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Tl '. — '. IO j
fl ; I I j
n z=z io ,
Il ne faut pas perdre de vue , pour la vérification de ces résultats , d'abord , que la formule (i3)"' donne, pour chaque valeur de «. , le nombre de solutions de l'équation (5i)', et ensuite que les sommes correspondantes de ces résultats doivent être identiques.
PHILOSOPHIE. cxlv Procédons maintenant à l'évaluation de la fonction F(ra) donnée par les formules (43)" et (43), en observant que, pour les coefficients Ml5 M2, M3 , etc. , donnés par les formules (43) , on a ici m = 5 , et que les valeurs de n sont celles que nous venons de trouver. Les résultats de ces calculs seront . . (5i)lv Pour [x = o ;
1 , M2 = M3 = M4 = etc. == o ; F(«) = «-'I-1 ; donc F(o) = 1 .
Pour [i = 1 ; 1 , M2 = M3 = M4 = etc. = o ; F(«) = n°\~l = 1 ; donc , F(i) = 1 , F(a) = 1 , F(3) = 1 .
Pour ^ = 2 ; 1 , M2 = — 4 , M3 = M4 = M5 = etc. = o ; F(«) = n — 4 5 donc ,
Pour jj. =. 3 j
1 , M2 = — 12 , M3 = + 36 , M4 = M5 = M6 = etc. = o ; F(«) = «2 — 1 3 . n + 36 ; donc ,
Pour pi = 4 ;
M6 = M„ = etc. = o ;
F(re) = n3 — 27. nz + 21S./1 — 5o4 ; donc , F(4) = o , F(5) = + 36 , F(6) = + 48 , F(7) = + 4* , F(8) = + 24 , F(9) = o , F(io) = — 24 , F(i.) = — 42 , F(i2) = — 48 .
Mais , une remarque d'une haute importance se présente ici. C'est que ces valeurs de F(«) deviennent toujours zéro pour « = 4: n=9i «=i4» etc., et généralement pour n = k.5 — 1 ; comme cela doit être effectivement pour que les termes Sj^, donnés par la formule (48)', deviennent zéro , et cela afin que l'on ait ici zéro pour la quantité SQ , qui , d'après la forme générale
(49) " des racines des équations , est toujours égale à de la somme de ces
racines, et qui, d'après la première des formules (49)'» est donnée précisément au moyen de ces termes S^K Nous en tirerons immédiatement la conclusion que la fonction F(n) , telle qu'elle est donnée par la formule (43)", et telle qu'elle entre comme facteur dans l'expression générale (48)' des termes Sj^,
cxlvj RÉFORME DE LA
doit se réduire généralement à la forme très-simple . . . (52)
F(«, |x) = ln+i-mf-l)l-m, en tenant compte de l'indice (/., dont la quantité F(«, (/.) est aussi fonction. Dénotant donc, comme plus haut, par ceux des nombres n, qui, d'après
la formule (47) , étant augmentés de l'unité , ont le résidu i , c'est-à-dire , les nombres qui se décomposent de la manière suivante . . . (5a)'
/«(«) + 1 = 7c. m -+- i ; et substituant cette réduction (52) à la place de la fonction F (»(£)) dans la formule (48)', on obtiendra l'expression générale et immédiate . . • (52)"
b =; Agr
I* ) (X2|r [j.3|i J*0OT —
x [„(0+I w]^-^'-^(Ao) * j,
dans laquelle la caractéristique Agr.^ dénote toujours l'agrégat des termes correspondant aux valeurs de ceux des indices , [/.2, p.3 , . . . \}.{m — 1), donnés par l'équation (46)', qui , par le moyen de la formule (46)", rendent le nombre n propre à la décomposition (52)'; c'est-à-dire, l'agrégat des termes correspondant aux valeurs entières , y compris zéro , des indices [J.i , [/.2 , [/3 , . . . [j.(in — 1) , donnés par l'équation . . . (52)"'
[7. = [/.i + p.2 + jx3 . . . + jx{m — 1 ) , et par la congruence . . . (52)IV
1 + i.{ju -f- 2.J/.2 -f- 3.[a3 . . . + (m — 1 ).[/.( /» — - 1) = i, [tnod. = m)
le nombre i étant positif et toujours plus petit que ?n.
Or, dans notre cas présent (5i), où m = 5, cette formule (52)" deviendra . (53)
XH« ^1' XW - ["(0-4] -(-A0) j,
et puisque A^ = o , toutes les valeurs de Ajf4, où l'on n'aura pas [x4 = o, seront zéro. Ainsi, ne considérant que ce système de valeurs correspondantes à [jt-4 = 0 ? pour lequel précisément nous avons calculé les résultats (5i)"', la formule présente (53) se réduira à (53)'
S. = ^ fH< •["(') -4] .(-A0) J-
Procédons donc à l'évaluation de ces termes moyennant les valeurs (5i)"'
des indices (/.i , f/.2, (j(.3, et du nombre n. Les résultats seront . . . (53)"
PHILOSOPHIE. cxlvij
Pour \j. = o ; i i
si° = (-4r"-5.(-Ao)T = (-Aof,
S„ = So = S0 = o ; et So = o .
Pour u. = i ;
sf = o, s<;» = o;
S" = A,.(A„f , S?' = A,( -Aof, sf = A3.(- A„f .
Pour (jl = 2 ;
Sf=o, S« = A<,.Aa.A3.(-A0)i, Sf = - A0.A^.(A„)T,
Sf = - a:.(-A0)T, Sf = - A,.A,(-A0f.
Pour [/. = 3 ;
sf = o, sf = 2a0.(a,a: + a;.a3).(a„)t
S? = A0.(A^ + 6.A,.A2.A3).(-Ao)T,
sf = 3a0.(a,.a; + a;.a3).(ao)t,
o) Pour (A = 4 ;
S<° = - - 2A0.(3.A^.A2 + a.A0.AI. A3 + 3.A0.A22.AQ.(-A0)5 , S? = - A0.(8.A^.A3 + 7-A0.A2.A^ + n A0 ) 5 ,
Sf = - A0.(2.AC.A* + 7-A,.A2 + 2i.A:.A2.A3).(-Ao)5 ,
S® = A0.(A* + 6.a;.A23 + 12.Ai.A:.A3).(-A0)5 .
Substituant donc ces valeurs dans les formules (49)', on aura définitivement • • • (54)
cxlviij REFORME DE LA
