ST

dt ' ~

d dy

Te ~~

vi» / ’

ddz

Tr ~

Mais en nommant x„ , y a , z., les coordonnées du point qui correspond au même arc j, à l’origine du mouvement, on a pour exprimer que le fil conserve sa figure x=x„, y=y . ,

SUR LA MÉCANIQUE. i65

z—z. -+-?(£). Substituant ces valeurs et remarquant que les coordonnées .r„, y , , z„ ne varient pas avec le temps, il vient pour les équations de la courbe demandée

Si on les ajoute, après les avoir multiplié par Sx 0 , &j- a , îz„ , on trouve

S\ = — iz.f" (t) et \ = A — z„ç"(«),

substituant ensuite cette valeur dans les deux premières équations, on a en intégrant

C=[A**'(0]Vr et ^“[A —

D’où il suit que les rapports seraient des fonctions

du temps, et que la figure du fil varierait, si ç''(r) n’était pas une quantité constante. Faisant donc —g, les équations (i), fa), (3), sont celles de l’équilibre d’un fil homogène pesant et la figure du fil est la courbe connue sous le nom de chaînette.

II e Cas. Le mouvement commun à tous les points du fil est un mouvement uniforme de rotation autour d’un axe qui est pris pour l’axe des z.

On a , comme dans le premier cas , les équations

x , z étant les coordonnées du point correspondant à

t are s , pendant le mouvement du fil ; mais en nommant a-„, V„ , z„ , les coordonnées du point correspondant au même arc à l’origine du mouvement, et t la vitesse commune de rotation , les valeurs de x, y, z, sont, par le corollaire III de l’article IX,

x=x.cos.ti+y.&in.ti, y—y^cos.ti — jr.sin.f», z — z,\ substituant , il vient

— i‘ S s [x„cos. £t-t-j„sin. ft] = — î [x ix.cos. ti+\iy,&\n. t *], — i'ts [^\cos.t i — ic.sin.tt] = — S [*8jy.cos. t i — Xix.sin.ff],

d'où il est facile de conclure

'v. il )’

Ces formules qui sont celles de l'équilibre d’un fil inextensible, à tous les élémens duquel sont appliquées des forces accélératrices , égales aux forces centrifuges dues à une vitesse de rotation i autour de l’axe des z , donnent , étant multipliées par S y. , îz„ et ajoutées ensemble,

= ou bien 2 X =»*( C’ 4- .r,

Remettant ensuite pour X sa valeur, les équations demandées de la courbe du fil sont

a i'xjs=i [^(C 1 -H +>•:)] ,

at ’jx [t^( ^ ■?*•)] >

L’intégration, en termes finis, de ces équations n’est pas possible, lorsqu’on les considère dans toute leur généralité; mais en les modifiant par de nouvelles conditions, on peut en assigner quelques intégrales particulières. Supposons, par exemple, que le fil doive être compris dans le plan desar, y, perpendiculaire à l’axe de rotation : cette condition exprimée par Sz.—o introduit une nouvelle force f* dans la troisième formule du mouvement qui devient

Mais à cause de îz„=o, on a aussi jx=o ; d’où il suit que le fil n’exerce aucune pression normale sur son plan. L’équation de la courbe du fil devient, en développant l’une des deux premières formules,

= C*)îaS (it) >

et elle est satisfaite, comme il était aisé de le prévoir, soit en faisant .r„ iy„ — y„ Sx, — o , ce qui donne une ligne droite passant par l’origine, soit en faisant x'„ 4 - yi -4- C’=R\ ce

t68 MÉMOIRES

qui donne un cercle d’un rayon quelconque, dont l'origine est le centre. Dans la première hypothèse, on prouve par les équations relatives aux points extrêmes du fil, que, si ces points sont libres, ils doivent être à des distances égales de l’origine, où est le centre de rotation, en sorte que ce centre soit dans le milieu de la longueur du fil ; dans l’hypothèse du cercle, la constante G est nulle et la tension \ est dans toute l’étendue de la courbe égale à e'R'. On satisfait encore à l’équation différentielle, en faisant y=ax + b , a, b étant deux constantes indépendantes , pourvu que l'on attribue des valeurs infinies à l’indéterminée C et à la tension X. Cette intégrale qui donne une ligne droite quelconque , tracée sur le plan des xj-, est donc l’intégrale générale de l’équation différentielle du second ordre, dans l'hypothèse d’une tension infinie.

III e Cas. Le mouvement commun est composé de deux mouvements, l’un de translation, l’autre de rotation, et pour abréger, on suppose que ces deux mouvements sont ceux des deux premiers cas.

Il est facile de prouver que la fonction seconde ç"(ï) est encore une quantité constante et que les équations de la courbe qui conserve sa figure, pendant que tous ses points ont deux mouvements communs et simultanés , sont celles de l’équilibre entre les forces accélératrices données par les deux mouvements et appliquées à tous les éléments de la courbe.

Corollaire. Supposons maintenant que la figure du fil , lorsqu’il commence à se mouvoir, diffère un peu de la figure qui n’est pas dérangée par le mouvement commun et que

le fil tasse des oscillations très-petites sur cette figure invariable. Les formules générales du mouvement du fil sont toujours

ddx K Ab'

mais au lieu de faire , comme dans le cas des deux mouvements communs et simultanés ,

x -—Xt Cos. ti +j. Sin. ti, y=y„ Cos. ti — x, Sin. ti,

il faut faire

x=x' -t- x„ Cos.Ji -i-j>'„Sin.ïi , y=y +y n Cos. ti — x. Sin. ti, 2=z’-4-z„ + ç(r),

x, y, z étant les variations qu’éprouvent en vertu du mouvement d’oscillation les coordonnées x„ , y , , z„ de la figure invariable. Substituant, on a

ddx'

dt*

— i'( x. cos. t i + y. sin. t i ) j = — S ^ y

— cos. tii — sin. (

'My.\

ddy . dr ~

- é* ( y. cos. ti — x.sin.f»)! = — i ( ~j ~ )

— cos. ti i Ç “jf 1 ) + ®* n - tl & (

vTT )•

ou en supprimant les tenues qui se détruisent ,

Les oscillations étant infiniment petites, la tension X est donnée en fonction de s , par les formules de la ligure invariable, ainsi qu’on l’a déjà vu ; on a donc trois équations différentielles séparées entre s,t et chacune des variables x , y , z. Mais ces équations ne peuvent être intégrées que dans le cas où la tension x est la même pour tous les points de la courbe; nous reviendrons dans le cinquième mémoire sur les applications de ces équations.

ARTICLE XII. — Problème.

On demande les équations de condition et les formules du mouvement et de l’équilibre d’un système de points matériels formant une surface courbe inextensible.

Solution.

Soit pris sur la surface un élément x, y , z situé entre deux éléments a-, , y„ z, et x\ z contigus au premier et se projetant avec lui sur le plan des xy dans une même direction ; soit aussi &z=pàx + qly, l'équation différentielle de la

surface et par conséquent

z—z,=p(x—x, )+q(y — y, ) , et

z'— z=(p + tp)(x'—x) + (q + &q)(y—yy,

La distance de l’élément x,y, z à l'élément x,, y , , z, , est

[(x — x.y + (y-y,)' + (z — z,)*]*, dont la différentielle, prise par rapport au temps et égalée à zéro, donne, en mettant pour z — z, , sa valeur et désignant par fi le rapport de y — y. à x x , ,

dx—dx, +p(dz— dz,)+\f.[{dy—dy,)+q(dz—Jz,)]

De même la distance de l’élément x, y, z à l’élément x,

y, z, est [(x — x)‘ + (y — yy + (z — z)’], dont la différentielle , prise par rapport au temps et égalée à zéro, donne , en mettant pour z — z sa valeur,

dx -dx+ {p-t-’Hp) (dz'-dz) •\-^.[dy—dy+{i] + iii) (dz'-dz)]

Cela posé , pour exprimer que la surface est inextensible, c’est-à-dire , que la distance d’un élément quelconque de son aire à chacun des éléments qui lui sont contigus , ne varie pas avec le temps , il faut que les deux équations précédentes soient satisfaites , quelque soit le rapport p , ou , ce qui revient au même , il faut que ces équations soient satisfaites, i° Quand le rapport ^ est nul, ce qui donne, à cause que

se réduit à Sx ,

bp, dont la valeur est +by j^,

dx — dx ,+p(dz — dz,) (

dx’ — dx -\- 1

[dz'—dz)

2 0 Quand le rapport j* est infini , ce qui donne, en observant que Sq est alors égal à >

et 1

dr — djr, -f -q(dz — dz,)

df—djr+ (î + ^ {dz'—dz)

telles sont les équations de condition qui expriment que la surface est inextensible.

En multipliant la première par Î/X, la seconde par Sy(\ + Sx , la troisième par $.r y, et la quatrième par

Sx Çy + Sr ) , la somme des coefficients de dx est

Sy\

x+ix r

c’est - à - dire

( — ' — il >

la somme des coefficients de dy est

0+ff " l ,+ (? + ^f?) ]‘

c’est-à-dire,

la somme des coefficients de dz est

iy — + — ïl—r

c'est-à-dire

(ï+îr

iyj

^ 7 ^ — Sxiy

Donc en nommant X, Y, Z, les forces accélératrices appliquées à l’élément x, y, z de la surface et m sa masse dont

l’expression est le produit de l’aire S x B y ( i +p‘ + q')‘ par sa densité, on a pour les formules du mouvement.

i 7 4 mémoires

et pour celles de 1 équilibré

^Wf/

o = mZ

o = m Z — $xSy

I er Corollaire. Ces formules ne s’appliquent pas aux éléments qui sont situés à la limite de la surface et pour chacun desquels il n’y a qu'un seul élément contigu dans une direction donnée.

Soient x„,y„, x„ les coordonnées d’un élément extrême ; x,,y , , z, les coordonnées de l’élément contigu, qui se projette avec le premier sur le plan des xy, dans la direction représentée par le rapport de x, — :<•„ à y, — y„. La distance infiniment petite des deux éléments est

dont la différentielle prise relativement au temps et égalée à zéro, donne, en mettant pourz, — z.sa valeur p.(x, — x.)

+ ?.Cr — r.)v

fx x -, dx, — dx.+p.(di, — dz.)

Cr,— /.)*+(*,—

[(x.— y.y+{z,~ z.yf

Cette équation devant avoir lieu , quelque soit le rapport de x, — x. ky, — y, est équivalente à ces deux-ci ,

dx, — dx„ + f Q (dz , — dz .) o

d r.— d x° +?■ (dz— dz, ) __ o

qui sont les seules équations de condition contenant les différentielles dx ot dy., dz,.. En les multipliant par &x„ ty„ ; ix. by„ y., les coefficients de dx., dy dz . sont respectivement

ainsi en nommant X„ , Y„ , Z„ , les forces appliquées à l’élément extrême rn „ , on a les formules du mouvement

ddx° ° dC

dd r. v Z*. b. y.

~dr~ ï„—

et les formules de l’équilibre s’obtiennent en égalant à zéro chacun des seconds membres.

II e Corollaire. Les forces équivalentes aux équations de condition dans les formules de cet article sont évidemment égales et contraires aux tensions qu’éprouve chaque élément de la surface ; nous reviendrons sur cet objet dans le quatrième mémoire, en appliquant les formules générales de l'équilibre des surfaces inextensibles à quelque cas partiçu-

liers. Mais nous remarquerons ici qu’on peut par la consi dération immédiate des tensions, obtenir les formules du mouvement et de l’équilibre que nous avons obtenues par les équations de condition.

En effet, dans l’état d'équilibre ou de mouvement de la surface , chacun des éléments est tendu par des forces dirigées dans le plan même de l’élément et agissant en sens contraire à ses extrémités opposées. Ainsi les quatre côtés de l'élément quelconque m sont tirés du dedans au déhors par des forces dirigées dans le plan tangent au point a, z; nous supposons de plus que ces forces sont parallèles aux plans des x; et des yz, et nous nommons — tyX la force qui tire l'un de ses côtés parallèlement au plan des xz. Les composantes de cette force dans le sens des x et dans le sens des z , sont

>,./ pX A

En passant du côté que nous considérons au côté opposé dans le même élément , la variable^ reste la même et la variable x se change en x -t Sx. Les forces appliquées à ce côté sont donc égales aux précédentes augmentées respectivement des termes

.il'

et comme elles agissent en sens contraire des premières, il s’ensuit que l’élément m est tiré dans le sens des coordondées x. z par- les forces

on trouve de la même manière, en nommant — Sx y la tension éprouvée par l'on des côtés de l’élément m , parallèlement au plan des j*, que cet élément est tiré dans le sens des x , et dans le sens des y par les forces

Réunissant ces forces aux forces données mX , m Y, m Z, et changeant les signes de X et de y, on a les formules du mouvement et de l’équilibre trouvées ci-dessus; si donc ces formules diffèrent de celles qu’un célèbre géomètre a données dans un mémoire imprimé parmi ceux de l’Institut , année 1812, page 173, les différences viennent uniquement de ce que les tensions >, y dans nos formules, n’ont pas les mêmes directions que les tensions T , T dans les formules du mémoire de M. Poisson.

ARTICLE XIII. — Problème.

On demande les équations de condition des fluides incompressibles.

Solution.

Un fluide incompressible se compose de points matériels, réunis en une masse continue, sous un volume invariable.

La condition de l’invariabilité du volume étant commune à la masse totale du fluide et à toutes les masses partielles réunies dans la masse totale, il suffit d’exprimer cette condition pour des portions infiniment petites du fluide.

i 7 8 MEMOIRES

Soit une masse fluicfe quelconque, homogène ou hétérogène , divisée en molécules rectangulaires, par des plans parallèles aux plans des coordonnées. Si on nomme x, x' ; y, y ; z, z, les coordonnées des six plans, parallèles deuxà-deux , qui circonscrivent la molécule m , sou volume a pour expression le produit

(. x'—x)(y — y) {z — z), ou bien SxSySz;

et si on égale à zéro la différentielle de ce produit, prise en attribuant aux variables x, y, z; x', y, z, des variations dues au mouvement de la molécule et marquées par d, on a la première équation de condition

[dx — dx) iy Sz + {dy> — dy) Sx Sz + (dz — dz) SxSy=o;

chacune des molécules rectangulaires , dont la masse fluide est composée, fournit une semblable équation ; mais il suffit d’avoir ici les équations qui contiennent les variations dx, dy, dz. Or la molécule ni, circonscrite par les plans .r'', x; y, Y > z > z > wt qui suit, dans le sens des x, la molécule m quelle touche par une de ses faces, a pour expression de son volume le produit

dont la différentielle est nulle, en donnant à y, y ; z, z des variations quelconques, différentes de dy, dy ; dz, dz, et à la variable x, la variation dx, égale au déplacement de la molécule m dans le sens des x. Car la condition de la continuité de la masse fluide, exige que les deux molécules m, m, qui se touchent, aient, à chaque instant et dans le sens de la normale au point de contact des mouvements égaux et

de même direction ; on a donc la seconde équation de condition

( dx — dx") Sy Sz +etc,=o.

En considérant de la même manière les molécules m", ni" qui suivent la molécule m dans le sens des y et des z et qui lui sont contiguës, on a les deux autres équations de condition , '

[dy — dy”) Sx Sz-h etc.=o,

( dz — d z") Sy Sx 4 - etc. =0.

Cela posé, si on multiplie la première par une fonction

; x, y, z, représentée par X; la seconde par X ■ — Sx la troisième par X — & fjj.] la quatrième par X — S z ^ ; les sommes des coefficients de dx , dy, dz , sont respectivement

— SxdySzj — SxSySz — SxSySzy:'-

Donc en nommant X, Y, Z lesforces accélératrices appliquées à la molécule m, dont la densité est e et dont la masse est six S y Szj les formules du mouvement de cette mole-

J i • . «Tl Ï a 1 • ‘ .

cule sont, en supprimant le facteur commun Sx Sj- Sz,

ddx

v Sx

dt %

eX ~^’ '

ddy dt> ~

d dz

lZ *~rz ;

. ii *: V>.

et en égalant les seconds membres à zéro , on a pour les formules de l’équilibre ,

Sx ‘

° = i7 '-Tz

I er Corollaire. Ces dernières formules donnent, par l’élimination de i,

S(iX) J(«Y)

~JF~ ~~ »x >

^j(eX) è («Z)

~Tz -ÜT»

Sz ~ Sy ’

Telles sont les conditions générales de l’équilibre d’une masse fluide incompressible ; elles expriment que la formule

e (XSx+YSy+ ZJz),

est une différentielle exacte et que la densité • est une (onction de l’intégrale 2(Xèx + Yîj + ZSz).

II e Corollaire. Les forces équivalentes aux équations de condition sont,

parallèlement à l’axe des x,

— SySzX 4 - SySz (x — !

parallèlement à l’axe des y,

— SxSzx -t- SxSzfx — àyT~) ;

• Ni, S y J ; : |:j . i

parallèlement à l’axe des z,

— &x&jr\+ixiy (\ — <ÎZj^): .

Ces six forces contraires dcux-à-deux et proportionnelles aux faces de la molécule m, indiquent évidemment des pressions exercées sur les faces de cette molécule par les molécules qui sont en contact avec elle ; en effet une molécule fluide, faisant partie d'une masse fluide continue, rte peut éprouver l’action des forces équivalentes aux équations de condition, que par l'intermédiaire des molécules qui la touchent. La molécule m, contiguë à six molécules m' , m", m", etc., éprouve donc sur ses trois faces iyiz, i.t&z, Sxiy, passant par le point x, y, z, et sur ses trois faces égales et opposées, passant par le point x + Sx, y+ z + iz, des pressions produites par les forces équivalentes aux équations de condition. La mesure commune des pressions, ou la pression sur l’unité de surface est X, pour chacune des trois premières faces ; et sur les trois autres faces , la mesure commune des pressions est encore la quantité X, mais augmentée respectivement de sa différentielle partielle, prise par rapport à x, à y, à z.

Or dans l’état d’équilibre de la masse fluide, les équations

donnent

$X = «(X$a;-t- YSy+ ZSz);

et si on nomme R la résultante des forces accélératrices X ,

i8a MEMOIRES

Y, Z; *, 6, y, les angles de sa direction avec les axes des coordonnées ; s la distance de la molécule m à un point pris sur la direction de la résultante R, il vient, à cause de X=Rcos.a, Y=Rcos.ê, Z=Rcos. y; Sx=Ss cos.*, Sy=SfCOS.6, 5z = !Ss COS. y,

X=2(tRîi),

équation dans laquelle les quantités qui composent le second membre sont indépendantes de la position des plans des coordonnées. 11 suit de-là que, si on change la direction de ces plans, la valeur deX ne change pas, et que la mesure de la pression exercée sur la molécule m, dans une direction quelconque , est une fonction des coordonnées de la molécule, indépendante de la direction de la pression; donc une molécule quelconque est également pressée, dans toutes les directions, par les molécules environnantes.

III e Corollaire. Les molécules situées à la limite d’une masse fluide peuvent y être dans (leux états différents ; ou bien elles sont libres , c’est-à-dire qu’aucun corps n’a de contact avec leurs faces extérieures ; ou bien elles s’appuient contre une paroi ; dans le premier cas, les pressions sur les faces extérieures des molécules sont nulles. Donc si ayant intégré l’équation

îX=*(XSx-4- Y Ziz),

donnée par les formules de l’équilibre , on fait X=o, on aura entre les coordonnées x.,y„, z„ substituées à x, y,'z, une équation qui sera celle de la surface libre du fluide, pourvu que la constante d’intégration ait été convenablement déter-

minée. L’équation différentielle de cette surface est

elle exprime la condition de l’équilibre des molécules situées à la limite du fluide. Cette condition est que la surface libre du fluide soit perpendiculaire dans tous ses points à la résultante des forces accélératrices. Dans le second cas , les molécules en contact avec la paroi exercent sur elle la pression quelles exerceraient sur les molécules dont la paroi occupe la place.

Si au lieu de faire > = o, on fait >= constante et par conséquent 5>,=o, on a encore l’équation différentielle

Xia - -4-Yàj + ZJz=o;

d'où il suit que les surfaces représentées par cette équation, sont les lieux des molécules qui éprouvent des pressions égales dans une masse fluide en équilibre. Enfin il est facile de voir que dans le cas où une masse fluide en équilibre n’est pas homogène, ces mêmes surfaces sont aussi les lieux des molécules de même densité : car la densité i étant , comme on l’a vu, une fonction de l’intégrale 2(Xi.r-t- Yîÿ + ZJz), si on fait 5e=o, on a + Y -\-7Az — o.

IV e Corollaire. On demande les conditions de l’équilibre d’une masse fluide , composée d'un nombre quelconque de fluides pesants, ayant des densités différentes.

A cause de X=o, Y = o, et Z = — g, les formules de l’équilibre , corollaire I er , se réduisent à

' i84 MEMOIRES

et l'équation des surfaces libres de la masse fluide est

Les conditions de l’équilibre sont donc que la densité e des molécules soit indépendante des abscisses x , y, et que les ordonnées verticales z„ des surfaces libres soient constantes. Par la première condition , toutes les molécules comprises dans une section horizontale , doivent avoir la même densité ; par la seconde , les molécules qui sont situées à la limite de la surface et qui ne s’appuient pas sur une paroi, doivent être dans un même plan horizontal.

Ces conditions sont évidemment insuffisantes ; car elles n’expriment pas que les différents fluides, formant des tranches horizontales et homogènes , se succèdent entr’eux dans l’ordre de leurs densités respectives; disposition qui a toujours lieu, selon l’expérience, lorsque l’équilibre est établi dans une masse fluide hétérogène. Pour parvenir à ce résultat, il faut avoir, outre les conditions de l'équilibre proprement dit, celle de l’équilibre stable, le seul équilibre réel dans la nature; or, sans qu’il soit nécessaire d’entrer ici dans des développements qui auront leur place dans le cinquième mémoire, on sait que, lorsqu’il s'agit d’un système de corps pesants, la condition de la stabilité de l’équilibre est que le centre de masse soit le plus bas possible. Soit donc «, é, t", etc., les densités des molécules fluides, dont les hauteurs, au-dessus d’un plan horizontal, sont z, z, z", etc., et dont les volumes sont égaux ; la hauteur du centre de masse est proportionnelle à la somme

ez -+- e'z'-t- s" z" + etc. , qu’il faut rendre un minimum.

SUR LA MECANIQUE. i85

Cela posé, la densité e étant supposée moindre que la densité é, si l’ordonnée z est aussi moindre que l’ordonnée z', la somme sz+t'z'+ etc. est plus grande que la somme tz'+ t'z+ etc. Il faut donc, pour le minimum dont il s’agit, qu’en comparant entr’elles deux molécules de densités différentes, la molécule moins dense soit plus élevée que l’autre ; d’où il est facile de conclure que le fluide le moins dense doit occuper la partie supérieure de la masse fluide et y être compris entre deux plans horizontaux. Le plan supérieur est la surface libre du fluide ; le plan inférieur est la limite commune au premier et au second fluide. Celui-ci qui est aussi le second dans l’ordre des moindres densités, doit être compris entre deux plans horizontaux et ainsi de suite pour tous les fluides ; l’intervalle entre les deux plans horizontaux qui comprennent un même fluide , étant déterminé par le volume donné de ce fluide.

L’ordre et la disposition de tous les fluides étant connus, il est facile d’avoir la mesurer de la pression qui a lieu dans un point donné du système. Soit h la hauteur du niveau supérieur et h', h", h”', etc. les hauteurs des plans horizontaux qui séparent les différents fluides. L’intégrale de l’équation

îl = — gt iz,

prise depuis l’ordonnée h, est

\=gt{h—z)\

elle donne la pression, sur l’unité de surface, dans la tranche h— h', occupée par le premier fluide. On a ensuite, pour le second fluide,

iBG MEMOIRES

ia constante C doit être telle qu'en faisant z=h‘, limite supérieure du second fluide, X soit égale à X; ce qui donne C—gt(h — A') -i-gih! et

ï= gl (k-h') + g t 'Çh'- z ):

pour le troisième fluide, on a

et -en déterminant la constante K, de manière queV' soit égale à x', quand z=h", al vient

x" —gt ( A — h') + gi (A'— h " ) + gt" (A" — z).

La loi dos valeurs de X , x',x", etc. est évidente, et il en résulte qne , si on nomme rfirtmo surface infiniment petite, représentant soit la face d’une molécule , soit un élément de la paroi ou de la surface d’un corps plongé dans le fluide , la pression éprouvée par cotte surface infiniment petite est

dsg[t(h — A') + t(h — A") -+-•"( A" — A'" ) -t- etc. ],

c’est-H-drre le poids de la colonne fluide verticale, correspondante à l’élément ds, supposé horizontal

ARTICLE XIV. — Problème.

Un corps solide d’une forme quelconque , plein ou creux , recouvert en tout ou en partie , extérieurement ou intérieurement, par un fluide homogène, se meut de manière que tous ses points ont à chaque instant deux vitesses simulta-

nées. La première est une vitesse *, angulaire et uniforme autour d'un axe de rotation mobile; La seconde est égale au déplacement instantané de l’axe mobile, qui tourne uniformément , avec la vitesse angulaire autour d’un axe fixe, parallèle au premier. Les forces accélératrices appliquées à chaque nudecule fluide; sont données et on demande les condition» de l’équilibre relatif du fluide sur le corps.

Solution.

Cet équilibre étant supposé établi , toute la masse fluide a les mêmes mouvements que le corps. Soient x , y, z les coordonnées d’un molécule fluide, après le temps i ; les deux premières coordonnées x, y sont prises sur un plan normal aux deux axes de rotation et l’origine est sur un point de l’axe de rotation fixe ; soient aussi a, b, les coordonnées correspondantes du point où l’axe de rotation 1 mobile rencontre le plan de» x , y x c , y„, z,, «r,, les valeurs de b, a, z, y, x, à une époque déterminée, par exemple, quand t—o. On a d'abord les deux équations

da—i' bdt, — i'adt,

qui se rapportent à l’axe mobile et dont les intégrales sont,

a=a, cos .. t i‘ -h- b, sin. fî'j b—b„co&~ti' — a.sin. ti! :

on a ensuite, pour représenter la mouvement du fluide, les trois équations

dx — da=.idt(y — b ), dy — db 3» — ictt(x — a), dz = o;.

d’où on conclut

ddx — dda = — i ' dr(x — a), ddy — ddb — — i' df {y — b) , d d z o f

x — a=(x, — a„')cos.ti+ {y , — £.) sin.fi, y — b =(j„ — &„)cos. ti — (x„ — a„)sin. ti, z=z a ;

et en différentiant les trois dernières équations suivant c’est-à-dire en ne faisant varier que les quantités qui varient entre deux molécules voisines,

Sx=Sx 0 cos. ti -+- îj„sin. ti, iïy=&y, cos. ti — ÿx.sin. ti,

si, après avoir substitué les valeurs de ddx, ddy, ddz dans les formules du mouvement , ce qui donne