z — z') (dz — dz) =o

quelles que soient les six quantités V cos. e, V cos. e, V cos. r, , A, B, C.

Cela posé, il est évident que les trois premières quantités représentent des vitesses parallèles aux axes des coordonnées

SUR LA MÉCANIQUE. i3t

et communes à tous les points du système. La vitesse V cos. t est parallèle à l’axe des a:, et les vitesses V cos. c, V cos. n , sont parallèles aux axes des jet des z. Ces trois vitesses sirnul-tanées se composent en une seule vitesse V, dont la direction fait avec les axes des coordonnées les angles e, e, r..

A l'égard des mouvements représentes par A, B, C, et du mouvement composé qui résulte des trois mouvements simultanés, il faut pour les définir, remarquer que les six quantités V cos. s, V cos. e, V cos. rt, A, B, C, étant indépendantes les unes des autres , on peut pour définir l’une d’elles, supposer chacune des cinq autres égale à zéro. Soient donc

Vcos. (=», Vcos. e=o, V cos. r, = o, A = o, B = o ,

les valeurs de dx, dy , dz, se réduisent à

d.r — — C (jr — b)dt, dy=C(x — a)dt, dz=. o,

les deux premières qui donnent ( x — a)dx + (y — b)dy±= o ou bien (x — a)‘ -t- (j — è)’ = constante, prouvent que pendant le mouvement représenté par C, le point x, y, z, reste à la même distance d'une droite parallèle à l’axe des z, et passant par le point dont les abscisses sur le plan des x, j, sont a, b; et la troisième prouve que le point reste dans un plan normal à la même droite; le point x, y, z, et il en est de même de tout autre point du système, se meut donc sur la circonférence d'un cercle perpendiculaire et concentrique à cette droite. D'où il suit que le mouvement représenté par C, est un mouvement de rotation autour d'un axe parallèle aux z et ayant pour coordonnées a, b.

Soient secondement

Vcos.« = o, Vcos.e^o, Vcos.» = o, A = o, C = o.

i3a MÉMOIRES

les valeurs de dx, dy, dz, sont

dx={ z — c)B<Zf, dy= o, dz= — (x — a)Bdt,

d’où on tire ( x — à) dx -t- (z — c) dz — o, ou (x — a)'

(z — c)* = constante, et y = constante. Il en résulte, comme dans le premier cas, que le mouvement représenté par B est un mouvement général de rotation autour d’un axe parallèle aux y, et passant par le point dont les coordonnées sur le plan des x, z sont a, c.

3° Soit

V cos. t=o, Vcos.e=o, Vcos.ïi = o, B — o, C = o,

il résulte encore des valeurs de dx, dy, dz, que le mouvement représenté par B est un mouvement général de rotation autour d’un axe parallèle aux x, et passant par le point dont les coordonnées sur le plan des y, z sont b, c.

4° Enfin pour définir le mouvement qui résulte des trois mouvements de rotation simultanés , représentés par A , B . C , soit

. Vcos.e = o, Vcos.e = o, Vcos.7i=o,

et par conséquent,

dx=(z — c)Bdt — ( y — b)Cdt, .

dy=(x — a)Cdt — ( z — c ) A dt, d z — (y — b)\dt — (a: — a)Bdt ,

on tire de là les deux équations

\dx+Bdy-*-Cdz-=o, (x—a)dx+(y—b)dy+(z — c)dz= o, qui donnent celles-ci

-+-C(z — '<?)]’ = constante.

En vertu de la première , le point x, y, z, se meut sur un plan perpendiculaire à la droite dont les équations sont

et en vertu de la seconde, la perpendiculaire abaissée du même point sur la droite ne varie pas. Le mouvement résultant des trois mouvements simultanés A, B, C, est donc un mouvement de rotation autour de la même droite, et c’est à ce mouvement et à celui qui résulte des trois mouvements de translation V cos. t, V cos. e, V cos. » , que se réduisent les mouvements que peuvent prendre les différents points matériels d’un système dont la forme est invariable; c’est-àdire que le mouvement du système pendant l’instant dt, se compose d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation, commun, l’un et l’autre, à tous les points du système.

Il reste à exprimer les quantités A, B, C, en fonction des éléments du mouvement de rotation que ces quantités représentent. On vient de voir que les équations de la droite autour de laquelle ce mouvement s’exécute, sont

si on nomme «, 6, -y, les angles que cette droite fait avec les

axes des coordonnées , ses équations sont encore

(z — c)cos. 6 — {y — b) cos. y = o.- {x — a) cos. y — ( z — c ) cos. « = o,

'y — b) cos. a — (.r — a) cos. 6 = o,

d’où il résulte que les quantités A , B, C, sont proportionnelles à cos. a , cos. 6, cos. y , et qu’en faisant

A=Kcos. a, B=Kcos.6, C = Kcos.y,

' dans l'hypothèse deVcos.«=o, Vcos. r= o, Vcos. yi = o), on a

dx—Kdt[{z — c)cos.6 — [y — £)cos.yj, dy = K d t [(or — a) cos. y — ( z — c) cos. a 1 , d s=K dt[(y — A) cos. a — (x — a) cos. €].

En quarrant ces équations, et en les ajoutant, il vient

dx?+dy 1 +dz , =K’df j [(z — c)cos.€ — [y — b) cos. y]’

-+- [(a-— a)cos.y— (z— c) COS. a]’ H- [(7— 6)cos.«— (j*— fl)cOS.6]‘ j ,

ou bien en nommant ds l’arc décrit par le point x, y, z, pendant l’instant dt, en vertu du mouvement de rotation, et R la perpendiculaire abaissée du même point sur l’axe de rotation, c’est-à-dire le rayon de l’arc ds

ds'^K'R'dt’

Cette dernière équation donne K = ; K est doue égal

à la vitesse de rotation , prise sur la circonférence dont le rayon est R, divisée par ce même rayon, c’est-à-dire à la

SUR LA MÉCANIQUE. i35

vitesse angulaire de rotation, commune à tous les points du système. Soit i cette vitesse angulaire, et, par conséquent

A—i cos. a , B = iCOS.ê, C=l*COS.y.

En substituant ces valeurs dans les formules générales qui donnent les expressions de dx , dy, dz, sans supposer nulle aucune des quantités V cos. t , Vcos.e, Vcos.n, A,B,C,on a les équations

dx~dt Vcos.e + idt \{y — b) cos. y — (z — c)cos.ê], dy=.dt\ cos.e + idt[(z — c ) cos. a — (x — «)cos.y], dz=dtVcos.r, idt[{x — <z)cos.g — (y — i)cos.«],

dans lesquelles les variations des coordonnées d’un point matériel quelconque sont exprimées en fonction des éléments généraux et communs à tous les points du système. On verra dans le quatrième mémoire comment la substitution de ces valeurs dans les formules générales de l’équilibre d’un système quelconque, sert à trouver les conditions de l’équilibre d’un système dont la forme est invariable.

I er Corollaire. Les formules générales équivalentes aux équations de condition des systèmes dont la forme est invariable, peuvent être modifiées pér des conditions particulières au mouvement de quelques points du système. Si on suppose, par exemple, que les points dont les coordonnées sont p, q, r, reste en repos, pendant que le système se meut, on a

dp=zdt Vcos.« + idt[(q — b) cos. y — (r— c)cos.Sj = o, dq=rdt Vcos.e+ idt [( r — e)cos.a — {p — d)cos. y] =s o, dr=dt\ cos. 7) +idt\(p — «Jcos.6-— (tj — ô)cos.«] = o,

i3« MÉMOIRES

et les formules relatives au point quelconque x, y -, s, deviennent, en mettant pour dt\ cos. «, dt Vcos.e, dt\ oos.m, leurs valeurs >

dx—idt[{y — q) cos. y — (z — r)cos. 6 ] , z — r) cos. a— -{x — ^)cos.y], dz = idt[(x — p ) cos. ë — (y — ^)cos.«].

Il est facile de conclure de là que le mouvement de translation, commun à tous les points du système , ne peut plus avoir lieu, et que le mouvement de rotation s’exécute autour d'un axe passant par le point p , ç, r.

Si deux points donnés q, r; p\ q', r, restent en repos pendant le mouvement du système, on a les six équations

Vcos.e * \(q — A) cos. y — (r — c)cos.É] = o,

Vcos.e + * [(r — c)cos.a — ( p — a)cos.y] = 0 ,

Vcos.>i -t- i[[p — fl) cos. 6 — {q — A)cos.a] = o,

V cos. « 1 [(<y’ — A) cos. y — (r — c)cos.é] = 0 ,

Vcos.e-f- i [(/ — c)cos.« — {p — fl) cos. y] = o,

Vcos.t. + i[[p' — a) cos. S — {q — A}cos.*] = o,

et par conséquent celles-ci

{q — ÿ’)cos.y — (r — /•')cos.ë = o,

( r—p ) cos a — ( p — p) cos.y = o,

{p — p) cos. 6 — (q — ÿ')cos.a=o, *

qui prouvent que les trois angles a, ë, y, qui déterminent la position de l’axe de rotation sont constans et égaux aux angles que la droite, passant par les deux points donnés,

fait avec les axes des coordonnées. Les formules qui donnent les valeurs de dx , dy, dz , sont d’ailleurs les mêmes que dans le cas precedent, en y mettant les expressions trouvées pour cos. a, cos. 6, cos. y; ainsi le mouvement de translation du système est nul et le mouvement de rotation s’exécute à chaque instant, autour de la droite menée par les points p , ?» r;p\ ?\ r.

Enfin si trois points donnés du système restaient en repos, on aurait neuf équations semblables aux précédentes, et on en concluerait que les deux mouvements généraux de translation et de rotation , communs à tous les points du système seraient nuis.

II e Corollaire. La composition et la décomposition des mouvements de rotation simultanés sont des conséquences faciles à déduire des formules de cet article, dans lequel on vient de voir que trois mouvements de rotation simultanés autour de trois axes rectangulaires ayant une origine commune, se composent en une seule rotation autour d’un quatrième axe passant par la même origine. Les principales questions que l’on peut faire sur la composition des mouvements de rotation sont celles-ci. i° Deux mouvements de rotation simultanés, autour de deux axes donnés, se composent-ils toujours en un seul mouvement de rotation , autour d’un troisième axe? 2 0 Quelle est la position du troisième axe, relativemeut aux deux premiers? 3 ° Quelle est la loi de la composition des mouvements de rotation , quand les axes de rotation sont parallèles?

D’après ce qui précède, les variations des coordonnées x, y, z, dues à un mouvement de rotation idt, autour d’un f. 18

axe qui fiasse par le point fl, b, c, et dont la direction fait avec les axes des coordonnées les angles a, €, y, sont représentées par les équations

dx—idt[(y — b) cos. y — (z — c)cos. 6], d y—idt[{z — c) cos.a — (x — fl)cos.y] , d z — idt[(x — a)cos. 6 — ( y — £)cos. a].

Cela posé, pour que cette rotation unique soit la résultante de deux rotations simultanées i'dt, i”dt, autour de deux axes passant par les points «', b', c; a", b”, c", et faisant avec les axes des coordonnées les angles y'; 6", y",

il faut qu’on ait

»‘[(j — b) cos. y — (z — c ) cos . 6 ] = * ' [ (jy — b') cos . y — ( z — c) cos. 6' ]