a. sin. ê = o

tan

*+■ fi» sin. y = o i

p, q, r, étant les vitesses imprimées à l’origine du mouvement, et par celle-ci

sin - “ (ï)c + sin - 6 (®« + 8iD - *(£),

i ’i j s=V [sin. a. cos. d sin. g cos. g' 4- sin. y cos. y' ],

qui est l’équation de condition rapportée à la même époque. Çes équations donnent

p. = V [sin. * cos. J 4- sin. ê cos. €' + sin. y cos. y']

— p sin. a — q sin. 6 — r sin. y,

et par conséquent les valeurs de (^) o , (ÿf) o , (£)„,

sont connues; les secondes intégrales donnent ensuite, pour les formules finies du mouvement

* — tf. = ^sin. « S in.y4-f (Jf) o ,

* z * = T" cos ‘r + *(£) »•

Ces formules se simplifient, lorsqu’on prend, comme on peut toujours le faire, l’axe horizontal des j, parallèle au plan donné. On a de cette manière sin. 6 = o et sin. y = cos. a. Mais pour simplifier encore, nous nous bornerons à l’examen du cas particulier dans lequel les vitesses p, q, r, imprimées à l’origine du mouvement, étant nulles, le plan se meut parallèlement à l’axe des x, ee qui donne sin. a' = o sin. 6’ = o, sin. y' = i. Les formules précédentes se réduisent à

x — x„ — $— sin. a cos. a 4 -Vf sin.’ a ,

z — z. = — — sjn.’ a 4- Vf sin. a cos. a,

a 1 tr.

et il est facile d’en conclure les propriétés du mouvement du point.

SUR LA MÉCANIQUE. 5q

i° Si la vitesse V est nulle, c’est-à-dire si le plan donné sur lequel le point matériel doit se mouvoir est fixe, ce qui rentre dans l’exemple précédent, le point matériel se meut, en descendant sur la ligne de pins grande pente du. plan, d’un mouvement uniformément accéléré, et l’espace parcourn

pendant la première seconde est * •

a° Dans le cas où la gravité est nulle et où le plan se meut , le point matériel décrit uniformément avec la vitesse V cos. z , une ligne droite dont l'équation est

(x — x„ ) cos. a = (z — z.) sin. «r,

et qui se trouve en éliminant t; la direction de la droite est normale au plan mobile.

3° Dans le cas général où la vitesse du plan est V, et où la gravité est représentée par g-, le point matériel se meut comme un point libre, lancé avec la vitesse initiale V, normale au plan, et sollicité par la force accélératrice constante g sin. z, parallèle à b ligne de pLus grande pente du plan. Sa trajectoire est une parabole.

Quant à la pression que le point mobile exerce sur le plan , ses composantes — P, — Q, — R, sont en général représentées par — p sin. «, — psin. 6, — p sin. y, et leur résultante est — p, égal à — gm sin. a. Mais à l’origine du mouvement, les composantes de la pression on des forces détruites, étantpar l'article précédent, — m > — m (^) »

— ni ou bien, — p„sin. a A — p.sin. 6, — p. sin. y, la

6o MÉMOIRES

résultante est — (*«, dont la valeur générale trouvée ci-dessus, se réduit, d’après les simplifications adoptées, à — Vsin.a.

III e Exemple. On suppose qu’une droite inclinée à l’horizon tourne uniformément autour d’un axe vertical, et qu’un point matériel pesant rn est assujetti à se mouvoir sur cette droite. On demande les équations de condition et les formules du mouvement.

L’inclinaison de la droite étant donnée, ainsi que la perpendiculaire commune entie elle et l’axe de rotation, soit T le temps d’une révolution entière de la droite ; et i, égale à

îjr, sa vitesse angulaire, c’est-à-dire l’angle décrit par l’un de

ses points , pendant l’unité de temps ; soient aussi x, y, z, les coordonnées rectangulaires du point matériel après le temps t; leur origine commune est sur l’axe de rotation qui est le même que l’axe des s, et l’axe des x se confond avec la projection de la perpendiculaire commune sur le plan des xy à l’origine du mouvement ; nous supposons de plus, pour simplifier, qu’à la même époque, c’est-à-dire à l'origine du mouvement, aucune vitesse n’a été imprimée au point matériel.

Cela posé, le problème comprend plusieurs cas, dont le premier et le plus simple a lieu lorsque l'angle d’inclinaison de la doite mobile étant nul, ainsi que la perpendiculaire commune , le point matériel se meut sur une droite horizontale qui tourne autour d’un axe vertical passant par l’un des points de la droite.

L’équation de condition est

y sin. ti — x cos. ti — o ,

et on trouve pour les formules finies du mouvement

2 z—y*[e +e ] sin. ti,

zy—y* [e -4- e J cos .h,

y. étant la valeur initiale dey; eest la base des logarithmes hyperboliques. Les forces P , Q, équivalentes aux équations de condition, sont

P = mi' y, [ e‘ -4- e ti '\ cos. ti,

Q .. r ti —ti-, .

— mi'y. [e + e ] sin. ti.

Le second cas est celui où l’angle d’inclinaison étant nul , èt la perpendiculaire commune étant b, le point matériel se meut sur une droite horizontale, tournant autour d’un axe vertical qui ne rencontre pas la droite. On a pour équation de condition

y sin. ti — x cos. t i + b — o , et pour les formules du mouvement

îx 2 b cos. t i — [ (j, ■+■ b)e‘ + (y. — b)e <l ] sin. ti, zy+ *b sin. ti = [0.-4- b)e U + O.— *)«“"'] cos. ti, on a ensuite

P = mi 1 [ b + (y, + b)e l +(y , — b)e~ tl ]cos.ti,

Q = mi' [ — b + 0.+ b)e“+(y„ — £)e - "]sin. ti.

Dans le troisième cas, l’angle d’inclinaison étant « et la perpendiculaire commune étant nulle, le point matériel se meut sur une droite inclinée qui tourne autour d’un axe vertical passant par l’un de ses points. Les équaüons de condi-

6a MÉMOIRES

tion sont, en nommant h l’ordonnée du point de rencontre

de la droite mobile et de l’axe de rotation,

(2 — h) sin. ti — x tang. a = o ,

(z — h) cos. ti — y tang. a = O ,

et celles du mouvement

/ . ftcos.a n — fi'cos.a . \ .

X= Ae +Be + fftang.a j SIM ■ tl ,

( . fl'eos.a . n -ti cos.a Ae #ICO *.* + Be -r,cos '“+ gtang.a A tang. «

Les coefficients A et B sont tels que A — < B = o , et ( A B) tang. a = ( x, — A) l' + gtang.a ; quant aux forces P, Q, R, équivalentes aux équations de condition, leurs valeurs en fonctions de l, ou, ce qui revient au même, en

fonctions de z et de sont

P= — sin. t i sin. a cos. a[g + «(z — A ) ] 4- 2 /^ cos. ti cotang. a,

.dz

Q= — cos. f /sin. a cos. b [g4- /(z — A)] -t- 2/^sin.f/cotang.a,

R=(z — A)cos.*a — gsm.’ a.

Enfin dans le quatrième cas, l’angle d’inclinaison de la doite étaut «, et la perpendiculaire commune étant A, le point matériel se meut sur une droite inclinée, qui tourne autour d’un axe vertical que la droite ne rencontre pas. Les équations de condition sont

tang- « j '* /

C tang. a ; co S.ti,

(z— -A)sin.fi — (x — écos.tt) tang.g= o, (z — A)cos.ft — (j + A sin. #r) tang. «= o,

h étant la hauteur de la perpendiculaire commune au-dessus du plan des x, y; et celles du mouvement

x — b cos. ti—^ A e n co5, sin. ti = ^ k = tang . »|a« 1C01 '

a -T) -ticos.a . .

Be | sin. ti.

y -t- bs\n.ti—( Ae f,c0S ' II + Be f ' C03 '* 4 - gung.g j co s.ti.

frng- sir

tang. g ]

n -fJCOS.g . \

üe 4- g tang. a ) ;

A et B étant données par les équations ( A + B) tang. g = (z,—k)i'—g tang.’g, et (A — B) tang. g = £ sin. g. On a ensuite, pour les valeurs de P, Q, R, en fonction de t ou de z etde£,

p = — sin.ftsin.g cos.g [g--t-»‘(z — h)

+ a * 57 cos . f r cotang. g — b i‘ cos. ti ] , Q= — cos. ti sin. g cos.g [g- + i‘ (z— h)

. dz . •

~ 2l Ii ” n - tl cotang.g + fer' sin. fr], R = (z — h)i‘coa.a — g- sin . 1 g.

Corollaire. Les propriétés du mouvement du point matériel dépendent en général des constantes y„ z„. Nous ne citerons que les suivantes qui se rapportent au second cas. Les formules du mouvement donnent

Mt'-.UJi . ...

A{xt+y~i/)=z[{j'+ A)e“ +

Or la droite (a: 1 + y*)' qui joint l’origine et le point matériel, après le temps t, est l’hypothénusc d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés sont la perpendiculaire commune h, et la distance du point matériel à la perpendiculaire commune. Ainsi en nommant D cette distance, on a

Les formules du mouvement donnent encore, en nommant u la vitesse instantanée du point matériel,

u'= î ' [ b ' + a {y. + b f e* 1 ‘ -+- a (y, — b)' e~ at, + a b(y.+b)e‘ —

et en nommant S la pression du point matériel sur la droite mobile, pression égale à la résultante (P‘+ Q‘)‘,

S = /»t , [— b+(y.+b)e tl +(y.— b)e~“].

Cela posé, si y. est positive, D augmente indéfiniment avec le temps, et le point matériel assujéti à rester sur la droite ne cesse pas de s’éloigner de la perpendiculaire commune. La vitesse «, et la pression S, augmentent aussi indéfiniment avec le temps.

Les mêmes résultats ont lieu si 7 . est négative et plus grande

que b. \ > .<• • ’iW-i i: <• , •

Si 7 „est négative et égale à b, en sorte que la valeur dé D*sè

réduise à b' la distancé D diminue à mes

augmentent le point matériel se rapproche de la perpendiculaire commune, sans pouvoir l'atteindre;

mil# ai

ure que le temps^ continuellement

la vitesse u, dont le carre devient i‘ b '{ i + ^e~ n + 8e af ‘),

et la pression S, dont le carre est m'i*b'(i -t- ae ) diminuent aussi avec le temps et convergent vers leurs limites respectives ib, mi' b.

Si l’ordonnée y, est négative et plus petite que b, on a 4D '=[(£ — +y*) e ~ t, Y'i l a distance D, qui est égale à y„ quand £ = o, devient nulle quand ( b — y.)e“

— ( b + J» ) e elle augmente ensuite continuellement avec le temps. Le point matériel, en commençant à se mouvoir, s’approche donc de la perpendiculaire. commune, qu’il atteint lorsque t — A log. ( Pour savoir si dans cet

instant le point matériel passe de l’autre côté de la perpendiculaire, ou si son mouvement change de direction sur la droite mobile, qu’il est assujetti à parcourir, il faut avoir l’expression de sa vitesse relative sur cette droite. Cette

expression est ~ , c’est-à-dire en faisant abstraction du signe, i [(i — y°)e‘ + (b +y„)e **], formule qui ne se réduit pas à zéro quand t — ~ log. Le point matériel parvenu

sur la perpendiculaire commune , continue donc de se mouvoir dans la même direction sur la droite mobile, et sa distance D à la perpendiculaire commune, croit indéfiniment. A l’égard de la vitesse u, qui est la vitesse absolue du point matériel et dont la valeur initiale est iy„ elle décroit d’abord

jusqu’à la limite i[b — (b’ — /i) 7 ] correspond k t — ~

lo S- {jdf J et a D = o ; elle croit ensuite avec la distance

D et sa valeur n’a plus de limite.

IV* Exemple. Un point matériel pesant étant assujéti à se mouvoir sur une hélice qui tourne uniformément sur son axe, on demande les équations de condition et les formules du mouvement.

I er Cas. L’axe de l’hélice est vertical , et passe par l’origine des coordonnées rectangulaires x, y, z, qui appartiennent en même temps à l’hélice et au point matériel ; les deux premières coordonnées x, y, sont horizontales , la troisième z est verticale.

Soit T le temps d’une révolution entière de l’hélice et ~ ou i sa vitesse angulaire, c’est-à-dire l'angle que chacun de ses points décrit , pendant l'unité de temps , autour de son axe, avec un rayon pris pour unité des mesures linéaires Soit aussi l’angle d’inclinaison de l’hélice sur le plan de sa base, qui coincide avec le plan des xy , et supposons qu’à l'origine du mouvement, l’hélice traversant ce plan dans le point dont les coordonnées sont

et s’élevant au dessus du même plan , se projettait dans le sens des x positives.

Les équations de l’hélice à cette époque étaient

x = siu. (z cotang. ? ) , y = cos. (z cotang. f ) .

Mais après le temps t, le point de rencontre de l'hélice et du plan des xy, étant éloigné de sa position initiale d’un angle positif égal à ti, les équations de l’hélice mobile et par conséquent les équations de condition du mouvement du point matériel sont

x=sin. [zcotang- ç f »],

^*=008. [zcotang. <? + (<].

En les difîérentiant par rapport au temps , il vient successivement ,

Tî — r(ÿ f cot angf + *) = °’ (‘X

Vt +x ($Tt cotan g ? + *) = o i ( a )

r?T- x Tt — fâ <x**ne- f + *)=o, ( 3 )

r£i(.7Ï)- x Jt (S) - Tt (îï) cotan 8‘ ? = ° (4)

Cela posé, si dans la troisième des formules suivantes , qui sont celles du mouvement du point matériel

md (Sf) = ***• md {Ü)=1 dt >

md (Jn) =l—e m —(w—i x ) coUtn «‘ , f] dt >

on substitue pour p et y leurs valeurs, on a

*(£) =-e dt ~ [r d (37) -*«*(&)] cotan &-*’

et en éliminant le facteur de cotang. 9, au moyen de l’équation IV

dont l'intégrale est

dz fdz\ . ,

La vitesse initiale dépend, ainsi que les vitesses

initiales (jff) , (§7) i«des vitesses imprimées à l’origine

du mouvement; mais celles-ci étant supposées nul les, on a , par l’article VIII du second mémoire,

(3?).= -((*.J-Y.*.) cotan g f-

et en combinant ces équations avec les équations de condition 1 , a, considérées à l’origine du mouvement , on trouve dans l’hypothèse adoptée ci-dessus , où les coordonnées initiales x„, y\, z., sont respectivement égales à o, 1,0,

(S).**""-’»» (S„= -‘Si» ? cos.*.

Substituant la valeur de dans la première intégrale

trouvée ci-dessus, et intégrant une seconde fois il vient, à cause que la constante d’intégration est nulle,

z — — ttsm.*cos.* — S— sin.'*,

et par conséquent

y = cos. ^tjsin.’ç — sin.f cos. 9 j ,

x — sin. j^tsin.’* — sin. * cos. 9 j •

On a ensuite pour les forces dues aux équations de condition

P = — wgjsin. 9 cos. 9 — wîj;sin. , p(tsin.ç — gt cos. 9)’, Q = /ng-xsin. 9COS. 9 — mjsin.'f (tsin.9 — g'fcos.ç) 2 ,

R = gm cos.’ç.

Ces formules font connaître toiftes les circonstances du mouvement du point matériel, telles que la nature de la courbe qu’il décrit dans l’espace, sa vitesse, sa direction à chaque instant et la pression qu’il exerce sur la courbe ; les résultats les plus remarquables sont les suivants.

i° Si g — o les formules du mouvement se réduisent à

jr=sin.(iihin.’ç), ou bien x = sin.( — ztang.9),

j=cos.(f»sin. , ? ), j=cos.(— ztang.?),

z— — fisin. 9 cos. 9,

d’où il suit, que le point matériel décrit dans l’espace une hélice semblable et normale à l’hélice donnée sur laquelle il est assujetti à rester. On voit de plus que la vitesse absolue

^ )’ du point matériel, et sa vitesse per-

perpendiculaire au plan des xy, sont constantes. Ces propriétés sont analogues à celles que nous avons déjà citées dans l’un des cas du plan mobile du second exemple; mais la pression exercée contre le plan mobile est nulle quand g= o, au lieu que la pression que supporte l’hélice est mi' sin.^.

a 0 Si la gravité n’est pas nulle, et si l’angle ? est négatif, c’est-à-dire si l’hélice donnée, en traversant le plan des xy, et s’élevant an dessus de ce plan, se projette dans la direc-

tiqn des x négatives, le mouvement vertical du point matériel est représenté par l’équation

z = ti sin. 9 cos. ç — ^-sin. = ç.

Le point matériel , en commençant à se mouvoir, s’élève donc au-dessus du plan horizontal des xy, et il continue de s’élever jusqu’à ce qu’il ait atteint une hauteur h égale à

— — ' Il descend ensuite indéfiniment. La durée 6 du mou-

vement ascensionnel est En supposant l’angle ? égal

à un demi angle droit, et en mettant pour la vitesse angulaire », sa valeur ^ , il vient gT h = r* et gi T= a z , ou eu

éliminant g, 2 h T = tc8 , équation qui donne T quand on connaît la hauteur h et le temps 8; soit par exemple h== 5 pieds; 6=1 minute. On aura T=i 8 ", 846 . Ainsi un point matériel pesant assujetti à rester sur une hélice d’un pied de rayon , inclinée sur l’horizon d’un angle de 45 °, et tournant sur son son axe vertical , avec une vitesse de trois tours environ par minute , s’élèverait dans le même temps à la hauteur de cinq pieds.

II* Cas. L’axe de l’hélice fait avec l’horison un angle représenté par ».

En conservant les données », ç, du premier cas, et en prenant pour origine des coordonnées horizontales x, y, et des coordonnées verticales z, un point de l’axe de l’hélice, et pour plan des xz, le plan vertical passant par le même axe, il est facile de voir que les équations de l’hélice, après le le temps t, sont

Digitizqd b/ Goog le

SUR LA MECANIQUE. yt

.rsin. a — zcos.a=sin. [fi 4-(xcos.a 4- zsin. «)cotang.9}, j=cos.[fi 4 -(a:cos.a 4 - zsin. a)cotang.ç],

ou en séparant les variables x, z, x+ti cos. a tang. 9 — sin . a ( 1 — y ' ) * =cos. a tang. 9 Arc ( cos. — y) ,

y + tl sin.# tang. 9 4- cos. a(i — y*)* = sm. a tang. 9 Are(cos.==y), DifTérentiant, on a les équations de condition dx + idt coe. a tang. 9 + (rsin.a 4 - cos. a tang. 9) — ■ — o .

0 1 — jr % 1

dz 4 -idt sin. a tang. 9 — (/cos. a — sin. a tang. 9) = 0,

et par conséquent les formules du mouvement

md (j7rf)—p dt >

m// — ^^^« 4 - co»- «tang. 9^ ^ r ^cc«.« -sin.atapg.^

m d (?£) = ( Y —gm)dt ;

si apres avoir éliminé p. et y de la seconde de ces formules, on met poiir^ n ^ ± . ^ ton g-? et .r^.a— sm.auing.9 , eurs

valeurs en a: et z, on trouve

Pt d (s?) = - (37 + * cos - “ ta , n «- -f ) d (37)

— (Pt +iüa «teng.9) [gdt+d(£ 0],

dont l’intégrale est

( È ) >=— (^7 + 1 cos - <?)’— (£ + *' sin - «tang. ? y

-+- 2g"[C — z — if sin.atang.ç],

ou en éliminant x et z

= ag-cos.’ç(i — y)[C — cos.*(i — j’) 7 — sin.atang.ç. Arc (cos. =j)].

Cette équation différentielle du premier ordre n’étant pas intégrable, et ne pouvant d’ailleurs, à cause de sa complication, servir à des recherches ultérieures sur le mouvement du point matériel, nous nous bornerons au développement d’une remarque relative aux formules différentielles du mouvement. C’est qu’on satisfait à ces formules , ainsi qu’aux équations de condition, en supposant que le point matériel se meut uniformément en ligue droite.

En effet, on a dans cette hypothèse, d(^~^= o, d = °,

rf (S)=°’ ce qui, en faisant évanouir les premiers membres des formules du mouvement, donne

7=tang.atang.ç et y =gm,

les équations de condition donnent ensuite, a cause d ejrz= constante

dx 4 - idt cos. * tang. ç = o, dz -t-irffsin.a tang.ç=uo, dx'+ rfz’ = i‘lang. çrff,

d’où il suit que les formules différentielles du mouvement et les équations de condition sont satislaites, si le point matériel se meut avec la vitesse uniforme i tang. ç sur l’une ou l’autre des deux droites, représentées par les équations

j = tang. atang

x sin. a — z cos. «= db [ r — tang.’* tang.’ ?]*.

Ces deux droites parallèles à l’axe de l’hèlice, et qui sont par conséquent des génératrices de la surface cilindrique engendrée par la rotation de l'hélice sur son axe , ont une propriété qu’on démontre facilement par les équations de la courbe.

En différentiant l'équation entre z et y, sans faire varier t, on a

dz — [y cos. a — sin. * tang. 9]

et en supposant dz= o, . t

y = tang. ® tang. 9. "* ,1, ‘

cette équation jointe â celles-ci,

x sin.® — z cos. a — dz ( i — ti + { zsin. * + xcoa.a) tang.<p = Arc ( cosinus —y ) ,

qui sont identiques aux équations de l'hélice , présente les résultats suivants :

i° Si on considère sur la courbe, dans la position où elle est après le temps t, tous les points dont les hauteurs au dessus du plan horizontal des x, y, sont des maxima ou des rninima, et qu’on peut nommer les sommets de l’hélice, tous ces sommets sont situés sur deux droites parallèles à l’axe, et qui ont pour équations indépendantes du temps

y = tang. a tang. 9,

«sin. a — zcos. a = ± [ r — tang.'a tang.’ç]’.

a° Le plan des xy est rencontre par ces droites en deux points dont les abcisses égalés et de signes contraires ± x„

ont pour valeur [i — tang. *« tang. 1 9]’. Or, en cherchant l’expression de la difïe'rentielle seconde de la hauteur z, lorsque dz = o, on trouve

ddz cos. a

Donc, tous les sommets situes sur la droite qui correspond au signe + , appartiennent à des ordonnées minima et tous les sommets situés sur la droite qui correspond au signe — , appartiennent à des ordonnées maxima.

3 ° Les abscisses x' et les ordonnées y' de ces sommets s’obtiennent au moyen des deux équations

x + 1 i cos. * tang. 9 = ± x„ sin. a. + cos. « tang, 9 . Arc (cos. = ± x a ), y -+- 1 i sin. a tang. 9 = + x. cos. * + sin . a tang. 9 . Arc (cos. = ± x„),

qui donnent x ^ et y 1 en fonction de t. Dope , à mesure que l’hélice tourne sur son axe, les sommets varient de position sur les deux droites et se meuvent avec une vitesse uniforme égale à i tang. 9.

4 ° Ces résultats s’évanouissent dans le cas où le radical

( i — tang.’a tang. '9)* est imaginaire, et dans le cas ou le radical est nul, les deux droites coïncident en une seule, qui est le lieu de tous les sommets de l'hélice. Mais alors ces sommets correspondent à des ordonnées qpi ne sont ni des maxima , ni des minima absolus.

Cela posé, il est évident que la propriété de contenir tous les sommets de l’hélice, pendant sa rotation autour de son

axe , appartient aux deux droites que nous avons supposées décrites par le point matériel pesant , avec la vitesse uniforme i tang. 9, et que la position du point, à chaque instant de son mouvement, est sur l'un des sommets variables de la courbe.

Non seulement ce mouvement uniforme et rectiligne du point matériel satisfait, comme on l’a vu, aux formules différentielles du second ordre; il satisfait encore à l’intégrale première que nous avons obtenue, et à l’intégrale seconde qui donnerait la valeur de y en fonction du temps Car si après avoir déterminé la constante C de manière que le second membre de l'équation

% = cos. 9 [ag- (1 — /)] T — [C — cos. «( 1— y’ )•

— sin . « tang. 9 . Arc ( cos. = y) ] T ,

s’évanouisse dans l’hypothèse où y est constante et égale à tang. a tang 9, on différentie la même équation, on trouve, en donnant à y sa valeur

dy \dt ) O ’

ce qui est le caractère d’une intégrale particulière.

Mais lorsque la rotation de l’hélice, autour de son axe, cesse d’être uniforme , l’hypothèse du mouvement du point matériel sur l’une ou sur l’autre des génératrices , beux des sommets de l’hélice, ne satisfait plus aux formules différentielles. En effet, si on représente par F (£) l'angle décrit par un point de l’hélice après le temps t, on a pour les équations différentielles de la courbe