EXPLICATION DES PLANCHES

La géométrie , d'après l'histoire, a pris naîssance en Egypte, qui semble avoir été le berceau des connaissances humaines. La géométrie , imparfaite et obscure dans son origine, a commencé par des mesures et des opérations assez grossières: le cours des siècles l'a perfectionnée, et nous sommes redevables aux célèbres Descartes, Newton, Leibnitz, d'avoir frayé les routes pénibles de cette science, et de lui avoir ouvert une carrière nouvelle de perfectionnement.

22 DES ËLÉMENS

La géométrie se divise en trois parties. La première ne considère que la connaissance de l'étendue en longueur, sans largeur ni profondeur; on la nomme longirrietne.

La seconde considère l'étendue en longueur et en largeur; on la nomme ptànirrikïriè.

La troisième considère l'étendue en longueur, en largeur, et en profondeur; on la nomme stéréométrie.

Elle contient aussi une quatrième partie, composée des trois premières, que l'on nomme trigonométrie.

Dans la connaissance de l'étendue on considère quatre parties, qui sont le point , la ligne, la surface, et le solide.

Le point géométrique est considéré comme n'ayant aucune dimension, sans longueur ni largeur, tel que serait, un point infiniment petit.

La ligne est, considérée ayant une dimension qui est sa longueur; elle fait partie de la lojigij-nôtrie.

La surface est considérée ayant deux dimensions, qui sont la longueur et la largeur, et fait partie de la planimétrie.

Le solide est considéré ayant trois dimensions ,Ja longueur, la largeur et la profondeur, et fait partie de la stéréométrie.

Des Lignes.

Il y a trois sortes de lignes, la droite, la courbe et la mixte. PLANCHE ^a l'gne droite est considérée être le chemin le plus court d'un point à I, un autre, ayant tous ses points dans une même direction. Voyez la lig. a b, fig. i.

La ligne courbe est celle dont ses points ne suivent pas une même direction. Voy. les lig. a et b, fig. 9.

La ligne mixte est composée d'une partie droite et d'une partie courbe. Voy. la lig. d,fig. 9.

Les lignes droites portent différons noms , selon leur position.

Une ligne placée de niveau se nomme horizontale.

Une ligne d'aplomb se nomme verticale , et elle est perpendiculaire à la ligne horizontale. Voy. la fig. 7. La ligne a b est horizontale, et la ligne cd est verticale ou perpendiculaire.

Toute ligne droite qui coupe dequerre une autre ligne quelconque, est nommée perpendiculaire.

DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a3 Toutelignedroitequinecoirpepasperpendiculairemcnt une autre ligne, PLANCHE c'est-à-dire n'est pas d'équcrre sur une autre ligne , est nommée ligne Ioblique. Voy. les lig. a et b, fig. 8. Lorsque deux ligues conservent une distance égale entre elles, dans toute leur longueur, elles se nomment parallèles. Voy. les lig. c et (/, fig. 8. Les lignes a et b sont des parallèles obliques.

Les lignes courbes peuvent être aussi parallèles comme sont les lig. a et b, fig. 9. La courbe c n'est pas parallèle.

Parmi les lignes courbes , on en distingue de deux sortes. Une ligne tracée avec le compas est nommée courbe régulière; une ligne courbe, dont tous ses points ne sont pas également éloignés d'un point qui est le centre , se nomme courbe irrégulière. Y oy. fig. 9. Les lignes a et b bùid des courbes régulières , et la ligne c est une courbe irrégulière.

Dans toute figure quelconque , à quatre côtés, la ligne droite, qui est tirée d'un des angles a l'autre angle o[>posé , se nomme diagonale. Voy. la lig. a b, fig. 25. Dans un polygone, la ligne qui part d'un angle pour joindre un autre angle en passant par le centre, se nomme aussi diagonale.y oy. la lig. a b, fig. 36. La ligne élevée du centre du polygone, perpendiculaire à un des côtés, se nomme apothème. Voy. la lig. c d , fig. 3ô.

Du Cercle et des Lignes qui lui sont assujetties.

On nomme cercle la surface enveloppée par une ligne tracée avec le compas, que l'on appelle vulgairement rond. La ligne qui enveloppe le cercle se nomme circulaire ou circonférence. Le point formé par la pointe du compas , au milieu du cercle, se nomme, centre. Voy. fig. id. Le point a est le point de centre , et la ligne b est la circulaire ou circonférence. La ligne droite tirée daus le cercle passant par le centre et terminée de ses deux bouts àla circonférence^ se nomme diamètre. Voy. la lig. « £,fig. 17. Toute ligne droite qui part du centre d'un cercle et se termine à la circonférence, se nomme rayon. Voy. les lig- a b c, fig. 16. La surface entre les rayons a et b se nomme secteur. Voy. la partie ombrée, fig. 16. Toutes les lignes droites qui touchent à la circonférence d'un cercle, sans y pénétrer, se nomment tangente. Voy. les \'ig..gi et g h, fig. 16. La ligne droite, qui traverse le cercle et coupe la circonférence à deux endroits, se nomme sécante. Voy. la lig. c d, fig. 17. La surface entre la sécante et la circon-

PLANCHE férence, se nomme segment. Voy. la partie ombrée, fig. 17. La ligne droite 1- qui touche à la circonférence par ces deux extrémités se nomme corde ou soustendante. Voy. la lig. e f, fîg. 17. La ligne perpendiculaire, élevée du milieu de la corde et terminée à la courbe, se nomme Jlèche. Voy. la lig.g^fig. 17. On nomme figures centriques les cercles ou autres figures qui ont un même centre, et figures excentriques celles qui ont chacune leur centre particulier. Voy. fig. 18. Les lignes circulaires a et b forment des figures concentriques , et les lignes d c forment des figures excentriques.

La circonférence du cercle se divise en 36o parties égales que l'on nomme degrés; quelle que soit la grandeur du cercle, il contient toujours 36o degrés. Voy. fig. i5. Les distances entre chaque petites lignes , également éloignées l'une de l'autre au pourtour de la circonférence, contiennent cinq degrés; les lignes un peu plus longues sont éloignées l'une de l'autre de dix degrés. Les degrés servent à mesurer les angles.

Des Angles.

* On distingue trois sortes d'angles auxquels on donne trois noms différens, rapport aux lignes qui les forment, et trois autres noms différens, rapport à leur grandeur.

i°. Lorsqu'un angle est formé par deux lignes droites, il se nomme rectiligne. Voy. les trois angles a , b et c , fig. 10 , 1 1 et 12.

20. Lorsqu'un angle est formé par deux lignes courbes, il se nomme curviligne. Voy. l'angle a, fig. i3.

3°. Lorsqu'un angle est formé par une ligne droite et une ligne courbe, il se nomme mixtiligne. Voy.* l'angle «, fig. i4-

Si on considère les angles rapport à leur grandeur, on les distingue par trois noms différens, qui sont, droit , obtus, et aigu.

L'angle droit est formé par une ligne élevée perpendiculairement sur une autre ligne, et a pour mesure 90 degrés, qui est le quart du cercle. (Cet angle se nomme vulgairement d'équerre.) Voy. l'angle a, fig. 10.

L'angle obtus a pour ouverture plus de 90 degrés; il est connu sous le nom d'angle ouvert ou angle gras. Voy. l'angle c, fig. 12.

L'angle aigu a pour ouverture moins de 90 degrés; il est connu sous le nom d'angle fermé ou angle maigre. Voy. l'angle b, fig. 1 1.

Les angles se distinguent encore par différens noms, selon leur position

à l'égard du cercle. Voy. fig. 16. L'angle formé par les deux rayons a et b, au centre du cercle, se nomme angle central. Celui qui touche à la circonférence, étant formé par les lignes c et d , se nomme angle inscrit. Celui formé par les lignes f et e, n'étant pas au centre du cercle, se nomme angle excentrique. Et celui formé au dehors du cercle, par les deux tangentes g h etgi, se nomme angle circonscrit.

Une portion quelconque de la circonférence se nomme arc ou arc de cercle.

Les arcs contiennent un nombre quelconque de degrés, qui est leur mesure. Il est assez d'usage de nommer sections les petits arcs que l'on fait pour établir des points quelconques sur des lignes droites ou courbes.

Manière d'élever une perpendiculaire (1) sur une ligne droite, entre deux

points donnés.

Soit la ligne a b, fig. 1, et les deux points donnés a et b. Prenez une ouverture de compas plus grande que la moitié de la distance du point a au point b. Avec cette ouverture, mettez la pointe du compas sur un des points a ou b; décrivez l'arc de cercle c d figuré en ligne ponctuée ; faitesen autant ayant la pointe du compas sur l'autre point. Ces deux arcs se rencontrent aux points c et d. Ensuite des deux sections c et d tirez une ligne droite : elle sera perpendiculaire à la ligne a b, et passera entre les points a et b.

Autre manière d'élever une perpendiculaire.

Soit la ligne adb, fig. 2. Fixez le point d où vous voulez élever la perpendiculaire; ensuite fixez les deux points a et b à distances égales du point d; puis, avec une ouverture de compas quelconque, faites la section c ayant la pointe du compas sur les points a et b; tirez de la section c au point d une ligne droite , elle sera perpendiculaire à la ligne adb.

(1) La ligne perpendiculaire est connue, en terme d'ouvrier, sous le nom de ligue d'équerre ou trait carré.

PLAINCHE

a6 DES ÉLÉMENS

PLANCHE

». Manière d'élever une perpendiculaire à l'extrémité d'une ligne droite.

Soit la ligne a b, fig. 3, le point a où l'on veut élever la perpendiculaire. Prenez une ouverture de compas quelconque, et du point a fixez le point c de manière que l'arc coupe la ligne a b au point a, et dans un autre endroit pour fixer le point b; décrivez un arc indéfini , et du point b de cet arc tirez une ligne droite au point c : cette ligne prolongée coupera l'arc au point d; ensuite tirez la ligne d a , elle sera perpendiculaire à la ligne a b.

Autre manière d'élever une perpendiculaire à l'extrémité d'une ligne.

Soit la ligne c b, fig. 4- Faites à volonté cinq distances égales du point b au point c; porlez quatre de ces distances du point b au point a; prenez l'ouverture du compas des cinq distances, et du point de la troisième distance d faites la section a; tirez la ligne a b : elle sera perpendiculaire à la ligne c b] la ligne a d contient cinq distances, la ligne a b en contient quatre, et la ligne b d en contient trois. On peut par ce moyen fabriquer une équerre avec trois tringles de bois, seulement qu'elles aient une rive droite : donnez à la première 3 pieds de longueur, à la seconde 4 pieds, et à la troisième 5 pieds; réunissez-les par leurs extrémités : l'angle qui sera formé par la réunion de celle de 3 pieds et celle de 4 pieds sera droit ou d'équerre. (Cette découverte vient d'Archimède.)

Manière de diviser une ligne droite en parties égales, sans chercher.

Soit la ligne a c, fig. 5, que l'on veut diviser da point a au point c en dix parties égales. Tirez à volonté, du point a, la ligne oblique a b, indéfinie en longueur; ensuite ouvrez le compas de division à peu près de la dixième partie de la distance ac; avec celte ouverture de compas marquez des points à partir du point a sur la ligne oblique a b; comptez dix distances, et fixez le point b à la dixième distance; puis du point b tirez une ligne oblique au point c; ensuite, des autres points qui sont sur la ligne a b , tirez des lignes obliques parallèles à la ligne cb : ces parallèles obliques divisent la ligne a c en dix parties égales. Cette opération est trèsutile pour diviser ou compartir les lames sur les battans de persienne.

PLANCHE

Autre opération pour diviser plusieurs lignes proportionnellement . *«

Soit la ligne h, fig. 6 , divisée en dix parties égales, tirez des lignes parallèles à distances égales, autant que vous voudrez ; fixez le point a également éloigné, et du point a tirez des lignes obliques à chaque point de division de la ligne h; ces lignes obliques couperont les lignes parallèles et les diviseront toutes chacune en dix parties égales; les divisions de chaque ligne seront proportionnelles , comme les lignes sont proportionnelles entre elles.

Figures planes.

Des Triangles.

Le triangle est une figure terminée par trois côtés et trois angles, que I on considère ou par rapport à ses côtés ou par rapport à ses angles. En le considérant par rapport à ses côtés , on en distingue de trois sortes, auxquels on donne à chacun un nom particulier. Le triangle qui a ses trois côtés égaux se nomme équilatéral. Voy. fîg. 19. Le triangle qui n'a que deux côtés égaux se nomme isocèle, voy. fîg. 20; et le triangle qui a ses trois côtés inégaux se nomme scalène. Voy. fîg. 21. En le considérant par rapport à ses angles , on en distingue aussi de trois sortes , auxquels on donne trois noms différens : le triangle qui a un angle droit se nomme rectangle, voy. fîg. 22; le triangle qui a un angle obtus se nomme ambligone ou obtusangle , voy. fig. 23; le triangle qui a ses trois angles aigus se nomme oxygone ou acutangle. Voy. fîg. 24.

Tous les triangles, comme les autres figures planes, lorsqu'elles sont formées par des lignes droites, elles se nomment rectilignes ; lorsqu'elles sont formées par des lignes courbes, elles se nomment curvilignes; et lorsqu'elles sont formées par des lignes droites et des lignes courbes , elles se nomment figures mixtilignes. Le triangle fig. 33 est un triangle cun>iligne; la figure 3/f est une figure quadrilatère mixtiligne.

Dans tout triangle il y a trois côtés et trois angles. On prend ordinairement le côté inférieur pour base. L'angle opposé à la base se nomme sommet; la ligne perpendiculaire abaissée du sommet sur la base se nomme hauteur du triangle. Voy. fig. 19. La ligne a b est la base, l'angle c

PLANCHE est le sommet, la perpendiculaire cd est la hauteur. Cette perpendiculaire partage le triangle équilatéral en deux triangles rectangles égaux; le triangle isocèle serait de même partagé en deux triangles rectangles égaux, puisque la ligne perpendiculaire abaissée du sommet sur la base le partage en deux parties égales.

Il peut arriver que cette perpendiculaire tombe en dehors du triangle , comme au triangle ambligone , fig. 23 ; pour lors, afin d'avoir la hauteur, il faut prolonger la base jusqu'à ce qu'elle rencontre la perpendiculaire. Dans un triangle ambligone on fait souvent évanouir cette difficulté, quand on peut prendre le plus grand côté pour base. Dans le triangle rectangle, fig. 11 , la ligne a b est la base; la ligne a c est à la fois le côté et la hauteur, puisqu'elle est perpendiculaire à la base. La ligne b c se nomme hypothénuse ; elle est toujours la plus longue des trois; car dans tout triangle rectangle la surface du carré de son hypothénuse égale la surface des deux carrés de la base et du côté. C'est sur ce principe qu'est fo dée la manière d'élever une perpendiculaire , tig. 4 > dont j'ai déjà parlé (1). Si dans un triangle rectangle on avait besoin de connaître les angles, on peut, en connaissant un des angles aigus, connaître l'autre. La somme des trois angles de tout triangle rectiligne quelconque égale 180 degrés, ou deux angles droits. On connaît déjà que le triangle rectangle a un angle droit de 90 degrés , pour lors la somme réunie de deux

(1) On peut, en connaissant la longueur de la base et celle du eôté d'un triangle rectangle, connaître la longueur de l'hypothénuse, en cherchant la surface du carré de la base et celle du carré du côté , les ajouter ensemble, et faire du total l'extraction de la racine carrée : l'extraction sera la longueur de l'hypothénuse. — Exemple. En supposant la base du triangle rectangle de 3 pieds de longueur, et le côté ou hauteur du triangle de 4 pieds , la surface du carré de la base sera de 0 pieds, qui est le produit de 3 pieds multiplié par 3 pieds; et la surface du carré du côté ou hauteur sera de 16 pieds, qui est le produit de 4 pieds multiplié par 4 pieds. En ajoutant ou réunissant 9 pieds avec 16 pieds, le produit sera de i5 pieds, qui est le total de la surface des deux carrés de la base et du côté. En faisant l'extraction de la racine carrée de 25 pieds , il vient pour racine 5 pieds, et reste rien , puisque 5 multiplié par 5 produit 25 ; alors la longueur de l'hypothénuse est de 5 pieds. Cette opération est utile pour connaître la longueur des écharpes ou autres pièces de bâtis posées diagonalement ou obliquement aux montans et traverses .[Mais comme la longueur de l'hypothénuse ou de la diagonale d'une figure quadrilatère est incommensurable dans certains nombres , on ne peut se servir de cette opération que pour des cas où l'on n'aurait pas besoin d'une grande précision : par exemple, on peut s'en servir pour le débit des bois.

autres angles égale 90 degrés {un angle droit). Alors, pour connaître le PLANCHE nombre de degrés de l'angle que l'on ne connaît pas , il faut soustraire I. de go degrés le nombre de degrés de l'angle que l'on connaît, le reste sera le nombre de degrés de l'angle cherché. Par exemple, si un des deux angles a pour mesure 60 degrés, l'autre en aura 3o; et si l'un a 45 degrés, l'autre aura aussi 45 degrés, puisque les deux doivent avoir ensemble 90 degrés. Ce moyen est applicable à tous les triangles.

Des Figures quadrilatères.

Le nom quadrilatère est pour toutes les figures planes bornées par quatre côtés. Chacune de ces figures porte un nom particulier, rapport à ses angles ou à ses côtés.

Si les quatre côtés sont égaux et les quatre angles droits , elle se nomme carré, ou pour mieux la distinguer carré parfait. Voy. fig. 25.

Si les quatre angles sont droits, les deux côtés opposés parallèles et égaux, elle se nomme parallélogramme rectangle. Voy. fig. 26.

Si les deux côtés opposés sont parallèles et égaux , ayant deux angles obtus et deux aigus, elle se nomme parallélogramme obliquangle. Voy. fig. 37.

Si les quatre côtés sont égaux, dont les opposés sont parallèles, ayant deux angles obtus égaux et deux aigus aussi égaux, elle se nomme rhombe ou losange. Voy. fig. 28.

Si elle n'a que ses côtés opposés d'égaux et parallèles, ayant deux angles obtus égaux et deux angles aigus aussi égaux , elle se nomme rhomboïde ou losange oblong. Cette figure ressemble au parallélogramme obliquangle ; il n'y a que sa position qui lui donne un nom différent. Voy. fig. 29.

Si les quatre côtés sont inégaux, mais ayant deux angles droits à sa base inférieure et les deux côtés parallèles, et ayant un angle aigu et un obtus à sa base supérieure , elle se nomme trapèze régulier. Voy. fig. 3o.

Si deux côtés sont égaux, ayant deux angles aigus égaux à sa base inférieure, et deux angles obtus égaux à sa base supérieure , elle se nomme trapèze isocèle. Voy. fig. 3i.

Si les quatre côtés et les quatre angles sont inégaux , elle se nomme trapèze irrégulier ou trapézoïde. Voy. fig. 32.

3o DES ÉLÉMENS

PLANCHE