TROISIÈME MEMOIRE

SUR

Équations de condition et forces équivalentes à ces équations.

ARTICLE I er . — Définitions.

L es formules générales du mouvement et de l’équilibre d’un système quelconque, contiennent des termes qui sont donnés par les équations de condition du système. La recherche de ces équations est donc l’opération préliminaire de l’application des formules.

La détermination des forces équivalentes aux équations de condition, est aussi une opération nécessaire pour le calcul des pressions que supportent les obstacles et les corps intermédiaires, destinés à maintenir les conditions d'un système. Ces pressions font naître des résistances auxquelles il est

indispensable d’avoir égard, dans les questions relatives au mouvement ou à l’équilibre, considérés dans les machines.

ARTICLE II. — Lemme.

Le nombre des équations de condition du mouvement d’un point matériel , est nécessairement moindre que trois.

Démonstration.

Si on suppose qu'il y ait trois équations de condition entre les coordonnées x, j-, z, d’un point matériel, il est clair que dans le cas où ces équations sont indépendantes du temps, elles donnent, en les résolvant, des valeurs particulières pour chacune des coordonnées; d'où il suit que le point ne peut pas se mouvoir ; et que dans le cas où les équations de condition contiennent la variable t, qui représente le temps, les valeurs de x, y, z, sont données en fonction de t, en sorte que le mouvement du point, déterminé à priori par les équations de condition , ne peut être modifié par aucune force accélératrice.

Si on supposait un nombre d’équations de condition plus grand que trois, leur existence simultanée impliquerait contradiction, même dans le cas où ces équations contiendraient la variable qui représente le temps. Donc, etc.

Corollaire. Soit entre les coordonnées d’un point matériel une ou deux équations de condition L=o, F=o, lesquelles outre les variables , x, y, z, peuvent contenir aussi le temps. Chacune d'elles exprime que le point matériel est assujetti à

se mouvoir sur une surface , et elles expriment ensemble que le point matériel est assujetti à se mouvoir sur la courbe commune aux deux surfaces L=o, F =0. Donc, quelles que soient les conditions du mouvement d’un point matériel , le point est assujetti à rester sur une surface ou sur une courbe dont la forme et la position sont constantes ou variables avec le temps, suivant une loi donnée.

ARTICLE III. — Théorème.

Lorsque les équations de condition du mouvement d’un point matériel sont indépendantes du temps, la résultante des forces P, Q, R , équivalentes aux équations de condition, est normale à la courbe décrite par le point.

, Démonstration.

Cette proposition est une suite immédiate de l'équation + mQdy- 4- raRrfz) = o,

de l’article V du II e mémoire, dans laquelle les différentielles dx, dy, dz, sont relatives au temps et qui convient à un système quelconque. Si on suppose le système réduit à un seul • point matériel, l’équation devient

Vdx -+- Qdy 4- R.dz=o,

et elle exprime que la résultante des forces P , Q , R , est normale, etc.

{' orollairc . Lorsque les équations de condition sont fonction du temps, l’équation P dx + Qdy + Rdz=o n’a plus lieu, et la résultante des forces P, Q, R, n’est pas normale à la courbe décrite par le point. Mais il est facile de démontrer que cette résultante est, dans tous les cas, normale à la courbe ou à la surface courbe, sur la quelle le point materiél est assujetti à se mouvoir.

En effet la force équivalente aux équations de condition qui expriment qu’un point matériel est assujetti à rester sur une courbe ou sur une surface courbe , constante ou variable dans sa forme et dans sa position , est égale et contraire à la force avec laquelle le point matériel tend à se mouvoir hors de la courbe ou de la surface. Cette seconde force est évidemment normale à la surface ou à la courbe. Donc, la première , c’est-à-dire la force équivalente aux équations de condition, est aussi une force normale.

On parvient au même résultat par le calcul suivant : Soient comme dans l'article précédent, L=o, F = o, les équations de condition du mouvement d’un point matériel ; L , F, étant des fonction des coordonnées çt, y, z, et du temps , ce qui comprend le cas où les équations de condition sont indépendantes du temps. En développant leurs différentielles, on a

dx

dl

ày

d L dy

df

J dl ,d L

dl di + dt in = 0 '

dx 71 + d y dï + dz 4Ï + dt di = °’

et d’après l’ article VI du II e mémoire, les valeurs des forces équivalentes aux équations de condition sont,

SUR LA MÉCANIQUE, dans le sens des x, P égale à ^ 4 - 7 ^ , dans le sens des y, Qégale h ’ 4- y 7^, dans le sens des z , R égale ^ i 1 7 ^ + Y TJ '

Cela posé, pour avoir, à l’époque marquée par t, les équations différentielles de la surface ou de la courbe, sur laquelle le point matériel est assujetti à se mouvoir , il faut différentielles formules L=o, F = o, sans faire varier t et en attribuant aux coordonnées x, y, z, des variations ix, iy, iz, indépendantes du temps; les équations dont il s’agit, sont donc