X.ïx

\dt,

V dt j

Si.

( dy . >

) = [mj.

I dt,

\ dt ,

Sj. J

(dz.\

*.Sï„1

\ dt,

\dt J

Si. J

SUR LA MÉCANIQUE. ï5 7

et celles de l’êmRlibre

is.

Si outre la condition de l’inextensibüité du fil , il y avait une autre condition commune à tous les points de la courbe, il faudrait introduire dans les formules du mouvement et dans celles de l'équilibre les forces ou les termes équivalents à ces conditions. Si , par exemple , la courbe entière devait être tracée sur une surface courbe donnée , on aurait , en inulti-' pliant par (*, l’équation différentielle di — pdx — qdy — o, de cette surface, les trois forces p, — — qp qu’il faudrait ajouter aux forces mZ, hiX, m Y ; mais si ces conditions n’étaient relatives qu’à un point extrême; si ce point était fixe ou assujéti à rester sur une courbe donnée, on aurait dans le premier cas Sx.—o ,- Sj-„=o , îz„ = o, et on introduirait dans les formules du point extrême les trois forces

1^. , y., v. ; et dans le second cas, en représentant par

' "I iif ’ i ; ■

les équations données de la courbe dont il s'agit, les trois termes à introduire dans les formules de l’équilibre ou du mouvement du point, seraient, F’ (x,) pour les formules en i — y«p' QO pour les formules en y, , et n„ 4- y„ pour les formules en z„. 1

I er Corollaire. Le cas le plus simple est celui où le fil, assu-

tf>8t MEMOIRES |«

jeti à envelopper une courbe donnée, est ns&tonu en équilibre par des forces appliquées aux points extrêmes. Soient — pix=o , Sz — qüy= o, , les équations de la courbe donnée : les formules de l'équilibre deviennent en faisant X=o , Y =o , Z=o ,

et il est facile de conclure de ces formules, en les multipliant par ix , iz, et en les ajoutant

$ *=o, ou * = constante,

La tension * est doue la. même dans tous les points du fil et les forces appliquées aux points extrêmes , tangentiellemeut à la courbe, sont égales; mais les résultats sont bien différents, quand on suppose que le fil éprouve, en glissant sur la courbe , un, frottement aucpicl il faut avoir égard.

Admettons. que le frottement soit, proportionnel à la pression normale P$.f du fil sur l’élément Ss de la courbe ; cette pression est la résultante des forces — p j* , — yv, n+y, qui assujétissent le fil à toucher la courbe dans tous ses points : car les forces équivalentes à la condition de l'inextensibilité du fil ont des directions tangentes à la courbe et n’exercent aucune pression normale. On a donc

Cela posé, le frottement, représenté par nPir, devant être

SUR LA MECANIQUE. ïSg

considéré comme une force directement Opposée au mouvement des éléments du fil sur la courbe , sès composantes sont— «PS* dans le sens des*,- — nP* r dansîe sens des)-;

«Piz dans le sens des s. Ainsi pour exprimer que le fil est en équilibré, ou que les forces qui tendent à le mouvoir sont égaies aux forces contraires qui résulteraient de son mouvement , on a

PV- n-PSx — â — o,

Si on multiplie ces formules par Sx, iy , $ Z) respectivement et si on les ajoute ensemble, on trouvé

T, . . II! -V! . .ri.,

nPâr-t- Sx = o ;

si ensuite on fait la somme des il vient

quarrés, />>’, ? y, (p + r)*,

P'v-' + 7‘t , + (^+r)* = n‘P l -4- anP$x

ou , en mettant pour le premier membre sa valeur P'$j*, et

en développant chacun des trois derniers termes du second membre ,

P‘Ss‘

,6o MEMOIRES

ou bien encore en supprimant les trois premiers termes du second membre et en nommant r le rayon de courbure au point x, y, z,

P’ = ^ et P=--

Cette seconde valeur de P étant comparée à la première , on a

donc si le rayon de courbure de la courbe donnée , sur laquelle le fil s’enveloppe, est constant, il vient en intégrant

— ns

X = Ke~*

et en nommant X' la tension qui a lieu à l’origine du fil , où T — r> et P' la pression normale au même point,

— ns

—ns

e est le nombre a, 7182818. La loi des tensions et des pressions normales , dans tous les points du fil , est donnée par ces équations, ainsi que les rapports entre les pressions extrêmes. On voit que ce rapport augmente rapidement avec la longueur de l’arc enveloppé, en sorte que l’une de ces tensions peut être très-grande par rapport à 1 autre.

II e Corollaire. Les forces accélératrices X , Y , Z , appliquées à chacun des éléments du fil, étant telles que la for-

mule X(/x+Yd , j+ Z dz soit égale à zéro , ce qui comprend le cas où X=o, Y = o, Z=o, et le cas où la résultante est normale à la courbe, on a, eu multipliant les formules de

l’équilibre par ^ et en les ajoutant,

La tension \ est donc constante dans toute l’étendue de la courbe et eu la mettant hors du signe & , les formules de l’équilibre sont

' nY -’*(rO=«’

ni Z — = o;

On a ensuite

ou, en introduisant le rayon de courbure r,

Donc si la résultante des forces X , Y, Z est constante et si la densité de la courbe est uniforme, ce qui donne m=&s, le rayon de courbure est constant et la tension est proportionnelle au rayon de courbure. Ces propriétés suffisent pour trouver, en termes finis, les équations de la courbe en équilibre , lorsque les forces X , Y , Z sont complètement déterminées.

III e Corollaire. Supposons maintenant que la courbe fasse des oscillations infiniment petites sur sa position d équilibré; /. ai

ifia MEMOIRES

on pourra regarder la tension >. comme une quantité constante, non -seulement dans toute l'étendue de la courbe, mais encore relativement au temps.

Cela posé, soient x„ , y,, z„ les coordonnées d’un point de la courbe qui correspond à l'arc s dans la position d'equilibre et x„ -+- x , y„ +y> z„ +• les coordonnées du même point pendant le mouvement d'oscillation et apres le temps t En substituant ces expressions à la plac.e de x , y, z, dans les formules du mouvement et remarquant que les coordonnées ,x„, y., ?„ sont des fonctions de s, indépendantes du temps, on a

N dd x* U ~dT

= &sX— xi(

)— xi

= SsY — xi (

'ir. >

) —xi

k ddz *

=zSs Z — xi (

|— xi

Or, dans la position d’équilibre et dans toutes les positions infiniment voisines que la courbe peut prendre dans son mouvement d'oscillation, la somme des deux premiers termes de chacun des seconds membres, s’évanouit; les formules du mouvement se réduisent donc à

ddx' , S$.r'

~dï r y ~ï7~’

dd r' , î Sy

~dF * “FF »

ddz' ii*’

~dF

dont les intégrales sont connues. La détermination des fonctions arbitraires dépend des conditions particulières du mouvement.

ifi S

IV* Corollaire. Quelles que soient les forces X , Y , Z et la nature de la courbe en équilibre , il suit des calculs précédents que, si on nomme x 0 ,j- 0 , z„, les coordonnées du point correspondant à l’arc s dans la position d'équilibre et x. 4- x , y t 4 - y, z Q + z, les coordonnées du même point pendant le mouvement d’oscillation sur cette position, on a les formules de l'équilibre,

i ,n>. rira , :

o — Z is — &

. , , , »> SLWljU ■ isÀV .'Au .

et les formules du mouvement d oscillation ,

ddxf î /XJx's

dt' i s V St ) ’

dt' St \ St J '

ddz’ __ S^ /Xj£>i .

dt' ~ lAl) j’

X étant connue par les formules de l’équilibre , on introduira sa valeur en fonction de s dans celles du mouvement , et on aura entre s, t et chacune des coordonnées x' , y', z des équations différentielles séparées. Mais quelle que soit la fonction de s, qu’il faudra substituer à X, l’intégration de ces équations présentera toujours de grandes difficultés.

i fi.j

ARTICLE XI. — Problème.

Un fil homogène et inextensible, formant une courbe dont les élémens ne sont soumis à aucune force accélératrice , conserve sa figure , pendant que tous ses points ont un mouvement commun. On demande les équations de la courbe du fil.

Solution.

Le mouvement commun ne peut être qu’un mouvement simple de translation ou de rotation, ou bien un mouvement composé de ces deux mouvements simples.

I er Cas. Soit ç (t) l’espace parcouru dans le temps t , par un point quelconque du fil , en vertu du mouvement commun de translation, qu’on peut toujours supposer parallèle à l’axe des z. Les équations de condition se réduisent à celles de l’inextensibilité du fil et les coordonnées du point qui correspond à l'arc s , après le temps t , étant .r, y, z, les formules de l’article précédent donnent, à cause de X=o, Y=o,Z=o,

ddx