SL > SL
$x H + & + Sz 17 —°’
**E + *^ÇF +* 2 S- = 0 -
Or, quoique dans ces équations les variations Sx, iy, iz, soient différentes des variations dx, dy, dz, relatives au mouvement et prises en faisant varier le temps, les coefficients , sont respectivement égaux aux coefficients
dx ’ dj » 7^" ’ car f° nct i° n prime de la fonction d’une variable est indépendante de la différentielle de la variable. La
t >p jp £P
même remarque s’appliquant aux coefficients » Jÿ > jz > les équations précédentes sont identiques à celles-ci :
, </F * </F . rfF
en multipliant la première par n, la seconde par y et ajoutant ensemble , il vient
ou bien
k r rfF-i . r «l rfF-i „ r <*l «/Fi
+ îz [f l rfJ + rjiJ =<>i Ja-P-t- ij-Q+ iz R = o,
équation qui exprime que la résultante des forces P, Q, R, est normale à la courbe ou à la surface courbe, sur laquelle le point matériel est assujetti à se mouvoir, à l’époque marquée par le temps t, et qui pst donnée par les équations de condition , en y supposant le temps constant.
ARTICLE IV — Problème.
Déterminer la valeur de chacune des forces P, Q, R, qui tiennent lieu des conditions du mouvement d’un point matériel.
Solution.
. . tir i • •• *, » i .* *•/ * *. . Ht
Ces forces sont données immédiatement par les formules différentielles du mouvement
d(~) = ^ + ^)dt, d(%)=W+Q)dt, rf(^) = (Z + R)rft,
quand on connaît les coordonnées x, y, z, en fonction de t; on peut aussi trouver leurs expressions en fonction de la vitesse du point matériel.
I er Cas. Les équations de condition ne contiennent pas le temps.
On a par l'article précédent
Prfx-+-Qrfj+R<£z=o,
Cela posé, si dans les formules différentielles du mouvement, on met au lieu de dt sa valeur et si ayant fait passer u hors du signe de différentiation , ce qui donne
u ' d (c£) + udu 37 = X + P ’
+ u du Èr= Y +
«■rf’C %j) + ‘udu ^ = Z-»-R,
on substitue à udu sa valeur (X + P) d x -t- ( Y+ Q) A y 4 - (Z + R)rfz, qui se réduit à X dx -t- Y dy -+- Z dz, dans le cas dont il s’agit, il vient, en prenant les valeurs de P r
Q, R, : I ' l • •• ... Ij* ' •
4a MÉMOIRES
p =£ rf (S) + < xrf * +Yrf j Ni * zrf *)ï?- x »
Q=£ rf (ÿ') + ( x ^ +Y ^ +zrf2 Æ- y ’
R =j/(ÿ J ) + < Xrf ^- Y <r+ Z *)£-z.
ces équations peuvent être simplifiées eu décomposant la résultante des forces X, Y, Z, en deux forces; l’une dirigée suivant l’élément de la courbe décrite par le point matériel, l’autre perpendiculaire à la même direction. Soient X', Y', Z', les composantes de la première force; X", Y", Z”, les composantes de la seconde force; on a d’abord X = X' 4- X”; Y = Y'-t-Y"; Z = Z’-f-Z''; on a ensuite Y dx=X'dy; Z ' dx — X' dy ; X" dx + Y" dy + Z" dz — o; et en substituant ces valeurs, les équations précédentes se réduisent à
dans lesquelles les premiers termes des seconds membres sont les projections d’une force dirigée vers le centre de courbure de la courbe décrite par le point, et égale au quotient de u’ divisé par le rayon de courbure.
En effet si on suppose que le plan des xy est perpendiculaire à la force, les projections ^ (^) *
correspondantes à P et à Q, sont nulles , et la force a pour
expression ~ d Or le centre de courbure x', y', z’,
est en même temps sur trois plans qui sont :
i° Le plan normal à la courbe dans le point x, y, z; son équation est
ds "
a° le plan normal dans le point x -+- dx, y + dy, z + dz. En retranchant son équation de l’équation précédente, ou, ce qui revient au même , en différeotiant cette dernière équation , sans faire varier x , y , i, et égalant la différentielle à zéro, on a
(ïî) + (cif) d Gtt) + ( : 7r)^(^) :
3° Le plan passaut par les tangente* aux points x, y, z; x + dx, y + dy, z + dz, lequel a pour équation
\x'+x)[dzd(^)-dyd(^)]
+ (/-/) [<**</(£) -dzd(£)]
+ ( z) [dydfë) -dxd(jf z )] =o
Si on tire de ces trois équations les valeurs de x — x, y — y, z' — z, en faisant, selon l'hypothèse adoptée ci -dessus, d Çjj') = o, d =o, on trouvera d’abord, par la première et par la troisième,
x’ — z=ï= o, y~yz=0,
ce qui prouve que la droite menée du pointa:, y, z, de la courbe au centre de courbure x',y, z, est perpendiculaire au plan des x, y , ainsi que la force dont il s’agit. On a ensuite par la seconde équation
ds
et, en substituant la valeur de d Cyy) dans l’expression de
la force , il vient ; d’où il résulte que la force est de
même signe que z' — s, qui est le rayon de courbure r, ou, ce qui revient au même , que la force est dirigée vers le
centre de courbure et égale à “ •
A l’égard des termes X' , Y”, Z”, la force dont ils sont les projections a été définie ci-dessus.
Donc, lorsque les équations de condition du mouvement d’un point matériel sont indépendantes du temps, les forces P, Q, R, équivalentes à ces équations , sont représentées par deux forces. L’une est dirigée vers le centre de courbure de la courbe décrite par le point , et sa valeur est égale au carré de la vitesse, divisé par le rayon de courbure. La seconde est égale et contraire à la résultante des forces accélératrices normales à la courbe.
II e Cas. Les équations de condition sont fonction du temps.
Si on met , comme ci-dessus , dans les équations du mouvement à la place de d t et de u du leurs valeurs ~ , (X P)dx -+- (Y + Q)dy -h (Z + R )dz, on a d’abord
(X + P )ds — u'd +
77 [(X + P) < / a? +(Y+Q)^+(Z+R)rfz],
( Y + Q)ds=u'd (J) +
^[(X + PJrfx+CY+QJrfjr + CZ + RJrf*],
( Z + R ) d s = u’rf ( 57 ) +
Jî[(X + P)rf* + (Y+Q)rfjr + (Z + R)rf*];
substituant ensuite pour Pdx+Qdy+Rdz, sa valeur — [h- ^ f 77 — ydf j , donnée à l’article V du second mémoire, et prenant les valeurs de P, Q, R, il vient
R== 2î^(sr) + Yrfj. + zrfz]
ou, en faisant les mêmes substitutions que dans le premier cas,
Les forces P, Q, R, équivalentes aux équations de condition , sont donc représentées par les forces définies dans le
, de r dL rfKi premier cas et par une troisième force ^ P 1 777 + Y 777 n
dont les projections sont entre elles dans le rapport de dx à dy , à dz, et dont par’ conséquent la direction est tangente à l'arc infiniment petit décrit par le point matériel.
Article v. — Problème.
Déterminer l'action qu’un point matériel exerce contre les obstacles en vertu desquels les conditions de son mouvement sont satisfaites.
Solution.
Cette action est évidemment celle des forces détruites, c’est-à-dire celle des forces qui sont nulles à l'égard du mouvement du point matériel. Or, soit que les conditions du mouvement auxquelles les forces P, Q, R sont équivalentes, contiennent le temps, soit qu’elles ne le contiennent pas, il résulte de ce que les forces accélératrices sont X, Y, Z, ou X -+- P — P, Y -+- Q — Q, Z -t- R — R, et de ce que le mouvement du point matériel est représenté par les équafions
rf (ÿ) = (X+Q)^
rf(g) = (Z + R)rfr,
que le point matériel se meut comme s’il était libre et sollicité par les forces X + P, Y -t- Q, Z + R; les forces détruites à chaque instant du mouvement sont donc les forces — P,
Mais à l’origine du mouvement et avant que les forces accélératrices X,Y,Z, n’aient produit des vitesses finies, le point matériel ne se meut qu’en vertu des vitesses qui lui ont été imprimées et qui sont modifiées par les équations de condition : soit comme dans l’article VIII du second mémoire,/?, t], r, les vitesses imprimées suivant les axes des coordonnées
*» r. *»• «* (£?)„. (tc)o’ ks vîtesses ““*“«• J ks
vitesses perdues , et par conséquent les forces détruites , sont
et on a leurs valeurs par l’article cité. Les mêmes équations donnent les forces détruites dans le cas de l’équilibre, en faisant les vitesses initiales égales à zéro. Les forces détruites sont alors/?, q, r, c’est -à - dire les fonces mêmes qui sont en équilibre. .•«
Connaissant ainsi , dans tous les cas, les valeurs des forces détruites, il est facile d’avoir l’action exercée par le point
matériel m sur chacun des obstacles, en vertu desquels les équations de condition de son mouvement sont satisfaites Soient L= o, F = o ces équations, on a
p dh
p -' u z; o— dL dr
^ dz
dT
-idl'
les premiers membres étant connus par ce qui précède, les facteurs p. , y , le sont aussi. Cela posé les composantes de la
force équivalente à l'équation L = o, sont P 1 :
le produit de la résultante {* + (jr) ] 7 P ar
la masse du point, est donc l’action exercée sur l’obstacle en vertu duquel cette équation est satisfaite. De même les composantes de la force qui représente l'équation de condition
h=o,etant y3I , T55 ; )Y7r , le produit m T [^) + {jj)
+ est l’action exercée sur l’obstacle en vertu duquel *
cette équation est satisfaite. La direction de chacune des résultantes est déterminée par les valeurs et par les signes des forces composantes.
Corollaire. Pour faire une application de ces formules, soit le même point matériel m, assujetti à se mouvoir sur la circonférence d’un cercle dont le centre est à l’origine et dont le plan coïncide avec celui des x,y. Les forces accélératrices étant supposées nulles et-V étant la vitesse constante
SUR LA MÉCANIQUE. 4g
du point, r le rayon du cercle, il résulte de l’article précédent, que les forces dues aux équations de condition sont
dans le sens des x positives, P égale à — ; dans le sens
des y positives , Q égale à ; dans le sens des z , R égale à zéro.
Cela posé, si le corps est renfermé dans un canal circulaire, dont l’axe soit la circonférence du cercle donné, il y a une seule équation de condition
et la résistance de la paroi du caual est le seul obstacle qui empêche le corps de se mouvoir librement, La pression de
la paroi a donc pour mesure la résultante ro(P‘+ Q’) ’ égale à et dirigée en dehors du cercle. C’est cette résultante
qu’on a nommée force contrifuge dans les mouvements circulaires , parce qu’elle imprime au corps en mouvement une vitesse qui tend à l’éloigner du centre de rotation. En nommant T le temps d’une révolution entière , on a V= , et par conséquent la force centrifuge est égale au produit de la masse m du corps , par la vitesse
2 ° Si le corps est maintenu à la distance donnée r de l’origine par un fil ou une verge , et dans le plan des xy par la résistance. du plan, il y a deux équations de condition
les forces dues à ces équations sont fix, (iy, pz, pour la première, y pour la seconde, et on a P = px, Q=pj-, /.
5o MÉMOIRES
R = gz4-y,d’où on tire y = o à cause de z = o. La résultante des forces équivalentes à l’équation a? 4- y' 4- z’ = r\ est
+ z*)* ou C'est la tension du fil ou de la verge;
et la force y , équivalente à l’équation z = o et qui mesure la pression du plan , est nulle. Dans le cas où il y aurait une force accélératrice Z dans cette direction, la force y, égale à Z , serait la pression du plan des xy.
3° Si le corps est assujéti à rester sur la circonférence du cercle donné, par deux fils ou verges qui le maintiennent à des distances constantes de deux centres situés sur l’axe des z, l’un à la hauteur A, l’autre à la hauteur — H, il y a encore deux équations de condition
les forces dues à ces équations sont px, ^y, —r^z (A — z) pour la première; yx, y y, y (H 4- z) pour la seconde, et on a
P = |iX4yZ, Q == V~y 4- yy> o = — |i(A 4-z) + y(H 4z),
d'où on tire
la résultante des trois forces gx, p y, g (A — -z), multipliée par la masse m, c’est-à-dire la force motrice
T Kïï+TU ( 1 ’
est la tension du fil ou de la verge qui maintient le corps à
la distance (r’ 4- A’)' du centre A, et la force
SUR LA MÉCANIQUE 5i
mV‘ f h \ / h'\l
est la tension de la verge qui maintient le corps à la distance
(H* + r’)' du centre H. Il est facile de voir que ces deux forces, ou ces deux tensions, sont les composantes de la
force centrifuge — , décomposée en deux forces , suivant les
directions des verges qui maintiennent le corps à des distances données des deux centres fixes.
ARTICLE VI. — Problème.
Étant données les conditions du mouvement d'un point matériel, on demande les équations de condition.
Solution.
D’après ce que nous avons dit, article II, les équations de la courbe ou de la surface courbe sur laquelle un point matériel est assujéti à se mouvoir, sont aussi les équations de condition du mouvement du point, et le problème proposé est tout-à-fait analogue au problème d'analyse géométrique, qui consiste à déterminer les équations d’une courbe ou d’une surface. Notre objet dans les exemples qui suivent est donc, moins de trouver les équations de condition, que d’appliquer à quelques cas du mouvement et de l’équilibre d’un point matériel, les formules générales données dans ce mémoire et dans les deux mémoires précédents.
5a MÉMOIRES
I er Exemple. Un point matériel m est assujéti à se mouvoir sur un plan fixe, et les forces accélératrices se réduisent à la gravité, c'est-à-dire à une force g, constante et parallèle à une direction donnée.
Soient.*-,/, z, les coordonnées communes au point matériel et au plan donné. Les deux première* coordonnées x,y, sont sur un plan normal à la direction de la force ; la troisième z, lui est parallèle : soit aussi a, 6, y, les angles que le plan lait respectivement avec les trois axes des coordonnées, et a, b, c, les coordonnées d’un de ses points. L’équation
(x — a) sin. a. -t- (/ — £)sin. 6 -+-(z — c)sin. y=o,
qui est celle du plan , étant difFérentiée et multipliée par le facteur indéterminé (i, on a l’équation de condition dans laquelle il faut prendre , comme on l’a vu , les coefficients ji sin. «, (i sin. 6, f* sin. y des différentielles dx, dy, dz, poulies valeurs des composantes de la force substituée à l’équation de condition.
Cela posé, les formules du mouvement du point matériel sont
m d = (t sin. * d t.
m d (jfy = t* *in. 6 dt, m d (^) o = (n sin.y — gm)dt;
en les multipliant respectivement par sin. «, sin. 6, sin. y, et les ajoutant ensemble, on a, à cause de sin.* a + sin. 1 6 -+sin. , y= i, et de sin. *dx + sin. Gdy 4- sin. y dz=o,
*=gm sm. y;
substituant cette valeur constante de p , dans les équations
différentielles, et intégrant, il vient
d x C dx\ . .
77~l^A=*' sin -“ s,n -o
^7-(SX=^ fSin - esin r.
dz f d 2 \
Tt ~
cos.'
les constantes d’intégration (î£) o , (J?) o> (J) o , qui représentent les vitesses initiales, se déterminent par L'article VIII du second mémoire. Soient p, q, r, les vitesses imprimées à l’origine du mouvement , vitesses qui diffèrent des vitesses initiales; on a, par l'article cité, ' ' -
•1 *4* p. fcin. 6 =± 6, 1
:•)»;* *.oy
,fffL
m L r ~ \Jl)o J*-f* ““-r ■
• .;.rn q
On a aussi , à l’origine du mouvement ,
/dx\ . »'(/yV . ’ „ /di\ -
KStXW- “ + (âX 8in ' ê + l57)o s,n ' ^ = °-
Ces quatre équations donnent*,
fdx\ . .ip "v;J ci 1 . j -1
\~dt ) 0 = P — &m. â f p sin. a -+- çsm.Ê 4- r sin. y ,
C^X ~ ? — sin.6 j/jsirt. * -+- q sin. 6 - 1 - r sin. y J ,
(30. =*r — • sin. y j/isin. ■ -Kÿsin.ê-»- rsin.y j ,
Intégrant une seconde fois les équations du mouvement, et représentant par x 0 ,y„,z., les coordonnées initiales, il vient, pour les formules finies du mouvement du point matériel ,
a?— x. = *(ÿ) o -t-Çsin.«.sin. y ,
y— r.=*(^).+Ç»in.e.sin. y ,
. f dz \ et
z - z - =t hv -
et pour les valeurs des forces P, Q, R, équivalentes aux équations de condition
P=£/nsin. «.sin.y, Q=g-msin.ê.sin.y, R=g-m sin. y .
Ces formules donnent après un temps quelconque la vitesse, la direction, le lieu du point matériel , ainsi que la pression . que le point exerce sur le plan , et il est facile de voir quelles représentent les propriétées connues du mouvement des corps-graves sur les plans inclinés. A l’égard des conditions de l’équilibre, leur développement donne lieu à une remarque générale.
Ces conditions s’obtiennent en exprimant que les coordonnées x, y, z, restent constamment égales aux coordonnées initiales z„, et il faut pour cela que chacun des
coefficients de t et de t' dans les formules du mouvement soit nul; ainsi on a d’abord les trois équations
p — sin. a. sin. + q sin. 6 -t - r sin. y ] =9 o,. ,
q — sin. 6 [ p sin. + q sin. 6 -+- r sin. y] =± o,
r — sini y [p sip. 1 -♦* q sin. 6 -h r sin. y] =s
qui signifient que la résultante des vitesses imprimées est normale au plan donné. On a ensuite
g- sin. a sin. y = o, g sin. y sin. S = o, gcos.’6 = o ,
équations qui se réduisent à sin. y = i, parce que la gravité est la seule force accélératrice, mais qui, dans le cas de plusieurs forces appliquées au point matériel, exprimeraient les conditions de l’équilibre entre ces forces. On voit donc que les conditions de l'équilibre d’un point matériel comprennent non seulement celles de l’équilibre des vitesses imprimées, mais encore celles de l’équilibre entre les forces accélératrices, et que ces deux équilibres ne se confondent pas en un seul, comme cela arriverait s’il n’y avait qu'une seule puissance de t dans les formules du mouvement; il suit de là que des vitesses imprimées simultanément à un point matériel et produisant des espaces parcourus proportionnels au temps , ne peuvent pas être en équilibre avec des forces accélératrices continues, c’est-à-dire avec des vitesses continuellement imprimées et produisant, pendant un instant infiniment petit, des espaces parcourus proportionnels au carré du temps.
II e Exemple. Le plan sur lequel le point matériel est assujéti à se mouvoir n’est pas fixe; il se meut parallèlement à lui -même, et tous ses points parcourent uniformément avec la vitesse V, des droites parallèles données.
Soient comme dans le premier cas , a , 6 , y, les angles constants que le plan mobile fait avec les axes des coordonnées x, j, z; et a’, f, y’, les angles des mêmes axes avec les droites parallèles sur lesquelles se dirige le mouvement du plan : soient aussi a, b , c, les ordonnées d’un point du plan à l’ori-
gine du mouvement. Lequation du plan à cette époque est
( x — a) sin. a + (jr — b) sin. 4 (z — c) si». y = o;
mais après le temps t, les ordonnées du point a, b, c, étant a -t- V’ f cos. b- f-V f co®. 4*, c -+-V t cos. /, l’équation du
plan, c’est-à-dire l’équatkm de condition du mouvement du point matériel est,
(x — a — Vf sin. *') sin. * -t- (y — b — V t siu. 4') sin. 6
+ (z — c — Vf sin. y' ) sin. y = o;
en la différentiant et en la multipliant par ja, les coefficients de dx, dy, dz, sont g sin. a, ja sin- 4, g sin. y, et on a les formules du mouvement
md 1
1 = g dt sin. *,
md \
\dt J
| = |a dt siu. 4,
md (
\dt)
= ( |a sin. y — gm) dt.
Si on multiplie ces formules par sin. «, sin. 4, sin. y, et si on les ajoute ensemble, il vient, à cause de sin.’ « -+- sin.'4 -t- sin.' y — i,
msin. «<*( 37 ) +»«“•■« (59 + m » in T d (r t )^
(g — gm sin. y) dt.
Or l’équation de condition, étant différentiée deux fois de suite, donne
sin. ( Jf) 4- sin. g d (ÿ) + sin. yrf (J) = o,
ce qui réduit l’équation précédente à
