RÉSOLUTION DU PROBLÈME - UNIVERSEL DES MATHÉMATIQUES

ET SON APPLICATION A LA RÉSOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DE TOUS LES DEGRÉS.

Nous ne pouvons mieux rappeler l'attention des savants sur la grande question qui est l'objet de cette Addition , qu'en transcrivant ici l'opinion d'un savant géomètre, M. Kramp, telle qu'il l'a publiée dans son Arithmétique universelle ( N° 96, page 70) en 1808, lorsque, après les efforts nombreux et infructueux d'Euler et de Lagrange , les géomètres ont enfin désespéré de la possibilité de résoudre ce problème fondamental de leur science. Voici cette opinion :

« La solution générale des équations algébriques ne va pas au delà du quatrième degré. Les moyens les plus ingénieux , employés par les plus grands « analystes , pour résoudre généralement les équations algébriques d'un degré « supérieur au quatrième, n'ont servi qu'à rendre la question plus compliquée : « les plus heureux de tous ces essais ont été encore ceux qui , après de longs « et d'inutiles détours , ont ramené leurs auteurs au point d'où ils étaient « partis. La raison de ce défaut absolu de succès , n'est pas même encore " connue : et l'on ne peut assurer, si le problème renferme en lui-même « quelque condition inconnue , mais impossible à remplir ; ou si , sans sur- « passer les forces de l'analyse en général, elle surpasse seulement celles de la « nôtre , et si quelc'e géomètre des siècles à venir réussira peut-être à vain- « cre une difficulté qui jusqu'ici a paru insurmontable. »

cviij RÉFORME DE LA

Ce défaut absolu de succès , reconnu ici par les géomètres , ne vient point , connue ils le croient, d'une condition impossible à remplir, ni même de l'imperfection de leur prétendue analyse. Il tient uniquement à l'absence des principes premiers ou philosophiques où se trouvaient encore les mathématiques , principes qui seuls auraient pu guider les géomètres dans cette difficile et vaste solution.

Or, lorsqu'enfin les principes premiers des mathématiques se trouvent découverts , et qu'ils sont même établis déjà positivement dans nos ouvrages , comme nous pouvons l'affirmer aujourd'hui, cette difficulté, insurmontable jusqu'à ce jour, doit disparaître; et nous n'avons plus besoin d'attendre quelque géomètre des siècles à venir pour réussir à la vaincre. — C'est l'objet que nous nous proposons dans cette Addition à notre Réforme des Mathématiques.

Bien plus , résoudre généralement , d'une manière purement algorithmique , les équations de tous les degrés , numériques et surtout algébriques , aurait été sans doute vin progrès satisfaisant pour la science , en la considérant en ellemême ; et pendant longtemps, croyant avoir atteint le dernier but, on s'y serait arrêté , sans chercher à faire aucun progrès ultérieur. Mais , par rapport à la philosophie de la science , cette solution pure et simple , ne découlant pas des sources originaires, c'est-à-dire, ne dérivant pas encore visiblement des principes premiers des mathématiques , ou n'étant pas rattachée immédiatement à ces principes philosophiques , aurait été incomplète , et aurait requis , pour recevoir la dernière perfection , une déduction supérieure et finale qui , en la liant aux principes de la science , peut seule satisfaire complètement la raison de l'homme.

Nous allons donc, sans passer par aucun degré intermédiaire dans la résolution générale des équations, la faire dériver immédiatement des principes premiers que nous avons découverts et donnés aux mathématiques, et nommément nous allons la faire dériver de la résolution du problème-universel , que nous avons reconnu être un des principes fondamentaux de ces sciences. De cette manière , cette résolution générale des équations , qui sera ainsi donnée sur-lechamp dans toute sa perfection , offrira en même temps , comme nous le désirons ici essentiellement, une garantie de la vérité de nos principes philosophiques. En effet, les seuls véritables principes de la science peuvent nous guider dans la solution de ce problème si compliqué , solution dans laquelle tous les efforts des géomètres ont été inutiles , précisément parce que , comme nous l'avons signalé plus haut , ils étaient dépourvus de ces guides infaillibles. Si nous parvenons donc à donner enfin cette difficile solution , en suivant uniquement nos principes nouveaux , et nommément en suivant tout simplement la solution de notre problème - universel , qui, comme loi fondamentale, est une partie intégrante du système de ces principes philosophiques , nous aurons par là une garantie irrécusable de la vérité de ces principes.

PHILOSOPHIE. cix Quant à ce qui forme ce problème - universel des mathématiques, dont il s'agit ici comme d'un principe fondamental de ces sciences , et duquel nous devons faire dériver la résolution générale des équations , qui est notre objet présent, nous renvoyons le lecteur à notre Philosophie de la Technie , et spécialement à la première Section de cet ouvrage, pages i4o et , et i53 à 172, où nous avons déduit, sous tous les aspects, et avec une rigueur scientifique absolue , cet algorithme technique fondamental , ou ce principe spécial de l'Algorithmie. Nous y avons reconnu, sous les marques (49), (5o) et (50, que, si l'on dénote par les caractéristiques J\ f\ , f^, /3 , etc., autant de fonctions différentes fx, fx , fx, fx , etc., d'une variable x, considérée elle-même comme fonction d'autres variables indépendantes u , v , w, etc., et de plus , par x1 , .r2 , x$ , etc. , des fonctions quelconques de ces dernières variables, toute relation entre les quantités x et u , v, w, etc., déterminée par une égalité quelconque (49) , et par conséquent tout problème de mathématiques, peut toujours être réduit à la forme universelle (5o) ou (5i) , savoir, à la forme . . . (1)

o = fx -+- xl-flx + xi-fïx ~+~ xi'j\x + etc> 1 etc- ;

où la quantité inconnue x se trouve ainsi liée universellement avec les quantités connues xl , x2 , x^ , etc. — Et c'est à cause de cette forme universelle de toute relation mathématique , que nous nommons cette expression Problème-universel , et que , par les raisons que nous alléguons pour sa déduction , nous considérons cette relation universelle des quantités comme un des principes fondamentaux de la science.

Quant à la résolution de ce problème-universel, c'est-à-dire, quant à la détermination de la quantité inconnue x, ou d'une fonction quelconque Fx de cette quantité , par le moyen des seules quantités connues x 1 , x^ , , etc. , nous avons découvert , à la marque (53) de l'ouvrage cité , que cette résolution

est

généralement possible sous

la forme

Fx

l)i,xi + etc- 5 etc-

2)i'xixi

2)3.Xrxl

+ etc. +

+ etc.

etc.

les

coefficients 2(o)0, S(i)t,

3(2), , etc.,

, 3(i , 2)a, etc., etc.

étant formés par les différentielles des fonctions fx, fx, f%x , fsx , etc., qui entrent dans le problème-universel (1).

ex RÉFORME DE LA

Or, c'est de ce problème-universel (i) et de sa solution générale (2), en les considérant comme principes de la science , que nous devons ici déduire la résolution générale des équations algébriques ou immanentes , qui est l'objet de la présente Addition à notre Réforme des Mathématiques ; et cela , en ramenant ces équations algébriques ou immanentes à la forme (1) du problèmeuniversel, et en déduisant, de sa résolution (2), la résolution générale de ces mêmes équations, laquelle dernière est l'objet en question. — Nous allons le faire.

Déjà, en 181 2, lorsque nous avons produit la Réfutation de la Théorie des fonctions analytiques de Lagrange , nous y avons donné , pour pouvoir résister à l'autorité imposante de ce géomètre , les résultats de la grande solution (2) du problème-universel , qui montraient que la découverte principale de ce savant, si distingué à tout autre égard, c'est-à-dire, le célèbre théorème de Lagrange , celui pour le retour des suites, n'est qu'un cas très-particulier de cette solution universelle , à laquelle précisément se rattachaient les principes avec lesquels se trouvait réfutée sa Théorie des fonctions analytiques. Mais , d'une part , privée encore de sa démonstration , et de l'autre , manquant des développements élémentaires qu'offre aujourd'hui la Philosophie de la Technie , et spécialement la deuxième Section de cet ouvrage, cette résolution universelle (2) ne pouvait alors être ni suffisamment approfondie , ni par conséquent appréciée comme un des principes fondamentaux de la science. Ce ne fut que dans la première Section de la Philosophie de la Technie , à l'endroit cité , que nous avons signalé et déduit philosophiquement cette haute importance du problème-universel ; et nous allons ici, avant tout, compléter son établissement en donnant la déduction algorithmique rigoureuse de sa solution générale.

Désignant par les caractéristiques tyt , ^2 , ^3 ? etc- > des fonctions quelconques ^x , ^a"27 » ■> etc- j d'une quantité variable x, et par yJ, j2 , j3 , etc. , autant de quantités indéterminées , soit d'abord la relation d'égalité . . . . - . (3)

o = {x — a) -f- 7i^ix + 7a y-S'tyix + etc- > etc- Faisons ... (4)

Wx = yl-^ix + 72 +" 73 + etc- > etc- j en dénotant ainsi par la caractéristique W cette fonction collective. Et prenant une quantité indéterminée \ , concevons la relation générale d'égalité . . . (5)

o == (* — a) + l.Wx , dont la proposée (3) sera un cas particulier, savoir, lorsque \ = 1. Cette relation générale (5) donne . . . (5)'

PHILOSOPHIE. cxj quantité qui est une fonction de or, et que nous dénoterons aussi par i savoir . . . (5) '

Or, si l'on a une fonction quelconque Fx de la même variable x , et si l'on veut développer cette fonction par rapport aux puissances progressives «le la fonction précédente <p.r, savoir ... (6)

Fx = AQ + A, .<p.r + A2.(<px) -+- A3.(çx) -+- etc., etc.;

la loi (193) de la Philosophie de la Technie (deuxième Section, page 56 donnera ici , pour les coefficients de ce développement , les valeurs très-simples . . . (6)'

A„ = + Fa ,