rf'c

-f- gd'd

-h 5fb

-p— rr = a c4-3a'tf

r^H- loa'f

t^-h iSa'g

■^Zb'd

-hiob'f

+ Zd'd

Additions i852.

Si nous ajoutons les seconds membres de ces équations et que nous les égalions k zéro , en vertu de Téquation (36) , nous aurons une relation qui devra être satisfaite quelle que soit la valeur de /; il en résulte que les coefficients des diverses puissances de t doivent être séparément nuls. On a donc les conditions suivantes :

o = fl'c -h b'by

o= 6a'e-j- %b'd-Jr 5f'c -f- Zd'b,

oz= loa'f -h lob^e -+■ ^c^d-h 7</'c 4-4^'^»

o= i5fl'^-f- i5b'/-h i4^'^-H larf'rf-f-g^'c -\-Sfb^

La composition littérale <ies termes de ces équations est facile à saisir; quant à la loi des coefficients numériques , elle est aussi très-simple. En considérant la succession de ces derniers dans le sens vertical, on passe des coefficients de la première équation à ceux de la deuxième, en ajoutant deux unités à ceux de la première, et supposant d'ailleurs le second membre de celle-ci suivi d'un terme dont le coefficient soit égal à zéro. Les coefficients de la troisième équation se forment en ajoutant, de la même manière, trois unités à ceux de la deuxième. On forme les coefficients de la quatrième ^ ajoutant quatre unités aux coefficients de la troisième, et ainsi de suite.

Considérons maintenant spécialement les valeurs des dérivées de a et de p à Torigine du temps; nous aurons

, doL I d^a . I d^oc l rf*«

rt = a, 0=.—'^ r = T— 5 d =1 — — 5 c z=. — 7— rr'*"''

dt 1 . 2 r//' I . 2 . 3 rf/^ 1.2.3.4^^

'' di 1.2 dt' 1.2.3 di' i.2.3.4c^^

Quoique les équations (37) soient des relations entre les valeurs des dérivées de a et de p à l'origine du temps , en vertu des équations (38) , il ne s'ensuit pas que ces relations soient aussi limitées , car l'origine du temps est arbitraire. Elles ont donc encore lieu lorsque les quantités «, by c,. . . , a\ b\ c', . . . , sont supposées représenter les valeurs de a, p et de leurs dérivées à une époque quelconque.

Posons maintenant, pour simplifier,

^ ^' a' a' rt' a'

les équations (38) donneront

"^^ ^ p dt p df p dt^ ^ p dt*

et les équations (87) se changeront en

0= c-h b''b, 0= 3rf+ 3^"c-h 2C"^, 0= 6e-h 6b''d-h 5c"c-f- 3rf"6, ^^'^ ^ o = io/-hio6"e-h 9c"rf4- •3rf"c-f.4c"6,

o = iSg' -h 15^/+ \^c"e-^ iiid''d-h 9^"c 4- 5/"*,

Les expressions (4o) vont nous permettre de donner une forme plus simple à plusieurs des fonctions que nous avons employées. Il vient d'abord

^^ ' de p de '

et, en vertu des équations (9) et (10 bis)^

Maintenant, Féquation (12) donne, en divisant par p le nunïérateur et le dénominateur du premier terme de son second membre,

Zh=T-^ yAitLc" -^^b'^c" -^ ^1b^b"^)^\'^b"^ — i^^' .

En réduisant au même dénominateur, et divisant par-3, il vient

Transformons de même l'équation (i5), nous aurons

3^' = rr^ ' i&d" -^^b'b")--:tb\

et , finalement , toutes réductions faites ,

(45) *'=^^-i^,[2rf" + i6"(6' + 4c")]- .

L>es équations (16) donneront de même

On aura entoir

[An: /' 4- -.-j. = /'-+-/>'.

9. Nous avons vu comment la détermination de tang>, — et, par suite^

celle des éléments, dépend des fonctions X-, X-^ Q, Q'. Nous remarquerons, en outre , que ces fonctions ne contiennent d'autres coefficients du développement de a, que le coefficient b, La constante a ou a entre dans les fonctions S, S' et dans le second membre de Téquation (32) , de sorte que deux positions trèsvoisines suffiraient, à la rigueur, pour déterminer a et 6; mais les coefficients du développement de p ou leurs équivalents b", c\ etc., vont jusqu a e ou e!' , Il faudrait donc de même cinq observations de distances pour les ' déterminer.

Ainsi , il semble que nos formules ne sont applicables qu*au cas où les données seraient deux angles de position et cinq distances au moins. Il n'en est rien. Par exemple , on pourra déterminer tous les éléments, sauf le demigrand axe , uu moyen des angles de position , s'ils sont au nombre de six au moins. En effet, on en déduira les six coefficients ^ , b^c^ d, eyf; et les quatre premières équations (4i) permettront de calculer successivement les coefficients b^% c" ^ d'\ e" qui entrent dans nos formules, à l'exclusion àe^ coefficients r, J, 6* et f.

Souvent il conviendra de substituer de cette manière les angles de position aux distances , et il suffira, en toute rigueur, d'une seule distance pour faire

connaître le demi-grand axe; car, déduisant - de nos formules, on aura

-tr

La meilleure détermination des coefficients a, ^, c, d^ ^, /s'obtiendra en faisant usage de la méthode d'interpolation de M. Cauchy, si les observations ne sont pas trop irrégulièrement espacées. Cependant les observations d'étoiles doubles que l'on possède aujourd'hui ne permettront peut-être pas de déterminer tous les coefficients dont on a besoin. 11 faut remarquer que nous n'entendons parler ici que des observations modernes qui, seules, forment des suites assez régulières pour que l'interpolation soit praticable. La série des observations de Ç d'Hercule, par MM. Struve, laisse un coefficient indéterminé , dont la valeur se trouve ensuite fixée par la condition que les éléments représentent une ancienne observation d'Herschel ou une observation isolée de M. Struve, en 1826. Or il arrive qu'en disposant de l'indéterminée de

manière à satisfaire à Tune de ces observations, on satisfait en inénie temps à l'autre, du moins approximativement.

Si les mesures de distances sont assez précises, comme le sont généralement celles de MM. Struve , on peut employer à la fois les angles de position et les distances. Les indéterminées que peuvent contenir leurs développements se tirent ensuite de la condition de satisfaire aux équations (4i)- Les nombres particuliers d^indéterminées admises dans chacun des développements en question, donnent naissance à divers problèmes qui conduisent à des équations plus ou moins compliquées suivant les cas. C'est dans la formation et la résolution de ces équations, que Thabileté de l'astronome peut se donner carrière, le reste n'étant plus qu'un simple calcul numérique.

Nous allons maintenant présenter un résumé des formules à appliquer, dans Tordre où ces formules doivent être calculées. Les simplifications du n® 8 y seront introduites. Ajoutons que plusieurs quantités seront données sous des formes différentes, dans le but de fournir des moyens de vérifier les calculs.

Résumé des formules propres à la détermination des éléments des

orbites relatives des étoiles doubles.

tO. Supposons que l'on ait déduit d'une méthode d'interpolation convenablement appliquée, les coefficients soit de la première des séries suivantes,

0L=a -i- bt -h ci' -h (It^ -h et* -\-/t^ -h . • . ,

. i 0L=a -i- bt -h ci' ^'' I p = a'-hb't'hc't'

-f-rf'/3-h6''f^-j- .. .,

soit de toutes deux, et que Ton y fasse ensuite i nul , les calculs se rapportant à Torigine du temps.

Si Ton n'a déterminé que les coefficients de la première, on se servira des quatre premières équations suivantes, pour calculer successivement b% c\ d% e\

o= 3fi-h Zb"c-^ 2.c"by

o= 6c-h 6^'V-h 5cV4- àd'^b,

o=iof+iob''e'h gc'd-h rjd"c-\-^c"b,

o = iSg-^i5by-\-ï^€''e^i2d"d-^ge''C'h5rb,

Dans le second cas, c'est-à-dire lorsqu'on aura aussi déterminé les coefficients

de la série qui représente les distances, comme Ton a

il faudra que ces dernières valeurs satisfassent aux équations (11), ce qui n'aura généralement pas lieu en toute rigueur. Mais si Ton exprime les coefficients, soit de la première ou de la deuxième série, soit de toutes deux en fonctions d'indéterminées; la substitution de ces valeurs, dans les équations ( 111} et (11) ou plus simplement dans les équations (37), fournira de nouvelles équations dont la résolution fera connaître les valeurs de ces indéterminées , si leur nombre est égal à celui des équations auxquelles on peut avoir égard ; autrement , il restera des équations de condition , ou bien le nombre des indéterminées sera simplement réduit.

Les coefficients a, 6, c, d^ ^yfy etc., pourront être exprimés en degrés et fractions de degré; mais quand on aura effectué le calcul des quantités Oj by b"y c" ^ d"y e'\ il faudra convertir h en nombres abstraits, ce qui se fera en multipliant par la valeur de i degré exprimée de la même manière.

Alors les données devront être telles , que Ton ait

(IV) ft'— 2C">0.

On calculera, s'il en est ainsi , les auxiliaires suivantes :

Q'=Q + ^'^-f-^»; (vi) condition Q'^^o.

La condition , pour que l'orbite soit elliptique , est

(VII) =2 — -^^ r— ^ T, — ^^O.

^ ^ AcosX ^>2— ac" ^

Si les conditions (iv) et (vi) ne sont pas remplies , il est inutile d'aller plus loin. Il en sera de même, si l'on veut obtenir une orbite elliptique, lorsque la condition (vu) ne sera pas satisfaite.

La latitude \ se tirera de

(vin) tang'X = "^ ^ ^

y. devra être pris eotra + 90° et — 90° ; oa le fera, du resle, arbiti virement positif ou négatif.

La dérivée de > , que nous désignerons par X', pour simplifier l'érriturc , se déduira de l'une ou l'autre des deuK formules

(ix) y = ~^, ;''=Q'— 6'cos'i.

La première donnera un résultat mal déterminé lorsque À sera petit; mais elle est indispensable pour donner le signe de y : la valeur absolue de cette quantité sera alors assez exactement donnée par la seconde. Il viendra ensuite

Pour déterminer la position du plan de l'orbite , on aura

iS = sin-i-^;^ — cosa.Atangi, S'= — coso — — ■ — sino.Alangi, ce qui donne, pour la longitude du nœud ascendant Q,

et il faudra prendre Q de manière que son sinus ait le signe de S. L'inclinaison 1 du plan de l'orbile supposée comprise entre u 180 degrés , sera fournil.' par l'une des expressions suivantes ;

(X...) "»e' = ^- = ïSQ = -y7„T-i3-

Il va sans dire que l'on obtiendra la solution correspondante ii la valeur (le 1 qu'on aura négligée , en écrivant le signe ± devant [a valeur de I tirée de(xiii), et conservant d'ailleurs toutes lesautres déterminations numériques; cela résulte de la symétrie des deux orbites ; seulement Q pourra désigner le nœud descendant. Autrement, en appliquant les formules précédentes à v,„tr^.:.^^ A^i 1 .,.,„.^.:t ^^i,;e .,„j:. „..., lo .. "^ varieraient de

(xv) - = -cos>,

(XVl) -r-^ — r = 2 — , ^ -— ^•

Si Ton pose , suivant l'habitude, sin yj = £, on pourra tirer l*exœntricicé de la formule

(xvii) I — E' ou cos'»î= *- — ••

r AcosX

Il pourra se faire que l'excentricité soit mieux déterminée par les formules suivantes, qui servent d'ailleurs à calculer l'anomalie vraie Y, sans ambiguïté.

(xviii)

EcosV = 1.

Si l'excentricité est mieux déterminée par ces formules que par les équations (xvi) et (xvii), il sera préférable de substituer à l'équation (xti) la suivante, qui servira à calculer le demi-grand axe au moyen de la valeur de p = «',

^ ^ AcosX n

Le moyen mouvement exprimé en nombres abstraits sera

(xx) N = v^6

,Acos)v

On pourra, si Ton veut, le convertir, ainsi que £, en degrés et fractions de degré ; il suffira de diviser par la valeur numérique de l'angle i degré. La durée T de la révolution est

On aura Tanomalie excentrique u et l'anomalie moyenne de l'époque s — cr , ou l'époque r du passage au périhélie, par les formules connues

(xxii) [ lang-M= -^ r-tang-V,

tang

Nr-f- fi — X3 ou N(^ — t) = Il — ËsiuM,

?t l'on pourra vérifier m et Ë par la formule fxxiii ) -sintt — cos»îSinV=:o.

La distance v — Q du satellite an nœud ascendant, dans Torbite, se tirera de

en prenant v — Q de manière que son cosinus ait le signe de cos(a — Q). La distance^du périhélie au nœud ascendant sera ensuite

(xxv) '»-Q = »'-Q-v,

et Ton aura, pour vérification, les deux équations

I tangX = sin(«— Q)langl, ^ ' I sin X = sin(p — Q) sinl.

Enfin , si l'on connaît la parallaxe rs\ le rapport de la somme des masses des deux étoiles, à la somme des masses du Soleil et de la Terre, sera donné par la formule

il. En examinant les formules auxquelles nous sommes parvenu, on reconnaît qu'elles ne peuvent fournir de résultats précis, lorsque Tinclinaison est considérable. Elles n*en pourraient fournir absolument aucun , si le plan de Torbite coïncidait avec le rayon visuel. Or on sait que, dans ce cas , il est nécessaire d'employer une donnée de plus.

J'ai aussi établi les équations qui se rapportent à cette circonstance; mais je ne les ai point encore appliquées. Néanmoins, j'en ferai Tobjet d'une prochaine communication.

Nota, La méthode d'interpolation de M. Gauchy, que nous avons recommandée pour le calcul des coefficients des séries (i), sera exposée dans le Mémoire sur la détermination des éléments des orbites des planètes , qui fait partie de ces Additions.