PS
= P,„-(— Ao)~ =
tm
en les dénotant séparément par a , a , <2, , . . . «m , et en faisant pour abréger . . . (35)"'
Or, pour évaluer ici les formules (24)" ou généralement la formule (27)', donnant les coefficients dans la génération présente (34)'", observons d'abord que , puisqu'il ne s'agit de connaître que la simple inconnue x , la fonction générale Fx, donnée par la solution générale (24)', est ici simplement x , et par conséquent que dFa = da ; et observons ensuite qu'en vertu des expressions (34)' et (27), nous avons ici (36)
fa = Ao + a ,
** = {fP«'f9«-fr« • ■ ■ dFa) = da.aP + f, + r - - ■ de sorte que si l'on fait . . . (36)'
p + q + r . . . ■= n , on obtiendra généralement , pour tout exposant B différent de zéro , les valeurs . . . (36)"
,8 ,. SI — i m — ô ,0
a ja =. m .a . da ,
cl *\>a = n .a .da
Et puisque , en vertu du polynôme des différentielles cité plus haut , on a , pour des exposants quelconques ç et xà , le développement . . . (36)"'
,ç. r .-as c\i . I d^ fa. défaut' fa . . . fa ) d (fa) = 1 . Asr. - ^ ^ — ,
U ' 6 çi|r ta|i «3|i çw 1 '
dans lequel la caractéristique Agr. dénote l'agrégat des termes correspondant aux différentes valeurs des indices çi, 52, ç3, . . . qui sont donnés
par l'équation . . . (36),v
5 = ÇI + Ç2 + Ç3 . . . + Çtrf ,
en observant ici de ne prendre pour ces valeurs que celles qui diffèrent de zéro , à cause de fa =z o. — Donc , substituant dans (36)"' les différentielles simples données par la première des expressions (36)", on aura . . . (36) v
PHILOSOPHIE. cxxxj </ (/a) = i .a .da X
( çi|— i Ç2|— i ç3|— i Çt»|— i
çi|i ;2|i ;3|i ;w|x
Enfin, pour abréger les expressions, nous dénoterons par j ç , Trf } ce dernier agrégat, où n'entre plus la quantité c'est-à-dire, nous ferons . . . (36)VI
çil — i ç2|— i ;3| — i i
en observant que cette quantité j ç , i3 J est égale à zéro toutes les fois que ç est plus petit que , à cause que , dans l'équation (36)1V qui donne les valeurs des indices çi , Ç2 , ç3, . . . ces valeurs en nombres entiers doivent toujours être plus grandes que zéro. Nous aurons donc définitivement . . . . . (36)VM
a <$ia = n .a .da , et
Substituons maintenant ces valeurs dans la formule générale (27)'; et nous obtiendrons , pour les coefficients de notre génération présente (34)"' des racines des équations , l'expression générale . . . (3y)
, (ti-OI-i
S(p, q, r, . . . ^ = ( if.a T 14 . -
~ ^-,-,-3 .^[[^--a), (fx — 3)j . 1), ({/—a)) . jêP-,
(-'f"1-^— 4ir+rr--^|"ig2' 1 1 • I63' 2i • K 31 ••• l6^-'))
les fonctions schins dépendant de la permutation des indices 6a, £3 , 64 , . . . ëp., dont les valeurs sont toujours . . .
Quant au développement de ces fonctions , il aura lieu , suivant le procède d'exclusion, d'après les formules (27)"', savoir . . . (37)"
xvij.
cxxxij REFORME DE LA
r [(sfa— 0>fa— 2)j • |gi*>fa— 0.| =
= + (fa— 0» fa— 2)j • [f-j fa— »)j — p>fa— 2)J-[fa— Ojfa— *))>
'w[jgfa— *)>fa-3)) • [%~ 0> fa—2)). [%,((/.— = = + jfa-2)» fa — 3)| • [fa — 0> fa— 2)j • fa"1))
— jfa— 2)> fa— 3)J • [f*> fa— 2)J • [fa—.1)» fa—1)) + [(*> fa—3)) • jfa-2)» fa— 2)j • (fa— 0» fa— oj
— [fa—1)» fa— 3)j • jfa—2); fa"2)) • jf-, fa- Oj » etc. , etc.
D'ailleurs , comme la notation des éléments j ç , x3 j de ces fonctions sehins est la même que dans la formule générale (3i), nous pouvons ici, suivant ce qui a été dit à l'égard de cette formule (3i), appliquer immédiatement les développements des fonctions schins , soit immédiats, d'après les formules (432)"', (434)"', ou (436),v de la Philosophie de la Technie , soit médiats , d'après les formules (442)'> (442)"? etc- 5 de la même Philosophie. — Enfin , pour ce qui concerne les éléments { ç , trf J de ces développements , ils sont ici donnés par la formule (36)V1 , et ils peuvent facilement être calculés pour tous les indices ç et xi, en cherchant , à la manière de Hindenbourg , les différentes solutions de l'équation (36)IV, de laquelle dépendent ces éléments. On peut même, suivant la loi (448) de la Philosophie de la Technie (deuxième Section, page 439) , évaluer ces éléments d'une manière générale. En effet , si l'on fait . .
— = Mi , ■ — = Ma, — = M3 , etc.;
les quantités Mi, Ma, M3, etc., formant des nombres entiers, seront les coefficients du binôme de Newton pour le degré m , et la loi citée (448) donnera ici immédiatement . . . (37)1V
, *j = (Mi)\
x. j '(x — i)j = (*-i).(Mi)*-\M2 ,
jy, (x-a)j = (k-2).(Mi)x-3.M3 + (x-.).(x 3).(MI)x-4.I^l-,
L (x— 3)J = (*-3).(Mi)x 4.M4 + (x-3).(jc — 4).(Mi)x 5.M2.M3 +
+ (K 3).(K-4).(y-5).(Mi),t-6.^^ ,
PHILOSOPHIE. cxxxiij
jx, (x — 4)J = (x — 4).(Mi)*-5.M5 + (x-4).(^ — 5).(Mi)x~6.^M2.M4 + + (^4).(x-5).(x 6).(Mi)x-7.-^-.M3 +
+ (x 4).(x — 5).(x-6).(x-7).(Mi)x~8 (M2)4
etc. , etc. ; l'expression générale de ces quantités étant manifestement l'expression générale (448)' de la loi (448) de la Philosophie de la Technie , que nous venons de suivre. Ainsi, employant ces formules présentes (3^)IV, on trouvera , pour les éléments } ç , xi j qui entrent dans l'expression (3y) , les valeurs générales que voici . . . (38)
= (Mxrl,
= (jx— i).(Mif"*a.Ma ;
= (Mif2 ,
: (pL 2).(Mlf~3.M2 ,
= (jt — 2).(Mif-3.M3 + (p.— a), (j* — 3).(Mif~
4 (Ma)" ' a|i '
(fc-
= ([A 3).(Mi)!i 4.M2 ,
= (|jl— 3).(Mif~4.M3 + (il— 3).((x 4).(Mi)!i~
5 (Ma)2
= ([x-3).(Mif~4.M4 + (p.-3).([x— 4).(Mi)M-~6
.Ma.M3-h
+ (pL — 3).(^ — 4)-(K— 5).(M,f"6.^-
etc. , etc.
Telles sont donc définitivement les valeurs générales des éléments j ; , xi j qui entrent dans notre loi présente (3y). Et , ces éléments (38) étant substitués dans cette loi , et les fonctions schins étant développées suivant les formules (37)", on obtiendra l'expression purement algébrique de cette loi (37) que suivent les coefficients S dans la génération (34) " des racines des équations , savoir . . . (39)
cxxxn RÉFORME DE LA
il -\- I — |j.;h /
— etc. , etc. | .
Mais , pour avoir cette expression purement algébrique , il conviendra mieux d'employer la loi (33) qui a précisément pour objet cette expression spéciale, indépendante de toute Analyse combinatoire , d'autant plus que nous pouvons ici avoir immédiatement la fonction réciproque <\iy qui entre dans cette loi (33). — En effet , suivant les relations (32) , on a ici . . . (4o)
y = jx = AQ + x ; et par conséquent ,
* = <kr = Cr-A0)»,
Donc , suivant la notation (32)', on aura . . . (4o)'
(co) J . J • (-A )
et, d'après (35), mettant pour ( — A0)'" sa valeur générale a, il viendra .
io\ — m
, ((o) I I — to/n
De plus, si l'on confronte les expressions (28), (36), et (36)", on verra que pour un indice quelconque x, l'on a ici . . . (4°)
n étant toujours, d'après (36)', la somme (p + q -+- /■ . . .). Ainsi, substituant dans la loi (33) dont il s'agit, les valeurs que donnent les formules présentes (4°)" et (4°)'"> cette loi (33) nous donnera , pour les coefficients de la génération (34)"' des racines des équations , l'expression purement algébrique en question, savoir . . . (40
4|| ((jl — ^I—,
+ fa -4)
31 f ali I . I
Cl* -4)
Cette expression , qui est purement algébrique , telle que nous l'avons demandée, se trouve parfaitement identique avec celle que plus haut, à la marque (39) , nous avons obtenue par un procédé tout à fait différent ; ce qui nous offre ainsi une vérification de ces résultats. Mais, ce qui distingue essentiellement cette dernière expression (40) c'est qu'elle contient en elle-même la loi de sa génération , suivant précisément la loi générale (33) de laquelle nous l'avons déduite.
Nous avons donc actuellement, dans cette expression (40? qui est la loi purement algébrique que suivent les coefficients dans la génération, tout à la fois, théorique et technique (34)"' des racines des équations , la solution achevée du problème que présente cette génération universelle. Et nous pouvons , par cette expression , déterminer , avec la plus grande précision , la forme générale des racines des équations, que nous nous sommes proposé de connaître en premier lieu.
Avant tout, particularisons la loi générale (40> en l'évaluant successivement pour les différents indices afin d'avoir séparément, dans la génération (34)"', chaque système de coefficients. — D'abord, pour [x = o, on a seulement la quantité 2(o)Q , qui donne n = (p -\- q -\- r . . . ) = o. Ainsi, pour ce cas unique, la loi présente (4i) donnera . . . (42)
parce que, d'après la formule (o'o) de la Réfutation de Lagrange (page n4)> on a la factorielle
cxxxvj REFORME DE LA
Cette quantité S (o)0 = a est d'ailleurs donnée immédiatement par la solution générale (24)' et (24)" du problème-universel , où l'on a S (o)D = Fa , ce qui
donne S(o)() = a , parce que la fonction Yx est ici simplement x. Ensuite , pour les indices successifs p. — 1, p. = 2 , {/. =: 3 , etc.
la loi
40 donnera les systèmes distincts suivants /'.+ 1
