j «({A — 2) — A. 3) + B.tf([x — 4) j

— x . j D.tf(|x — 5) — E.K((ji — 6) I + E.tf(|* — 5) et

o = ar4.tf( — (a — 4) — a?. ] A.»(— [x — 4) — tf( — [x — 3)

+ a;*. | — [a— 2) A.tf( — [/. — 3) + B.tf( — (* - 4) J

— j D.tf(— (jl— 5) — E.K( — [x — 6) J -+- E.«( — |a — 5);

la première de ces équations contenant celles des racines de la proposée (19), réelles ou idéales (imaginaires), qui sont plus petites parmi elles, et la seconde, celles de ces racines qui sont plus grandes parmi elles. En effet, il suffit ainsi de chercher les diviseurs communs entre la proposée (19) et ces équations respectives (23), pour avoir la solution complète du problème. « Que les géomètres ne s'effarouchent pas de voir entrer , dans cette solution, lorsqu'elle doit être rigoureuse, le nombre indéfiniment grand p., en songeant que leurs solutions des équations du deuxième, du troisième, et du

Ixxij RÉFORME DE LA

« quatrième degré, et généralement toutes les quantités irrationnelles et transcendantes , lorsqu'elles sont considérées comme déterminées rigoureusement, ne « sauraient être conçues autrement que par des nombres indéfiniment grands , «contenus explicitement, ou du moins implicitement dans leurs expressions.

Par exemple, dans la détermination rigoureuse de la nature du logarithme « naturel d'un nombre «, que Halley a donnée par la belle expression . . . (24)

( ~ \ hn — p.ynV- — 1 y ,

« le nombre u. , lorsque cette détermination doit réellement être rigoureuse , est un nombre infiniment grand; ce qui n'empêche pas que l'on ne puisse pren- « dre pôur [/. un nombre fini , de plus en plus grand , pour obtenir, par cette «expression (24), la valeur du logarithme du nombre w, avec une exactitude «progressive à volonté, de plus en plus grande, jusqu'à l'infini. Encore, nos « présentes fonctions alephs ont-elles l'avantage sur toutes les expressions con- « nues des quantités irrationnelles et transcendantes, en ce que, pour leur éva- « luation , et même pour leur construction en fonctions des coefficients A , B , «G, D, E de l'équation proposée (19), elles n'exigent que les susdites quatre « premières opérations arithmétiques.

« Nous n'avons pas ici la place d'en dire davantage sur cette résolution générale des équations du cinquième degré , surtout pour ce qui concerne « les diverses circonstances de cette résolution , telles que l'exclusion des racines

< égales, la séparation ou l'introduction d'une différence arbitraire entre les « racines, la réduction ultérieure des équations (23), et autres pareilles. Nous « ne pouvons pas non plus discuter ici le cas où les racines de la proposée «(10), réelles ou idéales, ont l'unité pour valeur numérique; cas où elles

< peuvent se réduire à un degré inférieur. Nous nous bornerons donc à pré- •< venir essentiellement que , pour éviter que les équations réduites ne devien- « nent défectueuses, en ce que leurs coefficients deviennent zéro, comme cela « arrive dans certains cas, il faut transformer l'équation proposée (19), en

une autre dont le dernier terme E soit égal à l'unité ; équation transformée que l'on doit ici considérer comme étant l'équation normale , à laquelle doit « s'appliquer cette méthode de la résolution générale des équations. Et pour « cela , ayant à résoudre une équation quelconque du cinquième degré . . . «... (25)

o = zs — P.z4 + Q.z3 — R.s2 + S.z — ï, « il suffit d'établir, entre son inconnue z et l'inconnue x de l'équation (19) à - laquelle il faut appliquer la présente méthode , en la transformant ainsi en équation normale , la relation . . . (26)

z — k — bx ,

« dans laquelle k est une quantité arbitraire quelconque, y compris zéro, et b

PHILOSOPHIE. lxxiij « une quantité déterminée par l'expression . . . (27)

« en observant que le choix convenable de la quantité arbitraire k peut faci-

< liter les calculs; par exemple, lorsque, dans certains cas, on détermine cette « quantité arbitraire k par l'équation . . . (28)

o — — Q.À-3 + II. F — SA + T,

« surtout lorsque , dans l'équation proposée (25) , le coefficient P est zéro , « comme on peut toujours le faire ; cas dans lesquels la relation (26) devient « alors simplement . . . (29)

«De cette manière, par la relation générale (26), l'équation (19), devenant « ici l'équation normale , moyennant que son dernier terme E deviendra ainsi » égal à l'unité , et ayant des racines différentes , en aura alors une partie « qui seront plus grandes que l'unité , et une autre partie qui seront plus pe- « tites que l'unité. Et par conséquent, les deux équations réduites (24) trou- « veront alors une application générale et immédiate à cette équation nor- « maie (19) , déterminée de cette manière pour que son dernier terme soit « E= 1.

« Donc , sans même avoir besoin de chercher les diviseurs communs entre « l'équation normale (19) et les deux équations réduites (23) , il suffit de résoudre, par les méthodes connues, ces réduites (23) du quatrième degré,

< quand leurs coefficients demeurent constants pour différentes valeurs du nom- • bre arbitraire p., de plus en plus grandes, ou bien , dans le cas contraire,

leurs réduites ultérieures du troisième et même du second degré, dans les- « quelles ces coefficients deviennent enfin constants pour toutes les grandes va- « leurs de u.. Les racines que l'on obtiendra auront ainsi une forme finie, et

ne différeront de celles que l'on obtient pour les équations des degrés infé- « rieurs au cinquième , qu'en ce qu'elles contiendront les nouvelles fonctions « alephs , qui précisément rendent possible cette solution supérieure des équa- « tions du cinquième degré , et qui , pour la pratique des calculs , éminem- « ment simple , peuvent être déterminées aussi exactement qu'on le désire , en « donnant au nombre arbitraire p. des valeurs de plus en plus grandes.

« Nous compléterons cette résolution générale en faisant savoir qu'il existe ,

(*) Nous ajouterons ici que, si l'on détermine la quantité arbitraire k par l'équation o — A5— P. *4 + Q . A3 — R . k' + S . k, on aura d'abord la susdite valeur k — o, et les quatre autres valeurs de k se trouveront ainsi déterminées par une équation du quatrième degré. Et alors la relation générale (ïC) deviendra

z = k+x. \Zr ;

et >.cs cinq déterminations différentes suffiront pour embrasser tousjes cas.

Ixxiv RÉFORME DE LA

« pour l'expression de ces fonctions alephs , à exposants positifs ou négatifs , « îles formules immédiates , qui donnent directement ces expressions. — Les « voici.

D'abord, les fonctions alephs à exposants positifs, en y introduisant, pour > plus de régularité , la notation auxiliaire . . . (3o)

A = Ar , B = A2 , C = A3 , D = A4 , E = A5 • «ont, pour un exposant quelconcpie m , l'expression générale . . . (3i)

+ A, \ \ (m- z).ArA3 + (m-2)1 . — f-

- A';-6.| (TO 3).A;.A4 + (m-3)2>-I.At.A2.A3 + (m - if'*. J + A;-8.j(m-4).A:.A5 + (,»4)2|-I.A:.[a2.A4 + A]

+ (* - 4)3|-I.A,4^-.A3 + Çm -

etc., etc., jusqu'aux termes qui contiennent les puissances négatives de A,, termes qui tous

doivent être négligés.

« Ensuite , les fonctions alephs à exposants négatifs , en y introduisant éga- < lement, pour plus de régularité, la notation auxiliaire . . . (32) D = D, , C = D2 , B = D3 , A = D4 , i = D,

« ont, pour un exposant quelconque m , l'expression générale . . . (33)

Ci E

+ • ' (TO ~" 7)-Dx-D3 + (m — 7

rn — il

i^-^J (TO-8).D:.D4 + (m-8)2|-I.Dl.D2.D3 + {m — 8)3' ' .

+ (/«-9)3|-I.Dx.-^r.D3 + {m-9f-\^-

etc., etc., jusqu'aux termes qui contiennent des puissances négatives de D,, termes qui tous doivent être négligés.

PHILOSOPHIE. îxxv « Il faut observer que les parties constituantes des présentes expressions gé- « nérales (3i) et (33) doivent suivre , dans leur construction , la règle que sui- « vent les parties constituantes de la loi (4%)' de notre Philosophie de la « Technie algorithmique (tome II, pages 4^7 et 4^8), de laquelle proviennent « ces expressions générales.

« Nous terminerons cet aperçu en faisant remarquer que la présente résolution » générale de 1 équation du cinquième degré montre clairement pourquoi , jus- « qu'à ce jour, on n'a pu réussir à résoudre ce grand problème. En effet, on «y voit, surtout dans les expressions générales (3i) et (33), que cette ré- « solution supérieure exige une génération algorithmique indéfinie au moyen «des coefficients de l'équation proposée, mais telle qu'on puisse la réaliser « progressivement , avec une exactitude à volonté , par des exposants m de « plus en plus grands ; génération indéfinie que la science , dans son imparfait «état actuel, ne pouvait ni déterminer, ni même concevoir. »

Nous prions maintenant le lecteur de prononcer si, même avec des connaissances mathématiques ordinaires , on ne pouvait comprendre complètement et employer, dans tous les cas, cette méthode générale de la résolution des équations du cinquième degré , et par conséquent si , même avec leurs actuelles connaissances mathématiques , les académiciens de Paris , parmi lesquels cette méthode était publiée, ne pouvaient pas, en se fondant sur ces principes généraux , aussi précis que clairement exposés , développer ultérieurement et accomplir cette méthode pour tous les cas susdits que l'espace n'a pas permis à M. Hoëné Wronski de développer alors lui-même, et qui, d'ailleurs, n'exigent que des connaissances ordinaires de la science ? — Mais , enfin , puisque les illustres académiciens de Paris disent qu'ils ne peuvent comprendre ces formules si simples, il faut bien les croire; et c'est pourquoi, dans les susdits ouvrages qu'il va maintenant publier sur la Résolution générale des Equations , M. Hoéné Wronski va leur faire comprendre ces formules, nommément dans le troisième de la présente suite d'ouvrages , où il exposera , en premier lieu, cette méthode téléologique , en l'y présentant dans toute sa généralité, pour la solution des équations de tous les degrés , et en l'y appliquant à plusieurs exemples, surtout pour les équations du cinquième degré dont il est ici question. Ces savants académiciens y verront clairement que ce qu'on leur a fait connaître en 1827 pour cette résolution des équations du cinquième degré, d'après l'exposé que nous venons d'en reproduire , suffit complètement pour cette résolution, et même pour son application pratique aux exemples qui s'y trouvent allégués. Ainsi, en prenant au hasard, parmi ces exemples, l'équation du cinquième degré . . . (34)

dans laquelle le nombre n est une quantité quelconque; équation qui, en

Ixxvj RÉFORME DE LA

vertu tic la présente transformation (26), lorsqu'on fait k = o, et b = — n , se réduit à l'équation normale . . . (35)

o == x — 9>#* + 46'^ — io4.^2 + 10. x — 1 ; et en appliquant à cette dernière équation (35) les deux présentes équations réduites (23), qui donnent la solution des équations du cinquième degré, on obtient immédiatement , et de la manière la plus simple , dans l'ouvrage que nous annonçons, pour la solution de la présente équation (35), sa décomposition en deux facteurs, l'un du troisième et l'autre du second degré, savoir . . . (36)

o = — (8,904133 ).xî + ( 45,i358o).o; — (99,58352),

o = x% — (o, 0958668). x + (o,oioo4i83) . Et , pour apprendre aux illustres académiciens de Paris comment , par la présente méthode, c'est-à-dire, par les deux équations réduites (23) , on peut ultérieurement décomposer ainsi une équation du cinquième degré (19) en deux facteurs , l'un du troisième et l'autre du second degré , lorsque ni l'une ni l'autre de ces équations réduites (23) ne forment pas déjà , dans l'équation proposée (19), un facteur du quatrième degré, il suffit de tirer, de ces équations réduites (2 3), quelques corollaires qui en résultent immédiatement, comme nous le verrons dans l'ouvrage annoncé ; corollaires que voici. — Formons , avec les susdites fonctions alephs , les deux fonctions composées générales . . . (37)

M(P) = i<(p)2 - ^(p-O.tfOp + i), N(p) = «(P)^(P + 0 - «(p- i).K(p+a)i quel que soit l'exposant p, positif ou négatif. Alors, nos deux équations réduites (23) , étant considérées généralement sous la forme de la première de ces équations , moyennant que l'on considère l'exposant jjl comme étant généralement positif ou négatif, se réduisent ultérieurement à deux équations, l'une du troisième, et l'autre du second degré, savoir . . . (38)

o = xiM{q + 1) — x%. j AM(q + 1) — N(gi + 1 ) J +

o = x*.M(q) — x.TH(q) + M(q + 1) ;

l'exposant q étant généralement positif ou négatif. Ainsi, en y joignant ces primitives équations réduites (23) sous la forme générale . . . (39)

— x. | D.#(p — 1) — E.HQn — 2) J + E.«(/> — 1)5

PHILOSOPHIE. lxxvij en considérant l'exposant p comme étant généralement positif ou négatif , ou aura , dans les présentes équations réduites (38) et (39) , tous les facteurs en lesquels peut toujours être décomposée l'équation du cinquième degré (19). Et dans ces corollaires, tels qu'ils résultent des équations primitives (23), on découvre de plus, pour un exposant général r, positif ou négatif, l'équation de condition . . . (4o)

o = M(rf — M(r — i).M(r+ 1) ,

qui fait connaître quels sont, parmi les facteurs (38) et (39), ceux en lesquels l'équation proposée (19) peut se décomposer réellement. — Ainsi, lorsque cette condition (4o) se trouve remplie , soit avec un exposant positif /•, soit avec un exposant négatif /•, sans que la fonction composée M (p) se trouve être zéro elle-même, l'équation proposée (19) peut se décomposer dans les deux susdits facteurs (38), l'un du troisième et l'autre du second degré, en y prenant l'exposant q positivement ou négativement, suivant que l'exposant /• qui remplit la condition (4o) , est positif ou négatif. — C'est là le cas de la présente décomposition (36) de l'équation du cinquième degré (35) , prise pour exemple. Les illustres académiciens de Paris pourront s'en assurer en calculant, par le moyen des expressions (21) ou (33) , les fonctions alephs à exposants négatifs qui , pour cette équation proposée (35) , remplissent la condition générale (4o). Et ils verront combien ce procédé est éminemment simple, puisqu'il suffira de calculer les six fonctions alephs ( — 8), ( — 9), ( — 10), fct ( — n), fct ( — 12), ^( — i3) , pour obtenir la décomposition (36) avec sept figures décimales.

Mais, lorsque la condition générale (40) se trouve remplie par le fait de ce que la fonction composée M(p) est elle-même généralement zéro, c'est-à-dire, d'après sa construction (37), par le fait de l'équation . . . (41) o = tf(P)2 - K(p — i).«(p+ 1),

les deux équations (38) deviennent indéterminées, tous leurs coefficients étant alors zéro , puisque , en vertu de leur construction (3^) , les fonctions composées M(p) et N(p) sont telles que, lorsque l'une est généralement zéro, l'autre l'est en même temps. Et, dans ce cas, lorsque cette deuxième équation de condition (41) se trouve réalisée, pour un exposant p positif, ou pour un exposant p négatif , l'équation réduite primitive (39) du quatrième degré devient immédiatement facteur de l'équation proposée (19) ; et cela avec un exposant p positif ou négatif, suivant que l'exposant p qui remplit ici l'équation de condition (40> est positif ou négatif. Ainsi, en considérant que, dans ce cas, toutes les quatre racines de cette primitive équation réduite (39) sont des racines de l'équation proposée (19), il suffira de diviser le dernier terme de cette proposée (19) par le dernier terme de la réduite (39) , pour avoir la cinquième racine de l'équation proposée. Et par conséquent , l'équation du pre-

Ixxviij RÉFORME DE LA

mier degré , qui formera alors le facteur complémentaire du facteur (39) du quatrième degré, sera . . . (42)

l'exposant p étant le même que celui du facteur (39). — Or, comme nous le verrons dans l'ouvrage annoncé , dont nous extrayons les présents corollaires , ce facteur du premier degré (42) constitue la célèbre méthode de Daniel Bernoulli , laquelle forme ainsi , non un cas particulier, mais un cas singulier ou isolé de la méthode téléologique que nous appliquons ici à la résolution des équations du cinquième degré , et nommément le cas singulier qui correspond à l'équation de condition (41)? lorsqu'une équation d'un degré quelconque tn peut se décomposer immédiatement en un facteur du degré inférieur (m — 1) , pour lequel ce facteur du premier degré forme alors le facteur complémentaire.

- On découvre ainsi la vraie origine de cette mystérieuse méthode de D. Bernouilli qu'en vain les géomètres se sont efforcés de comprendre dans ses principes premiers , et d'étendre au delà de ce cas singulier de son application. On verra dans l'ouvrage annoncé quelle est la raison , en quelque sorte une raison absolue , qui , malgré tant d'efforts , surtout malgré les travaux si ingénieux du plus grand des géomètres , de l'immortel Euler (*) , a empêché que l'on pût rendre cette méthode applicable généralement. Mais on voit déjà ici comment, par sa présente détermination (42), au moyen des fonctions alephs, qui ont leurs expressions théoriques et générales (3i) et (33), cette méthode de D. Rernoulli devient maintenant, du moins dans le cas singulier où elle trouve son application, une méthode théorique, et par conséquent algébrique, en ce qu'elle offre ainsi immédiatement, par ces expressions générales (3i el (33) , la génération progressive , de plus en plus exacte , et toujours accomplie, de l'une des racines x de l'équation proposée, moyennant les coefficients A, B, C, D, E de cette équation proposée (19).

Nous avons donc maintenant , d'une part , dans les deux équations réduites

38), du troisième et du second degré, correspondant à la condition composée

(*) L'extension qu'Enter a donnée à la mélhode de Dan. Bernoulli , le conduit seulement à un cas particulier de la seconde des équations réduites (38), savoir, au cas où l'on a la condition

Kt cette extension particulière au facteur du second degré ne peut même suffire d'aucune manière pour les équations des degrés supérieurs, par exemple, déjà pour les équalio s du sixième degré, où il en existe qui ne peuvent être décomposées qu'en deux facteurs , chacun du troisième degré. — D'ailleurs , le vice fondamental , et de la méthode primitive (42) de Dan. Bernoulli , et de sa présente extension particulière , opérée par Euler , consiste en ce que , non-seulement elles ne donnent pas des expressions générales en fonctions des coefficients de l'équation proposée , ce qui les rend impropres à des solutions algébriques , mais surtout en ce qu'elles ne déterminent pas d'une manière indépendante les facteurs principaux , savoir, l'équation (3g) et la première des équations (38); facteurs qui, comme nous le verrons dans l'ouvrage annoncé , sont les principes premiers de cette méthode téléologique.

PHILOSOPHIE. lxxix (4o) , et de l'autre part , dans les deux équations réduites (39) et (42) , du quatrième et du premier degré , la résolution complète et générale des équations du cinquième degré (19), cette résolution que, malgré d'immenses efforts de presque tous les géomètres, on n'a pu obtenir jusqu'à ce jour. Et l'on voit maintenant que ce défaut absolu de succès provient uniquement de ce que, ne connaissant pas la loi suprême (3) des mathématiques, les géomètres ignoraient qu'il existât, et cela presque généralement pour la solution de tous les grands problèmes, des fonctions dont la nature (et non pas seulement la valeur ) ne peut absolument être construite autrement que par une génération progressive, de plus en plus exacte, mais rigoureusement indéfinie, c'est-àdire, par une génération qui est tout à la fois et finie à chaque pas, et indéfinie dans son ensemble, telle que la susdite expression de Halley (24) pour la construction de la nature du logarithme , et telle que nos présentes fonctions alephs pour la construction de la nature des racines des équations de degrés supérieurs , en offrent déjà des exemples incontestables.

Que manque-t-il donc maintenant pour l'accomplissement final de cette résolution complète et générale des équations du cinquième degré ? — Il manque , d'une part, la démonstration de cette méthode téléologique, et de l'autre, les procédés pour la préparation des équations proposées de manière à ce que , dans tous les cas, on puisse, par le calcul des fonctions alephs, arriver le plus rapidement à la détermination des facteurs (38) , (39) et (42) , qui donnent la solution de ces équations. — Et c'est précisément cette démonstration et ces procédés de préparation qui feront l'objet du troisième des ouvrages présents , de celui que nous allons publier sous le titre de Résolution téléologique des Equations de tous les degrés , où nous ferons connaître , dans toute sa généralité, cette méthode spéciale, telle qu'elle s'applique à la solution des équations de tous les degrés, non -seulement supérieurs, mais aussi inférieurs au cinquième degré ; de sorte que , même pour la résolution ultérieure des facteurs (38) et (39) , de degrés inférieurs au cinquième , on n'aura pas besoin de recourir à aucune autre méthode , comme nous l'avons déjà annoncé plus haut.

Or, quelque bornées que puissent être les connaissances mathématiques dans 1 Académie des sciences de Paris , d'après l'aveu formel que font ces académiciens qu'ils ne peuvent comprendre les ouvrages de M. Wronski, nous ne pouvons douter qu'elles ne soient suffisantes pour tirer des susdits principes (191 à (33) qu'il leur a fait connaître en 1827, les présents et si faciles corollaires (3y) à (42) , qui en résultent immédiatement, et qui complètent cette résolution générale des équations du cinquième degré. Dans la supposition contraire, les frais que le gouvernement français fait si généreusement pour la production de leurs travaux mathématiques , seraient réellement une véritable perte pour le monde savant. Ainsi, et nous ne pouvons en douter, les connaissances

Ixxx RÉFORME DE LA

mathématiques îles académiciens de Paris étaient au moins suffisantes pour leur faire comprendre que la présente résolution des équations du cinquième degré, cette résolution tant désirée était enfin donnée par M. Hoëné Wronski. — Mais alors, à quoi faut-il attribuer le grossier discrédit que ces académiciens ont cherché à jeter publiquement, dans leur susdit journal politique, sur les travaux de cet étranger, en prétendant que personne ne peut comprendre ses formules ? — Nous allons aider le lecteur à deviner cette cause inconcevable, en lui faisant remarquer la fourberie de la ligne suivante, où, dans le même journal, ils disent que, pour résoudre les équations, « ne pouvant em- « ployer les formules merveilleuses de M. Hoëné Wronski , on continua humblement à creuser le sillon ouvert par Descartes. » — C'était donc évidemment pour tromper le public français que ces messieurs faussaient ainsi la vérité , afin de se donner l'air d'une science exclusive , en faisant accroire au public que l'un de leurs prédécesseurs , Descartes , avait donné les moyens pour la résolution des équations , tandis qu'il est reconnu universellement , dans l'histoire de la science , que Descartes n'a fait rien d'original ou de fondamental pour la résolution des équations. Il n'a fait notoirement que reproduire , pour l'équation du quatrième degré, la méthode de Bombelli ou de Ferrari , en la mutilant, c'est-à-dire, en ôtant , dans l'équation générale de Ferrari, son deuxième terme. Pourquoi , en effet , ces académiciens de Paris n'ont- ils pas dit loyalement « qu'ils continuent humblement à creuser les sillons ouverts par < Cardan , Bombelli ou Ferrari , Daniel Bernoulli , et Euler ? >■ Parce que le public français, ne voyant pas leurs noms, aurait alors soupçonné que ni eux, ni leurs prédécesseurs, n'ont rien fait pour la science. Et le public ne se serait pas trompé ; car, dans toutes les autres branches des mathématiques , les académiciens de Paris n'ont fait rien de fondamental , pas plus que dans cette grande et si décisive question de la résolution des équations , où l'histoire de la science n'a inscrit que les susdits noms immortels de Cardan , de Ferrari , de Dan. Bernoulli , et d'Euler. — Si ces illustres académiciens de Paris le veulent absolument , en recommençant leurs injures publiques contre M. Hoëné Wronski, il leur fera le plaisir de prouver, également devant le public, que, dans aucune des branches des mathématiques , tout comme dans celle de la résolution des équations, on ne rencontre nulle part leurs noms pour aucune découverte fondamentale.

Résumons maintenant tout ce qui se trouvait déjà donné, en 1812, dans le premier opuscule de M. Hoëné AVronski sur la Résolution générale des Équations. — En y appliquant d abord le problème-universel (10), cette deuxième loi fondamentale des mathématiques, tel qu'il avait été produit en 181 1 dans le Mémoire sur la Réfutation de la Théorie de Lagrange , en l'y appliquant , disons-nous, comme nous venons de l'indiquer, sous la inarque (i5), on avait déjà, dans cet opuscule de 18 12, dune manière suffisamment déterminée, toute

PHILOSOPHIE. Ixxxj la méthode fondamentale pour la résolution des équations , telle que nous la produirons maintenant dans le cinquième des ouvrages que nous commençons ici à publier, dans cet ouvrage , où nous ne nous servirons effectivement de rien autre que de ces procédés réunis qui étaient connus en 1812. Et, en se fondant ensuite sur la découverte de ce que les fonctions alephs sont les parties constituantes essentielles des racines des équations, sur cette découverte qui a été également produite dans ce premier opuscule de 181 2, et que nous avons développée ultérieurement, en 1827, en donnant , par le moyen de ces fonctions alephs, la résolution de l'équation du cinquième degré, dans le susdit opuscule sur les Canons de Logarithmes, on avait en outre déjà, dans le premier opuscule de 1812, les germes, suffisamment précisés, de la méthode téléologique pour la résolution des équations, de cette deuxième méthode que nous produirons maintenant dans le troisième des ouvrages que nous allons publier. — Ainsi , comme on le voit à présent , dans le premier opuscule que M. Hoëné Wronski publia en 1812, sous le titre de Résolution générale des Équations de tous les degrés, dans cet opuscule que l'Académie des sciences de Paris , en pleine séance publique , déclara n'être qu'une rêverie , les principes premiers et les conditions fondamentales pour la résolution générale des équations de tous les degrés se trouvaient donnés d'une manière aussi précise que bien déterminée, en y joignant, d'une part, la solution du problème-universel des mathématiques, qu'il avait fait connaître en 181 1 dans son Mémoire sur la Réfutation de Lagrange , et de l'autre part , la nature distinctive des fonctions alephs, qu'il avait également fait connaître en 181 1 dans sa Philosophie des Mathématiques. Et c'est pour cela que, connaissant ce que contenait cet opuscule de 181 2, et sachant que les deux grandes méthodes pour la resolution des équations, la méthode fondamentale et la méthode téléologique que nous venons de caractériser , ne pourront jamais être déduites d'autres principes que de ceux que contenait cet opuscule, M. Hoëné Wronski, pour en prévenir le monde savant, attacha à cet opuscule l'épigraphe que voici:

« La solution générale des équations algébriques ne va pas au delà du quatrième degré. Les moyens les plus ingénieux, employés par les plus grands « analystes , pour résoudre généralement les équations algébriques d'un degré ■< supérieur au quatrième , n'ont servi qu'à rendre la question plus compli « quée. Les plus heureux de tous ces essais ont été encore ceux qui, après « de longs et d'inutiles détours, ont ramené leurs auteurs au point dont ils « étaient partis. La raison de ce défaut absolu de succès n'est pas même en- « core connue; et l'on ne peut assurer si le problème renferme en lui-même * quelque condition inconnue , mais impossible à remplir ; ou si , sans surpasser « les forces de l'analyse en général, elle surpasse seulement celles de la nôtre,

Ixxxij KÉFORME DE LA

« et si quelque géomètre des siècles à venir réussira peut-être à vaincre une « difficulté qui jusqu'ici a paru insurmontable. »

(Arithmétique universelle de Kramp, n° 96, page 70, publiée en 1808).

Et c'est aussi en se fondant sur cette importance de l'opuscule dont il s'agit, importance qui tôt ou tard apparaîtrait dans tout son jour , que M. Hoëné Wronski attacha en outre, à cet opuscule de 181 2, la dédicace:

A la Pologne , ancienne patrie de l'Auteur.

Hélas! à ce qu'il paraît , aucun Polonais ne s'est aperçu de cette dédicace jusqu'à ce jour ! — Et comment les amis naturels de l'auteur de cet opuscule auraient-ils pu s'en apercevoir, puisque les illustres académiciens de Paris , leurs oracles , ne s'étaient pas eux-mêmes aperçus de ce que contenait ce petit opuscule d'une seule feuille d'impression ? — Les compatriotes de l'auteur seront sans doute assez généreux aujourd'hui pour lui pardonner cette expression de sa profonde douleur lorsqu'ils sauront qu'à l'âge où il est parvenu , et où il sent que ses forces commencent à décliner, il prévoit enfin que c'est principalement par suite du manque de toute protection nationale , que les longs travaux de sa vie entière, assez nombreux et peut-être utiles, surtout à sa patrie, périront immanquablement.

Mais , revenons au problème-universel des mathématiques , à cette deuxième de leurs trois lois fondamentales , que M. H. Wronski fit connaître à l'Académie des sciences de Paris, déjà en 181 1, dans son Mémoire sur la Réfutation de la Théorie des fonctions analytiques de Lagrange. Et observons qu'en outre que la fécondité absolue de cette deuxième loi fondamentale fut ainsi constatée suffisamment par le fait de la résolution générale des équations ordinaires ou immanentes , que l'on nomme vulgairement équations algébriques, de cette résolution que la science n'a pu donner jusqu'à ce jour, la fécondité absolue de ce problème-universel des mathématiques se trouvait de plus en plus prête à être constatée également par l'application de sa solution universelle, telle qu'elle fut donnée sous les susdites marques (14) et (i5) du Mémoire que nous venons de citer, à la résolution générale des équations quelconques , immanentes ou transcendantes, primitives ou dérivées, aux différences et aux différentielles , totales ou partielles. Et en effet, déjà sous cette forme générale (i4) et (i5), sous laquelle cette solution est donnée dans le Mémoire cité, on peut, avec une latitude arbitraire dans le choix des moyens, obtenir, sans beaucoup de difficultés, la solution de ces équations d'une nature supérieure. Nous -même, dans nos Mémoires sur la Réforme scientifique de la Locomotion, que, Tannée dernière, nous avons présentés à la Commission des Ponts et Chaussées en France, nous avons appliqué ainsi ce problème-universel à la résolution de telles équations supé-

PHILOSOPHIE, lxxxiij rieures, nommément, à la solution d'une équation primitive transcendante et à l'intégration d'une équation différentielle également transcendante. Dans le Programme qui suivra le présent Manifeste historique, spécialement dans la seconde classe des grands problèmes que ce programme indiquera comme dépendant , dans leur solution, de la solution générale du problème-universel dont il s'agit, nous ferons connaître ces problèmes transcendants et différentiels qui ont été résolus ainsi dans les Mémoires que nous venons de nommer, et nous y ferons même connaître les marques sous lesquelles , dans ces Mémoires qui sont encore à la Commission des Ponts et Chaussées, les solutions en question sont données effectivement (*).

Bien plus, dans le Mémoire sur la Réfutation de Lagrange , présenté à l'Académie de Paris, en 1811, se trouve, en outre de la solution générale du problème-universel des mathématiques , que l'on peut ainsi , avec une latitude arbitraire dans le choix, des moyens, appliquer à la solution des équations de tous les genres, il s'y trouve, disons-nous, sous les marques (17) à (23), 1 exposé complet de I'application méthodique de ce problème-universel à la solution générale de ces équations de tous les genres , exprimées par leur indication générale . . . (43)

la caractéristique <1> désignant une fonction quelconque de l'inconnue x et d'une quantité arbitraire a, que l'on doit introduire dans toute équation proposée pour l'amener, comme cela est toujours possible, à la forme des équations que l'on peut résoudre par le moyen d'une génération finie de l'inconnue x en question. — Dans le deuxième des ouvrages que nous commençons à publier , dans la Réforme de la Mécanique céleste, en y exposant, dans l'article où il s'agit de l'accomplissement algorithmique de la Mécanique céleste, la susdite méthode suprême des mathématiques , nous faisons connaître en même temps cette présente application méthodique (43) du pi-oblème-universel à la solution de tous les genres d'équations, afin de pouvoir, par cette solution , découvrir progressivement les fonctions génératrices Q.t, H2 , ilj , etc., dans la loi suprême des mathématiques, de laquelle, comme nous l'avons dit plus haut, dérive cette méthode suprême qui offre les moyens pour l'accomplissement algorithmique de la Mécanique céleste et de toute la science des mathématiques. Et , comme on le verra dans l'ouvrage annoncé , cette application méthodique (43) du problème-universel à la solution des équations de tous les genres , s'y trouve réalisée d'une manière tout à fait conforme aux lois qui , sous les susdites

(*) Le lecteur ne doit pas perdre de vue que ce Manifeste a été écrit, et devait paraître avant la publication de l'ouvrage présent, et par conséquent que le Programme dont il s'agit ici est déjà produit dans cet ouvrage, ou, comme on le voit, il forme la première partie dans sa première division (c'est-à-dire, dans le premier tome ).

Ixxxiv RÉFORME DE LA

marques (17) à (23), sont établies, depuis 1811, dans le Mémoire sur la Réfutation de Lagrange (*).

Eh bien ! les illustres MM. Arago et Legendre , ces savants commissaires que l'Académie de Paris avait nommés pour lui faire un rapport sur ce Mémoire, n'ayant pu y comprendre rien, ni même y apercevoir rien, se sont dédommagés en disant, dans leur prétendu rapport, force personnalités contre 1 auteur , et M. Hoëné Wronski , avec sa longanimité ordinaire, surtout pour éviter tout scandale scientifique, a attendu trente-trois années pour répondre à ces personnalités, lorsque surtout, par suite des injures grossières que les académiciens de Paris lui ont dites récemment dans leur susdit journal politique , le National, il y aurait pour lui une véritable indignité de garder plus longtemps le silence. Il ne le fait même que lorsque , dans sa Réforme de la Mécanique céleste, aboutissant à ce qui constitue l'accomplissement final de la science, il est obligé, en suivant les susdites lois (17) à (23) établies en 1811, de réaliser cet accomplissement, et de le garantir contre les personnalités avec lesquelles on a voulu , sans pouvoir les comprendre , discréditer dès alors ces lois décisives. — Voici, en conséquence, ce qu'il dit à ce sujet dans le susdit article de sa Réforme de la Mécanique céleste.

« Pour cela , il suffira de renvoyer le lecteur à ce que nous avons produit à l'Académie des sciences de Paris, et publié en France il y a plus de trente- « trois ans, sans qu'aucun de ces illustres savants se fût aperçu qu'il y avait " là, en toute réalité, comme nous allons le leur montrer aujourd hui , ce final « accomplissement de la science dont nous venons de reconnaître l'indispensa- « ble nécessité. En effet, après avoir donné, dans la Réfutation de la théorie « des fonctions analytiques de Lagrange , publiée en 1812 , et communiquée à " l'Académie des sciences de Paris en 181 1, la susdite résolution générale du « problème-universel , et cela même sous la forme absolue de cette résolution , « c'est-à-dire, par ses derniers éléments, comme on le voit sous les marques « (i3), (x4) et (i5) de cet ouvrage, nous y avons joint immédiatement, sous « les marques (17) à (23), l'application de cette solution générale à la résolution « des équations de tous les genres , à celle précisément dont nous venons de « reconnaître la nécessité pour le présent accomplissement final de la science.

Eh bien, les savants académiciens de Paris n'y ont vu rien; cependant, sous « la marque (24)', nous avons déduit, de cette résolution générale de notre « problème-universel, le célèbre théorème de Lagrange, qui forme la décou- « verte principale de ce grand géomètre, et qui néanmoins, comme Lagrange « en est convenu lui-même dans son rapport antérieur (en 1810), n'est qu'un « cas très-particulier» de notre loi suprême, et spécialement de notre pro- « blème-universel , résultant de cette loi primordiale. Bien plus, les très-savants

(*) Tout cela, comme le lecteur doit le savoir, est déjà produit dans l'ouvrage présent.

PHILOSOPHIE. lxxxv commissaires de cette savante académie, les illustres MM. Legendre et Arago, prenant le nom de M. Hoëné Wronski pour un nom allemand , déclarèrent formellement , dans leur rapport sur la susdite Réfutation de Lagrange , que les géomètres allemands ne connaissent pas le « secret de la science » . et qu'eux seuls, les académiciens de Paris, connaissent ce grand secret, en vertu duquel ils rejetaient ses productions inutiles, ineptes même, puisque, comme ils le prétendaient , « l'auteur n'était pas capable de les démontrer ». — Nous n'avons pas besoin, sans doute, de rendre attentif à ce qu'il y a de ridicule dans cette jactance , mais nous devons faire remarquer jusqu'à quelle dangereuse audace peut se porter une telle organisation de l'ignorance en corps savant privilégié par l'autorité politique, puisque, un an après que Lagrange, le premier géomètre de l'époque , avait déclaré à la même académie que la loi suprême des mathématiques, découverte par l'auteur, embrassait toutes les mathématiques modernes, et que toutes les productions que les savants ont faites, depuis Leibnitz et Newton, jusqu'à Lagrange, n'étaient même que des « cas très-particuliers » de cette loi suprême, deux savants par brevet, tels que Legendre et Arago , qui notoirement n'ont rien fait pour la science, qui ne lui ont apporté aucun, absolument aucun, pas le moindre de ces « cas très -particuliers », que l'auteur aurait pu, comme toutes les autres productions mathématiques modernes , déduire de sa loi universelle et ranger ainsi pour la nouvelle période historique que cette loi suprême ouvre a la science, puisque, disons-nous, un an après cette solennelle et inattendue déclaration de Lagrange, deux savants par brevet, tels que Legendre et Arago , viennent, au nom d'un corps savant, qui n'a rien fait de fondamental pour la science , insulter officiellement l'auteur de cette loi suprême des mathématiques , en osant le taxer publiquement d'incapacité scientifique ! Et cette audace ne serait, à son tour, que le comble du ridicule, et ne mériterait même pas le mépris de l'auteur, si, comme nous venons de la caractériser, et comme on en aura maintenant une preuve irréfragable, elle n'était pas aussi dangereuse qu'elle est ridicule. On conçoit , en effet , que de pareilles déclarations officielles, étant répandues dans les écoles publiques, et parmi tous ceux qui , par le moyen de la science , cherchent à arriver à quelque position sociale, et qui ne peuvent obtenir cette position que par l'approbation expresse de tels académiciens privilégiés , seuls juges et distributeurs de ces positions scientifiques , étaient plus que suffisantes pour faire détruire en France les ouvrages mathématiques de l'auteur, en forçant leui propriétaire de les vendre à la halle de Paris au prix du poids du papier. Ainsi, et l'on n'en pourra plus douter maintenant, cette organisation privilégiée de l'ignorance en corps savants , du moins pour ceux qui le sont ainsi effectivement, ne peut avoir, sinon pour but, du moins pour résultat, rien autre qu'un insurmontable empêchement contre la production dans le monde

Ixxxvj RÉFORME DE LA

« des grandes et fondamentales vérités scientifiques , et souvent même leur « destruction elle-même; car, comme on le verra peut-être dans notre cas pré- « sent , peu s'en est fallu que tous ces résultats ne fussent perdus à jamais. »

Nous prions le lecteur de remarquer que si M. Hoëné Wronski avait voulu repousser les personnalités qu'on lui a dites dans le Rapport sur la Réfutation de Lagrange et dans mille autres circonstances pareilles , publiques , et surtout confidentielles, et s'il n'avait pas craint de provoquer un scandale, toujours défavorable pour les sciences, rien ne l'empêchait, à l'époque de 181a, où il a publié cette Réfutation de Lagrange , de dire tout ce que , d'après l'extrait que nous venons de citer, il dit aujourd'hui, dans sa Réforme de la Mécanique céleste. Mais, comme il fallait enfin arrêter ce continuel et même grossier discrédit que les académiciens de Paris cherchaient à jeter sur ses travaux, il se borna à publier une Comparaison des deux Rapports de 1810 et de 1811, faits à cette Académie des sciences, d'abord, par Lagrange, sur la loi suprême des mathématiques , qui était l'objet du premier Mémoire , et ensuite , par M. Arago , sur le problème-universel, formant la seconde loi fondamentale des mathématiques , de laquelle dérivait la réfutation de la théorie des fonctions analytiques , qui était le titre de ce deuxième Mémoire. En effet, par la simple contradiction très - expresse dans tous les points de ces deux Rapports , M. Hoëné Wronski obtenait , sans avoir besoin de recourir à des personnalités, le droit de déclarer légalement l'Académie des sciences de Paris dans une complète incompétence scientifique pour prononcer sur ses travaux. — Voici cette remarquable comparaison des deux rapports.

Comparaison de deux Rapports faits a la Classe des sciences de l'Institut , sur les deux premières lois fondamentales des mathématiques , découvertes par Hoëné IV ronshi.

Second Rapport.

Sur le Problème-universel des mathématiques , lu à la Classe des sciences, lundi 11 novembre 1811, par

MM. Arago et Legendre.

On remarque d'abord que l'auteur veut créer une langue nouvelle ; il change le nom analyse en celui d" algorithme, etc., etc. (en forme de reproche).

Premier Rapport.

Sur la LOI SUPRÊME DES MATHÉMATIQUES ,

lu à la Classe des sciences de l'Institut, lundi 1 5 octobre 1810, par

MM. Lagrange et Lacroix.

Parmi les diverses dénominations que l'auteur propose, il y en a une (dont nous concevons l'objet) qui nous paraît appropriée au sujet qu'elle énonce; c'est l'expression de Méthodes algorithmiques

lxxxvij

MM. Arago et Legendre.

L'auteur développe une fonction suivant les facultés progressives d'une autre fonction ( toujours en forme de reproche) , sans donner la définition de ces termes, quoiqu'ils n'aient été employés jusqu'à présent dans aucun ouvrage qui puisse faire autorité.

MM. Lagrange et Lacroix.

substituée à celle de méthodes analytiques, qui présente souvent un contresens, lorsqu'on l'emploie à désigner des procédés de calcul ou de démonstrations obtenues à l'aide de signes algébriques, au lieu de l'être par la considération immédiate des signes et des figures. Tous ceux qui connaissent l'acception du mot analy se , telle qu'elle a été fixée par les géomètres anciens ( Collection mathématique de Pappus, Préface du livre septième), savent qu'on fait de l'analyse sur les figures de géométrie, et de la synthèse avec les figures algébriques, et que des méthodes dites analytiques ont parfois une marche évidemment synthétique. — Il serait donc mieux d'appeler en général algorithmiques tous les procédés par lesquels l'on n'opère pas sur la chose même, mais en combinant des signes conventionnels.

Les méthodes qui servent de base à la formule générale de l'auteur, sont une extension des facultés numériques dont M. Kramp a tiré un bon parti dans son Traité sur les réfractions astronomiques , et que Vandermonde a considérées le premier sous leur forme naturelle [Mémoires de V Académie des sciences de Paris , de l'année 1772, première partie), car elles se présentent aussi comme valeurs d'intégrales définies ; elles ont été depuis l'objet de deux Mémoires de M. Multedo ; mais M. Wronski leur donne bien plus de généralité , en substituant aux facteurs simples qui les composent, une fonction arbitraire de ces mêmes facteurs.

Iww iij

MM. Arago et Legendre.

M. Wronski rapporte dans son Mémoire plusieurs formules de développement ; mais au lieu de les démontrer dune manière claire et précise, il se ('intente, pour toutes preuves, de dire qu'elles conduisent , dans un cas particulier, à une formule connue. L'un de vos commissaires, M. Legendre, a, dans ses papiers (écoutez! écoutez .' ), des formules qui sont une extension de celles de M. Lagrange, sur le retour des suites : il est possible que d'autres géomètres , en s'occupant de la même question , aient découvert des formules analogues ; peut-être que les résultats de M. Wronski doivent être rangés dans cette classe.

On a peine à deviner les raisons qui peuvent déterminer M. Wronski à ne donner toujours ses formules que comme des espèces d'énigmes dont il invite les géomètres ( dites certains géomètres ) à chercher la solution. N'aurait- on pas quelques sujets de penser qu'à force de généraliser les formules de développement, l'auteur n'est plus en état de les démontrer ?

Il ne sera pas peut-être inutile de remarquer ici que ces formules, quelque générales qu'elles soient, n'ont qu'une utilité bornée; elles ne peuvent servir que dans des cas très-simples , et il est fort douteux qu'on tire jamais parti , pour la solution de quelque problème

MM. Lagrange et Lacroix.

Ce qui a frappé vos commissaires dans le Mémoire de M. Wronski, c'est qu'il tire de sa formule toutes celles que l'on connaît pour le développement des fonctions (c'est-à-dire, toutes les mathématiques modernes), et qu'elles n'en sont que des cas très -particuliers.

La lecture du Mémoire suffit pour se convaincre que Fauteur est très-instruit.

Dans l'état actuel de la science, où le besoin de moyens nouveaux se fait sentir dans un grand nombre de points , et où beaucoup de géomètres étrangers s'occupent de ces recherches , nous pensons que la Classe doit engager l'auteur à développer ses idées , nouvelles et

MM. Legendre et Arago.

important , des formules prolixes que quelques géomètres allemands ont publiées sur le développement des fonctions.

Ainsi, les formules de M. Wronski , en les supposant vraies, loin de renfermer en elles toute la science , comme l'auteur voudrait le faire croire , n'en offriraient qu'une petite partie , et la partie la moins usuelle.

En résumant , vos commissaires ne peuvent avoir aucune opinion sur les formules de développement que renferme le Mémoire dont nous venons de rendre compte , parce que l'auteur ne les a pas démontrées, et parce que, de plus, il les a présentées en termes inintelligibles.

Signés à la minute :

Legendre, Arago, Rapporteur.

La Classe approuve le rapport, et en adopte les conclusions.

Certifié conforme à l'original ,

Le Secrétaire perpétuel,

Delambre.

MM. Lagrange et Lacroix.

très-générales , pour les soumettre aux applications les plus spéciales.

Ce qui a frappé vos commissaires dans le Mémoire de M. Wronski, c'est qu'il tire de sa formule toutes celles que l'on connaît.

Après vous avoir exposé, autant que le permet la complication de la matière , le contenu du Mémoire de M. Wronski, il nous reste à vous en proposer le jugement. — Cette tâche ne nous paraît