GO

i4./»i|i 14.Hi,i4-/'3|i j les trois exposants pi , ^2 , /?3 étant donnés par l'équation indéterminée . . . . . (69)' p = pi + pz + p3 .

Contentons-nous de construire la seconde W de ces seize fonctions relatives à l'équation du quatrième degré; et nous aurons pour cela l'équation ... -<>

2 = pi + p9. + p'5 , qui admet les six solutions suivantes . . . (70)'

2 = 2 + 0 + 0, 2=0 + 2 + 0, 2 = 0 + 0 + 2, 2 = 1 + 1+ 0, 2 = 1+ 0+1, 2 = 0+1 + 1. Ainsi, donnant successivement ces valeurs aux trois exposants pi , pi, la

présente formule (69) fera obtenir la fonction . . . (71)

(*) Dans l'opuscule de 1812, nous désignons ces quantités V par la lettre S

clx RÉFORME DE LA

v> = -Jr-fè + S + S) + 4/ 4i. -fe-g» + 5.;.5s + W3) • i i . i

11 s'ensuit, d'après cette construction générale (66) et (67) des fonctions auxiliaires (65) , qu'elles seront toujours des fonctions symétriques des parties constituantes £t , £2, £3, . . . ^OT ï5 qui entrent dans la forme absolue (5o)IV des racines des équations.

Ayant construit de cette manière , pour toute équation (68) du degré m , les w ou m"'~2 fonctions symétriques Wt , , W3 , . . . W , on formera avec elles, par le procédé suivant, l'un des éléments des équations fondamentales qui donneront les quantités en question £t , £a ,, £3, etc., c'est-à-dire, les parties constituantes des racines (5o)lv de l'équation générale (68). — D'abord, on formera les quantités constantes . . . (72)

M1 = tv" *"\, M2 = !v M3 ==

etc. , et généralement = ;

l'indice (/. étant un nombre entier et positif, entre les limites 1 et u inclusivement. De plus, prenant la suite de 10 nombres, qi , qi , 9 3, . . . çw, on formera l'équation indéterminée . . . (7 3)

\ — qi + 2.92 + 3.çr3 + 4'<?4 • • + w.^w , le nombre ~k étant de même un nombre entier et positif, entre les limites 1 et to inclusivement ; et l'on fera . . . (74)

k = qi + qi + 7 3 + qi . . . + qu . Ces quantités auxiliaires étant formées , on construira , avec elles et avec les fonctions symétriques (65) , déterminées par les formules (66) et (67) , une nouvelle suite de o> fonctions . . . (75)

> > ®ïm » ■ ■ • jusqu'à £l„m ,

d'après l'expression générale . . . (76)

w A (X) j (-^nf^M^f.jM^f .(M3.V3)'3 . ■ . (MM.YM)

r j . ytf£T . < ; ; ;

' ° I q\\l qi\l qa\\ îH1

la caractéristique AgrS^ désignant ici l'agrégat des termes correspondant à toutes les valeurs entières et positives, y compris zéro, des quantités qi , «72, ^3, . . . qw , qui satisfont à l'équation indéterminée (73). Par exemple, pour l'équation du cinquième degré, où w = 5, et par conséquent w = 53=i25, et pour l'indice ~k = 4, l'équation indéterminée (73) sera . . . (77) 4 = qi + 2.92 + 3.^3 + 4.^4 . . . + 125.9(125) ; et elle n'admettra que les cinq solutions suivantes . . . (77)'

qtu

PHILOSOPHIE. clxj Prenant donc successivement ces valeurs pour qi , qi , <y3 , q4, et construisant les quantités k et M,, M2, M3 , etc., d'après les formules (y4) et (72) > l'expression générale (76) fera obtenir la fonction . . . (78)

En ne perdant pas de vue que les quantités *Fr , V2 , W3 , etc. , sont des fonctions symétriques des parties constituantes \l , £a, ?3, etc., des racines (5o)lv des équations (68), on voit que les w quantités (7^), savoir, fîn{, ^2,„5 ^3,„> etc., qui , d'après leur expression générale (76) , sont formées des quantités W , V2 , W3 , etc. , sont également et essentiellement des Jonctions symétriques de ces mêmes parties constituantes £t , £a, £3, etc., qui entrent dans la forme absolue (5o)IV des racines x , .z2 , .r3 , etc., des équations. — Or, comme telles, ces fonctions symétriques H , £î2TO, ^3,„> etc., qui sont encore indépendantes des racines x , .r , ar, , etc. , de l'équation (68) qu'on doit résoudre , et qui ne reçoivent ainsi leur détermination que de la nature propre des quantités £r , £2, £3 , etc., forment manifestement un des éléments des équations fondamentales qui doivent faire connaître ces dernières quantités \ , £2 , £3 , etc.

On prévoit alors que le second de ces éléments doit être formé par des fonctions symétriques des racines elles-mêmes xx , x^, , etc. Et en effet, ces deuxièmes fonctions symétriques sont nos fonctions alephs , telles que nous les avons d'abord fait connaître dans notre Philosophie des Mathématiques , et telles que nous venons d'en produire . les lois dans notre Méthode téléologique de la résolution des équations (*). — Or, en conservant à ces fonctions alephs, telles qu'elles se rapportent ici à la présente équation générale (68) , la notation simplifiée que, dans la Méthode téléologique, sous la marque (6), nous avons adoptée pour ces fonctions nouvelles , concevons la suite des premières wm de ces fonctions alephs à exposants positifs , savoir . . . (79)

Kf», «(3), «(4), . . • jusqu'à

et ce seront là les quantités qui formeront le second élément des équations fon-

(*) Sous le litre de Résolution générale îles Équations, etc., comme Addition à la Reforme des Mathématiques, nous publions, immédiatement après cetle Réforme , vers le commencement de 1848, un ouvrage où, pour la complète solution de cette grande question, nous réunissons la méthode téléologique, produite ainsi, par anticipation sur le troisième des ouvrages annoncés, à la tète de la Réforme des Mathématiques, dans son Programme scientifique, nous réunissons, disons-nous, cette mélliode spéciale ou téléologique avec la présente méthode fondamentale ou philosophique , qui , produite également par anticipation sur le cinquième de ces ouvrages annoncés, doit être publiée, dans le Supplément de la Réforme de la Philosophie , formant le second tome de la Réforme absolue du Savoir humain.

xxj

clxij RÉFORME DE LA

damentales en question, de ces équations qui donneront les quantités ^ , £2 , ;3 , etc. , dont il s'agit de découvrir la nature algorithmique.

Avant de procéder à la formation de ces équations fondamentales, pour lesquelles nous venons de fixer, sous les marques (75) et (79), les deux éléments H et , nous devons prévenir que , dans l'équation proposée (68) , nous supposons le coefficient Am = 1 , et le coefficient Aw I = o, et par conséquent, que c'est à cette forme de l'équation générale (68) que se rapportent toutes les formules que nous donnons ici. — Nous aurions pu conserver le coefficient Am t dans toute sa généralité, mais les résultats seraient devenus beaucoup plus prolixes que ne le mérite cette généralisation , qui d'ailleurs ne présente notoirement aucun avantage. — Il est sans doute superflu de faire ici remarquer préalablement que les présentes fonctions alephs (79), comme fonctions symétriques des racines xx , x% , etc. , de l'équation proposée (68) , se trouvent déterminées immédiatement par les seuls coefficients A0 , At , A2 , A3, etc., de cette équation générale (68), comme elles le sont effectivement par les susdites lois de leur génération, qui, sous les marques (7), (9), (174) et (175), sont données dans notre Méthode téléologique.

Or, pour en venir aux équations fondamentales en question , si l'on forme la quantité . . . (80)

n =: m.((ù — 1) = m.{mm~* — 1) ,

et si l'on réunit les deux éléments (75) et (79), on aura, entre ces éléments, les m équations suivantes . . . (81)

0 = tf(«+i).£20— X(n).Clx + i).Ga — fc(n — a).flj . . . + (

o = $(n+2).no — *Î(k+i)A + tf(")A — »(»— 1).«3 ...+(•

0 = tf(#l + 3).ft0 — «(n + a).^ + X(n+i),at — «(»).ft3 ...+(•

o = + m).aQ — #(n + rn — i).Qf + $(n + m — a).H2 . . . + (— 1)™".

en observant, d'abord pour les quantités fi, qu'en vertu de l'expression générale (76), on a fi = 1 , et que toutes celles des quantités £ll , fi2 , fi3, etc., dont les indices 1 , 2 , 3 , etc. , ne sont pas multiples de m , doivent être considérées comme zéro , et ensuite pour les quantités , qu'en vertu des formules (16) et (18) de la Méthode téléologique, on a ^ (o) = 1 , et toutes les fonctions alephs à exposants négatifs, depuis $$( — 1) jusqu'à 5î ( 1 — m) , sont zéro .

Telles (81) sont donc les équations fondamentales du grand problème que nous traitons. — En effet , ces équations contiennent , dans les éléments fim , Oîm, fi3m , etc., des fonctions symétriques des parties constituantes ^ , £2 , £3, etc., des racines (5o)IV de l'équation proposée (68), et dans les éléments

-ir.s(3-,»).Qttm,

PHILOSOPHIE. clxiij ^(2), i<(3), etc., des fonctions rationnelles des coefficients A0 , At , A2 , A3, etc., de cette équation (68); et elles établissent, entre ces quantités, leur relation primitive et absolue.

Or, le nombre des équations (81) étant et celui des quantités inconnues £i> ^j) £35 • • • E,„iî n'étant que (m — 1), on voit qu'en éliminant, entre ces m équations , [m — 2) de ces dernières quantités , on parviendra à deux équations . . . (82)

o = Po + P,.£ + P2.f + P3.S3 + P4.£4 + etc.,

o = Q0 + QA + Q242 + Q3^3 + %-t + etc.,

contenant chacune une des [m — 1) quantités £t , £ , . . . dont

il s'agit. Nous désignons ici généralement par £ celle de ces (/» — 1) quantités , qui sera contenue dans les deux équations finales (82).

Prenant alors le plus grand diviseur commun de ces deux équations finales (82), on obtiendra une équation réduite . . . (83)

o = Y0 + YX.Ç + Y2X + Y,X . . . + ¥,„,. jf"1 ,

qui sera du degré (m — 1) ; et observant que les (/m — 1) quantités £t, ?2, £3, . . . £ra l} entrent d'une manière symétrique dans les équations fondamentales (81), on comprendra que les (m — 1) racines de l'équation réduite (83), seront immédiatement les valeurs des (m — 1) quantités £t, £2, . . . \m x qui sont en question.

Telle est littéralement la solution rigoureuse que, déjà en 181 2 , dans le susdit opuscule sur la Résolution des Equations , nous avons donnée de ce grand problème. — Malheureusement , la démonstration de cette solution décisive , quelque facile qu'elle soit en elle-même , n'a pu être donnée à cette époque , parce que , comme on vient de le voir , sa base ou son principe fondamental est la forme absolue (5o)IV des racines des équations; forme que nous ne pouvons établir qu'aujourd'hui , en la déduisant de notre réforme des mathématiques, nommément, du problème - universel , constituant la deuxième des trois lois fondamentales que cette réforme philosophique apporte actuellement à la grande science du géomètre. Et partant de ce principe fondamental (5o)lv, la déduction ou la démonstration de la présente solution finale (81) , (82) et (83) du problème des équations , est , non-seulement facile , comme nous venons de le dire , mais de plus tellement manifeste qu'elle établit immédiatement la vérité de toutes les conditions de cette solution décisive, et qu'elle découvre même que c'est là la solution absolue , et par conséquent la solution unique de ce grand et difficile problème.

Ainsi , le nombre immense des termes qu'implique inévitablement cette solution finale et absolue (83) , et qui la rend en quelque sorte impraticable , explique l'impuissance des efforts que les plus grands géomètres ont faits pour

clxiv RÉFORME DE LA

résoudre les équations. Néanmoins , quelque immense et impraticable que soit le nombre des termes qui concourent ainsi essentiellement à la présente solution linale (83), ce nombre n'empêche nullement que, sous le point de vue théorique, cette solution ne soit parfaitement satisfaisante à notre raison, en établissant d'une manière positive, que les racines des équations, quelque compliquée que soit leur détermination , existent réellement sous une forme finie. — Bien plus, cette solution décisive (81) à (83) découvre déjà la nature même de cette forme finie des racines des équations , comme nous le disions assez clairement dans l'opuscule de 1812 , où nous avons produit cette grande résolution des équations. En effet, après y avoir exposé la construction absolue des présentes lois fondamentales (81) et de leurs corollaires (82) et (83) , nous y avons ajouté , pour la construction relative de leurs éléments , trois procédés auxiliaires , qui alors servaient à compléter cette résolution des équations , et dont le dernier conduit à la connaissance de cette problématique nature de la forme finie des racines , dont il est ici question.

Dans le premier de ces procédés auxiliaires, nous avons donné, en 181 2 , sous les marques (21) et (22), la loi relative pour la génération médiate des présentes fonctions symétriques (y5), savoir, ùm, £\,„, etc., dont la loi

absolue (76) détermine la génération immédiate, celle de chacune de ces fonctions , indépendamment des autres. — Par cette génération médiate des fonctions Çlm , £12(?J , £l5m , etc. , nommément de la dernière par les précédentes , on parvient facilement à leur construction consécutive , sans avoir besoin de recourir, pour chacune de ces fonctions , à la solution de l'équation indéterminée (73). — Dans l'ouvrage présent , où il suffit de signaler la nature absolue de ces fonctions élémentaires Çlm , ù , Çl,m , etc. , telle que la détermine leur expression générale et absolue (76), nous pouvons nous dispenser de reproduire leur loi relative , qu'il n'est pas nécessaire de connaître ici , et que le lecteur, s il veut la connaître, pourra trouver dans 1 opuscule de 1812, où nous lavons donnée, et où il trouvera de plus les déterminations initiales des présentes équations fondamentales (81).

Dans le second des trois procédés auxiliaires , nous avons donné , dans cet opuscule de 1812, sous la marque (23), la loi relative pour la génération médiate des présentes fonctions alephs (79), c'est-à-dire, pour la génération des dernières de ces fonctions par les précédentes. — C est cette loi qui se trouve maintenant produite, dans notre susdite Méthode téléologique pour la résolution des équations , sous la marque (7). Nous pouvons donc nous dispenser également de reproduire ici cette loi de la génération médiate des fonctions alephs , d'autant plus que, dans cette même Méthode téléologique, se trouvent déjà données en outre, sous les marques (9), (174) et (175), les lois absolues ellesmêmes, pour la génération immédiate de ces fonctions alephs, c'est-à-dire, de ehacune de ces fonctions indépendamment des autres.

PHILOSOPHIE. clxv Enfin , dans le troisième des procédés auxiliaires par lesquels , dans l'opuscule de 1812, nous avons complété la résolution fondamentale des équations, que nous y avons donnée , nous faisons remarquer que toutes les opérations qui constituent cette résolution des équations , aboutissent à la présente équation réduite (83), c'est-à-dire, à la connaissance des [m — 1) coefficients Y0 , Yi , Y2 , Y3 , . . . Ym 2 de cette équation (83) , en supposant que le dernier Ym z de ces coefficients est égal à l'unité. Et nous y faisons alors remarquer en outre que cette connaissance des coefficients YQ , \ r , Y2 , etc. , de l'équation réduite (83), peut s'obtenir plus facilement, en la déduisant immédiatement des équations fondamentales (81), et peut même s'étendre à la forme des racines, en observant que ces coefficients YQ , Yt , Y2, etc., seront alors donnés par des équations du premier degré. — Pour le bien comprendre , observons d'abord que les deux équations (82) , qui dérivent des équations fondamentales (81) par l'élimination de (7/2 — 2) sur les (m — 1) quantités £a , £3,

. . . \m , demeurent respectivement identiques pour chacune de ces quantités, quelle qu'elle soit, qu'on y laisse subsister successivement 5 et cela par la raison que, dans les équations fondamentales (81), dont on tire ainsi les deux équations (82) , les quantités élémentaires £im , £l2m , Q.im , . . . O , sont des fonctions symétriques des quantités inconnues £r, £2, . . . £,„,■

Il s'ensuit que , pour toutes les éliminations successives de ces dernières quantités , les deux équations (82) , dont les coefficients respectifs Po , Vt , P2 , P3 , etc., et Q0 , Qr , Q2 , Q3 , etc., demeurent toujours identiques, auront chacune, pour leurs racines les ( m — 1) quantités en question £l5 £ , • • • ^t de là vient que le plus grand diviseur commun de ces deux

équations (82), forme l'équation réduite (83) du degré (m — 1), ayant précisément, pour racines, les (m — 1) quantités £l3 £2 , £3, . . . en question. — Mais, par ce procédé, la forme des coefficients Yo , Yz , Y2 , Y3 , etc. , de cette équation réduite (83) , demeure inconnue. El nous ne pouvons alors prévoir que la seule forme des racines £x, £2 , £3, etc., de cette équation (83) , d'après notre présente forme générale (5o)lv des racines des équations. Sans doute, en introduisant alors cette forme des racines £t, £ , etc. , dans la forme générale (5o)lv des racines , dans laquelle ces quantités ç , , ç 2 , £ 3 , etc. , sont des parties constituantes , nous découvrons la forme complète des racines des équations, en reconnaissant que ces racines sont des quantités radicales des ordres supérieurs, nommément d'un ordre (m — 1) correspondant au degré m des équations, c'est-à-dire, des quantités irrationnelles des ordres supérieurs , telles précisément que nous les avons reconnues à priori dans notre Philosophie des Mathématiques (pages 111 et 112), où, en nous fondant déjà sur cette forme finie , nous avons conclu que les équations de tous les degrés peuvent être résolues théoriquement. — Mais , nous pouvons de plus, des à présent, préciser davantage la nature algorithmique des racines des

rxlvj RÉFORME DE LA

équations, en déterminant, par les présentes équations fondamentales (81), la tonne des coefficients YQ , Yx , Y2 , Y3 , etc. , de l'équation réduite (83) ; forme que nous pourrons maintenant, par la génération primitive (49)' des racines !; ., £ 2 ' £3 » etc- > ^e cette équation réduite (83) , réaliser positivement , d'une manière indépendante des équations fondamentales (81) ; ce qui nous conduira ainsi, d'une manière directe et finale, à la solution définitive du grand problème de la résolution des équations.

En effet , dans les équations fondamentales (81) , les fonctions élémentaires , £l^m , Çl3m , etc. , qui , dans leur construction (76) , sont formées par les fonctions symétriques (65) et (66) , et qui , comme telles , sont ainsi elles-mêmes de pareilles fonctions symétriques des quantités £t , £2 , £3 , etc., c'est-àdire , des racines de l'équation réduite (83) , ces fonctions élémentaires et (76) , disons-nous , pourront conséquemment être exprimées par les coefficients Y0 , Y£ , Y2 , Y3 , etc. , de cette équation réduite (83) dont les quantités E l , £2, £3, etc. , sont les racines. Alors, les équations fondamentales (81) ne contiendront, dans les éléments H, rien autre que ces coefficients YQ, YI? Y2, Y3, etc. , de l'équation réduite (83) , et dans les éléments fr? , rien autre que les coefficients donnés AQ, At , A2, A3 , etc., de l'équation proposée (68) qu'il s'agit de résoudre. Et comme le nombre des équations fondamentales (81) est m, et celui des coefficients Y0 , YI , Y2 , Y3 , etc., est seulement (m — 1), on pourra éliminer, entre ces équations fondamentales , (m — 2 ) de ces coefficients inconnus , et l'on obtiendra ainsi , pour résultat de cette élimination , à la place des deux susdites équations finales (82) , deux nouvelles équations finales .

o = M0 + Mr.Y + M2.Y2 + M3.Y3 + M4.Y4 + etc. , o == N0 + Nt.Y -+- N2.Y2 -+- N3.Y3 + N4.Y4 + etc. , qui , l'une et l'autre , contiendront celui des coefficients inconnus YQ , Yr , Y2 , Y3 , etc., qu'on n'aura pas éliminé, et que nous désignons ici généralement par \. Mais, parmi les racines Y de ces deux équations finales (84) 5 il ny aura, dans chacune de ces deux équations , qu'une seule racine qui sera ce coefficient Ym p qu'on laissera ainsi subsister. Donc , en prenant le plus grand diviseur commun des deux équations finales (84) , ou bien , ce qui reviendra au même , en éliminant, entre ces deux équations (84), les puissances supérieures de leurs racines Y, on obtiendra , pour la détermination du coefficient Ym en question , une équation du premier degré , de la forme . . . (85)

o = (M) + (N).Ym p ; les coefficients ( M ) et ( N ) étant des fonctions rationnelles des coefficients Ac , A , A2 , A3 , etc., de l'équation générale (68) qu'il s'agit de résoudre, et l'indice (m — p) de la quantité Ym désignant généralement celui des coefficients Y8 , Yt , Y2 , Y3 , etc. , de l'équation réduite (83) , que l'on aura laissé subsister

PHILOSOPHIE. ckvij dans les susdites éliminations alternatives de ( m — 2 ) de ces [m — i ) quantités inconnues, entre les m équations fondamentales (81).

Bien plus , nous pouvons même prévoir déjà la forme des fonctions rationnelles (M) et (N) des coefficients AQ , Ar , A2 , A3, etc. En effet, considérant que lorsque le premier AQ de ces coefficients devient zéro , l'équation proposée (68) du degré m devient une équation inférieure du degré (m — i) , on conçoit que l'équation réduite (83), dont les (m — i) racines £r, £2, £3, . . . \m , sont les parties constituantes des m racines (5o)IV de l'équation proposée (68) , doit alors devenir impossible réellement, quoique, à cause de sa généralité, elle ne cesse d'être vraie idéalement ; ce qui ne peut se faire qu'autant que les coefficients Y , Y , Y2 , Y3 , etc. , de cette équation réduite (83) deviennent alors des nombres infinis. Nous en concluons immédiatement que les fonctions rationnelles (M) et (N) qui, dans l'équation finale (85), servent à déterminer ces coefficients Ym de l'équation réduite (83), doivent avoir la forme . . . (86)

A° Ao A0 Ao

les coefficients présents (M)o, (M),, (M)a, etc., et (N)c, (N)r, (N)2, etc., étant des fonctions rationnelles des autres coefficients At , A2 , A3 , A^, etc., de l'équation proposée (68), et pouvant même contenir le coefficient Ao, lorsque ces développements des fonctions (M) et (N) ne sont pas complets. — Ainsi , en faisant auxiliairement . . . (87)

les coefficients YQ , Yt , Y2 , Y3 , etc. , de l'équation réduite (83), auront , en vertu de l'équation finale (85) , la détermination générale . . . (88)

'"~P (N)0 + (N)t.H + (N)2.tf + (N)3.I13 . . . + (N)t.Ov

c'est-à-dire, la forme finie de la génération-neutre, dans laquelle le nombre v, qui peut parfois être zéro , est toujours plus petit que le nombre (/. .

Or, comme nous l'avons annoncé plus haut, c'est cette forme finie (88) de génération-neutre que nous pouvons maintenant , pour la détermination des coefficients Y , Yt , Y , Y3 , etc. , de l'équation réduite (83) , réaliser positivement , d'une manière praticable et même très-facile , indépendamment des immenses équations fondamentales (81), c'est-à-dire, directement par la génération primitive (49)' des racines £ , £2, £3, etc., de cette même équation réduite (83), dont les coefficients en question YG , Y, , Y2 , Y3, etc., sont notoirement,

ckviij RÉFORME DE LA

il aptes la loi de Harriot , des fonctions symétriques. — Nous allons le faire effectivement.

Avant tout, résumons ici, dans leurs résultats, les déterminations que, par l'application du problème-universel, de cette deuxième loi fondamentale des mathématiques , nous avons obtenues plus haut pour la génération primitive des parties constituantes , £2, £3, etc., de la forme absolue (5o)IV ou originairement (49)" des racines des équations, nommément des racines de l'équation générale (34) ou (68) d'un degré quelconque m, savoir, de l'équation . . . (89) o == A0 A.t'.x -h A2..z2 + A3.*3 . . . + Am.xm ,

dans laquelle nous supposons toujours le coefficient Am =1. Et nous aurons ainsi , en vertu des déterminations (49)' et (5o)"', en laissant subsister, dans toute leur généralité, tous les autres coefficients AQ, At , A2 , . . . Am 1 de l'équation (89) , nous aurons alors , disons-nous , pour la détermination des parties constituantes £t, £2, £3, etc., en question, qui sont les racines de l'équation

réduite

(83) , les expressions définitives

= j si"> + s<> + sf'.e*

-H etc. 1 j

li =

. j si" + s».e + s';».©1

+ si-.e4

+ etc. 1

• j s? + sf.e + sf.e"

-+- etc. •>

,)"' = j si"-" + s("-,:

la quantité 0 étant formée de la susdite (8 y) quantité ù, d'après laquelle procède la génération-neutre (88) des coefficients en question Y/n de l'équation réduite (83), savoir . . . (91)

et les quantités étant données par l'expression générale (52)", d'après la-

quelle la forme générale des présentes parties constituantes £2, E3, etc.,

pour un indice quelconque i , sera . . . (92)

(B£)- = (A0)\ j H<f) + H(;'}.0 -f H2'U2 + H^'.03 + H^.04 + etc.

forme dans laquelle les quantités H, pour un indice quelconque pi, auront l'expression générale . . . (93)

= (0 1 Ar .A2 .A3 . . . Aw, x

I (Xl|l (A2|l |*(w — l)|l

PHILOSOPHIE. clxix l'agrégat, désigné par AgrS'^ , étant formé des termes correspondant à toutes

les valeurs entières et positives, y compris zéro , des indices pu, (X2, u.3 , . . . \J.{m — i) , donnés par l'équation . . . (94)

\l = jai + p.2 -f- pt.3 . . . — i) ;

à toutes celles, disons-nous, de ces valeurs qui forment le nombre . . . (95)

i -f- 1 + 2.[A2 -+- 3.[/.3 . . . + (m — 1 ).(/.(/« — 1) = km + 2 ,

dans lequel i est un nombre entier positif, toujours plus petit que m , et k le nombre entier qui complète cette égalité, en observant que c'est précisément le présent nombre i qui forme l'indice de la quantité H^ qu'il s'agit ainsi de construire, et en observant de plus que, lorsque cette égalité ou équation (9 5) ne peut se réaliser avec un nombre donné /, le terme correspondant H^ est zéro. — D'après cette construction (93), on voit que les quantités H peuvent contenir la puissance positive ( — A0 y , de sorte que la génération (92) des parties constituantes n'est pas une simple Série, c'est-à-dire, une suite purement technique , ordonnée par rapport aux seules puissances progressives de

la susdite quantité fi = [ -j— ] , et par conséquent que cette génération (92)

\Ao/

des quantités £■ implique déjà de véritables fonctions théoriques.

Or, pour avoir maintenant l'équation réduite (83), c'est-à-dire, pour pouvoir y déterminer les coefficients Y0 , Yt , Ya , Y3 , etc. , désignons-les de la manière que voici . . . (96)

+ Q0 , Ym 2 = — Q, , Y„,3 = + Q2 , . . . Yo = (- , )'"" c'est-à-dire généralement . . . (96)'

Y,„p = (-O'-'.Qp., ;

et l'équation réduite (83) , en y supposant toujours . . . (96)"

sera . . . (97)

= i — Qt>Z + QA — Q3-S . . . + (— 1) -Qm x-

et elle offrira immédiatement l'expression de la loi de Harriot , c'est-à-dire, l'expression de ce que les coefficients présents Q( , Q2 , Q3, . . . Q,„, constituent les quantités suivantes . . . (98)

Qt = somme des racines Ç,, Ça, Ç3, . . . lm l, Q = somme de leurs combinaisons de deux à deux , Q3 = somme de leurs combinaisons de trois à trois , etc. ; et généralement

Q — somme de leurs produits résultant de la combinaison de ces racines , en les prenant de (/. à p. .

clxx REFORME DE LA

Et comme tels , ces coefficients sont des fonctions symétriques des racines \ , , £ , £3, . . . fonctions que l'on peut notoirement déterminer par les

sommes des puissances de ces racines. En effet, si l'on forme généralement ces puissances , pour un exposant quelconque %} , savoir . . . (99)

P~ = ^ + ^ + ^3 ' • ' + ; on aura notoirement , d'après les formules de Newton , pour les coefficients en question Qt , Q2 , Q3 , etc., les expressions . . . (100)

Qt = p,,