i3) t)=:(2tangn-i)— -f-^tangX;^— --tangX-r^-4-X
di dt
dt
Cette équation , en y tenant compte de la valeur ci-dessus de 3 ^ , et l'équation (i i), sont celles qu'il s'agissait de former.
4. Nous allons maintenant résoudre ces équations. Pour cela , éliminons
d'abord -j-^t en ajoutant membre à membre les équations (lo) et (i3) ; il
viendra
(i4) (4tangn-i) — +-tang>^-H-smn — 4-X=o.
D'un autre côté, après avoir éliminé /x de l'équation (ii) par la seconde équation (9), on tire
' 3-î TT
Posons
^ X 1 / 1//» flgr de^ __a ^
d^p dp da}
" Sô^ d^p p di '
la précédente donnera
(iSbis) '^^ ^'
<ff tang >
Nous remarquerons de suite que les expressions 3 /- et 3 k' ne renfennent que des quantités connues.
Portons la valeur que nous venons de former de — ? dans l'équation (i4)y
, . tâng^> , , , , ."
et écrivons — — ■ à la place de sm'X, nous aurons
I H- tang* X ^ '
4tangn-i^,^^6^^ tangn ^ ^ ^. ^ ^^
tang' X p dt n- tang* X dt*
Faisant disparaître les dénominateurs et ordonnant par rapport à tang'X ; il vient
/4^'»+6-^ + ^Vx)tang«X + (3A-'^ + 6-^ + >î-)tang»^
Enfin , posant
». da}
il vient finalement
(17) Q' tang* X -f- Q tang' X — k'' = o.
Telle est Téquation qui fera connaître > ; -;- se déduira ensuite de Tune des
équations {i4) ou (i5 bis), La seconde équation {9) donnera p. Nous ne
a irons nen de --— dont nous n avons j)as besoin.
Pour discuter l'équation précédente , il est indispensable de connaître le signe de Q'. Nous allons voir que , d'après la nature de la question , Q' est nécessairement positif. Pour cela, substituons dans l'équation (i4), à la place
de tangX ^, la quantité /', équation (i5 bis)-, il viendra
,.,. dV k'dù do" flfx} ,^
d'où Ton lire, en vertu des équations (16) ,
(18) Q' := + cos^ > -r- ;
^ ^ ^ dt^ dt-
c'est le carré de ta vitesse angulaire du rayon vecteur. Q' est doâc nécessairement une quantité positive. Notons en passant que l'équation (18) pourra être plus propre à fournir la
valeur de — que l'équation (16); celle-ci serait toutefois indispensable pour
donner le signe de — •
Q' étant positif, tandis que le terme connu de l'équation (17) est négatif; cette équation , considérée comme du deuxième degré en tang' \ , a nécessairement ses racines réelles et de signes contraires. Ortang'X devant être positif 9 on voit que cette quantité n'est susceptible que d'une valeur unique. La résolution de l'équation (17) donne, en se bornant à la racine positive,
( ' 9) ^ang» \ = r± '^ )i.
L'angle X est compris entre -h 90° et — 90°. L'équation précédente donne deux valeurs égales et de signes contraires pour cet angle; cela tient à ce que la projection du rayon vecteur que nous observons est la même lorsque l'angle X est positif et lorsqu'il est négatif : le choix, reste donc arbitraire. Le changement de signe de X donnerait une orbite symétrique, par rapport au plan de projection, avec celle que donne le signe opposé.
i5. Connaissant X et -— ^ il est facile de calculer les éléments de l'orbite^
dt
En désignant par G, G', G'' les constantes des aires , on a
„, dm dz
dt dt
tr ■=zx— r— —
dt -^ dt
La valeur des seconds membres de ces équations étant formée au moyen des équations (6) et (7) , si l'on divise tout par p% et que i*on pose
\ ^ t p» p» pî
il viendra
, dt da.
S = sm a — cos a tans X -7- »
cos'X ® dt
dt don.
S' = — cosa — -r — sina tangX-;-?
cos^ ° dt
dcL
Stf __^ ***
dt On en déduit la longitude du nœud ascendant Q, par la formule
(^0 tanggî=-g;,
en ayant le soin de prendre Q de manière que son sinus ait le signe de S.
L'inclinaison I, supposée comprise entre o et 180 degrés, se tire de l'une des formules suivantes :
(22) tang I = i__^ — =
S" S" sin ft S'' cos ft
Soient : A le demi-grand axe, et n le demi-paramètre; on a la formule
ou , en vertu des équations (19 his) ,
on bien encore
En substituant dans cette équation les valeurs (20) , on obtient l'expression de — sous une autre forme , ce qui donne un moyen de vérifier les calculs
numériques.
On en déduit immédiatement
n I dt''
p cos* X
ou , en vertu de Téquation (18),
p cos > cos^ X puis, en ayant égard à la seconde équation (9), et observant que 0=: a-cosX,
{24) - = - cos X = -^ r- •
^ ^^ r p da' I ^^p
dF p'dF
On a maintenant , pour calculer le demi-grand axe , Téquation des forces vives
ds' df
dans laquelle ds exprime l'arc élémentaire parcouru pendant le temps dt,
"ds^ L'expression de — peut être formée, soit au moyen des coordonnées,
polaires, soit nu moyen des coordonnées rectangulaires: en faisant usag(^^ des premières , et p désignant la longitude dans l'orbite, on a
ds"^ dv^ dr'^
mais
di>^ d\' , doL^
r//^ dt"" dt^ ^^
en vertu de Téquation (18). D'un autre côté, la quatrième équation (7), en
Ces équations donnent, par division, tangV; et Ton en conclnt V sans ambiguïté , les signes de sin V et de cos Y étant ceux de leurs seconds meinbres. L'excentricité E en résulte : la valeur obtenue de cette quantité peut servir utilement de vérification à celle qu'aura fournie l'équation (26^ , ou I lui être préférée , si la première se trouve mal déterminée.
Il ne sera peut-être pas hors de propos de montrer la concordance des équations (26) et (27).
Reprenons l'équation (26)
r A cos A
Substituons-y les expressions (24) et (25), nous aurons
dt
D'autre part , élevons au carré les deux membres des équations (27), et ajoutons, il viendra
\dt'' p df" )
\dÔ p dr )
et Ton aura
En substituant la valeur (24) de -9 il vient
dot? * ^'p I ^«' 1 rf'p
comme ci-dessus.
Maintenant , nous avons à déduii^le moyen mouvement ]N. INous partirons de la formule connue
(27 hU) A=» N» = pi ,
dans laquelle N est supposé exprimé en nombres abstraits. On en tire
a COS^X
A' ^ f \Acos> d'où , par ta seconde équation (9) ,
Pour faire usage de celte formule , la quantité ^ peut être tirée de
l'équation (sS), et être employée si elle n'est pas trop mal déterminée. Autrement, ayant déduit £ des équations (27) , on se servirait de l'équation (26), mise sous la forme suivante :
AcosX n
Le moyen mouvement, l'excentricité et l'anomalie vraie étant calculés, on aura aisément l'époque du passage au périhélie , ou l'anomalie moyenne , par les formules bien connues
Nr + e — m-=z u — Esmti,
N (^ — t) = « — E sin u.
Dans ces formules , u désigne l'anomalie excentrique , s — xs l'anomalie moyenne de l'époque , et r l'époque du passage au périhélie. L'origine du temps, dans la deuxième, est comptée à partir de l'époque; dans la troisième , elle est quelconque.
On peut obtenir une vérification , en se servant de la formule également connue
r 1 —- sin u
qui donne, en vertu de l'équation (26), (3i) -sina — i/i — E*sin V= o.
La durée de la révolution se déduit de la valeur de N , et l'on a
(3iM T = ^.
7. En désignant toujours par p la longitude dite dans rorbitr, par tr ia longitude du périhélie comptée de la même manière ; les distances du satellite et du périhélie au nœud ascendant seront p — Q et cr — Q 9 de sorte que Ton aura
On calculera v — Q par la formule
,3,, ».,,Q,=!:îi^zO),
en ayant soin de prendre v — Q , de sorte que son cosinus ait le signe de cos (a — Q) : le dernier élément à déterminer, la distance du périhélie au nœud, s'en déduira, à Taide de la relation
Les formules suivantes fourniront utilement des vérifications,
/3 /v I *ang ^ = sin (a — Q) tang I ,
I sin ^ = sin (p — Q) sin I .
Enfin, si Ton connaît la parallaxe m', on aura, par l'équation (4), le rapport de la somme des masses des deux étoiles à celles réunies du Soleil et de la
Terre ,
Cette équation donne , à cause de l'équation (27 bis) ,
on peut la mettre sous une autre forme en introduisant les durées des révolutions à la place des moyens mouvements; en effet. Ton a
ce qui donne
Relations entre les dérivées de i angle déposition et celles de la distance,
8. Nous avons dit que nous considérions les quantités <x > p et leurs dérivées comme étant fournies par Tobservation ; ajoutons que toute la difficulté du problème se trouve réduite à la détermination de ces quantités. Nous sommes
obligés «l'avoir recours à Tinterpolation pour les obtenir, et nous considérons la méthode proposée par M. Cauchy comme très-utilement applicable dans le cas actuel; mais, pour mieux faire comprendre le parti que Ton en peut tirer, il convient de présenter certaines relations fort importantes qui existent entre les dérivées de Tangle de position et celles de la distance.
A cet effet , supposons que Ton représente par des séries ordonnées, suivant les puissances du temps, les angles de position et les distances, ou que l'on pose
a = a -{- bt -h ct^ -h dt^ -h et* -^ fi^ H- g^r« -h . . . ,
Nous avons trouvé, entre les données de l'observation, une équation de
condition exprimant que la projection des aires décrites par unité de temps
est constante. C'est la première équation (9). Divisons ses deux membres
par 2 , elle deviendra
,«^. dp dot I d^a
dt dt
dt'
Il faut que les dérivées de a et de p, tirées des équations (35) , satisfassent à cette dernière. Différentiant ces équations, on a
doL Ht
dp dt
Z'dF
= * -+-2cf -4- 3dt' -h iet^ 4- 5/t* -\-6gt^-h . .-,
= <? -h 3dt-h6€t^ -h loft^ H- iSgt* -f-
En effectuant les produits indiqués dans le second membre de Inéquation (36), il vient
t'-h Sb'f
