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y[d«\fz)\d&\fz)\d\fz)\d&\fzf . . . d^-\fzj-\d* f{fpz.fqz.te ■ ■ . ,/Fs)]

i°l,.i,l,.ial,.i3lt . . . &-*)\'.(dfz) 2

les fonctions fpz , f(jz, fz, etc. , fz et Fz étant des fonctions quelconques, les variahles z et x étant liées par la relation (i5)', et l'exposant êo étant zéro.

cxviij RÉFORME DE LA

Or, si l'on introduit, dans l'équation universelle (i5), la considération de cette relation (i5)' des quantités z et x , cette équation prendra la forme . .

o — (, — a) + + j2./2z + j3./3z + etc. , etc. ;

dans laquelle les fonctions ftz, f2z, fzz ■> etc., seront certaines fonctions 1 ^3,r' etc., de la variable auxiliaire x. On pourra donc comparer cette équation réduite (21) avec l'équation élémentaire (3); et par là même, la solution (i4) de cette équation élémentaire donnera immédiatement la solution de l'équation réduite présente (21). En effet, si, d'après l'expression (2), nous nous servons , pour la solution en question , de la notation suivante .

F* = S(o)o + 8(0,. V + Sf" ' 02.^ + etc. , etc. ;

etc. , +2(2, 2),

l'expression (14)' du terme général de la solution (14) donnera sur-le-champ , pour les coefficients présents E(i)l5 'E(i)l, etc.; S(r, 1 )2 , S(i, 2)2 , S(a, 2)2, etc., etc.; l'expression générale . . . (22)'

v = (lf/ ■ • (*))

en marquant par le point placé sur z, savoir, par z, la valeur de z qui répond à x = a , c'est-à-dire , la valeur de z , qui , en vertu de la relation (i5)' des quantités z et x, est donnée par l'équation . . . (22)"

fz = o.

Ainsi , substituant actuellement dans l'expression générale (22)' son développement achevé (20), on aura définitivement, pour les coefficients de la formule 22) , l'expression finale et absolue . . . (23)

i°I?.iiI,.i2K i3'1 . . . ^-^V.^dfz) 2 Et telle sera la solution générale, rigoureuse et achevée de l'équation .

PHILOSOPHIE. cxix

o =: fz + xx.fsz + j2./2z + y^.fz + etc. , etc. ,

constituant le problème-universel, que nous nous sommes proposé de résoudre.

Résumons maintenant et particularisons ces différents résultats généraux . pour arrêter ici tout ensemble et en détail cette résolution générale du probl ème-universel. — Soit donc ce problème -universel . . . (24)

o = fx + xl-fl^ + x-i.'J\x + x^'l\x + etc- 1 etc- 5

i\ , x^ , x3, etc., étant des quantités données, et fx , fx, f^x , f\xi etc., des fonctions quelconques de la quantité inconnue x. W s'agit de détermine) la génération tout à la fois théorique et technique ou universelle dune fonction quelconque Fx de cette quantité inconnue x, moyennant les quantités données xl , x , x^ , etc.

D'après l'expression (22), la forme de cette génération sera . . . 24)'

ÛC oc*" oc

Fx = H(o)o H p.S(i), H ^-.3(i , i)2 + 77^73 -3(r > 1 » O3 + etc- ' etc.

+ — .3(a), + TTr^1'2^ + T^7T,s(l' '» 2^3

+ etc- + t^~,s(2' 2^ + TTri-"3^' 2' 2)3

+ etc. H ^-.3(2,2,2)3

-+- etc.

Et, d'après l'expression (23), si l'on désigne par a la valeur que donne pout x l'équation fx — o , les coefficients, dans cette génération technique ou universelle , seront . . . (24)"

S(o)0 = Fa;

W[ <f)f\j\a . d¥a ) ] fa. dFa

tty[^,/(/,«^Fa)] j\a.dFa

dfa dfa

[/ya./;/'(/ia./^.^Fa)l

\y[^6l>./2/(/Ia./2a.^)]

REFORME DE LA tty[rf6>.rfy(/aa./aa.rfFa)] -(^«)(l+2)

tt? [ dêlfa . /\fa f . /3/ç/> ./> .dFa)]