IO
(S)’— (ft)I= a K *'( cos - ? — cos - ?•>»
contient l'angle f„, valeur donnée de l'angle 9, à l'origine du mouvement, et la vitesse (^77) , qui est 1® vitesse angulaire (jjÇ) ^ la même époque. Cette vitesse angulaire initiale dépendant des vitesses > parallèles aux
axes des coordonnées, et celles-ci étant déterminées par les formules de l’article VIII du second mémoire,
m ( ~Tt ) D = f i “ / ' sin - ?” + Y- '' cos - ?• * m ( 57)» = ^rcos.ç.-y.rsin.^,
m = — v.r sin.ç, 4 - y.r cos.9.,
m — *. r 'cos.f. — Y./sin.ç.,
on a, en mettant pour y, , x\, y\ , leurs valeurs en fonction de 9,, et éliminant g,, v„, y„,
‘ + (^)o = - ,KC0S -^’
et par conséquent \‘‘
(^) , =i , [( | ■+■ Kcos.^j’ + aK(cos-9— cos.çj].
Cette formule semblable à celle du mouvement des pendules n’est pas intégrale ; mais on peut en tirer les résultats suivants :
i« Si le rapport K, égal à £pZ^R est nul, c’est-à-
dire si le centre C est le centre de masse de deux points materiels m, m', on a
ddif Xfl'av
dr — °’ et Tt — VzfJ ou v + constante.
Or 1 angle f + ti est la mesure de l'inclinaison de la droite mm> sur l’axe fixe OS. Donc cette inclinaison reste constante et pendant que le centre C, tournant autour du point fixe O , entraîne dans éon mouvement les deux points matériels m, ni, le système de ces deux points n’a aucun mouvement autour de son centre de masse C. Ce résultat peut être démontré d’une autre manière. En décomposant les forces centrifuges de chacune des deux masses m, m ‘ en deux forces, l’une dirigée vers le centre C, l’autre normale au rayon m C ou m'C, les forces dirigées vers C sont détruites par les conditions du système, et les forces normales considérées comme appliquées aux extrémités du levier droit mm' dont le point d appui est en C, se font équilibre en vertu de l’hypothèse mr = m'r et des conditions de l’équilibre données dans le premier exemple de cet article.
a ° K étant P ositif ’ la vite «* ^ est variable entre le maximum *(i + a K -t- K* cos.»?.) 7 et le minimum »(i — a K
i K’cos.>„)\ Donc si le minimum est réel, la vitesse angula.rc du système n’est jamais nulle, et le système se meut autour de.P, en tournant toujours dans le même sens. La tesse est à son maximum, quand la droite, qui joint les «leux points matériels, passe étant prolongée par le centre C.
lia MÉMOIRES
3° Si la quantité i — aK + K'cos.’ç. est négative, la vitesse angulaire n’a pas de minimum, et l’angle <p n’est jamais égal à deux angles droits. La vitesse angulaire varie donc entre
zéro et le maximum t(i + aK + K’cos.'ç,, )’*, et la droite mm' oscille autour du rayon PC. La demi amplitude d’une oscillation se trouve en faisant t -+- aK cos.9'4- K’cos.'?. égal à
zéro, ce qui donne cos.ç = — — j-b, quantité né-
gative plus petite que l’unité, mais plus grande que
quelque soit l’angle initial ç.. La demi -amplitude des oscillations a donc pour limite l’angle obtus dont le cosinus est égal à la fraction — •
4 ° L’amplitude des oscillations du système ayant une limite finie , il 11’y a aucune position de la droite m ni, à l’égard du rayon PC, dans laquelle le système puisse rester en équilibre, en faisant des oscillations infiniment petites sur cette position. Cependant on satisfait aux conditions de l'équilibre,
en exprimant que la vitesse angulaire initiale ( ^ ^ est nulle, ce qui donne 1 -+- K cos. 9. = o, et que l’accroissement d (27) 1 de k* vitesse variable, est nul aussi quand ç=ç.,
ce qui donne «K cos. 9. = 0. Ces deux équations admettent une solution qui est ç. = o et K = — 1. Ainsi la droite, qui joint les deux points matériels, étant dirigée vers le centre C, et le rapport K étant égal à — t, les conditions de l'équilibre du système sont satisfaites ; mais cet équilibre n’est pas stable et ne se rétablit pas, lorsqu’il est infiniment peu dérangé, parce que le système ne fait pas, sur la position d’équilibre, des oscillations infiniment petites.
ARTICLE VIII. — Problème
Trouver les équations de condition d’un système compose d’un nombre de points matériels plus grand que deux.
Solution.
I er Exemple. La poulie fixe A, fig. 7, assemble au moyen d’un cordon d’une longueur donnée, passé dans sa gorge, deux poulies mobiles Q', Q' garnies aussi chacune d’un cordon d’une longueur donnée, portant à ses extrémités d’une part, les poids P’, P", d’autre part les poids R', R". On suppose que ces poids réduits à des points matériels , se meuvent suivant la verticale, et que les cordons glissent sur les gorges des poulies , sans frottements et sans produire des mouvements de rotation dans la masse des poulies; en sorte que ces poulies, considérées comme des points matériels, ont un simple mouvement de translation suivant la verticale.
Le système étant ainsi composé de six points matériels Q’, Q ; P’, P”; R', R", il s’agit de trouver les équations de condition, les formules du mouvement et les tensions des cordons.
Soient z , z“ , les hauteurs variables ou les coordonnées des points Q, Q", au-dessus d’un plan horizontal; x', x", celles des points P , P" et/’, y" celles des points R', R"; il est clair qu’à cause de l’immobilité de la poulie A, la somme des deux ordonnées z', z” est une quantité constante. Ainsi on a la première équation de condition
dz' -+- dz" =0:
la somme des ordonnées x', x" , des points matériels P, P' serait aussi une quantité constante, si la poulie Q' était fixe, ou si z était constante. Mais z variant de la différentielle dz' , chacune des coordonnée^ x", x”, varie aussi de la même quantité, et la somme de leurs différentielles est double de dz, ce qui donne la seconde équation
dx + dx'-=idz\
On a, de la meme manière,
dÿ + dy" — i dz' :
Si on multiplie ces équations par ja, y, X, respectivement, les formules <fu mouvement sont, pour les points Q', Q",
ddz " ~dr~
, Q"— ax;
pour les points P, P',
pour les points R', R",
ddf
dr
Il est facile d’éliminer de ces formules, au moyen des
équations de condition, les différentielles -yjr, ~jf r i »
etc. Il reste trois équations de condition entre ja, y, X; d’où il suit que ces indéterminées sont des quantités constantes.
Cela posé, si on intègre les formules du mouvement, il vient
SUR LA MECANIQUE. ii5
Q'fê-
> \~dYJ > \cTt J ’ ctc M^ tant * es vitesses initiales qu’il
s'agit de déterminer. Soient pour cela q', p' , r 1 ; q" , p", r", les vitesses données qui ont été imprimées, à l’origine du mouvement, aux corps Q', P', R'; Q", P", R''. On a d’abord, par l’article VIII du second mémoire,
Cÿ) 0 ] + ^- a P= 0 ’
On a ensuite les équations de condition
(£).+ (£).=». (£X+(TrX-*(sf)..
iifi MÉMOIRES
Ces neuf équations donnent non seulement les valeurs des vitesses initiales, mais encore celles des indéterminées |t„, y„, Intégrant une seconde fois et transposant, on a les formules en termes finis
dans lesquelles z'„, z", , x , , etc., sont les ordonnées initiales des corps Q', Q", F, etc. Toutes les circonstances du mouvement du système sont déterminées par ces équations et on voit comme dans l’article VI, I er exemple, que dans le cas où le système est en équilibre, les coefficients de F, dans les seconds membres, sont égaux à zéro, ainsi que les coefficients de t: en sorte que les conditions générales de l’équilibre comprennent les conditions de l’équilibre entre les vitesses imprimées à l’origine du mouvement et celles de l’équilibre entre les forces accélératrices.
II e Exemple. Des points matériels m, m, ni', etc., en nombre quelconque, situés sur un même plan, et liés entre eux de manière que leurs distances respectives restent constamment
les mêmes, se meuvent avec une vitesse commune V et dans des directions parallèles. On demande quels changements éprouvera le mouvement du système, dans l’une et l’autre des deux hypothèses suivantes.
I re Hypothèse. Le système rencontre un obstacle, en vertu duquel un de ses points matériels est rendu fixe et immobile.
Soient x,y; x , y 1 ; x" ÿ’ ; etc. les coordonnées des niasses m, ni, rn" , etc. x", y celles du point fixe m‘. l^es conditions du système sont représentées i° Par les équations
( x — x )’ -4- {y — y )* = constante ,
(fO
, ( x — x")' -+- (y — y")' — constante ,
( x — x"y (y — yy — constante ,
etc -t- etc
qui expriment que les distances des points matériels entre
eux sont constantes;
a° Par les équations -
( x — (y — y’ )’= constante.
[x — (/ — y')' — constante,
(x" — (y — y’)'= constante,
etc -+- etc
m vertu desquelles la distance de chaque point fixe, est aussi constante;
point matériel au
3° Par les deux équations
x°— constante, y = constante,
nH MEMOIRES
qui expriment que le point x', f, est fixe. Il est facile de conclure de ces équations les formules du mouvement
m d (777) — — x)dt + y(x — x")dt + \(x — x')dt,\
rri d f — — n(.z — x’)dt +\{x' — x“)dt+à! {x' — x‘)dt,
m"d (yjf) — — y (x: — x") dt — \{x — x")dt -t- A"(,r" — x‘)dt,
etc.
= etc .
etc .
md ( d £) = v-{y—y) dt +i(y—f) dt + ,rV^ ^ md (ji) — — h- ( r—y ) d t + y (y— x) d 1 + A ' (/ —y') d ( >
m"d (jjj) t= — y (y — /' ) d t + X (y— y") dt -+-A" (/'— y‘) d t.
etc.
= etc + etc . , .
m'd ( —(dt — t±(x — x")dt — \’(x — x‘) — a"(x" — af)dt — etc j
m'd Ç-jj-^ — idt — A (y — ÿ)dtx—b! (y 1 — y*) — A "{y" — y') d t — etc. |
En multipliant les équations (1) par dx , dx , dx" , les équations (a) par dy , dy, dy", et en les ajoutant, ce qui fait évanouir les termes dus aux équations de condition, on a
Vdt a
\dt)
dt '
K<lt) J
L dt “
\dt )
' dt '
W tj J
Cela posé, si on nomme r la distance du point matériel m au point fixe, et ç l’angle que la distance r fait avec l’axe des y.
SUR LA MECANIQUE, on a, en transposant l’origine au point fixe,
x=rsin.(p, y=r cos. <j> et dx ddx -y dy ddy—r'dtf d d^.
De même eu nommant r la distance du point rri au point fixe, et u l’angle donné compris entre r et r; on a
x r=r sin.(ç + w), y = r cos. (ç-t-u>) et
daf ddx -+- dy ddy= r'df dd 9.
Donc, en substituant ces valeurs, et en représentant par 1 une somme prise par rapport à tous les points matériels du système, l’équation générale qui précède devient
2 {nr'ÿtd
ou, parceque l’angle ç est commun à tous les points matériels.
J7 d (ÿ) ïfl*r* = °,
équation équivalente à d (yyj') — o, dont l’intégrale est, eu
nommant la valeur initiale de et <*. la valeur ini-
tiale de l'angle ç,
fl résulte de cette équation, que l'angle 9 et les angles » + “,f + “, etc- qu« sont compris entre l’axe des y et les rayons r, /, r", etc. menés du point fixe à chacun des corps m, m, ni', etc. varient tous également et proportionnellement au temps Donc, le système tourne autour du point
fixe, avec la vitesse angulaire constante , qui se dé-
termine par les équations de l’article VIII du second mémoire.
Les vitesses imprimées que nous avons nommées p, q, r, etc. dans cet article , se réduisent ici à la vitesse commune V, qu'on peut toujours supposer parallèle à l’axe des x; on a donc
V=p= p— p"— etc. ; q = o, ÿ'=o,etc.; r= o, r — o, etc. et par conséquent
m [ V — (^f )„] =»*•(*••— *.) -+-etc,
— m (ft ) 0 =i i ”Cr»— tr'-) + etc >
m ' [ V — (lR-) 0 ] =— ^ *•> + etc -
En multipliant par (£) >t (£) q , (^)., etc., respectivement et en ajoutant, il vient, à cause de l'évanouissement des seconds membres,
2“ v (£!=>” [(£)>(&);]■ ou, en mettant pour leurs va '‘‘ urs en ton< -
de (S )„’
2«iVrcos
tion
d’où on tire
2mr’ =2mVrcos.f.,
ou bien
(ÿ\ Z'nr’ = V2mj'..
Ainsi la vitesse uniforme de rotation est connue en fonction de la vitesse donnée V et des deux sommes 2mr % , ïmy..
La première somme est le moment d'inertie du système par rapport au point fixe. La seconde est le moment du centre de masse , par rapport à l’axe des x.
Cette seconde somme peut être nulle, et dans ce cas tous les points du système restent en repos. C’est ce qui a lieu lorsque le centre de masse du système est situé sur la droite menée par le point fixe parallèlement à la direction de la vitesse commune , à l’instant de la rencontre de l’obstacle.
Si on veut avoir la pression que supporte le point fixe x*, y et dont les composantes sont des forces égales et contraires à e,t', il faut ajouter successivement toutes les équations (i), et toutes les équations (a), ce qui donne
— x*) + a'(x' — x") 4- etc.]
^ md ( 20 — dt [*(y— y) + à! (y-y )+ etc.}.
Les équations ( 3 ) donnent ensuite, en faisant les premiers membres égaux à zéro, à cause que le point x", y est fixe,
t = A(x — x”) + A'(/ — y) + etc.
«'= a (y— y ) + A ' (y— y') + etc.
MÉMOIRE d’où il est visible qu’on a
t d t=1 md (Jjj) >
•' dt=l m d ^^7) 1
ou , en faisant usage des transformations qui donnent x et y, en fonction de l’angle ç,
e =-(S)’ 2ma; '
Donc, en nommant a, b, les coordonnées du centre de masse, R sa distance au point fixe, M la somme des «nasses du système,
11 suit de là et du corollaire de l’article V, que la pression supportée par le point fixe, à chaque instant du mouvement de rotation , est égale à la force centrifuge de la masse entière du système , supposée réunie au centre de masse, et circulant
autour du point fixe avec la vitesse constante (77) : mais à
l’instant de la rencontre de l’obstacle , et avant que le système n’ait commencé à tourner, la pression du point fixe est égale à M V, et sa direction est parallèle à la direction de la vitesse V. Cest ce qu’on trouvera facilement par ce qui précède.
SUR LA MECANIQUE. ia3
II e Hypothèse. Un point matériel n, n’ayant aucun mouvement, est tout-à-coup réuni au système, en sorte que ses distances aux autres points matériels m, ni , m” , etc. sont données et constantes.
Les équations de condition du système se réduisent aux équations (i) de la première hypothèse, et on en conclut les trois formules différentielles du mouvement
2 rnd
2 md
les intégrales de la première et de la seconde sont
2m fê)= 2TO (S.-
dont les seconds membres s’obtiennent par les équations des vitesses initiales qui sont les mêmes que ci-dessus. En ajoutant successivement toutes les équations en x, x , etc. , et toutes celles en y, ÿ, etc. et l’axe des x, étant toujours parallèle à la direction de la vitesse V, on trouve
2 “(77 )„=ï».V=MV,
substituant ces valeurs, et intégrant encore, il vient
MEMOIRES — C = f V M , 2my — C'=fVM,
ou, en nommant a, b, les coordonnées du centre de masse du système ( le point materiel n étant compris dans cette masse ) a„, b leurs valeurs à l’origine du mouvement,
(M -+- n) ( a — «„) = fV M,
Ces équations prouvent que le centre de masse du système, après la réunion du point matériel n, se meut parallèlement à la direction du mouvement primitif, avec la vitesse con-
„ VM stante rr- —
La troisième formule du mouvement donne ensuite, en faisant x = a + r sïn. <f,jr—b + r cos. 9 , c’est-à-dire en rapportant chaque point m au centre de masse , par sa distance r à ce centre, et par l’angle 9 que sa distance r fait avec l’axe des j.
équation qui se réduit, à cause que les deux sommes 2 m (y-b), 1m ( x-a ) sont milles, à
en intégrant , il vient
SUR LA MÉCANIQUE. ia5
Ainsi l’angle 9 varie proportionnellement au temps et le système tourne uniformément autour de son centre de masse, pendant que ce centre se meut comme on vient de le voir.
La vitesse angulaire initiale j/) se calcule comme dans la première hypothèse, et on a
^ ( ^ïmr'= 2 mV (j„— b),
mais la somme 1m V {y — b) qui s’étend à tous les points matériels animés de la vitesse V, à l’instant de la réunion du point matériel «, ne comprend pas ce même point qui, par hypothèse, n'avait alors aucun mouvement; ou si l’on veut le comprendre dans la somme, ce qui la rend nulle, par la propriété du centre de masse, il faut retrancher le produit n\ . (b' — b ) , b' étant l’ordonnée du point matériel n, à l’origine du mouvement de rotation. La valeur de (SX- en quantités toutes connues , est donc
hnr' ’
d’où il suit que la vitesse de rotation s’évanouit quand la différence des ordonnées est nulle, ou quand le point matériel n, à l'instant de sa réunion au système, est sur la droite menée par le centre de masse , parallèlement à la direction de la vitesse V.
Corollaire. On voit par ce second exemple que le mouvement de translation d’un système de points matériels situés sur un même plan, et assujétis à conserver leurs distances entre eux , peut se changer en un mouvement de rotation
ia6 MEMOIRES
autour d’un point fixe ou mobile. La même chose a lieu pour les corps solides ; et l’on observe fréquemment que ces corps , à la rencontre d'un obstacle, ou par l’efiet d’une résistance qu’ils viennent à éprouver, changent leur mouvement de translation en un mouvement de rotation , ou réciproquement leur mouvement de rotation en un mouvement de translation. Mais l’exemple le plus remarquable de cette modification de mouvement est dans l’action du gouvernail qui fait virer un vaisseau. L’eau refoulée par le gouvernail oppose de la résistance au mouvement de translation du vaisseau, et ce mouvement se change en un mouvement de rotation autour d’un axe incliné sur l’horizon et passant par le centre de masse commun du vaisseau et de l’eau refoulée par le gouvernail. Telle est la véritable théorie de l’action du gouvernail , qui sera l'objet du dixième mémoire.
ARTICLE IX. — Problème.
On demande les équations de condition des systèmes dont la forme est invariable.
Solution.
La forme d’un système est déterminée par les distances entre les points matériels qui le composent, et parles angles entre les distances. Or les angles sont donnés quand les distances sont données. La forme d’un système dépend donc uniquement des distances entre les points matériels ; et, pour quelle soit invariable pendant le mouvement du système, il faut que les distances soient constantes, ce qu’on exprime en
.SUR LA MÉCANIQUE. ia 7
égalant à zéro la différentielle de chacune d'elles , prise relativement au temps.
Soient x,y,z; x\y\z', les coordonnées de deux points ma-
tériels du système, et [(ar — a;')‘ + (jy — /)’ -+- (z — z')’]’ leur distance. La différentielle du radical, prise relativement au temps et égalée à zéro , donne l’équation
(x — x') (dx—dx) + (y— y) ( dy—dy )
(z — z') ( dz — dz) — o:
les deux points matériels x, y,z; x", ÿ\z, donnent l’équation semblable
(x—x") (dx—dx") ■+■ (y— y) (dy—dy")
