Considérons Téquation

(80) X =aA-h bB-\- cC:+'dD-{-...^

dans laquelle a^ b, c, d,. . , désignent des constantes inconnues, et Â, fi, C, D,. . . des fonctions données d'un nombre quelconque de variables. Dans le cas oti les équations primitives du problème auront la forme (80) , y sera une fonction dont la valeur est censée fournie par l'observation ; et le problème consistera à déterminer les valeurs des constantes a , b, c , . . . , au moyen d'un grand nombre de systèmes donnes de valeurs de jr> A , B , C . . . .

Si la solution du problème est amenée à dépendre d'équations de la forme (77) ou {79) , la quantité y représentera ici l'excès de l'j observé sur

Vf calculé ; les fonctions A , B, C, . . . seront égales aux dérivées partielles — >

:^j-7-»''"5 tandis que a, ô, c,... désigneront les corrections Sa, do de

Sbf 9e,, . , . II importe de remarquer que, dans tous les cas , les erreurs des observations porteront sur les valeurs de jr. Ce que nous disons des fonctions y s'applique évidemment aux fonctions x, z, . . . .

Ceci posé, nous allons procéder à la résolution d'un système d'équations de la forme (80), d'après la méthode de M. Cauchy. Réduisons, pour un moment, le second membre à son premier terme, nous aurons

(81) x=:aA:

chaque système de valeurs de j et de A pourrait fournir une valeur de l'in-

connue a; mais, ù cause des erreurs des données, ces différentes valeurs ne seraient pas identiques. Pour employer toutes les données à la détermination de la valeur de a , multiplions chaque équation de la forme précédente , par un coefficient indéterminé fi particulier à chacune d^elles. En faisant la somme! de toutes les équations ainsi modifiées, et tirant ensuite la valeur de a, il viendra

Nous pouvons , sans altérer la valeur de a , supposer que l'on divise tous les facteurs k par celui d'entre eux qui a la plus grande valeur absolue, et laisser la lettre k pour designer le résultat de la division; la valeur maximum de k sera dès lors égale à Tunité.

Soient j' Terreur inconnue de j, et Y la véritable valeur de cette fonction , de sorte que Ton ait

la substitution de cette valeur donnera

__2XY ^ky' ^ — ÏTÂ"*" ikK '

le premier terme du second membre sera égal à la véritable valeur de «, et le second terme représentera Terreur de cette quantité calculée par la formule (82). Il s'agit de rendre ce second terme un minimum : on y parviendra , si Ton dispose des indéterminées k , de manière à rendre son dénominateur un maximum , et si les valeurs de k qui satisfont à cette condition rendent en même temps le numérateur un minimum. Or nous avons vu que Ton peut supposer le maximum de k égal à Tunité ; il est clair, dès lors, que le dénominateur atteindra son maximum, si Ton donne à /- le signe de A, afin que tous les termes prennent le même signe , et si , de plus , on donne au facteur k sa valeur absolue maximum , qui est l'unité. M. Cauchy démontre que cette circonstance tend à rendre le numérateur un minimum.

La^ théorie de la compensation des erreurs également possibles, ou des moyennes arithmétiques , va nous fournir une autre manière de nous rendre compte de ce résultat. En effet , la condition qui vient d'être trouvée pour le maximum du dénominateur, consiste à faire k égal à + i ou — i, suivant que la valeur correspondante de A est positive ou négative : désignons par /Vu y'-\ les valeurs de /' correspondantes aux valeurs positives et négatives de A; le numérateur ^kjr' pourra s'écrire Z/V» — 2j', , et se composera ainsi de deux groupes distincts de valeurs de r'. Or, si nous supposons que les valeurs x' ^^ chaque groupe soient assez nombreuses pour que leur jsomme algébrique approche d'être nulle par une compensation des

erreurs, il est visible qu'il n'en saurait généralement être ainsi, clans le cas où les y' seraient affectés de coefficients ayant des valeui*s inégales. Cette conclusion suppose qu'il n'existe aucune relation particulière entre les différentes valeurs de y\ Le facteur h doit donc être pris égal à =iz i , dans les sommes Z , suivant que les valeurs correspondantes de A seront positives ou négatives.

Afin de simplifier les énoncés, nous nommerons somme subordonnée à A, par exemple, une somme de valeurs correspondantes à des valeurs données de A, faite en changeant les signes de toutes celles qui répondent à des valeurs négatives de A : en désignant par S une semblable somme, on voit que SA se compose de la somme des valeurs absolues de la fonction A. Nous désignerons en outre la fonction A, qui règle les changements de signe à opérer dans les autres fonctions, par la dénomination de dominante. Dans ce qui va suivre, plusieurs fonctions joueront successivement le rôle de dominante; et pour éviter la confusion des notations , les sommes subordonnées à d'autres dominantes seront notées S', S", S'^', etc.

En vertu de ces conventions, l'équation (8?.) donnera

Avant d'aller plus loin , nous rappellerons que celte manière de procéder suppose les fonctions y affectées d'erreurs de même nature ou également possibles. Ainsi, en admettant que les équations en y soient assez nombreuses, on pourrait tirer de leur résolutiou, les valeurs des inconnues a, ^, c, .... Le même mode, appliqué à des fonctions ^, z, . . . , supposées d'une autre nature que y y donnerait autant de nouvelles valeurs de a, b,c,..., que Ton considérerait d'espèces distinctes de fondions j:, z,, . .; la concordance des valeurs des inconnues serait une preuve de l'exactitude de la théorie et de la précision des observations. £n astronomie , la fonction y pourrait désigner successivement les ascensions droites et les déclinaisons, ou leurs différences avec le calcul : les valeurs des inconnues seraient fournies, d'un côté, par les premières; de l'autre, parles secondes. Au lieu de chercher à obtenir deux systèmes dans ce cas, on peut traiter simultanément les équations exprimant les erreurs en ascension droite et en déclinaison , en multipliant celles en ascension droite par le cosinus de la déclinaison correspondante. De cette manière, on rend comparables les deux espèces d'erreurs, et Ton peut traiter simnltanément les équations qui se rapportent aux unes et aux autres. On voit que l'on s'écarterait de l'esprit de la méthode, si l'on se proposait d'embrasser, dans une opération unique, les fonctions ou erreurs de fonctions de nature différente, sans les avoir préalablement rendues compa-

rables, par Tintroduction de facteurs destines à remplir le même rôle que les poids , dans les équations où Ton n*envisage que des observations de même nature, mais de précision inégale. Nous pourrons donc, dans ce qui va suivre, supposer tous les termes de chaque équation de la forme (80) multipliés par de certains facteurs n! qui , dans les cas où les fonctions y seront d'une espèce unique , se réduiront aux poids des observations.

19. Sous les restrictions qui précèdent, nous allons poursuivre les calculs. Substituons la valeur (83) dans Texpression (81}; il viendra

Posons maintenant

puis désignons par £^y la correction que doit subir la valeur de y^ obtenue en ne tenant compte que du premier terme de la suite (80) , pour avoir égard aux termes qui le suivent ; nous aurons

(85) j-=aSr4-Aj.

11 s'agit actuellement de substituer aux équations de la forme (80) de nouvelles équations d'où l'inconnue a ait disparq , ou d'éliminer cette quantité. Pour cela , changeons de signe celles des équations de la forme (80) où le coefficient A serait négatif, et faisons leur somme; il viendra, en vertu des conventions établies relativement aux sommes subordonnées ,

(86) Sj = ^SA + èSB -f- cSC 4- ^SD -4-

Multiplions cette équation par a et retranchons membre à membre de l'équation (80] ; nous aurons

j — aSjf = û(A— aSA) -H Ô(B — «SB) + <?(C — aSC) 4- é?(D— aSD) -+-..••

Or le coefficient de a est nul en vertu de l'équation (84) , et Téquation (85) donne

(87) Aj = j^ — aSj;

si nous posons d'ailleurs

(88) AB = B — aSB, AC = C — aSC, AD =^ D — «SD,. . .,

la précédente deviendra

(89) A/=: ^AB4- cAC-+-rfAD-+- • ..,

de sorte que cha([ue équation en y sera remplacée par une équation telle que celle-ci , et contenant une inconnue de moins. li est bon de noter que A/ est l'excès de la valeur observée de j-, sur son expression limitée au premier terme du second membre de Féquation (80).

L'équation (89) étant de même forme que la proposée (80), on peut lui appliquer les mêmes raisonnements , ou se contenter d'en déduire , par comparaison , les résultats suivants :

Désignant par S' les sommes subordonnées à AB, on posera

d'où

(91) SV=^S'AB-h-rS'AC-}-«^S'AD4- ...; l'on aura ensuite

(92) A'^ = Aj — pS'A^, A'C = AC — pS'AC, A'D=:AD— pS'AD,...,

et les équations résultant de l'élimination de b seront de la forme

(93) A'jr = <^A'C -4- r/A'D -^

A'^ exprimera d'ailleurs l'excès de la valeur observée de y, sur son expression limitée aux deux premiers termes du deuxième membre de (80).

Procédant toujours de la même manière, et désignant par S'' les sommes subordonnées à A'C, on aura successivement

A3j= A'/ — yS^A'jr, A'D= A'D -- yS^A^D,. .,,

et, pour résultat de l'élimination de c,

équation dont le*premier membre exprime l'excès de la valeur observée de y, sur son expression limitée aux trois premiers termes du second membre de V équation (80).

On peut, de la sorte, éliminer toutes les inconnues, et l'on parviendra à

un reste A*y qui exprimera l'excès de chaque y observé, sur sa valeur donnée par le second membre de l'équation (80) supposé contenir v termes.

Au moyen des relations établies entre j et Aj, A/ et A'j, . . ., il est aisé, par de simples substitutions, de construire la valeur générale de y qui prend

la forme

(96) y = aSj + ps'A/ + y s''A'7 -h . . . -^ ^'y.

20. La nature particulière des sommes qui concourent aux résultats précédents offre de nombreuses vérifications numériques des différences A, À% A^,. . . ; ces vérifications reposent sur les deux propositions suivantes :

1°. Les sommes des quantités a, p, 7>-**> subordonnées aux fonctions qui forment les numérateurs de leurs expressions, sont toutes égales à Punité ;

2°. Les sommes des fonctions quelconques, subordonnées à des dominantes qui précèdent, dans l'ordre des calculs, celles auxquelles on doit les subordonner dans rapplication des formules ci-dessus, sont égales à zéro.

Pour reconnaître l'exactitude de la première proposition, il suffit de remarquer que les dénominateurs des quantités a, ^, 7, . . . , sont des sommes déterminées j considérant , par exemple ,

on aura

il en est de même, évidemment, pour toutes les autres fonctions de cette espèce. Donc

(97) Sa = i, S'p = i, S''7 = i,

Quant à la seconde proposition , nous trouverons d'abord , en vertu de réquation (87) ,

S A j =:Sj — SjSa = Sj(i — Sa) = o; on a donc

(98) SAj = o, SAB = o, SAC = o, SaD = o,..,.

Poursuivant,

cfi SAB Sfi= -7—- = o, '^ S'A B *

d'oà

SA^^ = o, SA^C=:o, SA^D = o,

En vertu de ces relations, il vient encore

87 = 0, SA3j = o, SA=»D=o,..., etc.

Considérons les sommes S', nous aurons

S'ay = S'Ar - S'A/S'p = S'Aj(ï — S'p) = o,

et, généralement,

puis ensuite

S'7 = o, S'A*^ — o, S'A*D = o,. . .5 etc.

Les sommes S'' conduiraient à

(100) S"A3^ = o, S"A^D = o,. ..; etc.

La seconde proposition est donc démontrée.

Les vérifications fournies par la première proposition ne servent guère

lorsqu'on emploie les logarithmes, attendu qu'elles exigeraient le passage aux

nombres, et pour cet objet seulement ; d'ailleurs, il est plus commode de ne

pas faire usage des facteurs a, p, 7, . . . . Ayant , par exemple, à calculer les

termes — aSj^, — a SB, — aSC, — aSD, ...,on partira du logarithme

Sr de A, auquel on ajoutera celui de — -^^ au résultat, on ajoutera le loga-

rithme de — : en ajoutant de la même manière les logarithmes des facteurs

se SD

on' 077' on fera dépendre le logarithme du dernier terme, de tous ceux qui

le précèdent, de sorte qu'en calculant ensuite ce dernier terme directement

SD par son expression — A— ? et comparant, on vérifiera l'ensemble des loga-

rithmes de tous les autres.

Les vérifications fournies par la seconde proposition sont d'un usage trèscommode : lorsqu'en suivant l'ordre des calculs, on est sur le point de subordonner une somme par rapport à une certaine dominante, il convient d'effectuer préalablement, au moyen de la fonction que Ton considère , une somme subordonnée à la dominante qui précède immédiatement. De cette manière, il est presque impossible qu'il se glisse des erreurs, sans que l'on s'en aperçoive sur-le-champ. Si Ton n'est pas suffisamment rassuré par cette épreuve, on peut subordonner à d'autres dominantes précédentes.

Si. Les résultais présentés dans les n^' 18, 19 et 20 renferment à peu près l'exposé de la méthode de M. Cauchy, inséré dans le Journal de M. Liouville. Il reste à construire les valeurs des inconnues, au moyen des sommes subordonnées qui viennent d'être obtenues.

Keporlons-nous aux équations (88), et posons, pour plus de symétrie,

(«01) l = aoSA,

et pourra être considérée comme fournissant des valeurs su de la fonction/, lorsque ces valeurs seront renfermées dans 1 nées ; mais elle ne pourrait être employée avec sécurité ho Néanmoins, il est utile, dans beaucoup de cas, de donner à une forme telle, que, tout en conservant la propriété de repréi données, elle puisse encore représenter des valeurs de la fonc de celles-ci. On y parvient en exprimant les coefficients a fonctions de ceux des coefficients qu'il est impossible de déter des données. Ces derniers restent indéterminés; mais leurs v être fixées ensuite , par la condition de satisfaire à de certaines allons procéder à la construction des coefficients a, ^, c, . . . , d'une partie de ces mêmes coefficients. Les formules établies un cas particulier, montreront suffisamment comment il faudra! pour qu'elles conviennent à tout autre cas.

Supposons , par exemple , que la série des b^y ne manifeste que les signes de ces restes présentent de nombreuses alternances leurs valeurs absolues soient de Tordre de grandeur des erreurs Nous ferons v = 3 ; les coefficients de A , B , C , . . . , dans l'équ seront limités aux termes en S" A'j , de sorte que , en les désig ^0 > ^0 > ils auront pour expressions

SD aE =

S' AD ^^ S'-A'D ^ t

rtir ve

rifier

Co = 7>S"A»r.

D'un autre côte, nous avons trouvé, équation (gS),

Cette équation présente, entre les données et les indéterminées r/, une relation propre à fournir des limites de celles-ci. Il faudra, ei qu'étant appliquée à chacun des restes A^j, elle ne donne pas lieu à férence entre ses deux membres , qui excède les erreurs des observatiol Il s'agit maintenant de transformer le second membre de Péquation pour cela, remontons aux développements de AD et A'D, obtenus àa numéro précédent : en les étendant à A^D, on aurait

A'D=:D — aoASD — (PoA + p,B)S'AD— .(7.A4-7,B + r^C)S"A»:

on trouverait, pareillement,

A'E = E — a„ASE — (poA-f.p,B)S'AE-^(7oA4-7,B-4-7,C)S"A'Eî etc.

W\ce :

lo.S'"

>on(

.ch)-.

S'ûD S"4"D

4E = E — «SE A'E=r 4E — pS'4E ù'E = ù'E — yS'a'B 4*E = A'E— JS"i^E

r vérifier l'exactitude des Taleurs aï

c rfc dèrivatinn.

tralears de A que des aulres.fonclloni

I ainii du resle. La fonclion A. est dite

ml bui valeurs nulles d« le âominanle.

Connais

Ayant substitué ces valeurs dans rexpression (no), et ordonné par rapport à A , B , C ; si Ton pose ensuite

rt, = (ao SD -H Po S'AD -h 7. S"A» D) d -h (aoSE + PoS'AE H- 7pS"A»E)«

b,z= (p,S'AD-4-7,S"A»D)rf

(ïii) ( H-(p,S'AE4-7,S"A»E)ff

c, = 7,S"A'D.rf

H-7,S''A»E.tf

îl viendra

A3j=: — «,A — ^,B — c,C-f-û?D-hffE-f-...,

et la valeur (io8) de y prendra la forme

X =(/3r, — a,)A-h(^o— ^.)B-+-(co--c,)C-h^/D4-tfE-+-

Enfin , la comparaison de cette expression avec la proposée (8o) donne (112) a =z a^ — «, , b = bo — ô| , c = Cq — c,.

Les valeurs des coefficients a^ b, c sont y comme on le voit, formées des parties connues ao, ^09 c^ (109), et des parties indéterminées provenant des termes en £^, e, , ., qui constituent les valeurs de ai , 6| , Ci (i 1 1).

L'inspection des fprmules (109) et (i 11) relatives à v = 3, montre suffisamment comment on formerait les quantités a^, ^^ , Cq ,. .., dans le cas où v aurait une valeur différente. Ces coefficients seraient d*abord en nombre égal à l'indice V de la série des différences A^y où commencent à se manifester l'absence de toute loi et les alternances de signe : le premier d'entre eux serait formé d'un nombre de termes aussi égal à v, et les autres en dériveraient, suivant le mode indiqué par les équations (109). Quant aux coefficients a, , 6, , C| , . . . , les équations*(i 1 1) montrent qu'ils se déduiront de a^y bo, Co,* , ., en changeant successivement dans ces derniers , ^ en H , I , K , . . . , et affectant chacun des résultats ainsi obtenus, des facteurs A, 2, ^ , . . . ; ces dernières quantités désignant d'ailleurs celles qui viennent après les v premières de la série fl, ft, c,. . . .

Les formules (109) , (i 10) , (i 1 1) et (i 12) nous ont été d'un gr(ind secours dans nos recherches sur les étoiles doubles.

23. ;Nous allons maintenant présenter, en un tableau , les formules obtenues dans les numéros précédents , et qui résument la méthode d'interpolation de M. Cauchy.

Application de la méthode d'interpolation de M. Cauchj-, au développement des longitude et latitude géocentriques suivant les puissances du temps.

24. Les fonctions 7-, A,B,G,...» sont, avons-nous dit, des fonctions quelconques d'une ou plusieurs variables. Dans le problème astronomique dont nous nous occupons, ces quantités sont des fonctions d'une variable unique, le temps; la première de ces fonctions représente la longitude ou la latitude, les autres désignent les puissances ascendantes du temps. Kn effets la forme du développement de la longitude ou de la latitude est

(11 3) j ==« -f- bt -hcr-h dt"" -i- et* -{- . . .;

il s'ensuit que l'on a

(ii4) A = i, B = f, C = /% jyz=t\ E==t%

Il n'y aurait aucun avantage à substituer les quantités f, r% /% f%. . ., à la place de B, C, D, E,..., dans les formules du tableau précédent. Les exposants de t, mis en présence des indices des sommes S et des différences A, auraient pour effet de rendre les formules plus difficiles à lire , et n'apporteraient, du reste, aucune simplification au calcul numérique.

Lorsqu'on suppose généralement le développement de / ordonné suivant les puissances d'une seule variable, comme nous le faisons ici , il se présente une circonstance dans laquelle les formules du tableau précédent, qui se rapportent uniquement à la variable ou sont indépendantes de^, peuvent être réduites en Tables numériques calculées une fois pour toutes. Cette circonstance a lieu lorsque les valeurs données de la variable sont équidifférentes. Dans le cas où elles sont en nombre impair, on peut prendre pour origine de cette variable le milieu de ses valeurs extrêmes; et si l'on substitue à l'unité qui lui sert de mesure , l'intervalle qui sépare ses diverses valeurs, on n'a besoin de calculer ces Tables, que pour des nombres de données, égaux à 3, 5, 7^ 9, etc. On calculerait également des Tables pour le cas de nombres pairs.

Ces Tables étant ainsi préparées , le seul calcul que l'on aurait à effectuer serait celui des différences A7, à^f , . . . , et des sommes S/, S' A jr, S'^A^jr . . . , au moyen de quoi les valeurs des inconnues s'obtiendraient immédiatement.

M. Cauchy a présenté l'exemple d'un tableau de cette espèce, pour le cas de cinq valeurs équidistantes de la variable , mais il n'a point donné les valeurs numériques des coefficients a« ; p«, p,; 70, 71 , 72 ; . . . .

Le choix de l'époque à laquelle se rapportent les calculs, et l'emploi d'observations également espacées ou réduites à l'équidistance, ne sont point indif-

féi'enls. Nous ne pouvons mieux faire, à cet égard, que de renvoyer aux intéressantes propositions que M. Cauchy a émises sur ce sujet.

Il nous reste maintenant à dire quelques mots sur la manière d^appHquer les formules du numéro précédent , lorsqu'on veut avoir égard au poids des observations. Il va sans dire que , si les observations peuvent être réputées également bonnes, leur poids sera proportionnel au nombre des observations élémentaires qui concourent à leur formation. Quoi qu'il en soit, si l'on désigne les poids par /i', il suffira de remplacer, dans le développement de y suivant les puissances du temps , y par n!y^ et de poser d'ailleurs

(ii5) A = /i', B = /t'f, C = /z'r% D = /2'/', E = /i'/S

Dans le cas où il s'agirait d'opérer le développement des différences observées

de y avec les valeurs calculées, on emploierait ces différences à la place de j*.

Les formules du n° 25 s'appliqueront au calcul des inconnues a, 6, c, ...;

seulement , il ne faudra pas perdre de vue que , tH^ y remplaçant n'ù^y^ il

faudra, pour se rendre compte de l'ordre de grandeur des restes A''/, diviser ces restes par les valeurs de n' qui leur correspondent.

Il est visible enfin que, si l'on substitue les valeurs (i i5) et n' y à la place de j, dans Téqualion (8o), tous les termes deviendront divisibles par «', et )e résultat aura la forme demandée (i i3].

L'introduction des poids fait perdre l'avantage que présentent les tableaux calculés à l'avance.

Résumé des formules propres à la détermination des éléments des orbites des planètes.

Calcul des éléments approchés.

Î^S. Remarques préliminaires. — Nous supposons que l'on ne possède aucune donnée sur les distances de la planète à la Terre aux époques des observations. Dans cette circonstance , il est impossible de corriger celles-ci des effets de la parallaxe et de l'aberration. Il est également impossible de les réduire au centre de gravité de la Terre et de la Lune, comme l'exigerait l'application rigoureuse de nos formules. L'aberration varie d'une manière régulière et peu rapide, ailleurs que dans le voisinage des stations. La parai-* îaxe, au contraire, varie irrégulièrement, à raison du lieu et de l'heure des' observations ; mais ses irrégularités sont ordinairement peu considérables , attendu que, dans le cas d'une nouvelle planète. Ton ne fait usage que de" lK)sitions obtenues dans des observatoires peu éloignés en latitude , et que sï

les observations sont extra-méridiennes , les heures locales des observations sont peu différentes ou varient avec une certaine régularité. Le plus ordinairement, les variations de parallaxe des nouvelles petites planètes ne présentent pas d'irrégularités provenant de ces circonstances, qui excèdent i".

Considérons maintenant Teffet des perturbations lunaires. En nous aidant de la figure du n° 15 , où P désigne le lieu de la planète, et P» sa projection sur récliptique , nous trouverons aisément , pour expressions des quantités qu*il faudrait ajouter aux observations , afin de les ramener au centre de gravité de la Terre et de la Lune , les corrections

/w, 8^58 cosA sin(^ — a)

m -\- m^ smP cosQ A

nix 8", 58 cos sin A — sin cos A cos ((^ — a )

m! -\- nii sinP A

Pour apprécier l'ordre de grandeur de ces corrections , soit -— J == ^

et P = 57' 3o" : il viendra à peu près — ; — ^ — / ^ == 5",q; et en sup- ' ^ ^ m' -^ my smP ^ ^

posant A = 1,3, valeur qui n'est pas la plus faible possible, on voit que la valeur absolue de — Bol peut atteindre 4",^* Quant à celle de — ^G, elle pourra être, dans les cas ordinaires , de l'ordre de grandeur du dixième de la précédente. Ces corrections passent du minimum au maximum dans un intervalle de quatorze jours environ, l'amplitude des variations de la première étant de 9" à peu près. Il sera donc difficile, sinon impossible, de représenter ces variations , dans des séries ordonnées suivant les puissances du temps et comprenant quinze à vingt jours, sans employer un grand nombre de termes. D'ailleurs , il serait contraire au but que nous nous proposons, de chercher à représenter ces termes, dont les séries devraient en toute rigueur être dépouillées. On pourra donc, si l'on se borne à un petit nombre de termes, comme cinq ou six , s'attendre à ce que les erreurs du développement de la longitude s'élèvent à 3" ou 4"> indépendamment des erreurs des observations, ou, en ayant égard à celles-ci, à &" ou «j" dans certains cas. Le développement de la latitude pourra évidemment présenter, à cause des erreurs des observations, des discordances s' élevant à 3" ou 4"* Tel était l'objet principal de cette discussion.

26. Nous supposerons que Ton dispose d'un certain nombre d'observations à peu près également espacées s'il est possible.

On retranchera des longitudes les valeurs correspondantes de la nutation, en sorte que chaque longitude se trouve rapportée à Téquinoxe moyen; et l'on prendra, pour origine du temps, une époque qui pourra être celle d'une ob-

^rvation vôisioe du milieu de l'intervalle de temps embrassé par les observations , on mieux encore l'époque moyenne de celles-ci.

Si l'on veut avoir égard au poids n' des observations , on posera successivement pour c^iacnne d'elles ,

(il) r = '«'«» r = '»'®>

suivant que Ton considérera les longitudes ou les latitudes. (Ces quantités peuvent, sans inconvénient, rester exprimées en d^rés, minutes et secondes.) Puis, en désignant par t le produit du nombre de jours comptés de l'époque choisie , par la constante k ,

(m) log A = 8,235 5821,

on posera encore, pour chaque observation ,

(Dans le cas où Ton n'aurait pas égard aux poids, on ferait ici /i' = i.)

Avec ces nombres , on procédera au calcul des sommes subordonnées^ suivant les formules du tableau du n® 83. Les calculs relatifs aux longitudes devront être poussés jusqu'à un indice v des différences A^, tel que la valeur

maximum absolue de L'y soit au-dessous de n'.&' à n\ ^'', ou simplement 6'' à 7" si l'on n'a pas égard aux poids; ceci suppose que l'intervalle qui sépare les observations extrêmes sera d'au moins quinze jours. Dans les calculs relatifs à la série des latitudes , on poursuivra jusqu'à ce que les erreurs restantes n'excèdent pas la moitié des précédentes. Cela fait , les formules qui viennent ensuite dans le tableau feront connaître les coefHcients ag*, ^o» ^i» 7«9 7i9 739 • • -9 qui sont communs aux deux développements; et, au moyen de ces coefficients , les dernières formules du tableau permettront de calculer les coefficients a^ b, c^ d, e, . , », du développement des séries de la longitude et de la latitude.

Dans tous les calculs suivants , on choisira pour époque t Toriginc du

temps, c'est-à-dire que Ton fera

Considérons tout d'abord les valeurs de la longitude et de ses dérivées à cette époque. Nous pourrons, afin de simplifier les calculs relatifs aux coordonnées terrestres, prendre pour équinoxe ^xe, Téquinoxe vrai de celte même époque, et nous aurons

(iv) OL = a -{- nutatioii ,

puis ensuite

— = b — précession pendant l'unité de temps .

Or l'unité de temps est /• jours solaires moyens; d'un autre côté , les coeffî- Additions i852. 10

rients by r^ d, e, , . .j étant supposés exprimes en secondes de degré , doivent actuellement être convertis en nombres abstraits ou multipliés par sin i''. Ayant opéré cette conversion, on aura, pour les l<Higitudes,

et, pareillement, pour les latitudes,

/ N « dB , d^

(VI) B = a, -=6, ^=2c.

27. En vertu du choix adopté de l'unité de temps, on aura, dans toutes les formules suivantes ,

(vil) //=!, IogV7= 9.999 9994,

Maintenant , on tirera des éphémérides la longitude et le rayon vecteur terrestres que Ton corrigera de l'aberration, s'ils en sont affectés ; on pourra, en outre, si Ton y tient , les corriger des perturbations lunaires , par les formules

(vin)

-^*=-|sin(C-0), -(îlogR = -^cos(C~0).

L'usage bien entendu de ces formules exige que Ton se serve des valeurs de a, et a\ correspondantes aux valeurs du rapport des masses de la Lune et de la Terre, employé dans la construction des éphémérides. Voici les logarithmes de ces facteurs :

Masse de la Lune r i

Masse de la Terre 68,4 ^

log^i, 4>4^64, 4 9^^^^ y

log< 8,7298^, 8,6317.

Ayant corrigé J de l'effet de l'aberration et du terme — 5 J des formules précédentes, on corrigera aussi la longitude du Soleil de cette dernière quantité. Il faudra alors chercher dans les Tables les époques correspondantes à O — ^ i + 90"» calculer ensuite le mouvement du point équinoxial entre l'époque donnée et chacune de celles-ci , puis augmenter les 90 degrés de ce déplacement. On calculera enfin, pour ces deux époques, les perturbations lunaires ^^1 et ^^', au moyen de quoi l'on obtiendra deux longitudes solaires «apparentes égales à

O — ^i — (90° -f- mouvement du point équinoxial) 4- ^ J 1, O — ^$ -h (90° H- mouvement du point équinoxial) -f- 5 J '.

(Nous négligeons ici la variation de rabcrration.)

Les Tables donneront les valeurs des logarithmes des rayons vecteurs terrestres correspondants, et on leur appliquera les corrections — (^logR données par la seconde formule (viii), puis les corrections d'aberration s'il y a lieu. On aura ainsi les logarithmes des rayons vecteurs que nous avons désignés par Ri et R'; celui qui correspond à Tépoque r = o étant spécialement désigné par R.

Les dérivées de la longitude et du rayon vecteur terrestre seront alors

^ ' dt K' Vr' + R,' A~^2R'R.(R'H-Il,)' -

Quoique ces formules ne tiennent pas compte des corrections que nécessiteraient les perturbations, elles donnent des résultats extrêmement peu différents de ceux que fournissent les méthodes d'interpolation appliquées aux positions du Soleil, tirées des Tables et corrigées par les formules (viii).

28. Maintenant, on peut, sans qu'il soit nécessaire de prendre aucune précaution particulière , procéder au calcul des expressions suivantes :

' ?-$-«> HT-'di-dF'

D' = - (/f*)' R^ sin' ? cos Ç ;

^ do?

C"=-3/,R»s,nÇi / J

^ ^\2C0S»ÔR^ didt)

3 (/fx)^R'sin^g