PU

pour tout nombre entier k. En effet, considérant le nombre (ra + i) comme congruent avec un nombre i , par rapport au module m , le nombre i étant d'ailleurs plus petit que m ( voyez l'Introduction à la Philosophie des Mathématiques , page 69 ) , c'est-à-dire , considérant le nombre in + 1) comme donnant le reste i dans sa division par le nombre m , savoir . . . (45)'

( n + 1 ) = km + i ; il est évident , d'après (45) , que l'on aura généralement . . . (45)"

quel que soit le quotient k dans cette division (45)'. C'est là, dans cette reproduction périodique (45)" de la quantité Pu que se trouve le principe de la forme spéciale des racines des équations. En effet, le nombre i étant plus petit que m , et par conséquent étant l'un des nombres o , 1 , 2 , 3 , . . . (/» — 1) , la loi présente (44)', étant considérée par rapport à cette quantité singulière pu , ne saurait engendrer que m termes différents , correspondant aux différentes puissances possibles de cette quantité , savoir, aux m puissances . .

Pu 5 Po) » P(0 ' Pu ' * * • Pu>

Et puisque , dans cette loi générale (44)% il n'existe plus que cette quantité p^ qui puisse varier pour donner, par la génération (34)", les m racines de l'équation proposée (34), on conçoit que, dans cette loi (44)', les m quantités différentes . . . (45)'v

qui , par des valeurs différentes de n , correspondent aux m puissances (45)"' de la quantité pw , en formant successivement les coefficients de ces puissances , et qui demeurent constantes ou les mêmes pour toutes les m racines de l'équation, on conçoit, disons-nous, que ces m quantités distinctes (45)'v sont ce qu'il y a d'essentiel dans la génération des racines des équations, et présentent ainsi la forme spéciale de cette génération.

Il nous importe donc essentiellement de bien distinguer, dans notre loi générale (44)', ces m quantités différentes (45)lv, qui demeurent constantes et forment les coefficients de m puissances variables (45)". Nous allons le faire, et nous fixerons ainsi, avec précision et à priori, la loi elle-même de la forme spéciale que suit la génération des racines des équations.

PHILOSOPHIE. cxxxix Si nous dénotons par T le terme général , correspondant à l'indice [i. , dans la génération universelle (34) " des racines des équations , nous aurons évidemment . . . (46)

rj\ Âct \ 1*2*3 ••• m t / \ l .

M- &r' fiili y.(m — i)|i ' ^ W|* j '

en dénotant par la caractéristique v/^r. l'agrégat des termes correspondant à toutes les valeurs entières, y compris zéro, des indices [t.i , p , [7.3 , . . . . . . \j.[m — i), donnés par l'équation . . . (46)'

[X = [xi + [7.2 + [7.3 . . . + [7.(m — i) ;

et en mettant immédiatement, dans le coefficient a(p , q , r, . . .) , le nombre n à la place des indices p, q, r, etc., dont la somme forme ce nombre, lequel , pour chaque système des quantités (46)', est ici évidemment

n = i.[xi -+- 2.(7.2 -f- 3. [7.3 . + (m — i) . y.(m — i).

Et , substituant dans cette formule (46) l'expression générale (44) du coefficient S («)„ , il viendra . . . (46)"'

( a f"-1 .|*3 An("<-i)

ï = l jer 2 3 " ' ' . F(n) A ' pn + '

i* /„ if" 5 fi 1 1 H' i*3U n("<-OI' w rt0

lw • Ao) \ 1 • 1 • 1 . . . 1

le nombre « étant toujours déterminé par l'équation précédente (46)", et la fonction F (n) étant celle qui a été déterminée plus haut, à la marque (43)".

Or, suivant la formule (45)', si l'on décompose le nombre (n -f- i) en multiple de m avec le résidu i, savoir . . . (47)

et si l'on dénote par n(i) ceux des nombres n qui, étant donnés par l'équation (46)" et augmentés de l'unité , ont le même résidu i , on pourra distinguer et ranger séparément ceux des termes composant l'agrégat présent (46)"', qui correspondront à la même classe n(i) des nombres n ; de sorte que si l'on dénote spécialement par la caractéristique AgrS1^1 l'agrégat de cette classe de termes, lequel sera manifestement une partie de l'agrégat total (46)" dénoté par la caractéristique générale Agr., et si l'on dénote de même par la partie correspondante du terme général , on aura , en y remettant la valeur

( — AQ)m de A, l'expression partielle . . . (4i)'

{"l ■ ftj I . I . I ... I

et le terme général total sera . . . (47)"

y y. 1 y. ^ x(ji ^ A|x • • • 1(J(.

Nous avons ainsi déjà , clans la génération des racines des équations , les parties distinctes et essentielles que nous nous sommes proposé de connaître ; et nous pouvons , avec ces parties essentielles , construire immédiatement cette génération tout entière. — Pour cela, faisons . . . (48)

V — V ■ - — — jT '

(m.AJ

c'est-à-dire, faisons . . . (48)'

» ( A''.Af.Af . . . A''("~•,, ■ + '(') )

s" = As 1 .^.A A . . . -^h-*.) " I'

cet agrégat étant ici l'agrégat partiel qui entre dans l'expression (47)' ; et nous aurons . . . (48)"

T =3 js(0).p° + S(i).p' + S(2V + S(3).p3 . . . + S(m~l).p'n-1!.

Ainsi , puisque la génération universelle (34) " des racines des équations , est

x = T0 + Tx + T2 + T3 + T4 -f- etc. , etc. ;

si l'on fait . . . (49)'

>(0) s(0) si,0)

S- + V- + 2— + — "—T + etc.,

So + " + ~ + T + etc. ,

™.AC (w.A0f (m.AJ

-(a) ÔI S2 °3

SKQ ' -+- : -t- -h r H- etc. ,

m.K (m. AS (m-K)

S„I=Sr"+ A— + + + etc.;

cette génération sera réduite à ses parties distinctes et essentielles , et elle paraîtra ainsi sous sa forme propre que voici . . . (49)"

PHILOSOPHIE. cvlj les quantités E0 , Sx , H2 , . . . Sm I, qui demeurent constantes, étant engendrées, suivant la loi précédente (49)' j au moyen des coefficients A0 , At , A2 , . . . Am t de l'équation proposée (34). Si l'on désigne donc par xi , .r2 ,

a?3 xm les m racines de cette équation , la formule présente (49) > <J|1 v

faisant varier la quantité p , c'est-à-dire, en y substituant successivement, à la place de pw , les m racines de l'unité, donnera, pour ces quantités inconnues xt , x2 , ^3 , . . . xm , la génération spéciale suivante . . . (49) *, = S„ + 3X . Pj + 32.p* + S3.px • • . + 3OT — i • * > *a — 3G + 3I.p2 4- 32.p2 4- 33.p2 . . . + 3m I.p2~I,

*3 = -o + Sr-P3 + û2.p3 -+- i3.p3 . . . + ÛOT r • P3

x =3 + 3 .p + 3 .p2 -f- 3,.p3 . . . + 3 . pm I .

Et telle est donc , déduite à priori , des principes premiers de la science , la forme propre et absolue des racines des équations.

Dans le cas particulier où la somme des racines de l'équation est égale à zéro , c'est-à-dire , dans le cas où l'on a (5o)

xt + *2 + *3 • • • -+- xm = o , prenant la somme des expressions précédentes (49)"', et observant qu'on a toujours . . . (5o)'

?r + ?: + p3ct • • • + p: = o,

lorsque l'exposant t3 n'est pas un multiple de m, on trouvera . . . ><>

Ainsi , dans ce cas particulier, si l'on considère les quantités 3X , 3 , 53 , . . . 3m__I, comme étant, pour le degré m , les racines d'autres quantités ll7 £a, £3 , • . . lm 1, c'est-à-dire, si l'on suppose . . . (5o)"'

3, = vrx , 32 = i/T2 , 33 = v% , • • • 3„,, = i/^r; ,

afin de pouvoir attribuer une origine immédiate aux racines p, , P2 , p3 , . . . • • • P™ 1 4m sont multipliées par ces quantités 3X , Sa , 33 , . . . 3/;j , la forme générale (49)"' deviendra . . . (5o)IV

*. = pt-^ + pî.i^ç + pM^ç . . . + er-viz^

cxlij RÉFORME DE LA

El telle est la forme spéciale que , dans notre Résolution générale des Équations, sous la marque (18), nous avons assignée aux racines des équations particulières , dans lesquelles A m t — o , c'est-à-dire , dans lesquelles la somme des racines est zéro.

L'ouvrage que nous venons de citer, ayant été destiné uniquement à l'exposition de La méthode, nous n'avons jugé convenable d'y donner aucune démonstration. Et , les savants parmi lesquels nous l'avons publiée , savants qui paraissent ne pas vouloir croire aux progrès de la science , ont pu , entre autres reproches que nous apprécierons à leur place , nous faire celui que la forme (5o)IV que nous y avons assignée aux racines des équations , a été empruntée par nous à Euler, et surtout à Bezout (Voyez les Annales de Mathématiques de 1812). Nous pensons que ces Messieurs, ayant approfondi la déduction que nous venons de donner de cette forme , en remontant aux principes supérieurs auxquels nous attachons la science , et desquels découle immédiatement cette forme dont il est question , reconnaîtront que , non-seulement nous n'avons pas eu besoin de rien emprunter ici à Bezout, ni même à Euler, mais de plus, que nous avons su établir rigoureusement , et entièrement à priori , cette forme de racines , que ces deux géomètres , guidés uniquement par l'analogie des racines dans les équations du second et du troisième degrés , n'ont pu avancer que comme une simple hypothèse. — Mais , revenons à notre forme générale (49)"' des racines des équations , et observons sur-le-champ que , par la déduction que nous venons d'en donner, les racines de l'unité, savoir, pr, p2 , p3 , . . . pm, qui entrent dans cette forme, peuvent être les racines de l'unité prise positivement, lorsque la quantité ( — AQ) est positive, et qu'elles peuvent aussi être les racines de l'unité prise négativement, lorsque cette quantité ( — AQ) est négative. On voit, en effet, dans la transition de l'expression (46)"' à l'expression (47)'} la condition de cette alternative; et l'on conçoit que, lorsqu'on aura ainsi pris, pour pt , p2 , p3 , . . . pm , les racines de l'unité négative, la quantité ( — AQ ) dans l'expression (48), quoique négative, devra être considérée comme positive. — Mais, pour plus d'uniformité, il vaut mieux considérer toujours les quantités pt , p2 , p3 , . . . pm comme étant les racines de l'unité positive, en conservant à la quantité ( — Ac ) son véritable signe.

Or, ayant ainsi obtenu la forme générale et absolue (49)" des racines des équations, il ne nous reste qu'à connaître, dans toutes leurs ramifications, les différents systèmes de lois que suit la génération finie ou indéfinie, des quantités 2Q , . S ■ , S , . . . 3m , qui, dans cette forme, en sont les parties intégrantes. Et c'est là proprement l'objet de la résolution générale des équations ; objet que nous nous proposons dans cet ouvrage. — Déjà nous connaissons la loi fondamentale de cette génération des quantités Sc , Sj, E2 , 23 , etc. , dont il est question , savoir, la loi (49)' qiu résulte de la génération universelle (34)"' des racines des équations ; et , par la raison qu'elle provient

PHILOSOPHIE. cxliij «le cette origine supérieure , cette loi fondamentale mérite une attention toute particulière , d'autant plus qu'elle peut conduire facilement à la détermination numérique des racines des équations. Aussi , dans le cas où il n'existerait pas d'autres moyens, et heureusement, comme nous le verrons ci - après , il en existe de très-simples , il faudrait déjà que les Corps savants , qui peuvent disposer de prix, en attribuassent un à l'obtention définitive de cette loi fondamentale , au moins pour les équations des sept premiers degrés , c'est-à-dire , à l'obtention des résultats détaillés et numériques que donnent nos formules (48)' et (49)'- Nous allons ici en présenter un exemple aux calculateurs, en faisant ces évaluations des formules (48)' et (49)' pour l'équation du cinquième degré. Soit en général l'équation du cinquième degré . . . (5i) o ■ = AQ + Arx -+- A2..r2 + A3.*3 + x5 ;

dans laquelle nous supposons que le coefficient A4 est zéro , c'est-à-dire , que la somme des racines de cette équation est zéro ; cas auquel notoirement on peut amener toutes les équations , et qui , non-seulement aura ici des résultats plus simples , mais encore sera plus approprié à la loi fondamentale que nous cherchons.

Pour avoir cette loi , telle que la donne ici la formule (49) ', il faut manifestement calculer les agrégats (48)' pour les valeurs consécutives o , 1 , 2 , 3 , etc. , de l'indice [a. Et, pour calculer ces agrégats (48)', il faut au préalable résoudre successivement l'équation (46)', déterminer la quantité n par la formule (46)", et évaluer, avec cette quantité, le résidu i correspondant à la formule (47)5 et la fonction F(«) donnée par les formules (43)" et (43).

Or, dans le cas présent '(5i) , à cause de A4 = o , l'équation (46)' est généralement . . . (5i)'

\j. — [Ai -f- [i.i H- (a3 ; et par conséquent , le nombre n , donné par la formule (46)", est ici

n — 1 -f- 2 . [y.2 + 3 . (0.3 . Faisant donc successivement (A = o , ja = 1 , (X = 2 , ja = 3 , et ja = 4 j et appliquant la méthode de Hindenbourg à la solution de l'équation indéterminée (5i)', comme nous l'avons fait plus haut à la marque (i3), nous obtiendrons ici les résultats suivants . . . (5i)"'

Pour [A = o ;

0 = [AI -f

Pour