AE

sin u

du de

1 dr

N dt

AE sin u I — E cos u

sm u ;

on a aussi

et, par suite.

Or de

on tire

. / ïT- sm u

smV

dr NAE . „ . r= sm V.

dt ^i __£'

A-^]N^ = /fA

Ajoutons les mêmes équations en les multipliant, la première parcosa, et la seconde par sina; nous aurons

dy dx dr' dx' dp

sin a -f- -f- cos or.-r = sm a -;- -f- cos a — r -f- -r- • dt de dt dt dt

dy' dj/ .

Au moyen des équations (i i), les termes qui contiennent -^ et — dans

les deux équations précédentes vont donner

dy , dx' ... . . .^R

cosa— ; = sm a — r- = (sm 5 cosa — cos 5 sm a) —r-

dt dt ^ ^ ^ ' dt

dk -h (cos J cosa + sin $ sin a) R —^9

dy dx^ , . u. . ^ x^R

sin a -^ 4- cos a -r- = (sin 5 sin a -h cos 5 cos a) — r-

-h (cos J sin a — sin J cosa) R -^>

et, à cause de la première équation (ai),

dy . dx' , dK ^ d^

cos a ~ sm a — r- = sm Ç — r- "+- R cosÇ -^ >

dt dt dt dt

dy da/ ^dYi ^ . rff

sm a -r- -h cosa -7- = cos \—, R sin Ç — ^•

dt dt dt dt

En substituant ces valeurs et transposant, il vient

dcL . dx «(r« »,^S .^^R

— P -7- = sm a -; cosa ~ H- R cosÇ —7^ -f- sm Ç -7- >

^ dt dt dt dt dt

dp dx , dy ^ . ^dX ^ rfR

—i- = cos a —- + sm a -7- + R sm Ç -p- — cosÇ -^ • dt dt dt dt dt

dx dY

Puis, si Ton met ici les valeurs de -r- et -—» et si Ton observe que les

^ dt dt

sinus et cosinus de a et p, se combinent de manière à donner des sinus et

cosinus de la différence a — c^,, on aura

— û — - = R cos Ç -—- 4- sm Ç -T- -h ^^ E sm V cosX sm (a — vx) dt dt dt Jfi

J/aJur . , . . / r^\ ' / \ cosi , xT

TrUUL- smlsmTicosft',— Q)sm(a — f^,)H rCOs(a— t'.) h

3Ê = RsinÇ^ — cosÇ^-+-^EsinVcosXcos(a — f.) dt dt dt Jn ^

■ smIsm).cos(p, — y)cos(a-— p,) sm{a— c) •

D'un autre cùté, la troisième équation (9), en y subslîluant la valeur

de -r t donne lit

1 cos'ftA *' dt ^

, , , rfa rfp rffl Ces trois formules serviront au calcul "^ j- ' 3~ ' j~ ' ^"* 1" •! soit nécessaire de former d'autres valeurs <|ue celles des coordonnées.

Les dérivées du deuxième ordre de a et p seront tirées des équations (30], i]ui donnent

l P ^j. "*'"^l R^ r' J dt dt'

g = -^^(lfJ.^-Cî\^J^-A

Quant à la valeur de — 1 il n'est pas indispensable de la former, puisqu'elle

n'entre pas dans nos calculs ; néanmoins , on pourra l'employer utilement à la vériScation de la concordance des données fotirnies par l'observation. Les troisièmes équations (5) et (7) donnent à cet effet

d'B fil.

— =-^pl.n6..

Substituant cette valeur dans la troisième équation (10) , il viendra

d'f) . , /d'p /u\ da dO d6'-

Enfin la dérivée du troisième ordre en a sera tirée de l'équation (21) dans laquelle il suffira d'introduire la valeur de ~ obtenue dans le présent numéro; on aura ainsi

* " 'Tr=r^— -T smÇ-p-i-Rcosï-T^ —i~ E

df \ R> r' j\ dt ^ dt j dt dt'

Les valeurs de a, -r-i -7—) -77-!

héliocentriques de la Terre et leurs dérivées du premier ordre , étant calculées par les formules qui précèdent jointes aux deux équations (17 ) , nous allons indiquer comment on corrigera les valeurs de a, 9 et de leurs dérivées fournies par des éléments donnés, ou ayant servi à obtenir ces éléments.

Correction des éléments de torbite.

15. La première orbite approchée servira à construire une éphéméride des positions géocen triques apparentes de la planète. Je la suppose calculée suivant les procédés ordinaires, c'est-à-dire en corrigeant les coordonnées terrestres de manière à introduire le lieu vrai héliocentrique du centre de la Terre , et ajoutant ensuite Taberration aux positions vraies de la planète. Ainsi , je n'entends pas que Ton doive appliquer à la construction de l'éphéméride, les formules qui serviraient à ramener les observations au centre de gravité de la Terre et de la Lune, comme cela serait nécessaire pour le calcul des éléments.

Ceci posé , soit ^ Fexcès des positions observées sur les positions de Téphéméride auxquelles on aura ajouté la parallaxe suivant les cas. Considérons, par exemple , la longitude représentée par la série

a = ao H 77 — I 7:r 1 7-;: t: 4- . . . ,

dt i dt^ 1.1 dt^ 1.2.3

et désignons par ^a la correction que doit recevoir cette série , pour que les valeurs corrigées de ex et de ses dérivées représentent les observations. Je dis que les corrections à appliquer se déduiront de Téquation

Cela serait évident, si Ton n*avait point à tenir compte de la différence entre les positions vraies, telles que les supposent nos formules, et les positions apparentes qui sont altérées, tant par l'aberration que par la distance qui sépare du centre de gravité de la Terre et de la Lune, le lieu de chaque observation. Pour nous assurer que nous avons bien établi la condition convenable, soient spécialement :

ttc la longitude calculée directement ou au moyen d'une éphéméride;

a la longitude vraie qui serait observée du centre de gravité de la Terre et de la Lune , comptée d'un équinoxe ûxe ;

oLj la longitude géocentrique vraie, comptée du même équinoxe;

^ la somme des termes qu'il faudrait ajouter à a pour passer à ar, de sorte que Ton ait

l'expression de la longitude calculée sera

ac = a^'-f- précess. -f- nut. -4- aberr. -f- parall.

CoDc^ons que Ton fasse subir aux éléments ou constantes d'où dépend a, de certaines variations peu considérables; on pourra admettre que les quan> tités (-J, aberr., parall., n'en seront pas sensiblement affectées: on aura alors

Soi^ = Sol y

et, par suite,

^ oa^ = Sa,

Or, si nous posons la condition

a observé = ac -h ^«c »

cette condition se réduira, en vertu des équations précédentes, h

ce qu'il s'agissait de démontrer.

On tire de cette relation et du développement de a,

^'^^ ^ I fit 1.2 dt^ 1.2.3 dt"

Les calculs à effectuer consisteront donc dans le développement des excès en longitude et en latitude suivant les puissances du temps. Les valeurs de x étant exprimées d'abord en secondes, on devra multiplier les valeurs obtenues

de S -—^î S ~3T ' ' ' * ' P**" ^^^ ^"> ^^^ ^^ convertir les résultats en rapports

d'arc au rayon. Si, ayant pris le jour solaire moyen pour unité de temps,

on veut passer ensuite à l'unité qui donne /fx' =r i, il faudra diviser par A"*,

m étant Tordre de la dérivée dont on cherche la correction.

doL d^OL d^OL dQ

Les valeurs des corrections de a, -;-? —rr^ —rrf 6 et -r- étant ajoutées

dt dt^ dt^ dt ^

aux valeurs de ces quantités calculées suivant les indications du numéro précédent, on procédera au calcul des éléments corrigés, en appliquant les formules (27) , (28) et suivantes.

Nous devons faire remarquer l'avantage que présente notre mode de correction >, lorsque l'orbite qui sert de point de départ est peu approchée. Les méthodes de confection , dans lesquelles on développe certaines fonctions des éléments suivant les puissances et les produits de leurs accroissements, en se bornant aux termes du premier ordre, ne peuvent être rationnellement

employées que dans le cas où les termes des ordres supérieurs sont négligeables, ce qui exige que les corrections soient elles-mêmes très-petites : or ce n*est pas le cas actuel ; on est alors obligé de i*enoncer à Temploi de ces méthodes. Dans notre procédé , les corrections des dérivées se déduisent de rinterpolation , lors même que leurs valeurs primitives sont peu approchées. Le calcul, recommencé avec les valeurs corrigées, est plus court et plus exact que celui dans lequel on obtiendrait une première approximation avec des observations embrassant le même intervalle de temps; il est plus exact, puisque, dans la comparaison des observations avec les premiers éléments, on a tenu compte , au moins approximativement , des aberrations, parallaxes , termes lunaires, etc., que Ton était forcé de négliger d'abord.

Interpolation.

16. Les procédés que nous avons exposés jusqu'ici pour la détermination des éléments des orbites des planètes ou leur correction, reposent sur remploi de formules d'interpolation propres à donner, en fonctions du temps, les valeurs des longitudes et latitudes, ou l'expression des différences que présentent les observations comparées aux éphémérides. Nous avons dit, au n** i, comment le procédé d'interpolation indiqué par Laplace remplit mal le but de fournir des valeurs aussi approchées que possible des dérivées de la longitude et de la latitude. Nous avons dit également que, dans l'application de la méthode des moindres carrés à la détermination des coefficients des développements de ces quantités en séries ordonnées suivant les puissances du temps, on n'est guidé que par l'expérience dans le choix du nombre de termes à conserver. Les anciens procédés de résolution des équations de condition ne sauraient non plus être appliqués dans la circonstance actuelle; car les changements de signes qui y sont prescrits pour donner le même signe à-tous les coefficients d'une même inconnue et sommer ensuite les équations, ne fourniraient ici que deux équations distinctes. Pour ces diverses raisons , nous croyons devoir recommander l'emploi des formules d'interpolation de M. Cauchy.

La méthode d'interpolation de l'illustre géomètre a été exposée, en ce qu'elle a de fondamental, dans le Journal de M. Liouville; mais son auteur n'avait pas donné les formules au moyen desquelles, après avoir fait l'élimination des diverses inconnues, on parvient à déduire les valeurs de chacune d'elles. £n lisant un des Mémoires de M. Cauchy sur la détermination des orbites des planètes et des comètes, et fixant mon attention sur les procédés indiqués, Comptes rendus, tome XXV, page 409, pour obtenir les valeurs des inconnues, j'ai pu croire que M. Cauchy n'avait point établi de formules générales propres

à atteindre ce but. Frappé de Texistence de cette lacune, dans une théorie aussi importante, j*ai construit, de mon côté, les formules en question, et les ai présentées à Fauteur de la méthode. A Pinspection des formules , le savant académicien se rappela les avoir aussi obtenues et publiées, en i835, dans un Recueil de travaux mathématiques qui s^imprime à Prague.

La nécessité d'avoir sous la main Tensemble de ces formules, lorsqu^il s'agit de faire des applications, nous oblige à en présenter ici une démonstration succincte : nous suivrons la marche tracée dans le Journal de M. Liouville. Le développement prolongé des formules finales nous mettra dans Tobligation d'employer d'autres lettres pour désigner de certaines fonctions. Nous serons également obligés d'employer des mots particuliers, pour simplifier quelques énoncés relatifs à la manière dont on doit effectuer ou vérifier certaines sommes avec lesquelles se construisent les valeurs des inconnues.

Méthode d' interpolation de M. Cauchj.

17. L'objet principal de la méthode d'interpolation de M. Cauchy est la détermination des constantes, avec la plus grande exactitude possible, dans les équations qui lient entre elles les variables dépendantes et indépendantes, au moyen 'd'un nombre quelconque de systèmes donnés des valeurs de ces variables, généralement supérieur à celui des constantes.

Le problème peut être ramené à celui de la résolution des équations linéaires ou du premier degré , lorsque l'on possède d^ valeurs approchées des inconnues; c'est ce que nous supposerons. De cette manière, la méthode de M. Cauchy trouve son application dans toute question de mécanique , de physique , d'astronomie, etc., où l'on se propose, tout en partant de la théorie mathématique et des observations d'un phénomène, de fixer les constantes ou coefficients numériques des équations qui le définissent ou le représentent. Cette méthode peut dès lors être considérée comme étant l'une des bases essentielles de la partie de la science générale, que l'on nomme Mathématiques appliqiiécs^

Nous avons dit que le problème peut être ramené à la résolution des équations linéaires ( * ) . Soient , en effet : Ç , u, Ç , . . . , r des variables indépendantes ; «, i, r,... des constantes ou paramètres; et x, jr^ z. . . des fonctions des quantités précédentes: de sorte qu'en désignant par F, F,, Fj,. . * des fonctions de jt, /, z, . . .; «, ft, c, . . .; H, v, Ç, . . ., ^, l'on ait leséquations

(75) F=rO, F, 3:0, F2=:0,...,

en nombre égal à celui des fonctions jc, 7, z, . . . ; il pourra arriver que ces

(*) Si les équations à résoudre sont linéaires, on peut immédiatement passer au n® 18. Additions i852. î)

équations soient résolubles par rapport à x, y^ ^9 • • m auquel cas on en tirerait

(76) Jf=/, X^f^^ 2=:j^,...,

/> /!> ^> • • • > désignant des fonctions explicites des constantes a , A, c, . . . , et des variables indépendantes Ç, u, Ç, . . ., r.

Si , dans les équations (76), on considère les quantités j:, ^, 3, . . . , comme fournies parles observations , les valeurs approchées des constantes «, ^, r,. ., ne satisferont point généralement à ces équations; mais en faisant varier les constantes, de quantités inconnues «îa, Sb^ Se, . . ., et désignant par ^J" la variation correspondante de y, on posera Féquation

nue l'on mettra sous la forme

de sorte que le premier membre de celle-ci désignera l'excès de l'observa lion sur la valeur calculée de x; cet excès sera un nombre donné.

Les valeurs de S/, 5/1, S/2, . . ., étant supposées très- peti tes , et leurs développements réduits aux termes du premier ordre , on aura les équations

fia do de

Chaque système de valeurs x, j, z, . . . , Ç, u, Ç, . . ., /, donnera un pareil système d'équations linéaires.

En second lieu , supposons que Ton ne puisse obtenir les expressions analytiques de x, /, z, . . . , mais. que, néanmoins, étant données des valeurs approchées de n, ^, c,. . ., on soit parvenu, au moyen de tâtonnements, ii obtenir les valeurs correspondantes de x, ^, z, . . . , qui satisfont aux équations (75); ces quantités ne coïncideront pas, généralement, avec les valeurs observées. Mais en différentiant les équations (76) successivement par rapport aux constantes a, b, r,. . ., on obtiendra, pour chaque système de valeurs de x, j, «,..., les relations

d¥ dY dx df dy . ffl £E ^ —^ — .

da dx da dy da '" ' db dx db dy db "' '

(78) { ^ d¥,dx dYjdy df, dY^dx ç?F, ^ __ ^^

da dx da dy da " ^ db dx db dy db

X obs- — X cale. = -7-^«-+-jT^^-+-;:r"'^^"^~-">

dans lesquelles les premiers termes désignent les dérivées partielles des fonctions F, F, , . . . , prises par rapport aux constantes <t , ^, . . . , contenues explicitement dans ces fonctions. On en tirera les valeurs des dérivées par-

, I, dx dx dy dy

tielles — j — V j 'T'-i JTV"? etc.; et Ton aura, en procédant comme plus

haut, les équations suivantes, pour déterminer les inconnues Sa^Sb^ ^c,... :

dx ^ ^L ^"^

da db de

, . , /obs. — jcalc. =r-^^fl-f--j^(yô -h-^^c-h.. .,

(79) {'' -^ da db de '

dz dz dz

z obs. — z cale. '=z-—$a -\- —rSb -h -7- 8c -+-, . ,,

da do de

Les équations à résoudre peuvent donc généralement être ramenées à la forme linéaire.