approximation a été fournie par nos formules, rien n'est plus facile , puisque dès lors on a les valeurs primitives de ces dérivées; mais si les éléments ont été obtenus par un autre procédé, ou , plus généralement, si Ton ne connaît pas les valeurs des dérivées correspondantes à un système donné d'éléments et à une époque déterminée, il faut préalablement les déduire des éléments, pour pouvoir ensuite leur appliquer des corrections dont nous nous occuperons plus loin. Commençons donc par exposer celte déduction.
Nous supposerons les quantités a et calculées par les formules ordinaires et pour répoque moyenne, ou à peu près telle , des observations dont on dispose ;. seulement, nous admettrons que pour tenir compte de Faction de la Lune sur la grandeur du rayon vecteur et les deux coordonnées angulaires héliocentriques de la Terre, l'on ait retranché, des coordonnées fournies par les éphémérides du Soleil, les quantités ^ J et 5 log R, qui s'obtiendront ainsi qu'il suit :
Soient
R le rayon vecteur du centre de gravité de la Terre et de la Lune;
R -I- (îR le rayon vecteur terrestre ;
g la distance du centre de gravité delà Terre et de la Lune, au centre lie la Terre ;
P la parallaxe horizontale de la Lune exprimée en secondes ;
p" celle du Soleil aussi exprimée en secondes ;
^ la longitude géocentrique de la Lune , A sa latitude ;
//i, la masse de la Lune.
L'expression de la distance de la Lune à la Terre, en prenant pour unité la distance moyenne de la Terre au Soleil , sera
R ûnp" S"\ 58
sinP "^ P ' et l'on aura
Si Ton se reporlc aclucllciiicnt à \a^g. 2 [PI. III) dans laquelle S, G, T et T, désignent respectivement les positions du Soleil , du centre de gravité de la Terre et de la Lune , le lieu de la Terre et la projection de ce dernier siir Tccliptique y on posera aisément les deux équations suivantes :
(R-f-^R)cos i cos^J = R -f-g'cosAcos(C — O -h^J).
(Ici S^ est encore ce qu'il faudrait ajouter à la longitude héliocen trique du centre de gravité, pour obtenir celle du centre de la Terre). En négligeant les termes des ordres supérieurs au premier, divisant ensuite par R , et observant que
il vient
^logR=: 0,43429 — ,
^logR = o, 43429. éri^cos(C — O).
Substituons maintenant la valeur de g , remplaçons par Tunité les facteurs R et cos A , ce qui n'introduira que des erreurs négligeables , et posons , pour abréger,
(67) „,=%iÊÈ.--^, „', = 0,43429. 8", 58 -7^5 nous aurons, en changeant les signes,
~^logR=-^cos{(C-0).
Les constantes a, et a\ prendront diverses valeurs, suivant celles que Ton
attribuera au rapport —, de la masse de la Lune à la niasse de la Terre.
Quoi qu'il en soit , il faudra se servir de celui qui aura été employé dans la construction de Téphéméride.
En prenant -4 =7777-79 on trouve logiz, = 4>4^4> *ogfl', = 8,7298. m' 00,4
En prenant —) = 57;' on trouve logrt, = 4?3o83, log«', = 8,6317. * //r 00
Les coordonnées héliocentriques de la Terre ainsi xrorrij^ées, donneront les valeurs de a et 9 relatives au centre de gravité de la Terre et de la Lune ; et , quoique les observations ne se rapportent pas à ce lieu , il sera néanmoins possible, comme nous le verrons plus loin, d'obtenir les corrections de a et G , ainsi que de leurs dérivées , sans ramener les observations géocentriques à ce centre de gravité.
14. Nous omettrons pour le moment les formules qui servent au calcul de a et ; elles sont suffisamment connues. Dans leur application , il n*y aura d'autres précautions à prendre que celle indiquée ci-dessus relativement aux coordonnées héliocentriques de la Terre, et de ne point ajouter Taberration à a et 9. D'ailleurs, nous les reproduirons plus loin lorsque nous résumerons les formules à employer. Occupons-nous actuellement des dérivées.
Le calcul de a et de 9 ayant conduit à déterminer les valeurs des quantités /*, r,, f^, Pi et >, les trois coordonnées rectangulaires héliocentriques sont connues ; elles ont pour expression
x = r, costal, / = /'i sin f|, z = r, tang \ =± rsin X.
Les équations
N/ -h g — Tj = u — £ sin M ,
r = A(i — Ecosm), étant difTérentices par rapport au temps, donnent
d'où
- E cos u
du
>dF'
dr Ht
