R" *"’(* — j”)cos. (u

Il résulte de ces équations, dans lesquelles le temps est supposé varier dans des limites très- rapprochées,

t° Que la vitesse angulaire du point matériel autour du centre C, est une quantité périodique, et que la durée de sa période est w y/* ; telle est donc aussi la durée d’une oscillation entière du pendule, cette durée étant prise, soit entre deux époques consécutives, auxquelles la vitesse est nulle , soit entre deux époques consécutives, auxquelles cette même vitesse est un maximum et qui sont données par l’équation = o.

a 0 Que l’angle 9, dont l’expression est composée de deux termes contenant t, l’un sous le signe sinus , l’autre hors de I. 1a

go MÉMOIRES

ce signe, n’est pas une quantité périodique. Le rayon CC', dirigé du centre C du pendule vers le centre C' de la force accélératrice , ne partage donc en deux parties égales , ni l’amplitude ni la durée d’une oscillation.

3° Que la durée d’une oscillation dont la valeur développée est

ic r*

— R/' — R' i”cos. ii> — R ,, «" , cos.(»' — “)^ T ’

dépend non seulement des vitesses angulaires i, i', i", mais encore des angles w , qui sont donnés par la position des centres C, C', C”, à l’origine du mouvement, c’est-à-dire à l’époque de l’oscillation.

L’équation différentielle trouvée ci-dessus présente un autre résultat; en laissant cette équation sous sa forme primitive

f-Rt'sin.ÿ+ R'^sin. [y+w+ (t — i , )r] + R i 1 sin. [ y -f - w’ ■+■ w -4- (t— i ) i],

il est facile de voir qu’il n’y a aucune position dans laquelle le pendule puisse rester en repos, relativement à la verticale. Car en supposant, qu’après un temps déterminé, le pendule soit dans une position telle que le second membre de l’équation s’évanouisse, ce qui est la condition de l’équilibre relatif dont il s'agit, dans l'instant suivant, cette condition n'aura plus lieu, à moins qu’on n'ait

ou simplement

c’est-à-dire à moins que le pendule ne soit à centres fixes ou à un seul centre mobile. Dans ce cas seulement , la position verticale du pendule est une position d équilibré. Donc un pendule à deux ou à plusieurs centres mobiles, abandonné à lui -même, dans la position verticale, commence à se mouvoir et on peut demander quelle est la direction de son mouvement et quelle est l'amplitude de sa première oscillation.

Pour résoudre ces questions, il faut, après avoir remarqué que le repos du pendule dans la verticale, n’est qu’un repos relatif, déterminer i° les vitesses absolues du point matériel m, lorsqu' étant maintenu dans la- verticale CC’, il a la même

vitesse que la verticale; a° les vitesses initiales (jff) , (jjj) > et la vitesse angulaire (Jjf) > lorsque le point matériel , aban-

donné à lui -même dans la verticale, commence à se mouvoir à la manière des pendules.

Or, ayant trouvé ci-dessus les formules

ffl=R'sin.(ù>'’ + f 1*) -4- R'sin. (*)"+ J + ti ')

H- R si u. (i»> -H u + w + nj, £ = R’cos. (u'-f- ti") -t- R'cos.(to"-f- w'-f ti')

-4- R cos. (d + lu + fi),

qui donnent l’abscisse et l’ordonnée du centre C, après le temps t, il suffit pour avoir l’abscisse et l’ordonnée du point matériel m, maintenu dans la verticale, de retrancher

r sin. («’-t- u'-t- u -1- fi) de a, et rcos. («“-+- <u'-t- « -4- ti) de b;

différenciant ensuite cette abeisse et cette ordonnée , par rapport au temps, et faisant f=o, il vient, pour l’expression de la vitesse du point suivant l’axe des x.

‘ COS. (w + co w ~4~

et pour l’expression de sa vitesse suivant l’axe des y

~f- r i sin . ( w -f (>> -4- w + tij •

Ces deux vitesses étant celles que nous avons nommées en général p, q, dans l’article VIII du second mémoire, il résulte du même article, que les vitesses initiales (^77) » (jf t ) o > du pendule sont données par les deux équations

fl CL • /#/ # , / d X\ f \

— ri cos - ( U - 4 - M + u) — ^777^ = 1* (<* ■*■)>

combinées avec l’équation de condition

si ensuite on joint à ces équations , les suivantes qui expriment les relations établies entre les coordonnées x, y, et

l’angle <p r „ ,

a — x = rsin. [ç + « + u + *> - 4 - <j] ,

b — y = r cos. (9 -+- w"+ w'-t- u 4 - tt ] ,

ainsi que leurs différentielles

SUR LA MÉCANIQUE. q 3

dans lesquelles t = o, il vient successivement

r cos. («' ■+■ # + ii>) = jt sin. ( w "+ u + u),

r sin. (<u + u -4- »»)— {a cos. (u + u + .

et par conséquent

La vitesse angulaire initiale du pendule est donc nulle. Cela posé, la différentielle d ( J77 ) o de la vitesse angulaire

n étant pas nulle, le pendule commence à se mouvoir en s’écartant de la verticale, et il continue de s’en écarter jusqu’à ce que la vitesse angulaire soit nulle. L’amplitude de la première oscillation, entre deux points où la vitesse est nulle, est donc toute entière hors de la verticale, et sa durée étant w vl , on a, en donnant à t cette valeur dans

l’expression de ç, et en nommant <j>' l’amplitude de la première oscillation

hf =h Csin.6 -1- it £rV*(i — t')cos. w + R" *"■(* — «")cos,(<u'-t- u)j + Ri' 1 sin. u + R"t"’sin.(w'+ w),

ou, parceque la somme du premier et des deux derniers termes du second membre s’évanouit ,

h< p' = * y / - h ^R'i'*(*. — *') cos.u-t- R"i"*(i — t'')cos. (u'+ «),

ou bien encore en faisant 1” = 0, et en ne considérant que

les pendules à deux centres mobiles . .

ry — ir R i 1 ' (* — n) cos. u.

Le premier membre de cette équation est l'arc décrit par le pendule dont le rayon est /■, et sa direction est déterminée par le signe de cos. «, la vitesse angulaire i étant supposée plus grande que la vitesse i'.

Corollaire. Ces résultats s'appliquent immédiatement aux pendules qui oscillent à la surface de la terre, dans le plan do l'équateur. La vitesse i du centre du pendule autour de

C, est celle de la terre sur son axe . c’est-à-dire ô - , la se-

conde étant la mesure du temps, et la vitesse i' est celle de la terre autour du soleil dans orbite projetée sur l’équateur. Cette vitesse, qui varie continuellement, peut être supposée constante pendant le petit nombre de secondes comprises dans les limites des intégrales. On connaît d'ailleurs son expression dans les différentes époques de la période annuelle. Pour abréger, nous la supposons constante, et nous

faisons 1 égale à 3^5 a -, ‘ Nous supposons aussi que le

rayon vecteur R' de l’orbite terrestre , projetée sur l’équateur est constant et égal à a35y8 R, le rayon R de la terre étant de 63G6ig5 mètres. L’angle a formé au centre de la terre, par deux rayons menés dans, l’Equateur, l’un vers le centre C du pendule, L’autre vers le point du ciel en opposition avec le soleil, est ce qu’on nomme l’angle horaire du lieu où est situé le peudule, le temps étant compté depuis minuit. Avec ces données, et en faisant » = o, ou trouve la durée d’une oscillation du pendule égale à

g — o,o34 — o,ooô cos.

rj ; .

quantité variable dont le maximum correspond à l’angle horaire nul, c’est-à-dire à minuit et dont le minimum correspond à l’angle horaire de 180 degrés, c’est-à-dire à midi. Ce maximum et ce minimum évalués en nombres , pour un pendule d'un mètre de longueur et la gravité g étant supposée égale à 9“, 7798, sont i'',oo645 et i”,oo583.

Les mêmes données étant substituées dans l’expression de l’arc r 9' du déplacement spontané du pendule, on trouve cet arc égal à o“, ooo4353 cos.u, ou à o m , 5436 cos. w, en donnant au pendule une longueur de 225 mètres. Or quoique le signe de l’angle 9' soit négatif, quand l’angle horaire est plus grand qu’un angle droit, il est facile de voir que le déplacement du pendule a toujours lieu vers l’est. En effet si c’est à minuit ou dans l’intervalle de six heures du soir à six heures du matin, que le pendule maintenu dans la verticale est abandonné à lui -même, le cosinus de l’angle horaire étant négatif, ainsi que l’angle 9', le pendule commence à se mouvoir comme l’indique la figure 2, c’est-à-dire vers l’est ; et si c’est à midi, ou dans l’intervalle de six heures du matin à six heures du soir, que le pendule est abandonné à lui même, le cosinus de l'angle horaire étant négatif, l’angle 9 est aussi négatif et doit être pris en sens contraire, comme dans la figure 3. D’où il suit que le pendule se dirige encore vers l’est.

Dans le mémoire sur la limite de la durée des oscillations d’un système , après avoir donné les formules du mouvement des pendules à une latitude quelconque, nous en conclurons que la dutée des oscillations est indépendante de la position

du plan vertical, dans lequel le pendule oscille; que la gravité des corps terrestres est modifiée par le mouvement annuel , ainsi que par le mouvement diurne, et qu’un pendule abandonné à lui-même dans la verticale, et dans un lieu quelconque de la terre se meut spontanément. Si ce dernier résultat était vérifie: et rendu sensible par l'expérience , on aurait une nouvelle preuve du mouvement de la terre autour du soleil.

Cette preuve pourrait résulter aussi de l’observation de la marche d’une horloge astronomique pendant les différentes heures du jour et de la nuit. Il est facile en effet de conclure de ce qu’on a vu plus haut, que le mouvement d’une horloge, réglée par un pendule d’un mètre de longueur, est plus rapide à midi qu’à minuit, dans le rapport de i,oo645 à i, oo583 ou dans le rapport de 7204 , 44 à 7200; en sorte que si l'horloge a marqué 7200 ” pendant un certain temps, pris au milieu de la nuit, elle marquera 7204 ’’ pendant le même temps, pris au milieu du jour. En comparant donc l’horloge à un garde -temps très-exact, pendant les intervalles de onze heures du matin à une heure du soir , et de onze heures du soir à une heure du matin , elle avancera, de quatre secondes environ, dans le premier de ces intervalles. Nous supposons l’expérience faite a l’équateur; car à une latitude un peu élevée l, les variations dans la marche d’une horloge, calculées d’après la formule

L# — • o*,o 34 cos. ’f — o”, 006 cos./ COS. u J ’

qui est celle de la durép d’une oscillation du pendule, dont la longueur est r, sont tout-à-fait insensibles, à moins que la longueur r ne soit très-grande.

ARTICLE VIL — Problênc. "■

Trouver les équations de condition d’un système compose de deux points matériels.

I er Exemple.

La figure 4 e représente un levier droit AB, mobile dans dans tous les sens autour d'un point d'appui fixe C. Deux corps ou points matériels pesans P, F sont attachés au levier par l’intermédiaire de deux verges R , R', mobiles autour des points d’attache A , B ; ces verges sont supposées sans masse, 1 ainsi que le levier dont les bras CA, CB sont représentés par r, r.

En nommant x, y, z, les coordonnées du corps P ; x, y, z, celles du corps P’; a, b, c, et a', b', c‘, celles des points d’attache A, B, et prenant l’origine des coordonnées au point d’appui fixe C, on a i° pour le corps P les équations

(x — tzy+(y — b)’ + (z — o)’==R*, a’ -t- b' + c' =r\

qui expriment que ce cdrps est à une distance donnée R du point d’attache A; et que le point A est à la distance donnée r du point d’appui.

2 0 Pour le corps P’ les équations semblables

3 ° On a ensuite pour exprimer que le levier est droit , ou /. i 3

que les deux points d'attache et le point d’appui sont sur une même ligne droite , les équations

a r -y a! r= o, hr+b'r= o, cr + c'r= o.

En différentiant, il vient

(x — a)dx 4 - (jr — &) (c — z)/fz

= (x — 4 - (/i — b)db + (z — e)dc, (i)

‘ cida + bdb + cdc = o, (a)

(x' — d)dx 4- (y — b')dy + (z' — c 1 )dz’

=(x' — a)dd + {ÿ — b')db'-i-{£ — c)dc, (3j

. • 1 ' o'rfa' 4- b' 4- c'dc o, ( 4 ) -

r'da + adr =o, ( 5 ) r'db-t-bdr' — o, ( 6 )

rdc + cdr =o. ( 7 )

Si on divise la première de ces équations par la troisième, et si on élimine les différentielles dn, db, de; da', db‘, de'. on trouve l'équation

(x — a)dx 4- ( y — b )dy 4- (z — c)dz (x'-r— a)dx -Y (y — b')dy 4- (z — c')dz'

/(x — a)(a'r — ar)-y(y — b) ( b' r — br) + (z — c) (c'r-^cr)\ \(x' — a')(a'r — ar)+{y — b'){b' r — £r')4-(z' — c') {c' r — cr 1 )} *

dont le second membre peut être représenté par — et qui donne l’équation de condition

(x — fl)M'r'rfx 4- (x' — a) iïlrdx 4- (y — b) M'rdy 4- ( y — rdy-h (z— ‘ c)MVWî4(j— c)Mrdz =o,

Les formules du mouvement des deux points matériels P, P' sont donc . .

P<^(^) =S|*(.z — a)~Wrdt et Pd (jJj') = — p { x ' —

Vd (^)=|*Cy— F d (ij-^ =— ni/— b')Mrdt,

Fd (£) = [^(z'-d ) M r — gP]dt,

et celles de l’cquilibre

ttMV(x— a) = o et |*Mr(x'- — a')=o,

nMV(j — b)=.o fiMr(y — &')=o,

£-P=l*(z— c)MV ,, gP= v .(z—c)Mr,

1 er Corollaire. Les formules de l’équilibre

ar— ~« = o, \ y — b = o, ar' — a' = o, y — £' = o,

signifient que le corps P et le point d’attache A sont sur une même verticale, de même que le corps P’ et le point d’attache B. En vertu de ces deux conditions , on a

et en éliminant jj. des deux dernières formules, on trouve P/'=P’r'.p’où il résulte que la troisième condition de l’équilibre est que les deux Jbras de levier r, d, soient en raison inverse des poids P, P’; ces trois conditions sont, comme l’on voit, indépendantes des longueurs des verges R, R’, et

de l’inclinaison du levier A R, en sorte que le système peut être en équilibre dans toutes ses positions. Mais si on suppose que les longueurs des verges soient nul les , les deux premières conditions s'évanouissent, et on a pour condition unique de l’équilibre Pr=PV.

II e Corollaire. Nous avons réduit par l’élimination les sept équations de condition à une seule équation entre les différentielles dx, dy, dz, etc., des coordonnées des corps P, P'; en sorte qu’au liea des sept forces qui maintiennent les conditions du système, il n’y a dans les formules du mouvement et dans celles de l’équilibre qu’une seule force p. , qui n’est relative à aucune des conditions données immédiatement. Nous’ ne pouvons donc calculer ni les tensions des cordons R, R, ni les pressions des points d’attache A, B; et si ces pressions ou ces tensions produisaient des frottements, ou d’autres résistances auxquelles il fallût avoir égard, la méthode que nous avons suivie serait insuffisante pour donner les termes dus à ces résistances. C’est surtout dans la théorie des machines que cette méthode est en défaut et qu’il est nécessaire d’eu adopter une autre qui consiste à poser les formules du mouvement et de l’équilibre de tous les points matériels ou non matériels, dont les coordonnées variables entrent dans les équations de condition. Nous nommons points non matériels, les points d’intersections de deux lignes droites ou courbes, ou d’une ligne par un plan ou par une surface. Tels sont les points d’attache A, B qui sont communs aux bras du levier et aux verges R, R considérées comme des droites. De cette manière toutes les conditions qui définissent le système sont représentés' par dés forces équivalentes , et ces

iOI

SUR LA MECANIQUE, forces qui sont les mesures des tensions ou des pressions, servent à exprimer les résistances qui en résultent.

Avant d’appliquer cette méthode à l’exemple précédent, nous remarquerons encore qu’afin d’avoir les pressions que supporte le point d’appui, et auquel il doit résister pour rester fixe, il faut, en assignant des coordonnées à ce point, exprimer par des équations de condition , que les variations de ces coordonnées sont nulles; ce qui revient à considérer le point d’appui comme pouvant se mouvoir , et comme étant en équilibre entre les forces qui tendent à le déplacer , et celles qui s’opposent à son déplacement. Cette remarque que nous aurons occasion de rappeler plus d’une fois dans la suite, convient à tous les points d’appui , et à tous les points fixes , dont on veut connaître les pressions dans les systèmes qui se meuvent, et dans ceux qui sont en équilibre.

Cela posé, soit comme ci-dessus x, y, z, x' , y', z‘, les coordonnées des corps P, P'; a, b, c ; a', b', c', celles des points d’attache A, B; et a', b"', c", celles du point d’appui; toutes ces coordonnées sont rapportées à une même origine. Les équations de condition du système sont

(*' — aj+(y—b’y + (z—c’y= R",

(et' — a) / — (a' — a")r— o, ( b "■ — b)r — ( b’ — b")t= o,

auxquelles il faut joindre celles-ci

a'= constante, b"— constante, c"= constante,

ijui expriment que le point d'appui est fixe ; si après avoir différentié toutes ces équations, on les multiplie respectivement par y, y'î v, A, t, 8, 8", on a les formules du mou-

vement ainsi qu’il suit :

Pour les corps P, P',

1 p Îf=y(7--*)i

dt

p '^=rV-«'), p '^=y ’<*-*)<

do

P a ip=-gP+y(*-c),

pour les points d’attache a, b, c,

d -£-=~i (y-b)-x(b"-b)-Ar, .

^=— Y {z—c) — \(c’’—c)—tr\

pour le point d'attache a', b', c’,

= — r tf—ei) + x’ (a — a") — y r\

dde' * t t ! \ m • 9 / V w» »

-^ r = — Y (z— c)-t-). (c — c )— er; pour le point d’appui a", b", f", .

ddb"

ioi

dt'

ddc"

de

Ces formules donnent , comme tout-à-l’heure, dans le cas de l’equilibre

x — a—o, y — b= o, x — »'=o, y — b'=o, P/ = PV;

on trouve ensuite

Ainsi les tensions des verges R, R’, sont représentées par les poids ^P, g P', et les pressions 6, 8’, 8", du point d’appui se réduisent à une pression verticale égale à la somme de ces poids. Quant aux cinq autres forces >, V; », A, e, elles restent indéterminées, quoiqu il y ait entre les cinq forces cinq équations linéaires. Mais le système étant en équilibre dans toutes les positions du levier, autour du point d’appui, lorsque les conditions

x — <z=o, y — b—o, x — a'= o, y — A'=o, Pr=PV,

sont satisfaites , il en résulte que les équations dont il s’agit , n’expriment que de simples relations entre les forces.

II e Exemple. Fig. 5 . Deux points matériels A, B, dont les masses sont rn, rri, et dans la distance A B (a) reste constante, sont assujétis à se mouvoir respectivement sur les droites PQ, RS, qui se coupent perpendiculairement en C, et qui tour-

io4 MEMOIRES

nent, d’un mouvement commun et uniforme, autour de ce même point. On demande les équations de condition et les formule» du mouvement.

Soit C l’origine des coordonnées x,y; x ,y des points matériels A, B ; t la vitesse angulaire commune aux deux droites ; et T le temps d'une révolution entière. Si on suppose qu'au commencement du mouvement , la droite PQ coïncidait avec l’axe des y, l’équation de cette droite sur laquelle se meut le point A, sera, après le temps t ,

y sin. ti — x cos. ti = o.

L’équation de la seconde droite RS, sur laquelle se meut le point B et qui est toujours normale à la première, sera, après le même temps,

y cos. ti + x' sin. ti — o ; on aura ensuite, entre x, y; x’, y, l'équation

qui exprime que la distance des deux points matériels est constante. Telles sont les équations de condition demandées Les formules du mouvement s’en déduisent immédiatement, et on a, en diflérentiant et en multipliant par ji, y, X,

m -y-- s= — |aCos. ti *+■ X(a : — x ),

sin - f * + * (/—/)»

in '~3r~ = 't cos - li ~ x (r — y Y ■

SUR LA MÉCANIQUE. io5

L’intégration complète et en termes finis de ces formules n’est possible qu’en supposant les masses m, m', égales entre elles : on trouve dans cette hypothèse, et en mettant pour i

sa valeur

x=asin. (-.£-) sin. (o -+- ,

y=acos. sin. (b -+-4p),

, /ait r\ /. aitf\

x = a cos. ( — J cos. (9 + -^-1 ,

/ . /a* t\ /„ awrs

.X==asin. {-frj cos. ^9 + -çrj ,

les constantes d’intégration 9 , T', sont telles qu’on a

tang. (#) = £?-,

et

ÏÏ = Î ? ° - JÙ Tü

T' aa ’

x'„, y.-, étant les valeurs initiales de x', y et q, p' , étant les vitesses imprimées à l’origine, la première au point A suivant la direction de l’axe des y; la seconde au point B, suivant la direction de l’axe des x.

Cela posé, il est facile de résoudre les questions suivantes.

i° Quelle est la période du mouvement du système, c’està-dire quel est le temps t' , compté depuis une époque quelconque, après lequel le système n’a pas changé de position?

En mettant t + t, au lieu de t dans les formules du mouvement, les valeurs de x, y, x , y doivent rester les mêmes. Il faut donc que t' soit en même temps un multiple de T et un multiple de T’. Donc les temps T, T doivent être commensurables entre eux, et en supposant que leur rapport I. i4

io6 MÉMOIRES

soit celui des nombres entiers n, ri qui n’ont pas de diviseur commun, la période t' est n T égale à n'T'.

a° Quel est le mouvement des deux points matériels A, B, sur chacune des lignes qu’ils sont assujétis à parcourir, ou ce qui revient au même, quelles sont après le temps t, leurs distances z, z, au centre fixe C?

Il est évident qu’on a

z — (x’ -*-J , ) T = «sin. (e -4- ,

z =(x'*+/*)'- — a cos. (fi +^) ,

ces distances sont périodiques et la durée de leur période est T.

3° Quelles sont les conditions de l’équilibre relatif des points matériels A, B, sur les droites PQ, RS, en mouvement ?

Pour que cet équilibre ait lieu , il faut que z et z' soient des quantités constantes. Par conséquent T' est infini , et le numérateur qx , — p'j\ est égal à zéro. Les conditions demandées s’expriment doue en disant que les vitesses initiales q, p sont nulles, ou bien quelles sont entre elles dans le rapport de x. b y,.

4° Quelles sont, après le temps t, les pressions exercées sur les droites PQ, RS, et quelle est la tension du fil ou de la verge AB qui maintient les deux corps à une distance constante ?

Les valeurs de [t, y, X, sont

( ( x — x) cos. ti — (jr — y ) sin. t i (

f. =rn f (^-^(^)-(y-y )rf (g) | ,

((or — x' ) sin. ti — (y — y) cos. ti

.=»,( sin - tid (S) - cos tid (%) \.

I(x — x') sin. ti — (y — y) cos. ti )

équations dans lesquelles tout est connu en fonction de t. Or la force équivalente à l’équation de condition y sin. ti — a - cos. rè=o, en vertu de laquelle, le corps A reste sur la droite PQ, a pour composantes psin. ti dans le sens des.r, etjtcos. ti dans le sens des y; la résultante est [*, et par conséquent la valeur trouvée pour ji est celle de la pression normale exercée sur la droite PQ. De même la valeur trouvée pour f est celle de la pression exercée sur la droite RS.

A l’égard des deux forces égales et de directions opposées qui sont équivalentes à l'équation (a: — x')’+(y — y)'—a\ et qui maintiennent les deux corps à une distance constante; leurs composantes appliquées au corps A et au corps B sont les mêmes au signe près, c’est-à-dire X(a- — x) et \(y — y ).

La résultante est X[(x — x')’+ (y —y)']' ou \a. Ces forces dirigées de A en B ou de B en A, sont la mesure de la tension de la verge qui unit les deux corps.

Les expressions de ji, y, X, très-compliquées dans le cas général, sont très-simples dans le cas de l'équilibre relatif des corps A, B, sur les droites en mouvement. On a

y = — mi‘af„

X = — mai'.

io8 MÉMOIRES

III e Exemple. Deux points matériels m, m', fig. 6, étant assujétis à se mouvoir autour du centre C , situé sur la droite qui les joint, pendant que ce centre, se meut uniformément avec la vitesse angulaire i, autour d’un point fixe O, on demande les équations de condition , et les formules du mouvement des deux masses m, m. On suppose que la droite m. m', est constamment dans le plan du mouvement circulaire et qu’aucune vitesse n’a été imprimée aux masses m, m, à l’origine du mouvement.

Soient r, r 1 , R les rayons C m, C m', CO et 9 l’angle variable mCs ou m' CO qui détermine la position de la droite mm. à l’égard du rayon O C. Si on prend le point O pour l’origine des coordonnées rectangulaires xy, x ÿ des points ;n, /»', et pour axes des xx ,yy, les droites OR, OQ, dont la seconde coïncidait avec le rayon OC, à l’origine du mouvement, l’angle COQ, après le temps f, sera égal à ti ; l’abscisse OA et l’ordonnée AC seront respectivement égales à R sin.tt, R cos. ti et les valeurs des abscisses et des ordonnées des points matériels seront, ainsi qu’il suit,

x— Rsin. ti -t- rsin. (9 + ti), j=Rcos.t/+rcos. (9+ ti),

*'=Rsin.t» — r'sm^y + ti), j , = Rcos.tt — /''cos. (9 -+- ti) .

Cela posé , les équations de condition devant exprimer i° que les points matériels m, m' sont à des distances constantes /•, r du centre C, 2 0 que les trois points m, C,m sont sur une même droite , on a

(a: — Rsin. fi)’ -+- ( y — R cos. f i)‘ = r’,

(x 1 — Rsin. fi)’ -+- (ÿ — Rcos.fi)’ = r’,

(x — Rsin. fi) (Rcos.fi — y) = (/- — Rcos. ti) (Rsin.fi — x).

On a ensuite , en multipliant les différentielles par y, y, les formules du mouvement

m = a rsin. (9 + fi) + y ^003.(9 - 4 - fi),

m =|t rcos.(9 fi) — yrsin. (9 + fi),

— yr'sin.(9 + fi)-+-yrcas>(9 -t- fi),

m ~ 7 F ~ — v,/cos (? + <t ) — y' sin.(9 -+- fi),

et par l’élimination des facteurs a, y, y,

m r cos. (9 -+- fi) — sin. (9 fi) j

—mr cos. (9 -t- fi) — ^jp-sin. (9 •+■ fi)J •

Substituant pour les différentielles des coordonnées , leurs valeurs en fonction de l’angle 9 , il vient

mr £i’Rsin.9-t-r^?j =mV ^i’ Rsin. 9 — r< "77?] »

ou bien , en nommant K le facteur

mr — m r

— — K i’sin. 9,

dont l’intégrale première