Q4 = Pt.Q3 - P2.Q2 + Pj.Q, - P4 , etc. , etc

On peut même , d'une manière générale , pour un indice quelconque X , exprimer immédiatement ces coefficients Qx , Q2 , Q3 , etc., au moyen des sommes de puissances Pj , P2 , P3 , etc. , par la formule . . . (101)

( r ,\h p?i vq2 p?3 p?x J

iqt 2?a 3?3 X?X (i?x'' i^2'1 i?3'r i^'1) )

en désignant, par la caractéristique ÀgrS^\ l'agrégat des termes correspondant à toutes les valeurs entières et positives, y compris zéro, des exposants qi , 92, ç3 , . . . <jrX, qui satisfont à l'équation indéterminée . . . (102)

X = qi + 2.^2 + 3.^3 + 4-^4 • • • +X'ÇX, et qui , pour chaque solution de cette équation , c'est-à-dire , pour la détermination du signe de chacun des termes du présent agrégat , donnent l'exposant . . . (io3) £ = + «72 + <^3 . . . + q~k ;

et en ne perdant pas de vue que , d'après la transformation de l'équation réduite (83) en la présente équation (97) , l'indice ~k est compris entre les limites X = o et X = m — 1 , et par conséquent que , d'après la relation (96) et (96)' de ces équations réduites et identiques (83) et (97) , on a , entre leurs coefficients respectifs Y et Q, l'égalité . . . (io4)

YOT i x = (-0X.Qx> par laquelle la présente formule (101) pourra être attribuée à la détermination immédiate des coefficients Y0 , Yt , Y2 , Y3 , etc. , de la primitive équation réduite (83).

Il ne reste donc , pour obtenir la connaissance complète de ces coefficients YQ , Y , Y2 , Y3 , etc. , en question , qui , sous leur forme fondamentale (88) de génération- neutre , doivent accomplir la solution générale des équations, il

PHILOSOPHIE. clxxj ne reste, disons-nous, qu'à déterminer les quantités P , P , P,, etc., qui sont les éléments des formules finales (100) et (101) , c'est-à-dire, les sommes des puissances des racines Ç , £2, £3, etc., de l'équation réduite (83) ou (97), telles que ces sommes sont indiquées par leur expression générale (99). — Et cette dernière détermination ne présente plus aucune difficulté, lorsque, comme nous l'avons obtenue plus haut , par l'application du problème-universel , nous avons déjà, sous la forme finale et entièrement accomplie (92) et (93), la génération primitive et rigoureuse de ces racines Et, £2, E3, etc., de l'équation réduite (83) ou (97) dont il est question. En effet, suivant cette forme finale (92) et (93), nous aurons, pour la puissance quelconque t3 des racines en question Çt, £a , £3, etc., l'expression générale . . . (io5)

Ç = (g.)"» = (A0ff.jH« + H?.© + Hi0.©2 + H3°.©3 +

H, .0 + etc. , etc.

dans laquelle, en développant le polynôme sous la forme . . . (106) | Hi° + H?.e + H,0.© + H3°.03 + etc. , etc.

= (Hf + W®. 6 + W^.02 + W?.03 + Wf.©4 + etc., etc. ,

nous aurons, en vertu des formules (324)' et (324)'' de notre Philosophie de la Technie algorithmique (deuxième Section, page 240), pour les coefficients W2'), etc., de ce développement, l'expression générale . . . (107)

( xSm

,(H») .A[(la-2),2]

^— ^ -lHo J -Aid*-3)' 3J

jj(') ri(') jj(') jj(')

dans laquelle on a généralement , pour un indice quelconque p, les valeurs . . . . (108)

en désignant , par la caractéristique Agr. , l'agrégat des termes correspondant aux valeurs entières et positives, depuis l'unité inclusivement, des indices qi , qi , qZ , . . . çp, qui satisfont à l'équation . . . (109)

xxij.

ckxij RÉFORME DE LA

[jl = qi + qi + qZ . . . 4- <7P . (1 faut remarquer que, dans le cas où le premier terme du polynôme

Ci 06) serait zéro, on aurait en vertu de l'expression générale (107) des coefficients W^*' du polynôme résultant, pour ces coefficients, le seul terme où l'exposant de (H^')) serait zéro, c'est-à-dire, on aurait généralement . . . • • • (IIQ) wj? == A[({jl — Jim) y xSm] ;

l'indice u. étant nécessairement plus grand que l'exposant xàm , ou du moins égal à cet exposant; l'équation indéterminée devenant alors . . . (m) = qi + qi + q?> . . . + q(x6m) . On obtiendra donc , de cette manière , pour les puissances (io5) des racines £ , \ , £ 3 , etc. , de l'équation réduite (83) ou (97) , dont il est question , la détermination complète et générale . . . (112)

«T = («,)- = (-A0f.\(H?)"" + wf.e + wf.e* + wf.e5 +

+ Wv4;.0 + etc. , etc.

Nous regrettons que l'espace et le temps , dont nous pouvons disposer pour cet ouvrage , ne nous permettent pas de joindre ici quelques développements suffisants des derniers agrégats (108) et (110), pour que la présente détermination (112) des puissances des racines £2, £3, etc., se trouve déjà entièrement développée. Mais la formation de ces agrégats (108) et (110), en suivant la méthode de Hindenbourg, est tellement facile que ce serait grossir inutilement cet ouvrage. D'ailleurs, quel que soit le moyen par lequel le lecteur opère le développement de la puissance (x$m) du polynôme (106), il parviendra toujours très - facilement à la détermination finale (112) des puissances des racines | , £2, £3, etc., dont il est question. — Et alors, pour la somme générale Pot de ces puissances, d'après son expression (99), nous aurons la détermination . . . (11 3)

0[(-*.)"-i(<r + *?•• + <.•* + WJV + etc., etc.j] ;

en désignant, par la caractéristique la somme des termes correspondant

aux valeurs entières de l'indice i , depuis i = 1 , jusqu'à i = m — 1 .

Connaissant donc ces sommes Pw des puissances trf des racines £ , \ > £3 ? etc. , sommes que l'on peut maintenant déterminer d'une manière praticable , et même avec beaucoup de facilité, en poussant les développements (n 3) à tel degré de la puissance de 0 que l'on voudra , on obtiendra , avec tout autant de facilité, soit par les formules médiates (100), soit par la formule immédiate (101), la détermination des coefficients Qt , Q2, Q3, etc., de l'équation réduite (97), ou bien, en vertu de leur relation (96), les coefficients YQ, Y[ ,

PHILOSOPHIE. clxxiij Y2 , Y3 , etc., de la primitive équation réduite (83). — Il ne reste donc, pour accomplir la résolution générale des équations , qu'à ramener ces présentes déterminations des coefficients Y0 , Yt , Y2, Y3, etc., à leur forme théorique (88), c est-à-dire , à la forme d'une génération-neutre finie , qui résulte des équations fondamentales (81) de cette grande question.

Pour cela, observons d'abord qu'en vertu de la relation (91) des quantités 0 et H, si l'on forme les quantités V^, V^1', V3'\ etc., par la relation générale . . . (114) w(')

la présente détermination (11 3) des sommes de puissances Pw, prendra la forme . . . (n5)

= ^[(-aj-'". |(<f '+ v®,o + vl'U2 + vj?.ns + vf.n4 + etc., etc.j]

et elle procédera ainsi par rapport aux puissances progressives de la quantité il , par rapport auxquelles procède l'expression théorique (88) des coefficients

Yw j de sorte qu'en introduisant ces développements (n 5) dans les formules

(100) ou (101), les présentes déterminations de ces mêmes coefficients Qt , Q2 , Q3, etc., ou bien YQ, Yr, Y2, Y3 , etc., prendront la forme . . . (116)

p = (-i^-'.Qp., = U0 + U..O + U2.n2 + U3.^3 + U4..Q4 + etc., etc. et elles procéderont ainsi également par rapport aux puissances progressives de la quantité £2 , par rapport auxquelles procède la forme théorique (88) de ces coefficients de l'équation réduite (83). — ■ Observons ensuite que, si l'on développe en série la génération-neutre (88) qui est la forme théorique des coefficients Ym dont il est question, elle prendra la forme indéfinie . . . (117)

Y,„p = ZQ + Zt.n + Z2.tf + Z3.n3 + Z4.ft4 + etc., etc., qui , considérée purement comme forme algorithmique , est parfaitement identique avec la forme indéfinie (116) que nous obtenons, pour les mêmes coefficients Ym p, par la présente application du problème -universel. Et comme, d'après les lois fondamentales (81) de cette grande question de la résolution des équations , il ne saurait y avoir qu'une seule équation réduite (83) , et par conséquent qu'une seule valeur de ses coefficients Y0 , Yt , Y2 , Y3 , etc. , il est manifeste que les deux déterminations distinctes de ces coefficients , savoir, la détermination théorique (117), par le moyen des lois fondamentales (81), et la détermination technique (116), par le moyen du problème-universel, sont complètement identiques, non- seulement dans leur forme, mais aussi dans leur contenu algorithmique. — Nous conclurons donc que la présente détermination (116) des coefficients Y , Y , Y2 , Y3 , etc., de l'équation réduite (83), détermination que nous obtenons ici par l'application du problème - universel , est

rkxiv RÉFORME DE LA

immédiatement la détermination (117) qui résulte du développement en série de la forme théorique (88) de ces mêmes coefficients. Et nous reconnaissons ici , en même temps, qu'en absence de cette forme théorique (88), dont l'obtention est impraticable , surtout pour de grands degrés m des équations , rien autre que le problème-universel , comme deuxième loi fondamentale des mathématiques , ne pouvait conduire à la découverte du développement immédiat en série (117) de cette mystérieuse forme théorique (88) des coefficients Y0, Yt, Y2 , Y3 , etc., dans l'équation réduite (83), à laquelle aboutit la résolution générale des équations.

Il ne reste donc qu'à revenir de la série (117), que nous venons d'obtenir dans l'expression (116), à la forme théorique (88) de la génération-neutre dont cette série (117) ou (116) est le développement. Et ce retour d'une série à la génération-neutre de la quantité dont cette série est le développement, est aujourd'hui la chose du monde la plus facile , par le moyen de notre théorie de la génération-neutre des quantités , telle que nous l'avons d'abord produite et déduite à la fin de la seconde Section de la Philosophie de la Technie algorithmique (pages 529 à 636), et telle que nous l'avons reproduite récemment dans la Réforme des Mathématiques , nommément dans son Complément (pag. vj à xxxiij , et pages lxx à lxxij ) , où nous avons même déterminé déjà , sous la marque (774)5 les cinq premiers degrés, et sous la marque (797), le sixième degré de cette progressive génération-neutre de toute fonction problématique Fx , à l'aide des coefficients AQ , Ar , A2, A3 , etc. de la série générale (765), savoir, de la série . . . (118)

Fx = AQ + At.(<p.r) + A2.(<p^)2 + A3.(9^f + A4.(ç.r)4 + etc., etc.,

par laquelle cette fonction Fx est donnée. Bien plus, dans l'ouvrage présent, sous les marques (67) à (60)", nous avons reproduit en partie, et même appliqué déjà cette théorie de la génération-neutre des quantités, par laquelle nous pouvons maintenant retourner ou remonter de la série (117) ou (116) à la forme théorique (88) de la génération -neutre des coefficients Y0, YI , Y2 , Y3 , etc. , de l'équation réduite (83) dont il est ici question. Et comme , en vertu des lois fondamentales (81), ces coefficients Y0, Yr , Y2, Y3 , etc., sont toujours des quantités réelles, et non des quantités idéales (imaginaires), il n'est pas absolument nécessaire , pour avoir leur génération - neutre , de se servir de la présente expression générale (60) et de ses deux équations complémentaires (60)' et (60)". Les seuls rapports présents (59)"' des médiateurs (59)", suffiront complètement pour donner cette génération -neutre en question des coefficients Y0 , Y , Y2 , Y3 , etc. , avec une exactitude progressive , de plus en plus grande , jusqu'à l'exactitude rigoureuse qui est inhérente à la forme théorique (88) de ces coefficients , à cette forme théorique que l'on peut ainsi , si on le veut absolument, reproduire complètement.

PHILOSOPHIE. clxxv Mais , cette reproduction complète de la forme (88) ne saurait offrir ici qu'une satisfaction théorique, en tant que, par la présente application du problème-universel , on pourrait ainsi parvenir à la détermination rigoureuse de cette forme problématique (88) , telle qu'elle est fixée par les lois fondamentales (81) de cette grande question de la résolution des équations. Sous le point de vue pratique, cette rigoureuse forme (88) des coefficients Y0 , YI , Y2 , Y3 , etc. , en question , ne saurait offrir une utilité réelle , à cause du nombre considérable , et , pour ainsi dire , immense des termes qu'elle contient , surtout lorsque les degrés m des équations deviennent de plus en plus grands. Bien plus , si l'on avait réellement cette forme théorique (88) bien déterminée, il faudrait, pour pouvoir l'utiliser, commencer par la développer en la série (117), et revenir ensuite de cette série à la progressive génération -neutre (%)"' du coefficient Ym que cette forme (88) sert à déterminer ; car, à l'instar des fonctions alephs qui, dans notre méthode téléologique, servent à donner progressivement , par leurs exposants de plus en plus grands , les différents degrés progressifs de la solution théorique ou algébrique des équations, les présents degrés progressifs (59)"' de la génération -neutre des coefficients Y/n __ offriraient de même , dans la présente méthode fondamentale , les degrés progressifs de la solution théorique ou algébrique des équations , jusqu'à leur solution rigoureuse , en parvenant ainsi , par cette progressive génération -neutre , jusqu'à sa forme théorique et absolue (88). — Or, c'est précisément ce procédé utile que nous suivons ici immédiatement, en partant de la série (116) que nous donne l'actuelle application du problème- universel , et qui est identique avec la série (117) que donnerait le développement de la forme théorique (88), et en transformant notre présente série (116) en ses degrés progressifs de génération-neutre , jusqu'à son degré extrême ou final qui , si on le voulait absolument , reproduirait la forme théorique et rigoureuse (88) des coefficients Ym en question.

Ainsi , sans avoir besoin de construire et de résoudre les équations fondamentales (81), ce qui serait impraticable, pour obtenir la détermination (88) des coefficients YG , Yt , Y2 , Y3 , etc., de l'équation réduite (83), nous pouvons [l'obtenir immédiatement par la présente application du problème-universel, et nous pouvons même l'obtenir ainsi dans tous les degrés progressifs d'utilité pratique ; de sorte que la résolution des équations , sous la forme primitive et fondamentale (5o)IV de leurs racines , se trouve enfin donnée aujourd'hui , nonseulement dans son extrême et rigoureux degré théorique, mais de plus dans tous ses degrés progressifs d'utilité pratique.

Nous pourrions donc terminer ici cette résolution générale des équations , d'autant plus que, non-seulement toutes ses lois théoriques, mais de plus toutes ses règles pratiques , se trouvent déjà données ici , en très-grand détail , et avec une précision telle que toute explication ultérieure devient superflue. Et

Clxxvj RÉFORME DE LA

nous devrions même le faire pour pouvoir vaquer à des productions beaucoup plus graves , à des productions philosophiques , religieuses et politiques , qui doivent accomplir cette réforme du savoir humain. Néanmoins, en considérant que cette résolution générale des équations, que la science n'a pu concevoir, et que la philosophie absolue a pu seule dévoiler, offre par là une espèce de garantie scientifique de cette suprême philosophie absolue, nous allons au moins ouvrir la carrière aux géomètres qui , dans la nouvelle période des mathématiques , voudront exploiter cette riche carrière. Nous allons donc réaliser les matériaux pour cette résolution générale des équations , au moins jusqu'à l'équation du cinquième degré, pour la solution de laquelle la science est demeurée impuissante jusqu'à ce jour, et serait demeurée impuissante jusqu'à l'époque où la philosophie absolue lui aurait dévoilé les principes et les lois fondamentales des mathématiques , comme elle le fait aujourd'hui.

Avant tout, fixons le caractère distinctif de cette résolution fondamentale ou philosophique des équations. Et pour cela, il suffit d'examiner la forme théorique (88) des coefficients Y0 , Yl , Y2 , Y3 , etc. , de l'équation réduite (83) de laquelle dépend cette solution. En effet, on y voit immédiatement que, lorsque l'exposant v de la plus grande puissance de il dans le dénominateur de cette génération -neutre (88), est zéro, cette forme théorique (88) se réduit à son seul numérateur , et elle offre alors , pour la génération des coefficients Y0 , Yt , Ya, etc., même dans son développement (117), une fonction rationnelle et finie; tandis que , dans le cas où cet exposant v n'est pas zéro , la forme théorique (88), quoiqu'elle soit, dans sa génération - neutre , une fonction rationnelle et finie, présente, dans son développement indispensable (117), une génération indéfinie. — Il s'ensuit que, dans la résolution fondamentale ou philosophique des équations , dont il s'agit ici , et que , dans la pratique , on ne saurait atteindre d'abord que par la génération technique (116) des coefficients Yw p de l'équation réduite (83) , il se présente deux caractères distincts , savoir , l'un , lorsque cette génération (116) a une forme finie, et l'autre, lorsque cette même

génération (116) des coefficients Ym a une forme infinie. — Nous avons

déjà prévenu plusieurs fois que le premier de ces deux caractères distingue la solution des équations du second et du troisième degrés , et que le second de ces caractères distingue la solution de toutes les équations dont le degré m est plus grand que trois. Et de là vient précisément que les géomètres, n'étant pas éclairés sur les principes philosophiques de leur science, n'ont pu résoudre que les équations du second et du troisième degrés; car, quoi qu'ils prétendent, en se faisant illusion par la solution d'Euler, ils n'ont pas encore résolu l'équation du quatrième degré , dans la forme primitive et fondamentale (5o)lv de ses racines , parce que cette solution d'Euler de l'équation du quatrième degré n'est rien autre qu'une modification de la solution téléologique de Ferrari , comme nous le leur montrerons ci-après. — Procédons maintenant à la réalisa-

PHILOSOPHIE. clxxvij tion des matériaux que nous venons de promettre de donner encore ici , au moins jusqu'à la résolution des équations du cinquième degré inclusivement.

Commençons par l'équation du second degré , qui , d'après (89) , en y faisant m = 2 , sera . . . (119)

o = AQ + krx x , en conservant ici, dans toute sa généralité, le second terme At.x de cette équation. Nous aurons alors, en vertu de la forme générale (49)"' des racines des équations, pour les deux racines xt et x% de l'équation présente (119), les déterminations . . . (120)

Xx = a0 + ei<Pi = e0 + l/Tr , *« = so + si-p2 = so - ^% ;

dans lesquelles les quantités pi et p2 sont les deux racines carrées de l'unité, et les parties constituantes SQ et S, , dont la dernière , d'après (5o)"', est St = V//Xîi sont données par la loi générale (92). — Or, en y faisant m = 2, et en ayant égard aux conditions (94) et (95) de cette loi , son terme général (93) sera ici (121)

H« = I -^-.fc-..]" -"'-.(- Ao)* le nombre entier k étant déterminé par la formule . . . (122)

où l'on voit immédiatement que , pour 1 = 0, tous les termes H^0 ^ dont les indices [/. sont pairs , deviennent zéro , et réciproquement , pour i = 1 , tous les termes H^ dont les indices [/. sont impairs, deviennent également zéro. Calculant alors, d'après ces formules (121) et (122), tous les autres termes H^ dans la loi (92) , et tenant compte de la valeur (91) de la quantité 0 qui est la fonction génératrice de cette loi (92), on trouvera . . . (i23)

(So)2 = | « - + o + etc. = o j = (- A

5, = (SO' = (-M'!1 + o - -^L- + o — i— + o - - ±— + etc.

o 8. 2 . A0 io.2 . A0

= (-A»)-|--Ti:j = t--a-

et par conséquent, les deux racines (120) de l'équation du second degré (119), seront données immédiatement en fonctions rationnelles et finies , savoir . . . . . (124)

xxiij

a! aÏ a6

clxxviij RÉFORME DE LA

Comme telle , cette solution immédiate de l'équation du second degré appartient à celle des deux classes dont le caractère distinctif consiste en ce que son exécution pratique, à l'aide de la génération technique (116) des coefficients Ym de l'équation réduite (83) , et originairement à l'aide de la loi (92) que suit la génération des racines £2, £3, etc., de cette équation réduite (83), s'opère immédiatement par des fonctions rationnelles et finies, provenant de ce que, dans la forme théorique (88) de ces coefficients Ym p, l'exposant v de la plus grande puissance du dénominateur est zéro , ainsi que nous l'avons annoncé pour la solution de l'équation du second degré , que nous venons d'obtenir de cette manière, et pour la solution de l'équation du troisième degré , que nous allons effectivement obtenir de la même manière.

En faisant m = 3 dans l'équation (89) , nous aurons ici , pour les équations du troisième degré, la forme générale . . . (is5)

o = AG + KL.x + A2..z2 + x3 ;

et sous cette forme , nous pourrions , par les présentes lois (90) et (92) , obtenir sa solution générale , comme nous venons de l'obtenir pour les équations générales du second degré (119). Mais, cette généralité absolue, qui était nécessaire pour la présente solution (i23) des équations du second degré, parce qu'en y faisant l'avant- dernier terme At.^ = o, la solution des équations du second degré se réduirait à une simple extraction des racines carrées , cette généralité absolue , disons-nous , devient ici inutile , et d'ailleurs elle empêche la simplification que , sous la marque (5o)'v, par la détermination (5o)", nous obtenons pour la résolution des équations , en supposant son avant-dernier coefficient Am T = o, et en réduisant par là les m racines xl, x%, jt3, . . . xm de l'équation générale (89) à la simple forme (5o)IV, qui ne dépend plus que des seules (»z — 1) racines ^ , £2, £3, . . . £m 1 de l'équation réduite (83). — Nous allons donc désormais , en commençant par la présente équation du troisième degré, supposer toujours Am t = 0; et cette présente équation (ia5) se réduira ainsi à la forme plus simple . . . (126)

Nous aurons alors , en vertu de la forme générale (49)"' et (5o)[V des racines des équations , pour les trois racines xf , x% , x3 de l'équation présente , les déterminations . . . (127)

PHILOSOPHIE. clxxu

x2 = sr?2 + s2.P2 = pa.i/i; -+- p*.i/ia ,

les quantités pt , p2 , p3 étant les trois racines cubiques de l'unité, déterminées par la formule générale (35)', savoir . . . (128)

** cos(ir) + sin(Jr)*v/-

et les deux parties constituantes S et E2 , ou ^ et £2, étant données par la loi générale (92) , en y faisant m = 3 , et en faisant de plus A2 = o dans l'expression générale (o,3) de ses termes H^\ Et d'après ce que nous avons déjà vu à la marque (62)"', cette expression générale (93) se réduit ici à la forme très-simple . . . (129)

le nombre entier k étant déterminé par la formule . . . (i3o)

en ne perdant pas de vue que , pour toute valeur fractionnaire de k , les termes correspondants H^ sont zéro. Calculant alors, d'après ces formules (129) et (i3o), tous les autres termes H^'' dans la loi (92), et tenant toujours compte de la valeur (91) de la quantité 0, on retrouverait ici, pour les parties constituantes S et 22 , ou \ et £2 , dont il est question, les valeurs que, par anticipation , nous avons déjà obtenues plus baut , à la marque (62)IV, en y procédant de la même manière à leur détermination, savoir . . . (i3i)

(2,) = (-a0) . 1 - -Vrr-rr + "V^-TT - etc" etc" '

( 1 .3 AG x .3 AG \

.« I A, 23'"3 AÎ 56'-3 Aj

(3 V = — A V. i ■ ~ H i 1 etc- > etc-

Or, en faisant auxiliairement . . . i1^2)

et en évaluant les coefficients numériques dans les expressions (i3i), nous au-

wiij.

clxxx REFORME DE LA

ions , pour les puissances xi des racines \x et ^ a , les expressions plus simples

- = lS0 = (~Ao) «

i + -ô-.® — — .«I> -+- -^-.O — etc., etc. 3 9 8i