i MEMOIRES
<Za:+rff F'(f)cos.atang.Ÿ+(jsin.a-+-cos. atang.ç) p====o, dz +r/*F'(f)sin. * tang. 9— ‘(.y cos. a — sin. atang.ç)-^==== = o, et pour les formules du mouvement
md Gi)=v- d ï‘
mdÇfy^dt —dt p' co, g ~ , ^ * tan 8-y
md (! l ~li)=^—S m )dt.
Or, si le point matériel se meut sur une génératrice , l’ordonnée y est constante; et si cette génératrice est l’une des droites qui contiennent les sommets de l’hélice, on a y — tang. * tang. 9. Par conséquent g est égal à zéro , ainsi
que la diférentielle d , et à cause de xsin.a — zcos. *
= 1/ 1 ~j’i la différentielle d est aussi égale à zéro.
Donc, en différentiant une seconde fois les équations de la courbe, il vient F”(f) = o, ce qui indique que le mouvement de l’hélice, autour de son axe est uniforme, et que cette uniformité est nécessaire pour que le mouvement du point matériel sur les génératrices, lieux des sommets de l’hélice, satisfasse aux formules du mouvement.
Qant à la pression normale que le point matériel ou le corps pesant; en mouvement, exerce sur l’hélice, et qui est égale à la résultante des forces dues aux équations de condition, art. III et V, elle se réduit à cause de p = o et de y = tang. a tang. ç, à la force y, égale à — gm, c’est-n-dire au
poids même du corps; résultat qu’il était facile de prévoir, parceque le corps, à chaque instant de son mouvement, s’appuie sur un sommet, c’est-à-dire sur un des points dans lesquels la tangente à l’hélice est horizontale.
1 er Corollaire. On sait que dans quelques-unes des machines connues sous le nom de vis d’Archimède, un point matériel ou un corps pesant est assujetti à se mouvoir sur une hélice, mobile autour d’un axe incliné à l’horizon. Le corps ne peut être en état d'équilibre stable sur la courbe, que dans l’un de ses sommets correspondants aux ordonnées verticales minima. Cet état d’équilibre étant supposé établi, si on fait tourner l’hélice uniformément, le corps se meut en ligne droite, parallèlement à l’axe, avec une vitesse uniforme qui est telle que le corps parcourt le pas de l'hélice, en montant ou en descendant, dans le même temps que l'hélice emploie à décrire une circonférence entière. La droite décrite par les corps et la vitesse que nous venons de définir, sont précisément celles que donnent nos calculs qui se trouvent vérifiés par l’expérience. Mais nous ignorons si l’expérience confirme la conclusion que nous avons tirée des mêmes calculs, que le corps ne peut se mouvoir sur les génératrices, lieux des sommets , que dans le cas où la vitesse de rotation est uniforme. Nous ignorons pareillement si l’expérience confirme cette induction fondée sur la distinction des deux espèces d'équilibre, que la génératrice, heu des sommets minima, est la seule sur laquelle le corps peut se mouvoir, et que cette propriété n’appartient ni à la génératrice, lieu des sommets maxima , ni à celle qui réunit tous les sommets, lorsque le produit tang. * tang. ç est égal à l’unité.
II e Corollaire. L’hélice est-elle la seule courbe qui en tournant uniformément autour d’un axe incliné à l’horizon , agisse de telle manière sur un corps pesant, placé convenablement sur la courbe et assujetti à rester sur elle, qu’il en résulte pour le corps un mouvement uniforme , rectiligne et parallèle à l’ake de rotation? Parmi les courbes planes, situées dans un plan vertical , quelles sont celles qui en tournant sur un axe horizontal, perpendiculaire à leur plan, impriment un mouvement uniforme et vertical à un point matériel pesant, assujetti à rester sur la courbe? Ces questions se présentent naturellement ici, et les formules, dont nous avons fait usage jusqu’à présent, suffisent pour leur solution.
I" Question, x, y, z, étant les coordonnées rectangulaires d’un point matériel pesant m, assujetti à se mouvoir sur une courbe, et l’axe incliné sur l'horizon autour duquel cette courbe se meut uniformément, avec la vitesse angulaire i, étant pris pour l’axe des z, ce qu’on peut toujours faire , en ayant égard à la direction de la gravité , soit x„ = F ( z) ety„ = i|i (z) les équations de la courbe à l’origine du mouvement , et par conséquent
x cos. ti — y sin. ti — F (z) = o , y cos. ti -+- a: sin. ti — ij, (z) — o,
ou bien
x — F (z) cos. ti — (z) sin. fi— o , y -t- F (z)sin. ti — if{z) cos. ti— o,
les équations de condition du mouvement du point après le temps f, en les différentiant, il vient
DÙQiteetrtiy-CiQOgle
dx — dz [ F' (2) cos. ti -h ij/' (z ) sin. fi]
+ idt [F (z) sin. ti — <J* ( z ) co3> f*]=o,
dy rfz[F'(z) sin. ti — <|/ (z)cos.fi]
+ irf/[F(z)cos.fi -+- 41 (2") sin. fi] = o,
multipliant ensuite les deux équations de condition par p, y, et décomposant la gravité, dont la direction (ait avec le plan des x, y, l’angle a, et avec le plan des x,z, un angle nul , en deux forces, l’une gm cos. a parallèle aux x, l’autre — gm sin. a parallèle aux z, on a les formules du mouvement
md (^7) = dt [gmcos.a + (*.],
md (c£)= dt ^
md (.d~t') — dt [ — ê’ ms *n.«t ■+- (i[F'(z)cos. fi-*- <|/(z)sin.ft]
h- y [F' (z) sin.fi — |'(z) cos. f ij •
Cela posé , si la courbe est telle que les équations de condition et les formules du mouvement soient satisfaites, en supposant que le point matériel se meuve uniformément, dans une direction parallèle à l’axe des z, c’est-à-dire en faisant
idt
K dz r
on a d’abord
F'(z)cos. fiV+- ij/(z)sin. f i + 7 [F (z) siq. ti — ij, (z) cos.fij =; o, F'(z)sin. fi — vji'(z)cos.fi — 7 ^F(z) cos. fi (z) sin. t^l =0,
8o MEMOIRES
équations qui ne peuvent subsister qu’en faisant
ou en substituant pour F (z), >]< (z), F (z), (z) leurs valeurs
ri K x a
dz r
dont les intégrales
.r„ = rsin. ^<ü + ,
y* — r cos. + —j,
sont les équations de la courbe à l’origine du mouvement. La constante d’intégration u se détermine par la position donnée d’un point de la courbe à la même époque. Si le point est en même temps sur le plan des xy et sur l’axe des y, les coordonnées x, z, sont nulies en même temps , et on a o> égale à zéro : la coustante r est le rayon du cercle sur lequel la courbe se projette dans le plan des x, y; en supposant ce rayon égala l’unité, les équations de la courbe se réduisent à
a?.= sin. (Ki),
7 „ = cos. (K s),
et elles représentent une hélice concentrique à l’axe des z, ayant pour rayon l’unité et dont l’inclinaison sur le plan de la base a pour cotangeutc l’indéterminée K.
Il faut ensuite satisfaire au formules du mouvement; mais, ainsi qu’on l'a déjà vu, si on fait dans ces formules
et si on élimine les facteurs p, y, on trouve K^-=tang. a, ce qui , sans rien changer aux équations de la courbe, donne la position de la droite parallèle à l’axe des z, sur laquelle le point matériel se meut uniformément. Il suit de là que l’hélice est la seule courbe qui jouisse de la propriété énoncée ci-dessus.
II e Question. Soit
F(a£- 4 - il) = Arc (tang. =f 2 ) ,
l’équation d’une courbe quelconque située dans un plan vertical , et qui commence à tourner uniformément arec la vitesse i, autour d’un axe horisontal , passant par l’origine. En mettant xcos.ft-t-2sin.fi, à la place de x , , et 2 cos. fi — xsin. fi, à la place de z., on a pour l’équation de la courbe , après le temps f
dont la différentielle ■ * 1 :
' dx x 7 ^ z f Z +idt=*(xdx-£^dz)¥\x' + z'),
est l’équation de condition du mouvement du point matériel pesant m, assujetti à se mouvoir sur la courbe. Les formules du mouvement sont , • 1
/. ii
fb MÉMOIRES
md (c£)^* dt h?Tê — a* F, (*’ + *’)].
md (^t) ~~S mdt ~\f-dt [j^t. + 2zF'(a;'+
Si la courbe est telle que le point matériel se meuve uniformément dans une direction verticale, les formules du
mouvement et l’équation de condition sont satisfaites en faisant ,
Æ=«Mi8t.3îr, -^*o, dzækidt,
on a, par ces substitutions,
^+i- ? zF,'^+z*)=o, , F | ? -arF^+z')=q, , . , , , „ . ;
+ * [kTI- + az P ^ + z ‘j] = °’ équations d’où on tire h=r, et qui se réduisent à ces deux-ci
z — ar(r‘ z’)Ff{r , -a-*’)'sao, .»•
la première donne la fonction F, et par conséquent la nature de la courbe cherchée, qui est une développante de cercle; la seconde fait Connaître p et la pression Régale à — 8 m > I e point matériel exerce sur la courbe, Touf pes résultats sont vérifiés par les constructions de la figli.
. ' . W r \ fl ; $lf J - • ' ’
Soit ARPRPRP, etc. , la développante du cercle JtiBCIk
SUR LA MÉGANIQUE. 83
situé dans un plan vertical. Si on mène aux extrémités A, C, du diamètre horisontal , les perpendiculaires A PP, etc. , CRRR, etc., elles seront tangentes au cercle, et par conséquent normales à la courbe dans les sommets P, P ; R, R, R. Ri ensuite la développante se meut uniformément autour de l'axe horisontal , passant par le centre O, les verticales menées par les extrémités du diamètre AC, seront encore normales à la courbe et de plus les distances entre les points de section et le diamètre, croîtront ou décroîtront proportionellement au temps.
En effet , soit A' R' P' R' P' R' P', etc. , la position de la développante après le temps t, et ÀOA’ l’angle qu’elle a décrit; les verticales AP', CR' qui sont tangentes au cercle, sont aussi normales à la courbe et la différence des deux verticales AP, AP' ou CR, CR' est égale à la différence des arcs ABCDA, A'CDA ou ABC, A'BC, c’est-à-dire à l’arc A A' qui est proportionnel au temps.
Il suit de là que les verticales AP, CR sur lesquelles se trouvent les sommets de la courbe, dans sa position initiale, sont encore les lieux des sommets de la courbe supposée en mouvement autour du centre O, et que pendant le mouvement uniforme de la courbe, les sommets se meuvent uniformément sur les verticales AP, CR.
Donc si un point matériel pesant, assujetti à rester sur la développante , se trouve placé à l’origine du mouvement sur l’un des sommets, il décrira uniformément, en montant ou en descendant, soit la verticale inférieure, lieu des sommets minima , soit la verticale supérieure, lieu des sommets maxima , si toutefois ce dernier mouvement est possible.
Cette propriété de la développante est analogue à celle de l'hélice. Mais les deux courbes different eu ce que la vitesse initiale du point matériel , déterminée par les équations de l’article VIII du second mémoire, est égale , sur la développante, à celle de son mouvement rectiligne, ce qui n'a pas lieu sur l'hélice; et dans le cas où la rotation de la développante autour de son axe horizontal, ne serait plus uniforme, mais variée suivant une loi quelconque, le mouvement du point matériel se ferait encore sur les verticales, lieux des sommets, avec une vitesse variée, égale à celle d’un point de la circonférence du cercle A B C D ; résultat également contraire à celui que le mouvement du point matériel sur l’hélice, nous a donné lieu de remarquer ci-dessus.
V e Exemple. Equations de condition et formules du mouvement des pendules simples-à-centres-mobiles. Fig. a.
Un point matériel ou un corps m, attaché par une verge d’une longueur donnée à un centre C , et sollicité par une force accélératrice constamment dirigée vers un centre C’, forme ce qu’on appelle un pendule simple; nons supposons ici , non seulement que le centre C se meut autour 3u centre C', mais encore que le centre C' se meut autour d’un troisième centre C", et que le centre C" se meut autour d’un quatrième centre fixe C'"; au lieu de trois centres mobiles, on pourrait en admettre un nombre quelconque. Nous supposons, de plus, que les mouvements uniformes et circulaires de tous ces centres s’exécutent dans le même plan et dans le même sens. La vitesse angulaire du centre C autour de C’ est i, celle du centre C' autour de C” est i, et celle du centre C" autour de C " est i'. Les rayons CC’, C'C”, C"C" sont
respectivement R, R', R". Le rayon mC du pendule est r. Enfin nous supposons qu’à l’origine du mouvement, le rayon C''C"‘ faisant avec une droite donnée C"'W l’angle <■>", les rayons CC", CC' faisaient, avec les rayons C'''C'', C'C' prolongés, les angles <■>', u.
Cela posé, il s’agit de trouver les équations de condition et les formules du mouvement du corps m, la force accélératrice, dirigée vers le centre t', étant constante et égale à g.
La droite donnée C'" W étant prise pour l’axe des ordonnées et une perpendiculaire C' "Z, menée à cette droite par le centre C"’ étant prise pour l’axe des abscisses ; soient x,y, les coordonnées du point matériel m, après le temps t ; l’abscisse a!' du centre C" qui tourne autour de C et son ordonnée b'\ sont après le même temps , données par les équations
a" = R"sin. (»"+ '),
R''sin. (»"+*»");
pour avoir les coordonnées correspondantes a', b’, du centre C’, il faut intégrer les deux équations différentielles
' • dd=dd' + ( b'— b" ) ï d t,
db' =db" — {a! — a")ï dt,
qui expriment que le centre C' a, dans chaque instant, deux mouvements simultanés. L’un est égal et parallèle au déplacement instantané du centre C L’autre est un mouvement de rotation autour de ce même centre, avec la vitesse angulaire i'. Ces équations donnent, en mettant pour à , b", leurs valeurs
86 V iî.v MÉMOIRES i.
a' » R"sin ( „"+ ti“) + R' sin. ( «T~h » If), è' = R" cos. ( u“ + tr ) + R' cos. ( »" - 4 - J lï ) .
L’abscisse a et l’ordonnée £> du centre C sont données de la même manière par les équations >
a R sin. (<u -i- fi ) + R sih. (« -4* *a + il )
-4- R sin. (eu -4- eu -4- tu -4b = R" COS. (tu" -4- ti") + R' COS. ( ta' + tu' + tï)
+• R cos. (to -4- tu -f- w + n).
En retranchant de l’abscisse a du centre C, 1 abscisse x du point matériel m, on a la projection du rayon r sur l’axe des x ; et en retranchant l’ordonnée y de l’ordonnée b du centre C, on a la projection du même rayon sur Taxe des y. Donc en faisant la somme des carrés des deux projections et l’égalant à r’, l’équation de condition qui exprime que le point matériel m reste à une distance constante du centre mobile C, est
Les formules du mouvement s’obtiennent en ajoutant aux composantes de la force accélératrice qui sont
dans le sens des x , dans le sens des y,
mg(x—a ')
les forces équivalentes aUx équations de condition. La quan* tit* K est la racine carrée de la somme des carrés (a; — rt')
( y — b ' Mais la transformation des coordonnées rectan-
gnlaires èn coordonnées polaires simplifie beaucoup ces calculs. 1 ->■>*.
Si on nomme <? l’angle m CC', c’est-à-dire l’angle compris, après le temps t, entre le rayon Cm du pendule et le rayon
CC', il est facile de voir qu’on a *' ;
x — cl — r sin. (ç + u -t* -t- u> -f- £i),
y — b — r cos. (9 + tt"+ <J + u + n),
le diviseur K devient égal à (R’+r’ — aRrco#,?)*, et les formules du mouvement sont
d’où on tire en éliminant p
(Ar—y) (*-rr-a')J ,
et en mettant pour a, b; a', b'; X,y, leurs valeurs en 9 et t
r ~ — ^ + Ri‘sin.9 -+- R' t'* sin. [9 + u + (* — *') e]
-H R i 'sin.[<p-Hw + w-t-(t — t )f],
équation qu’il faudrait intégrer deux, ibis pour avoir les formules finies du mouvement du point matériel autour du centre C. Celte opération tt’pàt'pas possible, même dans le cas où les vitesses angulaires i f i, i", sont nulles. Mais si on suppose que le point matériel oscille, en s’écartant peu
du rayon C C' et que l’angle variable .9 se confond sensiblement avec son sinus, ainsi que les angles 9 4 (» — i) t, 9 4 (* — i') t, correspondans à un petit nombre d’oscillations, il est facile de trouver l’expression de 9, en fonction du temps. ; ,
En effet on a dans cette hypothèse
sin.f = Ÿi cos. 9=1,
sin. [9 4 - u 4 (i — *')f] = sin.u 4 [9 4 (t — i')e] cos.w, sm. [9 4 ' w 4 u 4 fr — - 1 ) t ] = sin. (u 4 u)
4 [9 + (f f ) t} cos. (» 4 **> ),
et ces valeurs substituées dans l'équation différentielle, la changent en celle-ci
r^|= — ^5L + RY'^sin. w + [? + (* — 0*]cos.è>^
-f- R. i * (^sin. (w -4- «) •+■ [ç ■+* (i — ( )f ]cos. (« -4- a ,
dont le second membre est de la forme — A 9 + It 4 M. En le représentant par — hy et en mettant pour 9 sa valeur en y, il vient
ddjr ,
dt
et en intégrant
y = C sin. (ty * 4 fi)-
Donc en remettant pou*^ sa Valeur et transposant, on a
• :i< 1 u:- ri nij • , c.ini ?•>! > !
Aip— AC&in. Çt \r~ ^ £r * ( i - 1 1) cob. ù .[ * ;nnr*
4 — j")cos.(« 4 «)J +R t ’sin.M 4 R t ’sm!(w 4 -uJ,
A^=A C y/? cos. Çt \/~- r + 8^4- R' ï' ( i — *') cos. u
