A„ 5 .AQ 5 .A

24 = ("Ao)

(2.A0.A4 +■ 7.A,.A* H- ai.A;.Aa.A3).A0

|- j A3 AI.A2 A\ + a.A0.Aa.A*

+ etc. , etc.

(a; + 6.A;.A2 + .a.A,.A;.A3).A0 — <- -+- etc. , etc.

Et, telles seront ici, pour l'équation du cinquième degré (5i) , les valeurs des coefficients dans la forme générale (4g)'" des racines ; de sorte que , attribuant une telle génération aux quantités St , 32 , S3 , S , les cinq racines de cette équation proposée (5i), seront . . . (54)'

= Si-Px + s2.p2 + a3.pj +

= sr.p2 + s2.p^ + a3.p2 +

XU

= sI.p4 + s2.P* + H3.f>| +

S4-PÎ'

= Sx-Ps + S2-Ps + s3.p35 +

les quantités pt , p2 ,

p3 , p4 , p5 étant , d'après (35)',

les cinq

nité , données par la

formule . . . (54)"

[/.TC . U.7Î . y-

P[x = cos 5 + S1" "5 ^~

Pr

PHILOSOPHIE, cxlix Telle (54) et (54)' est donc la loi fondamentale que suit la génération des racines des équations du cinquième degré (5i) ; et c'est cette loi, dont l'importance vient de ce qu'elle dérive immédiatement de la génération universelle (34)"' des racines des équations , et dont nous montrerons à l'instant la prompte application à la détermination algébrique et à l'évaluation numérique directe de ces racines , c'est cette loi , disons-nous , que les géomètres , en la poussant jusqu'aux derniers termes , devraient déduire de nos formules susdites , au moins pour les équations des sept premiers degrés.

Voici d'abord un exemple de l'application de la loi présente (54) et (54)' à l'évaluation numérique des racines.

Soit proposée l'équation du cinquième degré . . . (55)

En la comparant avec l'équation générale (5i) , on aura . . . (55)'

A0 = — 3a , A, = o , A2 = -+- i , A3 = — i , et A4 = o ; et par conséquent

(-Ao) = 32> et (~Ao)5 = 2-

Substituant ces valeurs dans les formules (54) qui constituent la loi qu'il s'agit d'appliquer, on obtiendra les résultats suivants . . . (55)"

Sr = + 99748

S2 = H- o,oo5o7

Ainsi, en vertu de la forme générale (54)', les cinq racines de l'équation présente (55) seront données par l'expression . . . (55)"'

= + i,99748. + o,oo5o7.p* — o,o5o2i.pJ H- 0,10028. ; en y mettant successivement pour p^ , les cinq racines de l'unité , données par

= cos

cos

la formule (54)", savoir .

(72°) -4- sin(72°).|/— 1

(i44°) + sin(I44°).^=^ (216°) + sin(2i60).l/=~T cos (288°) + 8111(288°). 1/^7

= - -Ut/5" +

cos

cl RÉFORME DE LA

Donc , dans leur dernière évaluation numérique , ces cinq racines en question

de l'équation proposée (55) seront . . . (55)v

xt = + 0,68476 + (i,83684). 1/^7,

*4 = + 0,68476 — (1, 83684 ).l/=rT,

ar5 = -+- 2,05262 ; racines dont l'une est réelle, et les quatre autres idéales (ou comme on dit, imaginaires).

Mais , dans cet exemple , nous avons pu parvenir immédiatement aux résultats (55)" formant les valeurs des quantités Ht , S2 , 23 , S , , parce que les générations progressives des termes qui , dans les formules (54) , donnent ces quantités, se trouvaient ici convergentes. On conçoit qu'il n'en sera pas toujours ainsi, c'est-à-dire, que ces générations universelles, étant, tout à la fois, théoriques et techniques , peuvent être divergentes ; ce qui arrivera surtout lorsque plusieurs ou toutes les racines des équations seront réelles , et lorsque , par conséquent , les valeurs des quantités St , S2 , 33 , S4 en question seront idéales (imaginaires), afin d'être propres à produire, par la forme générale (49)"' de ces racines , qui est idéale , des quantités réelles. — Il nous reste donc à connaître cette détermination secondaire des quantités S , H2, S3, etc., dont il est question , au moyen de leur génération primitive donnée par les formules (49)', c'est-à-dire, au moyen de la génération primitive que nous venons de développer dans les formules (54) pour l'équation du cinquième degré.

Or, d'après tout ce que, dans la Philosophie de la Technie, et spécialement dans la deuxième Section de cette Philosophie , nous avons reconnu sur la nature des séries ou de toutes autres suites de nombres, concernant leur évaluation dans le cas où elles sont divergentes , surtout par le moyen de la génération-neutre des quantités ( Voyez deuxième Section de la Philosophie de la Technie, pages 528 et suivantes), la question présente qu'il nous reste à traiter, celle d'évaluer généralement les quantités Et , S2 , 33 , etc., au moyen de leur génération primitive (49)', où il entre des suites de nombres qui peuvent être divergentes, cette question présente, disons -nous, se trouve déjà, dans toute sa généralité , résolue complètement dans notre Philosophie de la Technie algorithmique. Il nous suffira donc d'en faire ici l'application pure et simple , en conservant même la notation que nous avons employée à l'endroit que nous venons de citer (*).

(*) Dans notre Réforme des Mathématiques, nommément, dans sou Complément (pages iij à xxxiij , et lxx à lxxij ) , nous avons reproduit , en partie , et complété cette grande question de la générationneutre des quantités.

PHILOSOPHIE. clj D'après les formules (4g)' et (48)', ou (4yy at ^aï', la forme de la génération primitive des quantités 30 , St, 22 , 33 , etc., dont n ^* Tmstion est généralement . . . (56)

S, = (~A0)~. - N(;} + N2° - N<° + etc., etc.

les termes N<i}, N^, N(20, etc. , de la suite algorithmique qui fait partie de cette génération, étant des fonctions rationnelles des coefficients Ac , At , A2 , . Am de l'équation proposée , comme nous l'avons vu , sous la marque (54) , où nous avons développé cette génération pour l'équation du cinquième degré. Il s'agit donc d'évaluer, dans tous les cas , la suite algorithmique ou la suite de nombres . . . (5j)

Jftf -.rf/l + Nii)-4° + etc.,etc. j,

que, d'après ce que nous avons reconnu dans la Philosophie de la Technie, nous devons considérer comme provenant de la série . . . (57)'

F*(0 = - Vfflx + Ni0.*2 - N^.*3 + etc., etc. ;

la fonction Fx^1^ étant la valeur de cette série, et donnant la valeur de la suite demandée (5y) lorsqu'on y fait x = 1. Il est sans doute superflu de faire remarquer que la quantité x que nous introduisons ici pour nous conformer à la notation adoptée dans notre Philosophie de la Technie , n'est point la racine x des équations.

Or, prenant une fonction arbitraire <px , qui, lorsqu'elle différera de x, pourra être simplement . . . (^j)"

c'est-à-dire , la fonction génératrice des séries communes primitives , on transformera, s'il en est besoin, la série proposée (57)' en une autre procédant par rapport aux puissances progressives de cette fonction <p.r, savoir . . . (37)'"

F*(0 = - Vf».* + N20.*2 - N^.*3 + etc., etc. =

=s A\' + A\\yx 4- A2;.(<p^) + A\'.(yx) -f- etc., etc. ;

en suivant la loi (166)'' ou (420) de la génération des séries. Il ne faut pas confondre les présents coefficients A^, A^, A^ , etc., distingués d'ailleurs par l'indice (/), avec les coefficients A0 , Ar , A2 , etc., dans les équations proposées (34) que nous traitons. Et , lorsque la fonction génératrice <px sera simplement celle (57)" des séries communes, en y faisant a = o, la loi (43$) de la génération de ces séries, donnera ici, pour un indice quelconque p., la détermination . . . (57)IV

clij RÉFORME DE T-A

Mais, cette transformation n'est qu'une précaution extrême; car, il suf-

fira presque toujours de partir immédiatement de la série proposée (57)', comme nous le verrons ci-après. Quoi qu'il en soit, partons de la série générale savoir . . . (58)

F*(i) = A<° + A*0.?* + A<0.(<p*)2 + A^.(ç~r)3 + etc., etc.,

que nous pourrons considérer comme étant immédiatement la série proposée (57)', en y faisant . . . (58)'

etc. , etc. ; et généralement , A^ = ( — i^.N^ .

Et considérons cette série (58) comme étant celle qui , sous la marque (5o8) , est proposée dans la Philosophie de la Technie (deuxième Section, page 542), pour en opérer la génération-neutre.

Suivant la loi (5o8)', savoir . . . (59)

C(i) = Bf.A^- A^.B(i),

(A j (i I 2 (JL

d'" = C1".B^I-B<".C<", etc. , etc. ,

calculons successivement, au moyen des quantités susdites données A^, A^ , A[l\ etc., les quantités auxiliaires B^, C^, D^, etc., et, avec ces dernières, suivant la loi (5i4)' de la génération des numérateurs ,jj0 , jj)'t , (Jj2 , ^3, etc., des fractions-continues, savoir, suivant la loi . (5p)'

PHILOSOPHIE. cliij calculons ces caphs-numérateurs. Enfin, faisant x = i , et observant que la valeur correspondante <pi de la fonction génératrice <px , sera l'unité lorsque, dans le cas le plus simple (58)', on aura yx — x, construisons, avec les dernières quantités (59)', suivant la loi (5 1 5) , les médiateurs que voici . . . (59)"

po = 1 > Q. = A '

Pr = Pc Qi = Q0 •+• A-?1'

p2 = Px + CV^-Po» Q2 = Q, + ÔV^-Qo,

P3 = p2 + J3.?'-p, . Qs = Q2 + Jv^-Q, ,

Nous aurons, d'après l'expression (5 16)', les valeurs . . . (59)"'

Qo Qi Q* Q3

po Px p. p3

etc.

pour les progrès de la génération-neutre de la quantité que forme la suite numérique proposée (57). Et ces progrès, en y prenant des termes . . . (59)IV

Q2U. Q2U. + 1 -i . ,1 . , , » . . Qo

et , bien éloignes de 1 origine >

suffiront déjà pour déterminer la valeur de cette suite (57), lorsque, étant même divergente, sa valeur n'est pas idéale (imaginaire). Mais, pour embrasser tous les cas possibles, prenons immédiatement l'expression définitive (5a3), qui nous donnera, pour la valeur de la série (57)', ou de la fonction Rr(2), dans le cas de x = 1 , où elle forme la valeur de la suite en question (57), la générationneutre . . . (60)

F (o % + Q^-XQn- 0 .

p, + p^.xCji + i) '

dans laquelle il ne nous reste qu'à déterminer la quantité X(|a + 1 ).

Or, pour arriver à cette dernière détermination , observons que , dans le cas présent , la valeur (60) des suites (57) est toujours nécessairement simple, car, lorsque ces suites sont convergentes , leur valeur se trouve effectivement toujours simple. Ainsi, suivant littéralement les considérations (53o), (53o)', (53o)", et (53o)"', nous parviendrons ici immédiatement à l'équation (545)', savoir . . . . . (60)'

- (ev + I)2-?'>

qui donnera la détermination en question de cette quantité X(p. ■+• 1). De plus, l'expression (5/(5)" et l'équation correspondante (545)"', savoir . . . (60)"

o,+4)-<pi)-x(k-+2)

serviront à donner une seconde valeur pour la même quantité X(f/. + i); de sorte que ces deux valeurs de X([/. + i) , données séparément par les relations (60)' et (60)", formeront proprement les limites de cette quantité X([/. + 1) , et serviront ainsi à apprécier le degré d'exactitude des résultats consécutifs, correspondant à des indices [/. de plus en plus grands , en observant que ces limites doivent se confondre, lorsque cet indice (x est un nombre infini. — Il faut ici remarquer que le principe de cette détermination (60)' et (60)" de la quantité X(jx 4- 1), consiste dans l'identité sensible des fractions-continues restantes (53o), dont nous avons plus haut introduit la considération, identité qui, à son tour, dépend de l'identité relative et sensible des quantités formant les colonnes verticales dans l'arrangement (53o)' des numérateurs de ces fractions. Or, comme nous l'avons remarqué à cet endroit cité, cette double identité a toujours lieu lorsque l'indice {/. est très-grand, et lorsque d'ailleurs, comme cela est ici, les périodes des caphs sont bien fixées. Cette identité peut même être rendue plus prompte , en déterminant convenablement la quantité arbitraire n dans la fonction génératrice (Sy)", ou généralement en déterminant ainsi, d'une manière propre, la fonction génératrice <p# dans la transformation Et c'est

même uniquement pour amener le plus tôt possible l'identité (53o) que nous avons introduit cette transformation laquelle, comme nous venons de le

voir, n'est pas nécessaire absolument.

Ayant ainsi la quantité X(f/. + 1), l'expression (60) donnera la valeur de la suite proposée (57); valeur qui, étant substituée à la place de cette suite, dans la génération (56) des quantités SQ , St , H2 , S3, etc., donnera, pour ces quantités, l'expression finie et toujours déterminée que voici . T . (61)

- Q + Q .X(ix+ 1)

laquelle , étant rigoureusement exacte lorsque l'indice [/. est un nombre infini , sera d'autant plus exacte que cet indice (X sera un nombre plus grand. — Nous aurons donc, dans cette expression (61), la génération-neutre de toutes les valeurs possibles, réelles ou idéales (imaginaires), de ces quantités S , S2, S,, etc., en question ; car, la quantité auxiliaire X(p. + 1) étant ici donnée par une équation du second degré ](6o)' ou (60)", sera réelle ou idéale (imaginaire), suivant que le seront les quantités S; qu'elle sert à engendrer.

clh RÉFORME DE LA

PHILOSOPHIE. clv Dans notre Philosophie de la Technie algorithmique , nommément , dans sa deuxième Section , à l'endroit cité plus haut où nous avons produit et développé la présente question de la génération- neutre des quantités, nous l'avons tellement éclaircie par des exemples, qu'il ne reste plus rien à dire sur son application. Aussi, en considérant ces exemples fort détaillés, pouvons-nous nous dispenser d'alléguer ici des exemples nouveaux pour son application à la présente résolution accomplie des équations.

Tel (61) est donc enfin le complément de la grande solution , tout à la fois théorique et technique ou universelle, des racines des équations; solution que nous venons ici de déduire de la seule résolution générale du problème -universel des mathématiques , et qui , en nous conduisant à la connaissance de la forme fondamentale (49)' de ces racines , nous donne , en même temps , les éléments progressifs (49)' pour la génération-neutre définitive (61) des quantités , S2 , S3 , etc. , qui opèrent cette construction absolue (49) "' des racines des équations. — Nous avons donc déjà , dès ce premier abord , la résolution primitive ou fondamentale des équations de tous les degrés , susceptible d'une prompte application à l'évaluation numérique des racines de toutes ces équations, et supérieure de beaucoup à tous les tâtonnements que, jusqu'à ce jour, on a été forcé d'employer pour arriver à la connaissance de ces racines. Cette résolution primitive est même , à certains égards , supérieure à celle qui donnerait l'expression finie des racines, à celle qu'on a tant cherchée inutilement; car, comme l'a déjà remarqué Lagrange, quand même on aurait ces expressions finies des racines des équations , si cela était possible , il faudrait , pour avoir définitivement leurs valeurs numériques, développer ces expressions et sommer les suites résultantes ; et ce sont précisément les lois de ce développement et de cette sommation que notre actuelle résolution fondamentale donne immédiatement. Ainsi, par exemple, pour l'équation du troisième degré . . . (62)

o = Ao + At.x -H x3 ,

la forme fondamentale (49) "' ou (5o)IV donnerait les trois racines . . . (62)'

= 3fP« + S2.p^ ,

X1 == ÛI • Pî û2 1 P2 '

xi = a! • Ps + S2.p3 ;

les quantités pi , p2, p3 étant les trois racines cubiques de l'unité, déterminées par la formule . . . (62)"

= cos(-f-) + ^(ir)-^11"7-

Et la loi générale (48)' ou définitivement (52)", en faisant ici (1 \x.) = 3 k -h i , donnerait immédiatement la loi spéciale très-simple . . . (6*2)"'

clvj REFORME DE LA

s<" = it^L .Ar.( Ao) ^ ,

pour la construction des éléments qui, suivant la loi (49)'? engendrent les quantités intégrantes 3I et H2 dans la forme présente (62)'; de sorte que, d'après ces lois (62)"' et (49)', ces quantités EJ et 32 seraient ici . . . (62)IV

, .il ."-3 < ^ 45'-3 a; 7*i-3 a;

= (—■*»)■(> sir^r-— + ci. ,6 ~r Sirrr'Tï" + e,c'

.3" A: i'\3" At iyi\39 A

r - a ^ LA. a3'"3 A. s6'-3 K s9'-3 a;°

0) ' I 3'Ao .^ï4""^ r7|r.37 ' Af " xI0|l.310 "aT + ^

Or, par la résolution finie ou simplement théorique de l'équation du troisième degré (62), on obtient notoirement, pour les quantités intégrantes St et 32 qui opèrent la construction (62)' des racines de cette équation , les expressions fi-

mes ' ' ' i63)= v^j - v/[4- + 4L]

Voulant donc avoir l'évaluation numérique générale de ces quantités, il faudrait opérer, par le binôme de Newton ou généralement par le théorème de Taylor, le développement des radicaux que contiennent ces expressions. On aurait ainsi d'abord . . . (63)'

4 ■ 27 J - 2 + 33 * AG + ^36 * A3 + ^1x^9 ' A5 + etC-

Ensuite , substituant ce premier développement dans les expressions (63) , il viendrait . . . (63)" j

= (- Ao) ' 1 + "73 77" +

A, 1 .2 Ar r .2 Ai

3' a: i2,i.36 At i3|l.39 a!

etc.

- '3-A0'|I+ ,'".35 'A; i3|'.36 "aJ .4|,.39 'aJ

et il faudrait de nouveau opérer, sur ces infinitinômes , le développement de leur troisième racine. On obtiendrait alors très-péniblement les ternies successifs de la génération susdite (62)"' de ces quantités Sl et H2 ; et l'on n'aurait nullement l'expression générale de ces termes successifs, expression qui est ma-

PHILOSOPHIE. clvij nifeste dans cette génération immédiate (62)"', et qui , pour les équations de tous les degrés, est donnée généralement par notre loi très-simple (52)".

Il en serait de même pour toute autre équation , par exemple , pour l'équation du cinquième degré (5i). Si l'on avait les expressions finies ou purement théoriques des parties constituantes 3£ , 32 , 33 , 3,, des racines (54)' de cette équation , dans le cas où de pareilles expressions finies existeraient réellement , et si l'on voulait avoir leur évaluation numérique générale , il faudrait développer ces expressions finies. On obtiendrait ainsi de nouveau et très-péniblement les termes successifs de notre génération immédiate (54) de ces quantités 3t , 32 , 33 , S ; et l'on n'aurait pas non plus l'expression générale de ces termes , expression qui , en vertu de la loi susdite (5a)" que suit cette génération immédiate ou primitive des racines des équations , se trouve ici donnée dans la formule très-simple (53)'.

Mais, ne nous laissons pas arrêter par ce premier succès, c'est-à-dire, par l'importance attachée surtout à l'extrême simplicité des lois (49)' et (48)', ou définitivement (52)" que nous venons de découvrir pour cette génération primordiale des quantités 3r , S , 33 , etc. , qui , servant à engendrer la forme fondamentale (49)"' des racines des équations, en sont les parties constituantes essentielles. — En nous rappelant , comme nous l'avons déjà remarqué plus haut , que la résolution générale des équations a pour objet la connaissance de tous les systèmes de lois que peut suivre la génération , finie ou indéfinie , de ces parties constituantes S , 32 , 33 , etc. , et généralement des racines des équations, poursuivons la découverte de tous ces différents systèmes de lois. Ainsi, ayant ici reconnu le système primitif ou fondamental de ces lois, qui nous a fait découvrir la forme absolue elle-même (49)"' de la génération des racines des équations , la question majeure qui se présente actuellement, est de reconnaître s'il existe réellement, ou s'il n'existe nullement, un système de lois qui opérerait la génération finie des quantités intégrantes 3r, 32 , 33 , etc., qui entrent dans cette forme absolue des racines des équations. C'est dont cette problématique génération finie des racines des équations qui , dans les conditions de sa possibilité ou de son impossibilité, doit actuellement être notre objet majeur ; et tel sera effectivement l'objet de la deuxième Section de cette résolution philosophique des équations. Nous y donnerons spécialement l'exposition et surtout la démonstration de la grande méthode que , par anticipation , nous avons fait connaître, déjà en 181 2, dans notre susdit opuscule intitulé : Résolution générale des Equations de tous les degrés. Et c'est cette grande et décisive méthode qui, par la détermination, maintenant très-facile, des coefficients Yu , \t, Y2 , . . . Ym t de son équation réduite (16) , nous fera connaître si ces coefficients , qui sont toujours des quantités réelles , peuvent ou ne peuvent pas généralement recevoir une génération finie au moyen des coefficients A0 , At , Aa , . . . Am de l'équation proposée (1), et par conse-

clviij RÉFORME DE LA

quent si les racines , £2 , £3 , . . . \m l de cette équation réduite (16), qui forment nos présentes quantités intégrantes Sj , E2 , E3 . . . Hm t pour la résolution actuelle et définitive (49)"' de cette équation proposée , peuvent ou ne peuvent pas généralement recevoir une telle génération finie 5 et cela , en découvrant et en nous faisant ainsi connaître , d'après notre loi suprême . • • (64)

Fx ,= A0.fl0 + A1.Oi + A2.£l2 + A3.n3 + etc., etc.,

la vraie et absolue génération de ces coefficients Y , Y , Y , Y3 , etc., et par conséquent la génération absolue de ces quantités intégrantes St , S2 , E3 , . . . E m i , dont nous connaissons déjà la génération primitive et fondamentale (49)' et (52)", telle que nous venons de la découvrir dans cette première Section .

Au moment où nous nous proposions de terminer ici provisoirement cet ouvrage , plusieurs personnes , parmi elles surtout le noble éditeur de nos derniers ouvrages , nous ont prié , avec instance , d'accomplir, dès à présent , cette grande question de la résolution des équations. Nous allons donc , pour satisfaire à leur désir , donner ici cet accomplissement , autant du moins que nos pressantes productions philosophiques , religieuses et politiques , nous le permettent dans ce moment ; mais , nous le ferons toutefois dans une étendue suffisante pour que la seconde Section , que nous nous proposions de donner pour l'ouvrage présent, ne soit plus indispensablement nécessaire.

Or, en partant de notre présente forme absolue (5o),v des racines, qui se trouve enfin démontrée ici rigoureusement , et dont les parties constituantes (5o)"' sont maintenant déterminées complètement par les expressions générales (49)', donnant ainsi la génération primitive ou fondamentale des racines des équations , le problème qu'il nous reste à résoudre pour accomplir la question de la résolution des équations , est , comme nous venons de le signaler, de reconnaître si cette génération primitive et fondamentale (49)' des racines, qui se produit sous une forme indéfinie, peut réellement, ou ne peut nullement, être amenée à une forme finie. Et pour cela , la grande , et , à cet égard , décisive méthode que nous avons produite dans notre susdit opuscule de 181 2, et qui devient ainsi le complément de la présente méthode fondamentale ou philosophique , nous conduira directement au but final que nous nous proposons. — Nous allons donc , avant tout , reproduire ici au moins les traits principaux de cette méthode de 181 2, en la fondant actuellement sur sa présente base inébranlable , c'est-à-dire , sur la forme absolue (5o)IV des racines , que nous venons de découvrir et de démontrer rigoureusement, et qui précisément contient leurs parties constituantes \l , £2 , £3 , . . . £OT t , dont il est question.

Pour cela, concevons (m — 1) quantités pi , /> 2 , p3 , . . . p(m — 1), for-

PHILOSOPHIE. dix

niant respectivement les exposants des puissances Ç^1, £^2, \ ^ , . . . £ et construisons, avec ces puissances, la suite de to fonctions . . . (65)

f,. ^2> ^r3) • • • j^qu'à V„, 0 d'après l'expression générale . . . (66)

^m.pi\i m.p2\i ^m.pH\i ^m.p(m — i)|i l

dans laquelle la caractéristique AgrS^ désigne l'agrégat des termes correspondant à toutes les valeurs entières et positives, y compris zéro, des quantités pi-, pi, ^3, . . . p(rn — i) qui peuvent satisfaire à l'équation . . (67)

[a = pi + pu + pZ . . . + p(m — 1) , le nombre (jl étant l'indice général des fonctions W , W , , etc. , dont il s'agit, et dont le nombre w doit être (a = r?i '" ~ 2 . — Il est sans doute superflu de rappeler que toutes ces déterminations se rapportent à l'équation générale (34) du degré m , dont nous présentons ici la solution, c'est-à-dire, à l'équation . . . (68)

o = A0 + k^x + A2.^-2 + A3.X3 ... H- Am.x'" ,

dans laquelle on suppose notoirement Am = 1. — Voici d'abord un exemple de la construction des fonctions Wi , W2 , , etc. , que nous venons d'établir auxiliairement. — Pour l'équation du quatrième degré , où m = 4 , nous aurions (o 4* = 16 j et ce serait ainsi seize fonctions pareilles , W2 , W3 , • • • ^16 1U'^ faudrait construire d'après la formule générale (66) , qui deviendrait ici . (69)

-pi y pi ypi

Çt ,{»2 '^3

= Ag>