da

etc. , etc. ; et généralement , pour un indice quelconque u. , la valeur . . • • • (6)"

» 1 V ' da J A = ( — I ) . — rr. •

Pour abréger les expressions , nous dénoterons généralement par la lettre D les rapports différentiels des fonctions, savoir ... (7)

„r dFa ni„ d*Fa 3 a Va

DFa = —j— , D Fa = — — - , D Fa = —3- , etc. ;

da da da

rf( l'fl • — j — d Haï .— 7 — )

D((M-af.DF„) = ^ g ^ ■ D'((*af.DFa) = V ,fa, rf" ^

etc. , etc. ;

et nous aurons, pour le développement (6), l'expression simple ... 8 Fx = Fa — i-.((Wa).DFa) -+- J!.D( (Ua)2.DF« .D2((*a)3.DFa) + etc. , etc. ;

cxij RÉFORME DE LA

la quantité £ dénotant toujours la fonction (5)', donnée par la relation générale (5). — Ainsi, ce développement (8), lorsqu'on y fera | = i, donnera déjà , en système général , la valeur d'une fonction quelconque Fx de la quantité inconnue x déterminée par l'équation proposée (3). — Voyons maintenant les parties constituantes élémentaires des coefficients dans ce même développement (8) , afin d'en avoir immédiatement l'expression au moyen des fonctions mânes tytx, ty^x , ^a?, etc., qui entrent dans la relation proposée (3).

Suivant notre loi fondamentale du Calcul différentiel (Introduction à la Philosophie des Mathématiques, page 44? marque (/)), on a généralement, pour tout exposant [/., la génération différentielle . . . (g)

^-'((XFaf.DFa) = D^Vaf.DFa + £=±.lf-\Wa? .&Fa + + .Dll-\Waf.tfFa . . . + ^ "^'^ .TfÇVaf .jfFa ■

j2li v ; -r jftt— i).|i v ;

Et, d'après la loi de la génération des puissances des polynômes, déduite sous la marque (3i9)" de la Philosophie de la Technie (deuxième Section, p. 236), on a l'expression . . . (10)

(Waf = (y^a + y^a -b y^a + etc. f —

' \ i^.i^Ki^.etc. ) '

dans laquelle la caractéristique Agr. dénote l'agrégat des termes correspondant aux valeurs entières positives, y compris zéro, des indices pt.i , f/,2 , pi.3 , etc. 5 qui satisfont à l'équation . . . (10)'

\i. = p.i + |X2 + pi3 + etc.

Mais , considérons séparément chaque système des valeurs de ces indices la i , [7.2, J/.3, etc., telles qu'elles se trouvent données par l'équation (10)'; et, pour ahréger les expressions, désignons par (Oa)(l) , ($a)(2', ($a)(\ etc., les termes séparés de l'agrégat (10), correspondant à ces systèmes séparés des valeurs des indices , , [/.3 , etc. ; c'est-à-dire , faisons généralement . . . • • • (10)"

, , V(P) irA&T -(.rA^T -(y^-p) ■ -etc- .

i^l'.i^^.i^.etc.

en distinguant par les différents indices (p) , savoir, par (4>a)^, , (0>a)^\ etc., les différents systèmes de ces valeurs, correspondant aux différents systèmes des valeurs [/.i , fX2 , pt.3, etc., donnés par l'équation (10)'. De cette manière, l'expression générale (10) sera simplement . . . (n)

PHILOSOPHIE. cxiij (Waf =3 i^.sj (*a)(p) J ,

en dénotant ici par la caractéristique 2 la somme des différentes valeurs (4>a)(*), (<I>rt)(2), (<l>a)(3), etc., que nous venons de considérer, savoir . • • • (il)'.

ïj (4>a)(p) j = (4>af; + (<I>«)W + (<D*)V

Substituant donc cette expression abrégée (n) dans la génération différentielle (9), il viendra . . . (n)"

etc.

D|i-I((HJ7,)l\DFa) = i^'.j D^'sj (*a)(p) j .DF« +

jy 2j (4>«)(p) ! .D2F« +

Cp)

D3Fa

D°2{ (4>«)(P) J.D^Fa

et , en vertu de la même loi fondamentale du Calcul différentiel , qui a donné cette génération, on reviendra à l'expression . . . (12)

qui donne

X(Waf.DFa) = i^.D1*"1

. . (la)'

'((Va)11 .DFa)

si (*a)(p) I.DFa

D^-'^O^.DFa) D^^^^.DFa)

■+ etc. j

les quantités (<ï»tf)(0, (<ï>«)(3),

etc. , étant les différents systèmes des valeurs (10)", correspondant, comme nous l'avons supposé, aux différents systèmes de valeurs des indices [xi , [X2, fx3, etc., donnés par l'équation (10)'.

Or, pour les différentes valeurs de p., on a notoirement, suivant la méthode de Hindenbourg , les différents systèmes de valeurs que voici . . . . (i3) Pour jx = 1 ,

(X2 -+- p.3 -+- etc. ; 2

Pour

Pour [x

[xi +

- etc. ; 3 = (xi