D((V)2-DF
.D(^rt.^«.DF« )
.D( ^a.^a.DFa)
.D(^2«.^o.DFa)
— etc. ;
etc. ;
!S (io)'
', étant ici
Ctc
etc.
etc. ; H = .D ù.a.ùa.UVa) .U <L« .*„o.Ufrt + etc.
^..D2(^.(*2«)\DF«) + etc
(II (ta ix3
en faisant . . . (i4)"
p-i -+- (Jt2 + (a3 -+- etc. = (x .
Et tel (i4) sera définitivement, exprimé moyennant les quantités élémentaires 7i ' J\i 73' etc., et 4\rt' 4*3 a' etc* j 'e développement ou la valeur
d'une fonction quelconque Fx de la quantité inconnue x , donnée par l'équation (3) qui est formée avec ces mêmes quantités élémentaires.
Nous avons donc déjà, dans cette détermination générale de la valeur de la quantité inconnue x , la solution générale de l'équation (3) , que nous nous sommes proposée en premier lieu , et qui , comme nous allons le voir, étant le cas élémentaire du problème-universel (i), nous conduira immédiatement à la résolution générale de ce grand problème, telle que nous nous la proposons définitivement.
Soit en effet la relation générale d'égalité . . . (i5)
o = fz + J^.fz + J^.fz + X3-fi* + etc- > rte- . ayant la forme du problème-universel (i), en considérant fz , fz, J2z, etc., comme autant de fonctions distinctes de l'inconnue z. Nous pouvons supposer . . (i5)'
fz = {x — a),
et considérer ainsi la quantité z comme fonction de la quantité auxiliaire x , de sorte que le rapport différentiel de ces quantités sera . . . (i5)"
dz \ dz
( dx )
dfz
çxvj RÉFORME DE LA
Si l'on a donc une fonction quelconque Fz de cette quantité inconnue z , considérée elle-même comme fonction de la quantité x, la loi (187) de notre Philosophie de la Technie (deuxième Section, page 5i), donnera d'abord
/ dFz \ dFz .
V dx ) ~ et par conséquent . . . (16)'
dfz '
dFz ^ \ ff-fqz'fz • ■ • dFz
dfz —
df{fp*-fqZ-fr* ■ ■ • dFz)
— dfz en dénotant, suivant l'usage, par la caractéristique d les différentielles, et par
la caractéristique j* les intégrales correspondantes. Quant aux indices p, q, r,
etc. , attachés à la caractéristique f, ils dénotent ici manifestement des indices quelconques pris parmi ceux qui sont attachés aux caractéristiques f, f, f3, etc., dans l'équation universelle proposée (i5). Ainsi, partant de cette dernière expression (16)', la même loi (187) de la Philosophie de la Technie, que nous venons d'appliquer, donnera ensuite . . . (17)
d(fpz.fq*.frz . . . )) V i J dftfz.fz.fz . . . dFz) ^ Tx J — dfz ' \ dfz )
d"(fpzfqz.f^
dx* J — dfz'\dfz'\ dfz J
etc. , ete.
dx$ / dfz \ dfz \ dfz \ dfz
Considérons maintenant nos fonctions schins , telles qu'elles entrent dans notre loi suprême des mathématiques , et telles nommément que nous les avons définies sous les marques (54) et (54)' dans la première Section de la Philosophie de la Technie, savoir . . . (18)
les quantités Xr , X2 , X3 , . . . Xu , étant des fonctions quelconques d'une ou de plusieurs variables, et les exposants 61 , €2 , 63, . . . ëco des différences A prises sur ces fonctions , étant destinés à subir toutes les permu-
PHILOSOPHIE. cxvij tations pour engendrer les différents termes composant la fonction schin. Par exemple . . . (18)'
= AêrXl5
v[A6%.^X'*e%] = AêX-AêX-Aê3X3 AêX-Aê\-AêX
+ A62Xi.AêX-AêX ~ AêX-AêlX2.Aê3X3 + A X,.A X2.A X3 — A Xt.A X2.A X3 ,
etc , etc.
Or, en nous servant de ces fonctions schins , la loi (170) de la Philosophie de la Technie (deuxième Section, page 3i), donnera sur-le-champ le développement définitif des expressions (17). Elle donnera en effet, pour un indice quelconque (/., l'expression générale . . . (19)
rii y[d&yzJ\fz)\/\fzj . . . d^-\fzt-\c&f{fpz.fqz.frz. . . ,/F,)]
w[Stfz.<Pu*)\JaU*f • • • d^-l\fzf-\d\fzf]
les fonctions schins dépendant de la permutation des exposants ëi , €2, ê3, êft , dont les valeurs sont . . . (19)'
6l Z= I , g 2 = 2 , g3 = 3 , . . . ë([A I ) = (A I , êp. = [A .
De plus, en vertu de la loi (229) de la Philosophie de la Technie (deuxième Section, page 1 10), on a . . . (19)"
v[d&tfz.d&\fz)\d*\fzf . . . d«*-\f*f-\d\fat-\ =
= (i'I'.i*.*3!" . . . i*-')l'.irt1).(^i)(l+1+3"-+rtî
donc , l'expression trouvée (19) sera définitivement . . . (20)
