MANIÈRE DE TOISER LA SURFACE ET LA SOLIDITÉ DES CORPS SOLIDES
Manière de toiser la surface de différentes figures planes.
La surface de tout triangle rectiligne quelconque est égale au produit de sa base par la moitié de sa hauteur, ou, ce qui revient au même, au produit de sa hauteur par la moitié de sa base.
EXEMPLE
Pl. i . Soit le triangle abc, fig. 1 9 , sa base a b contenant 6 pieds de longueur, et sa hauteur ce? contenant 4 pieds, je multiplie sa base de 6 pieds, par la moitié de sa hauteur, qui donne 2 pieds, le produit me donne 1 2 pieds ; ce produit est la surface ou superficie dudit triangle. Ainsi , pour tout autre triangle rectiligne quelconque, c'est la même manière. On peut se servir de la hauteur entière par la moitié de sa base, cela ne change pas le produit f puisque , si je multiplie 4 pieds, qui est sa hauteur, par 3 pieds, moitié cle sa base, le produit me donne pareillement 12 pieds.
Il est nécessaire de remarquer que pour toiser un triangle ambligone semblable à la fig. 23 , la mesure de sa base se compte de l'angle a à l'angle d, et sa hauteur se compte du sommet c au point b, de la perpendiculaire c b , abaissée du sommet sur la base prolongée. Pour faire évanouir cette difficulté, on peut prendre le plus grand côté a c pour base; alors, en abaissant une perpendiculaire de l'angle d sur la base a c , on aura la hauteur dudit triangle; en multipliant cette hauteur par la moitié de la base a c , le produit sera la superficie du triangle. Ainsi , dans tout triangle rectiligne quelconque, pour toiser la surface on ne considère que deux dimensions , qui sont la base et la hauteur. Si on multiplie la base par la hauteur, le produit sera le double de la surface ou superficie.
Pour toiser la surface d'un carré ou d'un parallélogramme rectangle.
Il faut multiplier la longueur de sa base par la hauteur du côté.
Pour toiser la surface d'un parallélogramme obliquangle.
Il faut multiplier la longueur de sa base par la hauteur perpendiculaire
d'une base à l'autre. Le rhombe et le rhomboïde peuvent se toiser de la même manière, en prenant un des côtés pour base.
Pour toiser la surface d'un trapèze régulier.
Il faut multiplier la longueur de sa base par la moyenne hauteur de ses deux côtés. (On obtient cette moyenne hauteur en ajoutant ensemble la mesure des deux côtés, et du total en prendre la moitié, laquelle sera la moyenne hauteur.)
Pour le trapèze isoscèle.
Il faut multiplier la moyenne de ses deux bases par la hauteur perpendiculaire d'une base à l'autre.
Pour le trapézoïde.
Il faut en former deux triangles, par une ligne diagonale que l'on mène d'un angle à l'autre angle opposé ; abaisser deux perpendiculaires des deux autres angles sur cette diagonale. En multipliant la moyenne des deux perpendiculaires par la diagonale, le produit sera la surface.
Pour toiser la surface d'un polygone régulier quelconque.
Il est nécessaire de connaître que dans un polygone régulier on peut former autant de triangles isoscèles que le polygone a de côtés , en menant de chaque angle une ligne droite au centre du polygone. Alors les côtés du polygone serviront de base à chaque triangle, et seront tous égaux. Les côtés des triangles formés par les lignes menées des angles du polygone au centre seront égaux, et par conséquent isoscèles; les bases des triangles formeront le contour du polygone, que l'on appelle périmètre , et auront pour hauteur le rayon du cercle inscrit. Alors, pour toiser la surface d'un polygone régulier quelconque, il faut multiplier le périmètre par la moitié du rayon du cercle inscrit , ou la moitié du périmètre par le rayon ; le produit sera la surface du polygone ; ou toiser un des triangles séparé, et multiplier le produit par le nombre des côtés du polygone.
Pour toiser la surface dun cercle dont on connaît le diamètre.
La surface du cercle est égale à la surface d'un triangle qui aurait pour base la circonférence du cercle et pour hauteur le rayon. Alors, parce moyen , il est nécessaire de connaître la circonférence. Arcliimède a trouvé ^que le rapport du diamètre à la circonférence était de 7 à 22 , c'est-à-dire que le cercle qui aurait 7 pieds de diamètre aurait 22 pieds de circonférence ou pourtour. Ainsi, pour trouver la circonférence d'un cercle dont on connaît le diamètre, on établit les proportions suivantes dans une règle de trois : 7 est à 22 comme le diamètre du cercle que l'on connaît est à la circonférence que Von cherche. Pour faire ce calcul , il faut multiplier le diamètre par 22 et diviser le produit par 7 ; le quotient sera la circonférence que Ton cherche. Lorsque l'on connaît la circonférence, pour connaître la surface du cercle il faut multiplier la circonférence par la moitié du rayon, qui est le quart du diamètre ; le produit sera la surface du cercle ; ou, ce qui revient au même, multiplier le quart de la circonférence par le diamètre entier, ou la moitié de la circonférence par le rayon , qui est la moitié du diamètre; le produit sera la surface du cercle.
On peut, par un moyen pîus simple, trouver la circonférence d'un cercle : il faut multiplier le diamètre par 3 et , le produit sera la circonférence et sera la même que par les moyens précédens.
On peut par un moyen semblable toiser la surface d'un cercle sans avoir besoin de connaître la circonférence : il faut multiplier le rayon par lui-même , ensuite multiplier le produit par 3 et '- , ce dernier produit sera la surface du cercle.
Pour toiser la surface d'un ovale ou d'une ellipse dont on connaît les deux axes, multipliez la moitié du grand axe par la moitié du petit axe, ensuite multipliez le produit par 3 et 7, ce dernier produit sera la surface de l'ellipse.
Autre rapport du diamètre à la circonférence.
Le rapport trouvé par Archimède , de 7 a 22, donne une circonférence un peu plus longue que la vraie. Adrien Metius a trouvé le rapport du diamètre à la circonférence de 1 13 à 355. Ce rapport approche plus près
du vrai que celui à'Archimède; mais il offre plus de difficulté dans le calcul. Pour se servir de ce rapport, il faut multiplier le diamètre par 355 et diviser le produit par 1 13 ; le quotient sera la circonférence.
De la surface dun parallélipipède.
Le parallélipipède est composé de six faces, qui sont des parallélogrammes. Cherchez la surface de chacun des parallélogrammes, réunissez les surfaces par une addition, le total sera la surface du parallélipipède; ou, comme les côtés opposés sont égaux, cherchez la surface des trois côtés différens, et multipliez les produits réunis par 2 : le dernier produit sera la surface totale du parallélipipède.
De la solidité d'un parallélipipède.
La solidité est la matière que contient un corps solide (1). Pour connaître la solidité d'un parallélipipède, il faut chercher la surface d'une de ses faces comme base, et multiplier cette surface par la hauteur perpendiculaire à sa base; le produit sera la solidité.
De la surface d'un prisme droit.
La surface d'un prisme droit est composée d'autant de parallélogrammes rectangles que sa base a de côtés, plus la surface de ses deux bases ; pour en avoir le contenu, il faut multiplier le périmètre ou contour du plan par la hauteur du prisme, et ajouter à ce produit la surface des deux bases; le total sera la surface du prisme.
De la solidité d'un prisme droit.
La solidité d'un prisme quelconque est égale au produit de sa base par la hauteur perpendiculaire; cherchez la surface de la base et multi-
(1) Chercher la solidité d'un corps solide quelconque , c'est toiser ou mesurer la quantité de matière que le corps solide contient : par exemple, chercher la solidité d'un parallélipipède ou d'un prisme, c'est comme si l'on toisait une pièce de bois de charpente pour connaître combien elle contient de solives ou pièces; c'est le toisé cubique.
pliez cette surface par la hauteur du prisme , le produit sera la solidité.
De la surface dun prisme oblique.
La surface d'un prisme oblique est composée de différens parallélogrammes; cherchez la surface de chacun des parallélogrammes et la surface des deux bases , réunissez-les par une addition , le total sera la surface du prisme.
De la solidité d'un prisme oblique.
La solidité d'un prisme oblique est égale à celle d'un prisme droit de même base et de même hauteur; multipliez la surface de sa base par la hauteur perpendiculaire (d'aplomb) du prisme, le produit sera la solidité.
De la surface des py ramides droites.
La surface d'une pyramide droite est composée d'autant de triangles isoscèles que la base a de côtés; multipliez le périmètre (contour) du plan par la moitié de la hauteur perpendiculaire d'un des triangles de la surface, le produit étant ajouté à la surface de la base, le total sera la surface de la pyramide.
De la solidité des pyramides droites.
La solidité d'une pyramide quelconque est égale au tiers de la solidité d'un prisme de même base et de même hauteur ; multipliez la surface de la base par le tiers de la hauteur perpendiculaire du sommet abaissée sur la base , le produit sera la solidité de la pyramide.
De la surface des pyramides obliques.
La surface d'une pyramide oblique est composée d'autant de triangles que la base a de côtés ; comme les triangles ne sont pas égaux , il faut chercher la surface de chacun des triangles , et réunir les surfaces avec celle de la base par une addition, le total sera la surface de la pyramide.
De la solidité des pyramides obliques.
La solidité d'une pyramide oblique est égale à celle d'une pyramide droite de même base et de même hauteur. Multipliez le produit de la surface de la base par le tiers de la hauteur perpendiculaire (d'aplomb) du sommet abaissée sur la base , le produit sera la solidité de la pyramide.
De la surface des pyramides tronquées.
La surface d'une pyramide tronquée est composée d'autant de trapèzes que la base a de côtés; si la pyramide est droite, les trapèzes seront isoscèles ; si elle est oblique , les trapèzes seront irréguliers. Cherchez la surface de chacun des trapèzes , et réunissez-les ensemble, avec la surface des deux bases, par une addition ; le total sera la surface delà pyramide tronquée.
De la solidité des pyramides tronquées.
Pour avoir la solidité d'une pyramide tronquée quelconque, il faut figurer la pyramide comme n'étant pas tronquée, en prolongeant les côtés de la pyramide ; chercher la solidité de cette pyramide en multipliant la surface de sa base par le tiers de la hauteur totale; ensuite chercher la solidité de la petite pyramide formée par le prolongement des côtés , et retrancher cette solidité de celle de la grande pyramide ; le restant sera la solidité de la pyramide tronquée.
De la surface convexe d'un cylindre droit.
La surface convexe d'un cylindre droit est égale au produit de la circonférence de sa base par la hauteur du cylindre. Multipliez la circonférence de la base par la hauteur du cylindre , le produit sera la surface convexe du cylindre. Si l'on veut avoir la surface totale du cylindre , il faut ajouter à ce produit la surface des deux bases du cylindre.
De la solidité d'un cylindre droit ou oblique.
La solidité d'un cylindre est comme celle d'un prisme , le produit de
la surface de sa base, multiplié par la hauteur du cylindre, donne la solidité ; cherchez la surface du cercle de la base du cylindre, et multiplies cette surface par la hauteur du cylindre, le produit sera la solidité du cylindre. Il en est éx même pour les cylindres obliques. La solidité d'un cylindre oblique est égale à celle d'un cylindre droit de même base et de même hauteur.
De la suif ace convexe dun cylindre oblique.
La surface convexe d'un cylindre oblique, n'est pas comme sa solidité, égale à celle d'un cylindre droit de même base et de même hauteur. Pour en avoir la surface convexe, il faut mesurer le contour perpendiculairement aux côtés ducyliudre, et multiplier la longueur du contour perpendiculaire par la longueur d'un des côtés du cylindre; le produit sera la surface convexe du cylindre oblique. Pour en avoir la surface totale , il faut ajouter la surface des deux bases. Un cylindre droit et un cylindre oblique, de même base et de même hauteur, sont égaux en solidité; mais ils ne sont pas égaux en surface , la surface du cylindre oblique est plus grande que celle du cylindre droit. Il en est de même des prismes.
De la surface convexe dun cône droit.
Un cône est une pyramide dont la base est un cercle. Pour en avoir la surface convexe, multipliez la circonférence de sa base par la moitié du côté de sa figure, le produit sera la surface convexe du cône, car la surface convexe d'un cône droit est égale à la surface d'un triangle qui a pour base une ligne droite égale à la circonférence de la base du cône, et pour hauteur le côté du cône.
Le développement de la surface d'un cône droit donne une figure semblable à un secteur; ainsi le secteur, dont l'arc est égal à la circonférence de la base du cône et le ravon égal au côté du cône, sa surface est aussi égale à celle du cône, et peut être considérée comme un triangle, dont la base est égale à l'arc du secteur, et la hauteur égale au rayon.
De la solidité dun cone droit ou oblique.
La solidité d'un cône droit ou oblique est égale an tier^ de la solidité
DU TOISÉ. 5g
d'un cylindre de même base et de même hauteur; multipliez la surface de la base par le tiers de la hauteur perpendiculaire du sommet abaissé sur la base, le produit sera la solidité du cône, soit droit ou oblique.
De la surface convexe dan cône oblique. ■ .<•? ni U~toi> 'MiyiiKiiJ oiiôo • !• )n ■ tk . Pour obtenir la surface convexe d'un cône oblique, prenez la moyenne des deux côtés extrêmes du cône oblique, ajoutez cette moyenne au côté d'un cône droit imaginé, de même base et de même hauteur que le cône oblique, multipliez ce produit par le quart delà circonférence de la base, ce dernier produit sera la surface convexe du cône oblique; ou prendre la moyenne des deux côtés extrêmes du cône oblique, ajouter cette moyenne au côté du cône droit imaginé, de même base et de même hauteur que le cône oblique , la surface du cône oblique est à la surface du cône droit , comme la moyenne des deux côtés du cône oblique, ajoutée avec le côté du cône droit imaginé , est avec les deux côtés réunis du cône droit.
De la surface convexe d'un cône tronqué.
La surface d'un cône tronqué est égale au produit de la moyenne de la circonférence de ses deux bases, par le côté du cône; cherchez la circonférence de chacune des deux bases du cône , additionnez les ensemble, et prenez la moitié du total; multipliez cette moitié, qui est la moyenne circonférence des deux bases, par la longueur du côté du cône tronqué, le produit sera la surface convexe du cône tronqué. Cette surface est considérée comme un trapèze isoscèle, dont la base inférieure est égale à la circonférence de la base inférieure du cône, et la base supérieure égale à la circonférence de la base supérieure, et dont la hauteur perpendiculaire entre les bases du trapèze est égale à la longueur ou hauteur du côté du cône tronqué.
De la solidité dun cône tronqué.
Un cône tronqué est semblable à une pyramide tronquée. Voyez pour les pyramides tronquées ci-devant : i°. la solidité d'un cône tronqué ou d'une pyramide tronquée s'obtient en cherchant la solidité du cône entier, et soustraire la solidité du petit cône de la partie tronquée , le re >te
est la solidité du cône tronqué ; i°. ou en prenant les deux rayons des deux bases, les ajouter ensemble et chercher le grand carré, en multipliant leur somme réunie par elle-même, puis ôter de ce grand carré le produit du rayon de la base inférieure multiplié par le rayon de la base supérieure, le reste sera la superficie du carré du rayon d'un cône non tronqué, de mêmehauteur du cône tronqué, et dont la solidité sera égale à celle du cône tronqué. Pour l'application , prenez le rayon de la base inférieure, ajoutez-le avec le rayon de la supérieure du cône tronqué, multipliez la longueur des deux rayons réunis par elle-même, pour avoir la superficie du grand carré des deux rayons réunis; ensuite cherchez la superficie d'un parallélogramme rectangle , dont la base serait égale au rayon de la base inférieure du côté tronqué, et le côté égal au rayon de la base supérieure du cône tronqué; ôtez cette superficie ou surface de celle du grand carré des deux rayons réunis, le reste multipliez-le par 3 et ^, et multipliez le produit par le tiers de la hauteur perpendiculaire du cône tronqué, ce dernier produit sera la solidité du cône tronqué.
De la surface convexe de la sphère.
La surface convexe de la sphère est égale à la surface convexe du cylindre circonscrit; elle est aussi quadruple de celle de son grand cercle : i°. comme la surface ou superficie convexe d'un cylindre est égale au produit de la circonférence de la base par sa hauteur, pour avoir la surface ou superficie convexe de sa sphère , multipliez la circonférence de son grand cercle, par le diamètre , le produit sera la surface convexe de la sphère ; 20. ou cherchez la surface de son grand cercle, et multipliez le produit par 4 , le dernier produit sera la surface convexe de la sphère, et reviendra au même qu'à la première manière.
De la solidité de la sphère.
La solidité de la sphère est égale aux deux tiers de la solidité du cylindre circonscrit. La sphère peut être considérée comme composée d'une infinité de pyramides, dont les sommets seraient tous réunis au centre de la sphère, et les bases formeraient la surface convexe de la sphère; d'après ce principe, en multipliant la surface convexe de la sphère par le tiers du rayon, le produit sera la solidité de la sphère, ou en la considé-
DU TOISÉ. 6r rant comme es deux tiers du cylindre circonscrit, pour en avoir la solidité, multipliez la surface ou superficie de son grand cercle par les deux tiers du diamètre, le produit sera la solidité de la sphère.
De la surface convexe d'une sphère elliptique ou ellipsoïde.
La surface d'une sphère elliptique est à peu près égale à la surface convexe du cylindre circonscrit; pour en obtenir la surface, on peut, sans faire une grande erreur, multiplier la circonférence du cercle du petit axe de la sphère elliptique par le grand axe : le produit donne la surface, laquelle est un peu plus grande que la surface réelle.
De la solidité d'une sphère elliptique ou ellipsoïde.
La solidité d'une sphère elliptique ou ellipsoïde est égale à celle d'une sphère, dont l'axe ou diamètre est égal à une moyenne proportionnelle entre le grand et le petit axe de la sphère elliptique; pour trouver cette moyenne proportionnelle, multipliez le grand axe par le petit axe, et du produit faites l'extraction de la racine carrée; la racine carrée sera la moyenne proportionnelle entre le grand et le petit axe; ensuite, pour avoir la solidité de la sphère elliptique, servez-vous de cette moyenne comme axe ou diamètre d'une sphère; cherchez la circonférence d'un cercle qui aurait cette moyenne pour diamètre; multipliez la circonférence par le diamètre pour avoir la surface (ij; ensuite multipliez la surface par le sixième du diamètre, ce dernier produit sera la solidité de la sphère elliptique.
De la surface des cinq corps réguliers.
La surface du tétraèdre est composée de quatre triangles équilatéraux égaux; cherchez la surface d'un des triangles, et multipliez le produit par 4 > ce dernier produit sera la surface totale.
La surface de Xhexaèdre ou cube est composée de six carrés égaux; cherchez la surface d'un des carrés , et multipliez le produit par 6 , ce dernier produit sera la surface totale.
(i) Cette surface est à peu près celle de la sphère elliptique.
La surface de Yoctaèdre est composée de huit triangles équilatéraux égaux; cherchez la surface d'un des triangles, et. multipliez le produit par 8, ce dernier produit sera la surface totale.
La surface du dodécaèdre est composée de douze pentagones réguliers égaux; cherchez la surface d'un des pentagones, et multipliez le produit par 12, ce dernier produit sera la surface totale.
La surface de Yicosaèdre est composée de vingt triangles équilatéraux égaux; cherchez la surface d'un des triangles, et multipliez le produit par 20, ce dernier produit sera la surface totale.
De la solidité des cinq corps réguliers.
Le tétraèdre peut être considéré comme une pyramide triangulaire droite; multipliez la surface ou superficie de sa base par le tiers de la hauteur perpendiculaire du sommet abaissé sur la base, le produit sera la solidité du tétraèdre.
Pour Y hexaèdre ou cube, multipliez la surface ou superficie de sa base par la hauteur, laquelle est égale au côté du carré de sa base; le produit sera la solidité du cube.
Pour Y octaèdre , il faut le considérer comme composé de huit pyramides triangulaires droites, dont les sommets sont réunis au centre de l'octaèdre, et les bases forment la surface; multipliez la surface totale de l'octaèdre par le sixième de la hauteur perpendiculaire d une des faces à la face opposée, le produit sera la solidité de l'octaèdre.
Pour le dodécaèdre , il faut, de même que pour l'octaèdre, le considérer comme composé de douze pyramides pentagonales droites; multipliez la surface totale du dodécaèdre par le sixième de la hauteur perpendiculaire dune des faces à la face opposée, le produit sera la solidité du dodécaèdre.
Pour Yicosaèdre , il faut, de même qu'aux deux précédens, le considérer comme composé de vingt pyramides triangulaires droites; multipliez la surface totale de l'icosaèdre par le sixième de la hauteur perpendiculaire d'une des faces à la face opposée, le produit sera la solidité de l'icosaèdre.
