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expression dans laquelle tout est donné d'une manière purement algébrique , sans aucune influence de l'Analyse combinatoire. Et telle est donc définitivement l'expression algébrique de la résolution générale du problème-universel.
Quant aux quantités «J*^» , 4^ , etc., qui entrent dans cette dernière expression, et qui, d'après les formules (3a) et (3a)', sont les dérivées différentielles de la fonction réciproque de fx , il n'est pas absolument nécessaire , pour avoir ces quantités , <j/2' , <^^\ etc., d'avoir cette fonction réciproque '\y elle-même. Ces quantités en question peuvent, par la loi (3n) de la Philosophie de la Technie (deuxième Section, page 228), être déterminées au moyen des seules dérivées différentielles de la fonction fx. En effet , cette loi citée (3 n), étant appliquée aux expressions présentes (32) et (32)', donne immédiatement . . . (33)'
1 V dj la fonction auxiliaire <I> étant ici.
f(a + z) —fa
dz
dfa
da
d fa da
d fa da
d>fa da
Nous avons actuellement le système complet de tous les procédés possibles qui peuvent conduire à la solution du problème- universel ; et nous pensons
cxxviij RÉFORME DE LA
que cette grande qviestion se trouve ainsi tout à la fois posée et résolue d'une manière achevée , théorique (*) et universelle , absolue même , en un mot , d'une manière telle que , ce nous semble , la postérité n'aura plus rien à y ajouter.
Procédons à l'application de cette solution générale du problème-universel à
la résolution des équations d'équivalence de tous les degrés , qui est ici notre objet spécial.
Soit généralement . . . (34)
o = A0 + At.x + A2.x -f- A^.x . . . -H Am.x ,
une équation d'équivalence d'un degré quelconque m , dans laquelle nous pouvons toujours faire Am = i. Faisons . . . (34)'
fx = A0 + Am .ce" , c'est-à-dire , fx = AQ -f- x" ; et
fx — x, fx = x,fx = x, . . . fm xx = x ;
en considérant les quantités fx , fx , fx , fx , etc., comme autant de fonctions de l'inconnue x. L'équation proposée prendra la forme ....
o = fx + At .fx + A^.fx + A3./3* . . . + A„i I./m^,
et se trouvera ainsi ramenée à la forme (24) du problème -universel. Donc , ne voulant avoir que la quantité inconnue x, la formule (24)', donnant la solution du problème - universel , donnera ici immédiatement, pour la génération théorique et universelle de la quantité inconnue x qui est en question , l'expression . . . (34)"'
* = 3(°)o + —^(Ox -I 77^— -S(i,Oa + 1.2.3 •B(1»1» O3 + etc., etc.;
+ et°' H T72- ,S^'2^ + 1.1.2 ;B(l»a»a)3
etc.
+ etc.
(*) Suivant la forme (24)' de la solution du problème - universel (24), cette solution est principalement théorique, parce que, conformément à ce que, dans l'ouvrage présent, nous avons appris sur la 'lifférence entre la théorie et la technie, il est manifeste que cette forme (24)' ne procède pas, dans son
PHILOSOPHIE. cxxix les coefficients S(o)o, S(i)t, S(2)t, etc., étant donnes par les formules (24)" et par leurs diverses lois, telles que nous venons de les déterminer. Et, dans ces formules (24)" entre la quantité a qui est la valeur de x donnée par l'équation fx =z o , c'est-à-dire , la quantité a qui se trouve ici déterminée par l'équation . . . (34) IV
Or, comme telle, cette quantité a est notoirement . . . (35)
« = (-Aer >
et elle peut avoir m valeurs différentes , provenant des m racines de l'unité. Ainsi , employant successivement chacune de ces m valeurs de la quantité a , la formule (34) " donnera , pour l'inconnue x de l'équation proposée (34) , ni valeurs différentes , c'est-à-dire , autant de valeurs différentes qu'il y a d'unités dans le nombre m qui marque le degré de cette équation. On a ainsi , d'une manière directe et tout à fait rigoureuse, la démonstration de ce qu'une équation quelconque d'équivalence a toujours autant de racines qu'il y a d'unités dans le nombre qui marque le degré de cette équation. Et , ce qu'il ne faut pas ici perdre de vue , c'est que cette démonstration directe et très -simple , telle que nous venons de la donner, dérive immédiatement des premiers principes de la science.
Bien plus , cette même génération théorique et universelle (34)"' des m racines de l'équation d'équivalence (34) , va nous faire découvrir la forme géné-
ra '
les
raie de ces racines. — En effet, désignant par pt , p2 , p3 , . . . p
m racines de l'unité , ou les m racines de l'équation zm — 1 = 0, comme nous l'avons fait dans notre Résolution des Equations , etc. ( page 11), c'estdire, faisant généralement . . . (35)'
= cos(^r) + sin(-^)-v/:r7'
expression où it est le nombre philosophique de la théorie des sinus , c'està-dire , le rapport de la circonférence du cercle à son rayon , les m quantités (35) seront . . . (35)"
développement, par rapport aux puissances de quelque mesure arbitraire de la quantité cherchée x, niais bien par rapport aux puissances des parties constituantes x i , x Jt x3, etc., du problème proposé (a4) , et par conséquent par rapport aux puissances des éléments propres et absolus de la quantité inconnue x ; comme nous l'avons déjà dit, dans l'ouvrage présent, à l'occasion de la transformation (781) en génération-neutre de la série (760) qui résulte de l'application générale de notre présent problème-universel (14) et de sa solution (24)'.
= Pi'(— Ao)~ =
= P2-(— Ao)^ =
— Pr(— Ao)^ —
