z — z")(dz — dz") = o

et, en comparant de la même manière le point x, y, z, avec tous les autres points du système , on a toutes les équations de condition qui contiennent les différentielles dx, dy, dz.

Mais , après avoir pris dans ces équations de condition les termes qui doivent entrer dans les formules du mouvement et de l’équilibre du point matériel m, et dans celles de tous les autres points m, m", etc. il faut r comme dans le dernier exemple , substituer aux coordonnées x, y, z, x\ y, z', etc particulières à chaque point, d’autres coordonnées communes à tous les points, et propres à représenter les mouvements généraux du système. Ces coordonnées communes et ces mouvements généraux sont donnés par la définition même des systèmes dont la forme est invariable.

En effet, l’équation

(x— x ) (dx—dx) + (y— y) (dy—dy)

-t- (z — z') ( dz — dz) — o, (1),

qui exprime que la distance des deux points materiels x,/, z; x\y,z\ est constante, devient, en supposant que le système se meut de manière que les coordonnées perpendiculaires au plan des x y, ne varient pas,

, /dx — dx'\ j , j f dx — dx'\

Deux autres points x", y", z"; x"',y", z'", donnent, dans la même hypothèse,

1 ,, h fdx" — dx"'\ , • ,„f dx' — dx'"\

+* ( y.Ly.-- )—dy —dx! { J = 0;

les points x"\y"\z‘") x,j,z, donnent pareillement

• », f dx'” — rfa:\ , /dx"' — i/f\

+* ( yr . - )-dy-x ( - x -: - g - j = o;

enfin les points x',y,z'; x\y\ z , donnent

, , , f dx‘ — dx"\ , „ ,, /dx' — dx"\

dy + *\-ÿ = ÿr-)-dy-x!

si on ajoute ces quatre équations, en ordonnant par rapport à x, x', x", x"', il vient celle-ci :

T dx — dx' dx'" — dx~\ , f dx' — dx" dx — dx'~\

J ‘dx" — dx dx* — dx l m [dx'*' — dx dx" — dx "*' |

vT 7 ^ 7=rr x L y-y ~ r-y 1

laquelle devant avoir lieu, quelles que soient x, x', x", x! ,

SUR LA MECANIQUE, est équivalente à

d x — dx' dx"‘ — dx d x — dx" dx" — dx'"

En comparant le premier membre avec le quatrième, on voit que la différentielle - ~zy , prise relativement au

temps, est indépendante de x , x', y, y, par conséquent la même pour tous les points du système. Soit Cdt su valeur, on aura

dx — dx'—{y — -/ ) Cdt, et en vertu de l’équation (i)

dy — dy — — (ar — x 1 ) Cdt;

mais ces deux dernières équations pouvant être écrites comme il suit <

dx — y — b)Cdt = dx' — (y — b)Cdt, dy -y (x — a)Cdt — dy + (x — a)Cdt;

on voit encore que les différentielles dx — ( y — b) Cdt, dyy(x — a) Cdt, sont indépendantes de x, et de y, et que leurs valeurs hdt, kdt , sont communes à tous les points du système. Ainsi en supposant que le système se meuve de manière que les coordonnées z, z , z", z", ne varient pas, on a

dx= hdt -y {y — b) Cdt, dx'= hdt -y (y — b)Cdt, dy = kdt — {x — a) Cdt, d y = k dt — ( x' — a)Cdt.

On trouve de même, en supposant que le système se meuve /. 17

i3o MÉMOIRES

de manière que les coordonnées y, y\ y", y", etc. ne varient pas

dx=l dt — (z — c) B dt, dx'=ldt — (z' — c) B dt, d z =pdt + (x — a)Bdt, d z 1 =p dt + (x — à)Bdt,

et en supposant que le système se meuve de manière que les coordonnées x, x', etc., ne varient pas

dy=qdt + (z — c)Adt, dy=qdt 4- (z' — c) Adt,

dz = rdt — ( y — b) Adt, dd—rdt — ( y — b) A dt.

Donc, lorsque le système se meut librement, c’est-à-dire lorsque les coordonnées x,j-, z, x\y\ z, etc. varient ou peuvent varier toutes ensemble, on a, en représentant /t + / parVcos. «, k +q par V cos. e, p + r par V cos. r, ,

dx=\ cos.i 4- ( y — b) C dt — (z — c)Bdt, dy—V cos.c-t- (z — c) Adt — ( x — a)Cdt, dz =Vcos.»t 4 - (x — d)Bdt — (y — b) Adt,

</x'=Vcos.i 4- (ÿ — b) C dt — (z' — c)Bdt, dy~Y cos. c4- (z' — c ) Adt — (x' — a)Cdt, <fz'=Vcos.n 4- (x' — a)Bdt — ( y — b) Adt,

formules qui satisfont à l’équation de condition

(x— x'){dx— dx) 4- {y—/)(dy—dy)