SU SU

Ï7’ SJ’

V V > w u ■, VU

n + ^sj + dz ï7

qui est celle de la surface, sont égaux respectivement aux

œ • t du du du ...

coefficients ^ ^ , il vient

^Vcos. i + i'[(j — b ) cos. y — (x — c)cos.6]l -4- ^Vcos.e+ t[(z — c)cos.« — (x — <z)cos.y]J

■+J 7 ^Vcos.i) +t'[(ar — a)cos.€ — [y — è)cos.*]j = o

équation générale qui exprime que la surface satisfait à la condition donnée par la question. En l’intégrant , on aura la fonction de x,y, z, représentée par U, et par conséquent l’équation de la surface , qui est U = o.

Supposons d’abord que le mouvement de rotation soit

SUR LA MÉCANIQUE. i4g

nul. En faisant *=o, et en prenant l'axe des z parallèle à la direction du mouvement de translation , ce qui donne

cos. c— o ; cos. e = o, l’èquation se réduit à ^ = o, dont l’intégrale est U=F(x, F étant une fonction arbitraire. L’équation U=o, ou F (a-, y)=o , est celle d'une surface cylindrique quelconque dont les génératrices sont parallèles à l'axe des z ou à la direction du mouvement. Cette surface a, comme nous l’avons dit, la propriété d’occuper les mêmes points de l’espace, en se mouvant dans la direction de ses génératrices.

Supposons ensuite que le mouvement de translation soit nul, et que le mouvemeut de rotation ait lieu autour d’un axe quelconque, passant par le point donné a, b, c. En faisant V = o, l’équation générale doit être satisfaite, quelque soit la valeur des angles a, 6, y. On a donc les trois équations

, ,,JU . ,iU

(x— *)-£— Cr— *)j 7 =o,

substituant les valeurs quelles donnent pour ^ , — , dans l’équation différentielle de la surface, il vient

[(x—a)8x+(jr—b)ïy+(z—c)$z] = o, dont l'intégrale est

(x — a)' + (y — by + (z — c)’ = constante ,

i 5 o MEMOIRES

équation à une sphère, ayant son centre au point a, b , c , et qui en tournant sur l’un quelconque de ses diamètres , occupe toujours les mêmes points de l'espace.

Le mouvement de translation étant encore supposé nul , si le mouvement de rotation s’exécute autour d’un axe unique, on a, en prenant l’axe des z, parallèle à l’axe de rotation, ou, ce qui revient au même, en faisant cos. <x=o, cos. 6 = o, cos.y=i,

L’équation différentielle de la surface est

dont l’intégrale

z—f[(x — a)'+ (jr—by).

représente, au moyen de la fonction arbitraire ç, toutes les surfaces de révolution autour de l’axe donné, et par conséquent toutes les surfaces qui , en tournant autour d’un axe, occupent toujours les mêmes points de l’espace.

Enfin si le mouvement de translation et le mouvement de rotation ont lieu en même temps et sont indépendants l’un de l’autre ; il faut d’abord égaler à zéro le coefficient de V, ce qui donne, en prenant convenablement l’axe des z,

^7 = 0, ou Ü = F(ar, < y),

îü

. iU *7^ = 0.

SUR LA MÉCANIQUE. i5i

On a ensuite, en égalant à zéro le coefficient de i, et transportant l'origine au pointa, b, c,

j^X COS. y — ZCOS.aj H- [zCOS.6 — JCOS.yj =0,

équation qui ne peut subsister avec l’équation U=F(x, y ) qu’en faisant cos. « = o, cos.6 = o, cos.y=i, et par suite

Éliminant et , il vient :

x$x + y&y—o, ou bien x' +y'= constante,

et on en conclut que la surface, qui, en se mouvant d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation, occupe toujours les mêmes points de l’espace, est une surface cylindrique à base circulaire.

III e Question. Quelles sont les équations de condition qui expriment que deux roues d’engrénage, à centres fixes ou mobiles , se meuvent sans frottement de première espèce , dans leurs points de contact.

Solution. Un engrénage marche sans frottement de première espèce , lorsque le mouvement relatif des points qui se touchent est nul, ou lorsqu'en nommant x,y, z;x',y , z' t les coordonnées de deux points en contact, après le temps t; dx, dy, dz;dx, dy, dz', leurs différentielles pendant l’instant dt, on a

(dx — dx')' 4- (dy — dy)' -t- (dz — dz')'= o,

i5a MÉMOIRES

c’est-à-dire

dx — dx', dy—dy, dz — dz.

Soient «, 6, y, les angles que l’axe instantanée de rotation de l’une des roues fait avec les axes des coordonnées x, y, z; a, b, c les coordonnées d’un point de cet axe; i la vitesse angulaire de la roue ; soient aussi €’, y'; a', b', c' ; ? les quantités semblables relatives à l’autre roue. En mettant pourra:, dy, dz; dx , dy, dz leurs valeurs, les équations de condition demandées sont, à cause de x' — x ; y —y ; z — z;

i[(y — £)eos.y — (z — c)eos.ê]=*'[(y — b' )cos.y — (z — e')eos. 6*], t[(z — C)COS. a — ( X — rt ) COS. y] =t"[(z — c')COS.*' — (.2 — fl'lCOS.y'], *[(x — a) cos. 6 — (y — b) cos. «] = ï [(x — a ') cos. e' — (y — b') cos. a ] .

Cela posé, on peut toujours prendre les axes des coordonnées de manière que les deux points x, y, z ; x , y , z^qui se louchent, soient à l’origine, ce qui donne

et que l’un des deux axes de rotation soit dans le plan des x , y, l’autre étant parallèle à ce pian , ce qui donne

cos.y = o, cos. 6 = sin. «, cos.y'=o, cos €'= sin. *’ , c=o ;

on peut aussi, en faisant passer l’axe desx par un point de la perpendiculaire commune aux deux axes de rotation , prendre les points arbitraires a, b, c ; a!, b', c sur la perpendiculaire commune, ce qui donne

Les équations de condition deviennent par ces réductions

o=t" c' sin.

0=ï c' COS. a', i sin. a—i' sin.

les deux premières qui ne peuvent être satisfaites qu’en faisant e'=o, indiquent que les deux axes de rotation, fixes ou mobiles, sont à chaque instant, dans un même plan, avec les points de contact des roues : la troisième exprime que les vitesses angulaires, constantes ou variables, sont en raison inverse des distances des points de contact aux axes de rotation.

ARTICLE X. — Problème.

On demande les équations de condition et les formules du mouvement et de l'équilibre d’un système de points matériels formant une ligue courbe flexible et inextensible.

Solution.

La flexibilité de la courbe ne peut pas être exprimée par des équations de condition. Une courbe, une surface ou un système quelconque de points matériels, représenté par des équations de condition, est flexible, lorsque ces équations n’expriment pas qu’il est inflexible. En généralisant cette reremarque, on voit qu’il suffit dans la définition d’un système, d'énoncer les conditions qui détruisent ou qui limitent la possibilité de certains mouvemens des différents points matériels qui le composent, et que tous les mouvemens relatifs ou absolus , qui ne sont pas en contradiction avec les équa- /.

tions de condition, peuvent avoir lieu, sans qu’il soit necessaire ni même possible de l’exprimer par des formules.

Quant à l’inextensibilité de la courbe, cette propriété consiste en ce que la distance infiniment petite de deux éléments contigus de son périmètre est invariable.

Soit pris sur la courbe un élément x, y, z, entre deux éléments x’, y 1 , z ; x", y", z, qui lui soient contigus; la distance de lelémeut x,y, z, à l'élément x', y, z', est

dont la différentielle, prise relativement au temps et égalée à zéro, donne, en nommant is le radical,

(rür) (dx-dx)-i-(^) ( dy—dy )

-+- ) {dz — dz') — o:

De meme la distance de l'élément x", y", z", à l’élément x,y, z, étant

sa différentielle prise relativement au temps et égalée à zéro, donne, en nommant S.s- 4 - Us le radical,

(îttSO w- d *) + (fefj w- d ?)

l)e semblables équations de condition ont lieu pour tous les points du périmètre de la courbe; mais les deux pré-

SUR LA MÉCANIQUE. i55

cédentes sont les seules qui contiennent les différentielles dx, dy, dz.

Cela posé, si on multiplie la première par X, la seconde par X $X, la somme des coefficients de dx est

ou bien

c’est-à-dire

X (x — x') (X + ÎX) (x" — x)

tX + SX)(je"—x) X(x-x') ']

-+- Ht 57 J ’

on trouve de la même manière que la somme des coefficients de dy est égale à — $ Ç-jj') , et que la somme des

coefficients de dz est — 5 Ç ) •

Donc en nommant X, Y, Z, les forces accélératrices appliquées à l’élément x , y, z, dont la masse m est égale à %s multiplié par la densité , les formules du mouvement sont

md (in)=

[mX