i' [iy—b")cos.y" — (z — c") cos. 6"J
t[(x — c) cos.a (x fl)fOS.y] = t'[(z — c) COS.a' — (JC fl') COS. y]
. 4- t"[(z— c")cos. a" — (x — fl") COS. y"],
i[(* — fl)cos.€— (j — b )cos. a) = i [(a; — fl') cos. t — ( y — £')cos. a']
+ *" [ (x — fl" ) cos. 6" — (y — b ") cos. a"] ,
mais ces trois équations devant être satisfaites, quelles que soient les valeurs de x, y, z, sont équivalentes aux six équations suivantes
*COS.y = j'cOS.y' + f'cOS.y", i COS. a =j" COS. a' 4- l"cOS.a", tcos. 6 —i cos. 6' 4- i" cos. é",
i[6 cos. y — c cos. 6] = »'[£' cos. y' — c'cos. £ ] 4- i"\b" COS. y" — c"cos.6"], t[c COS. a — flC0S.y]=r [c COS. a' — fl'cOS. y'] 4- i" [ C " COS. a" — fl"cOS. y"] , i [fl cos . ç — b cos. a] = i [fl' cos. € — 6'cos. a' ] 4 - i" [a'cos. S" — b' cos. a" ] ,
SUR LA MECANIQUE. i 3 g
qui se simplifient beaucoup par le choix que l’on peut faire des plans des coordonnées, relativement à la position des axes de rotation. En effet si le plan des xy est parallèle aux deux axes de rotation composante, ce qui donne cos. 7 =0 cos. y" = o; si la perpendiculaire commune à ces deux axes est prise pour l’axe des coordonnées z, ce qui donne a' — o, b' = o, a” = o, b" = o. Si de plus, l’axe de rotation passant par le point a\ b\ c , coïncide avec l'axe des a;, ce qui donne cos. ë' = o, c' = o, les six équations se réduisent à
(l) icos. y=o , et cos. ë — c' i" cos. ë” = 0, (4)
(a) i cos. a=u + i" cos. a", c i cos. a — c" i" cos. a" = o , ( 5 )
( 3 ) tcos. e=t"cos.€", bi cos. a — a t cos. ê =0, (6)
La troisième et la quatrième donnent t 'cos.ë "(c — c")=o; on ne peut satisfaire à cette équation qu’en faisant c — c"=^o ou bien cos. 6” = o.
Dans le premier cas, on a c=c" et en vertu des équations (a) et ( 5 ), c=o,c” — o : les deux axes de rotation composante sont donc dans le même plan, celui des xy, lequel contient aussi l’axe de rotation résultante ; la position de ce dernier axe est donnée par les équations (a), et ( 3 ) : si on divise l’une par l’autre, et si 011 fait cos. 6 = siu. a (en vertu de l’équation (1)), et cos. ë" = a", on a
sin.* r'âin.a"
coa.a «'-t-i"cos. a"
ou bien * : *" :
sin.(a" — a):sin.e.
D’où il suit que l’axe de rotation résultante partage l’angle donné a", des deux axes de rotation composante, en deux angles dont les sinus sont entre eux dans le rapport des
vitesses on a ensuite en quarrant les équations(i), l'a)» (3), et les ajoutant
* ' = ï' + i"‘ -+• a ï i" cos. a ,
ce qui donne la vitesse de rotation résultante en fonction des vitesses de rotation composantes et de l’angle compris entre les deux axes donnes.
Dans le second cas où cos. €"=o, les deux axes de rotation donnés sont parallèles ; on en conclut par l’équation (3), cos. 6=o;cos. a = i , et par l’équation (6), b —o \ ainsi l’axe de rotation résultante est parallèle aux deux premiers, et il est compris dans le même plan. On a ensuite
i=ï - 4 - i" et i : i" \ c — c:c,
équations qui donnent i° la vitesse de rotation résultante égale à la somme ou à la différence des deux vitesses de rotation données. a° La position de l’axe de rotation résultante, qui est telle que les distances de l’axe aux deux axes donnés sont entre elles comme les vitesses autour de ces axes. Ces résultats sont compris dans les équations du premier cas, en faisant l’angle % égal à zéro.
III e Corollaire. Nous avons donné, art. VI, les équations du mouvement d’un point matériel, assujétià rester sur une courbe donnée qui tourne uniformément autour d’un axe perpendiculaire au plan des .ry, ou à celui des xz. Nous pouvons maintenant donner ces memes équations de condition, dans le cas d’un axe de rotation, faisant avec les axes des coordonnées , les angles a, S, y.
Soient x, y, z, les coordonnées d’un point de la courbe après le temps t ; fia vitesse angulaire de rotation, commune à tous
les points de la courbe. On a, en supposant que l'axe de rotation passe par l’origine des coordonnées,
dx = idt [jcos. y — z cos. g], dy = idt [z cos. « — x cos. y] , dz = idt\x cos. g — y cos. a ] .
dilîérentiant et réduisant, il vient
ddx . - /
+ l L x — COS.a(xCOS.a-t-jyC0S.g + ZC0S.y)] = O, d dy .
~dr + **LJ r — cos.6(xcos.«+ jcos.g + zcos.y)]=o,
-jp- + i'[z — cos.y(xcos.«+/cos.g4-zcos.y)]=o,
ou bien, à cause que dxcos. a + dy cos. ë + dz cos. y = o, ce qui donne xcos.a-+-jcos.g-f-zcos.y=x„cos.«-f-j 1( cos.g + z, cos. y = K o 1 x. , z„, étant les valeurs initiales de x,
d doc r T . .
— +1'[X— K fl C0S. a J=0,
±*L + *’[>— K. cos. g] = 0,
ddz
dt'
+ i'[z K„COS.y] = o,
dont les intégrales premières sont
d fx — K 0 cos.a\ Ai
dt \ cou. ti ) cos
d / y — K., cos. £ \ B t
de \ cos ,ti ) cos .'ti*
d f z — Ko coi. y \ Ci
dt \ cos.ti J cos .‘ti
i4a MEMOIRES
Ces équations donnent, à l’origine du mouvement,
on a donc, en vertu des équations (i), (a), (3),
A =j„cos. y — z. cos. 6 ,
B = z 0 cos. cr — a:, cos. y,
C = a:, cos. S — y, cos. a.
Intégrant une seconde fois ,
x=K.cos.a-t- Asin.tt-t- Dcos. ti,
y = K„cos.ê -t- Bsin. ti-t- Ecos .ti, z — K. cos. y -t- Csin.tt’-t- Ecos. ti,
les constantes d’intégration D, E, F, s'obtiennent en faisant f=o, et on a
D = X.-rK„COS.a,
E —y. — K.cos.6,
F = Z. — K.„ COS. y.
les valeurs de x, y, z, étant exprimées en fonction de t et des coordonnées initiales x ,, y,, z pour avoir celles-ci en fonction de x, y, z, il suffit des procédés les plus simples de 1 élimination. Mais en considérant que par la nature du mouvement de rotation, les coordonnées qui sont x., y., z„, à l'origine du mouvement, et x,y, z, après le temps t, redeviennent égales à x., y„ z„, après le temps T — f, T étant le temps d’une révolution entière, on voit que x, j, z, peuvent être regardées comme les coordonnées initiales, et x. , j. , z„, comme les coordonnées correspondantes au temps T — t :
mettant donc dans les formules précédentes x. , y , , z., à la place de x,^-, z, et x, y, z, à la place de x a ,y Q , z»; mettant ensuite T — t à la place de t, ou ce qui revient au même, faisant t négatif, il vient
x. = Kcos. a — Asin. ti + Dcos.t»,
y. = K cos. 6 — B sin. ti -t- E cos. ti, z„ = K cos. y — Csin. ti + F cos. ti,
K étant égal à x cos. a +y cos. 6 zcos. y.
Cela posé, pour avoir les équations de la courbe, dans la position quelle occupe apres le temps t, il faut avoir ces mêmes équations à l'origine du mouvement. Soit à cette époque
x„=F(z„) et y,= 9 (z a ),
on obtiendra les équations dont il s’agit, et par conséquent les équations de condition du mouvement d'un point matériel assujéti à rester sur la courbe, tournant uniformément autour de l’axe de rotation, en substituant à x„y„ z , leurs valeurs en x,^, z, t.
Si l’axe de rotation se confond avec l’axe des z, on a
COS. a = 0, COS. 6 = 0, COS. y = I,
et
x. =x cos. ti — ^sin. ti,
y, — y cos. ti -+- xsin. ti, z„ = z.
Donc, dans le cas où la courbe mobile est une droite parallèle au plan des yz, faisant avec le plan des xy l’angle «,
i 44 MEMOIRES
et située de manière que la perpendiculaire commune b entre elle et l’axe des z, rencontre cet axe à la hauteur h, en sorte qu’on ait x.— b,z,=zh, les équations de condition sont
xcos.ft =ys\n.ti — b,
[y cos. ti -+- x sin. ft] tang.a = z — h,
ou bien , comme dans le cas général de l’exemple 3 de l’article VI,
(z — A)sin. ti — (x — bcos.ti) tang.a=o,
(z — h) cos. ti — (y - 4 - isin.tt) tang. *=o.
Dans le cas de l'Hélice, ayant pour équations, à l’origine du mouvement, x. = sin. (z„eotang. ç), y„= cos. (z.cotang.9) les équations de condition sont
x cos. ti — j'sin.ti = sin. (zcotang.9),
.y cos. ti + xsin.ft = cos.(zcotang.9),
ou bien, comme dans l’exemple 4,
x= sin. [zcotang.9 + *t], y — cos. (zcotang.9 + <»].
Si l’axe de rotation coïucidc avec l’axe des y, on a x„=xcos. ti ■+• z sin. ti,
z„= zcos. ti — xsin. ti, et
y m =zycoê.ti — z sin. ti, z, = z cos. ti -t- y sin. ti.
SUR LA ^MÉCANIQUE. i 45
si l’axe de rotation coïncide avec l'axe des x; enfin si l'axe de rotation, compris dans le plan des xz, fait avec laxe des x, l'angle a, et avec l’axe des z, 1 angle 90* — «, on trouve
x, -=.x cos. ‘a + zsin.acos. a — .y sin.* cos. t f
+ (xcos.a — z sin. a) sin. * sin. ri,
y. = (.Tsin. a — z cos. a) sin. ti-t-y cos. t i,
2,s=- x sin. a cos. a -4- zsin.’a-l-j'cos. a sin. ti
-4- (zsin.a — xcos. a) sin. a cos. ti,
et lorsque la courbe mobile est une hélice dont les coordonnées x.,y a , z„, ont entre elles les relations exprimées par
z. sin. a — z„ cos. a = sin. [(x„ cos. a + z, sin. a) cotang. ?] , y. = cos. [( x. cos. a + z„sin. a) cotang. 9 ] ;
les équations de condition résultant de l’élimination de x a , y., z .i sont entre x, y, z, celles qui ont été données cidessus, pour le mouvement d’un point matériel pesant, sur une hélice mobile autour d’un axe incliné à l'horizon.
IV e Corollaire. Les formules de cet article servent encore à résoudre les questions dans lesquelles il s’agit de déterminer les mouvements ou les circonstances des mouvements que peut prendre un système de forme invariable, lorsque ces mouvements doivent satisfaire à des conditions données. Telles sont les trois questions suivantes :
l rc Question. Quelle doit être la position d'un axe de rotation, pour qu’une droite horizontale donnée reste toujours horizontale, en tournant autour de cet axe?
Solution. Soient x 1 , y, z';' x" , y', z , les coordonnées de deux points quelconques de la droite, et a, b, c, les coordonnées d'un point de l’axe de rotation, qui fait, avec les axes des x, y, z, les angles a , g , y. Soit aussi i la vitesse angulaire de la droite : à cause -de
dz' =idt[(x ' — a) cos. 6 — (y — b) cos. al, d£'—idt[{x " — a) cos. € — (y " — b) cos. «],
on a, en faisant dz' — dz— o, pour satisfaire à la condition •donnée,
( x ’ — x") cos. £ — (/ — y')cos.a=o; (i)
cette équation qui exprime que les plans verticaux , passant par la droite et par l’axe de rotation, sont parallèles, ne résout la question que pour un déplacement infiniment petit de la droite. Pour un déplacement quelconque, il faut que l’équation ait lieu dans toutes les positions que la droite peut prendre; c’est-à-dire que le rapport de cos. ê à cos.*, donné par l’équation précédente, doit subsister, lorsque les coordonnées x',ÿ, z; x" , y", z, varient. Différentiant donc, en mettant pour dx', dy, dz; dx", dy', dz", les variations dues aumouvement de rotation, et remarquant que z'=z", on trouve
cos. y [(.r' — x") cos . a -+- (y — y" ) cos. 6] = o.
Combinant ensuite cette équation avec l’équation (i), et éliminant les variables , il vient
COS. y [cOS. ‘ a -+■ C0S.’ë] = 0, ou , à cause de cos.*« -t- cos.’ g cos.’y = i , cos. y ( I — cos.’ y )= o :
SUR LA MECANIQUE. i4 7
la question proposée admet donc les deux solutions eos.y — o, et cos. f = t ■ Par la première, Taxe de rotation est horizontal et parallèle à la ligne donnée ; par la seconde, l’axe de rotation est vertical.
11 e Question. Les équations de condition du mouvement d’un point matériel assujéti à rester sur certaines surfaces courbes, sont les mêmes, soit que les surfaces se meuvent, soit quelles restent en repos. On demande quelles sont ces surfaces et quels sont leurs mouvements.
Pour concevoir l’énoncé de cette question, il suffit de remarquer que, si une surface cylindrique se meut dans la direction de ses génératrices, elle occupe à chaque instant les mêmes points de l’espace quelle occuperait dans letat de repos; en sorte que le mouvement dont il s’agit, n’introduit aucun nouveau terme dans l’équation qui représente la surface en repos, ni dans celle qui exprime qu'un point matériel est assujéti à se mouvoir sur elle. 11 est facile de conclure de là que les surfaces demandées sont celles qui ont la propriété d’occuper les mêmes points de l’espace dans l’état de repos et dans l etat de mouvement.
Soit U = o, ou f{x,y, z )—°> l’équation d'une surface qui a cette propriété. Si cette surface se meut d’un mouvement infiniment petit, en sorte que les coordonnées x,y, z, de l’un de ses points deviennent x -f- dx, y+ dy, z-\-dy y l’équation de la surface est
?[x + dx + dj, z + dz]~ o,
et si la surface occupe les mêmes points de l'espace, avant et après le mouvement, on a
p(*î y, z)=-y[x + dx,y + dy, z + dz],
par conséquent,
, dU , du , rfU
dx j dy -j h rtz = 0 .
d x J d jr 4 d z
Or la surlace étant un système de forme invariable , les mouvements dx , dy, dz, se composent de deux espèces de mouvements : l'un de translation, et l'autre de rotation, communs l’un et l’autre à tous les points de la surface. Substituant donc pour dx , dy, dz, les expressions trouvées
dans cet article, et remarquant que les coefficients ^ , de l’équation différentielle
