nj

^ = (a0 = (~Ao) [TJ^j • 1 - t* + 9 ~ etc"' etc'

qui , en faisant successivement xi = i , et xi = 2 , et en appliquant ici la loi (107) de la génération des puissances des polynômes, donneront, pour les puissances des racines £t et £2 , les valeurs suivantes. — D'abord, pour xà — 1 , on obtiendra les valeurs . . . (i34)

= (S,) ■ = ( — Ao)- 1 + * — 0 + 2.* — etc., etc. ,

£2 = (S2)3 = + AD. | $ - + 2.<î>3 — etc. , etc.

Ensuite, pour xS = 2 , on obtiendra les valeurs . . . (i 35)

tt = (S,)6 = A*, j 1 + 2.* — O2 + 2.03 — etc.

i2 = (E2) = A0. * — 2.0 + etc., etc.

Ainsi , d'après (99) , les sommes Px et P2 de ces puissances des racines \ i et Ç , seront . . . (i36)

p2 = s + g = Aô-o + 2.0) = a: -■

Et par conséquent, en vertu des formules (100) et (96), nous aurons, pour les coefficients Y ou Q de l'équation réduite (83) ou (97) , les déterminations . . • • • (i37)

Qx = - Yt = Px - - K ,

Q2 = + Yo = ~~- Px-Qx

de sorte que cette équation réduite (83) ou (97) , provenant de l'équation du troisième degré (126), sera ici (J38)

et elle donnera ainsi immédiatement , pour les racines \ x et £ a , qui , dans les expressions (127), sont les parties constituantes des trois racines xlt .r2 , x$ de l'équation proposée (126), elle donnera, disons-nous, des fonctions finies, savoir . . . (139)

PHILOSOPHIE. clxxxj

ei = ^+V/|£+-iL , e, Ça = -A v/j4 + iL 1 2 (4 27 I 2 '4 27

Gomme telle , cette solution immédiate de l'équation du troisième degré appartient, à son tour, à la classe précédente, à celle dont le caractère consiste en ce que son exécution pratique, à l'aide de la génération technique (no) des coefficients Ym de l'équation réduite (83) , s'opère immédiatement par des fonctions rationnelles et finies , provenant de ce que , dans la forme théorique (88) de ces coefficients YOT p, l'exposant v de la plus grande puissance de son dénominateur est zéro. — Il n'en sera pas de même de la solution des équations de degrés supérieurs au troisième, en ce que leur exécution pratique, à l'aide de la génération technique (116), n'y conduit d'abord qu'au développement indéfini (117) que subit alors la forme théorique (88) des coefficients Ym de l'équation réduite (83) , à cause de la présence réelle d'une puissance v qui , pour ces équations supérieures , se trouve dans le dénominateur de cette forme (88) , et par conséquent en ce que la résolution théorique de ces équations de degrés supérieurs au troisième , ne peut ensuite être opérée qu'en revenant, de cette génération technique (116) ou (117), à la génération théorique des coefficients Ym de l'équation réduite (83) , en passant progressivement par tous les degrés successifs de la génération - neutre de ces coefficients Ym p, jusqu'au degré final que constitue leur primitive forme théorique (88), résultant des équations fondamentales (81) de cette grande question. — Et de là vient, comme nous l'avons déjà fait remarquer, l'impossibilité où la science, privée de ses principes philosophiques, s'est trouvée de donner la solution de ces équations supérieures , à partir de l'équation du quatrième degré ; car, comme nous allons le prouver ici , la prétendue solution de l'équation du quatrième degré par Euler, n'est qu'une modification de la solution de Ferrari, et elle n'appartient ainsi qu'à la solution spéciale ou téléologique des équations , par leur décomposition en facteurs, et non à la présente solution fondamentale ou philosophique , par la détermination immédiate de leurs racines, suivant la forme générale et absolue (5o)IV de ces racines des équations.

En effet, partant de l'équation du quatrième degré . . . (i4°)

et considérant le coefficient A comme zéro, on peut supposer que les quatre racines de cette équation forment les quatre facteurs du premier degré . . .

o = z — [/.il — \/ xi zp \/ xî> , o — z — — \/ x 1 — \z'xri ± \ZHc*>

en supposant que les trois quantités xi , #2, #3 sont les trois racines d'une

clxxxij RÉFORME DE LA

équation du troisième degré . . . (i42)

o = .r1 — P.*2 H- Q.x — R ; car, en multipliant séparément les deux premiers et les deux seconds de ces facteurs, on obtiendra les deux facteurs du second degré . . . (i43)

o = za — - i.X/xi.z + | xi — xi — x3 zf. z.\/x2.xZ | , o =s z2 -+- i.X/xi.z -f- | xi — X2 — x3 ± 2 .\/ xi .xZ j ;

qui sont les deux facteurs de Ferrari , du moins dans leur modification par Descartes, en supposant ainsi A = o dans l'équation proposée (i4°)- — Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer qu'en vertu de la loi de Harriot, on a

ici . . . (144)

xi + xZ = P — xi : xi.xZ = : et de plus

xi r

xz.xS = Q — xi. xi — xi. x3 — Q — • V.xi + (xi)2 ;

car, en introduisant ces valeurs dans les deux facteurs (i43) , et faisant ensuite

auxiliairement . . . (i45)

i.\/xi = y ; et par conséquent xi =. ~ ; ces deux facteurs du second degré (i4^) prendront la forme . . . (i46)

qui est précisément la forme des deux facteurs de Ferrari , dans le susdit cas de A = o, comme on le voit sous la marque (221) dans notre Méthode téléologique. Bien plus, en observant qu'en vertu des relations (i45) , l'équation réduite (i42) prend la forme . . . (147)

on verra qu'en multipliant, l'un par l'autre, les deux facteurs (i4°) du second degré, on obtient l'équation du quatrième degré . . . (i48)

o = z4 — 2P.Z2 — 8.1/R.z -f- (P2 — 4Q) , qui, en la comparant avec l'équation proposée (i4°)j donne les égalités • • • (i49)

A = o , B := — 2P , C = 8.1/R , D = Pa — 4Q ; d'où l'on tire les valeurs . . . (i5o)

PHILOSOPHIE. clxxxiij Et ce sont là précisément les valeurs qui , en les introduisant respectivement , d'une part, dans les deux facteurs (i46), et de l'autre, dans l'équation réduite (147)5 produisent la solution de Ferrari , pour le cas où le coefficient A, dans l'équation proposée (i4°)> est zéro, c'est-à-dire, la modification de cette solution de Ferrari, par Descartes. En effet, avec ces valeurs (i5o), les deux facteurs (i4°0 seront . . . (i5i)

et l'équation réduite (147) sera ■ • • C1^)

o = y + 2B.74 + (B2 — 4D).j2 — C2 . Et tels sont les résultats de la modification que Descartes a donnée de la primitive solution de Ferrari, en faisant A = o dans l'équation proposée (i4°)> comme on le voit sous les marques (221) et (222) dans notre Méthode téléologique de la résolution des équations.

Ainsi, la présente solution (i4i) et (M2) d'Euler n'est rien autre que la solution téléologique des équations du quatrième degré , telle qu'elle a été donnée primitivement par Ferrari, et nommément telle qu'elle a été modifiée ensuite par Descartes en faisant A = o dans l'équation proposée (i4°) • Toutefois , la présente solution d'Euler (i5i) et (i52) a l'avantage sur la modification de Descartes , en ce que celle d'Euler conduit immédiatement à la forme la plus simple des deux facteurs (i5i), tandis que celle de Descartes n'arrive à cette simplicité que dans le premier de ces deux facteurs (i5i), et que son second facteur a une forme moins simple, savoir . . . (i53)

forme qui, en vertu de l'équation réduite (i52), résulte de l'égalité

4D = j^ + Bzp^- j.|7' + B±iij.

Il s'ensuit que la solution d'Euler, en conduisant ainsi à la forme la plus simple des deux facteurs (i5i), offre la véritable modification de la solution de Ferrari, pour le cas où A = o dans l'équation proposée (i4°) 1 et <Iue 1<* so~ lution de Descartes n'est encore qu'un essai de cette modification finale , en s'arrêtant à la complication que la présente égalité (1 54) j si elle avait été connue de Descartes, aurait pu faire disparaître.

Mais , quelque décisive que soit cette solution d'Euler de l'équation du quatrième degré , en la considérant comme solution téléologique , pour le cas où ,

clxxxiv RÉFORME DE LA

dans l'équation proposée (140)5 ^e coefficient A est zéro, elle n'a évidemment rien de commun , si ce n'est l'apparence de la forme , avec la solution fondamentale ou philosophique de cette équation du quatrième degré (i4°)j d'après la forme primitive et absolue (5o)lv des racines des équations. Cette apparence de la forme provient de ce que , au lieu de décomposer chacun des deux facteurs téléologiques (i5i) en ses deux facteurs du premier degré, d'après la décomposition générale des équations du second degré, Euler, croyant suivre la forme (5o)lv des racines , par analogie avec celle que donnent l'ancienne solution de l'équation du second degré et la solution de Cardan de l'équation du troisième degré, attribua aux facteurs du premier degré la forme (i4x)> en y substituant les racines carrées à la place des racines biquadratiques que lui indiquait l'analogie 5 et , sans se douter du fond de cette solution , tel que nous venons de le dévoiler, ce grand géomètre est ainsi retombé, malgré lui, dans la simple solution téléologique de Ferrari. — Ce qui est plus remarquable, c'est que , sans exception , tous les géomètres ont partagé cette grave erreur d'Euler, en croyant tous que sa solution était une véritable solution fondamentale des équations du quatrième degré , d'après l'analogie avec la solution des équations du second et du troisième degrés. Rien plus , le rédacteur des anciennes Annales des Mathématiques, voulant atténuer la découverte de la forme primitive et absolue (5o)lv des racines des équations , que nous avons produite dans l'opuscule de 18 12 , prétendit, en ne disant pas la vérité, que, suivant nos présentes équations fondamentales (81), qui furent publiées dans cet opuscule, il avait résolu l'équation du quatrième degré, et qu'il avait ainsi trouvé que notre équation réduite (83) n'était que l'équation des carrés des racines de la présente équation réduite (i52) d'Euler. Et c'est ainsi qu'en usant même du mensonge , les savants brevetés ont cherché et ont réussi à repousser, pendant plus de trente ans , ces grandes et décisives solutions que , malgré tous leurs efforts , ils n'avaient pu et n'auraient jamais pu donner eux-mêmes.

Mais, quoi qu'il en soit de ces mensonges et de ces menées des savants par brevet , qui ne connaissent la science que pour exploiter, en son nom , leurs nations respectives , il est maintenant avéré que , suivant la forme primitive et absolue (5o)lv, telle que nous l'avons signalée en 181 2 , et telle que nous venons de la démontrer ici rigoureusement , en la déduisant du problème -universel , de cette deuxième loi fondamentale des mathématiques , il n'existe encore de solution des équations que pour celles du second et du troisième degrés. Et il est avéré de plus, par tant d'efforts réitérés sans cesse et toujours infructueux et par là même impuissants, que la science, dans son actuelle ignorance de ses principes philosophiques , non-seulement ne peut ainsi donner la solution des équations de degrés supérieurs au troisième, mais ne peut même pas concevoir la possibilité ou l'impossibilité de cette solution fondamentale. — Nous allons enfin , à l'aide de notre philosophie des mathématiques et de la

PHILOSOPHIE. clxxxv réforme qui en résulte , éclairer la science et lui ouvrir la carrière pour ces grandes solutions qui , par manque de principes philosophiques , l'arrêtaient ici , comme dans toutes les autres voies de ses progrès, où elle se trouve également arrêtée aujourd'hui.

Soit donc m = 4 dans l'équation générale (89), et nous aurons ici, pour les équations du quatrième degré , en y supposant immédiatement A3 = o , la forme générale . . . (i55)

o = Ao + kt.x + A2..r2 + or4 .

Nous aurons alors , en vertu de la forme générale (49) "' ou (5o),v des racines des équations , pour les quatre racines xt , x^ , , x, de l'équation présente , les déterminations . . . (i56)

= B,.Pl + H2.P: + H3.P? = 9t.l\ + + ,

*3 = Sr-Pa + s2-P3 + = h.[/zs + P».i/$a + p33.l/^ ,

*4 = afP4 + ^ + H3-?4 = ?4-^x + P4'^T2 + Pj-I/Çs ï

les quantités pt , p2 , p3 , p4 étant les quatre racines biquadratiques de l'unité ,

déterminées par la formule générale (35)', savoir . . . (157)

^ = cosQt) + sin(ff)'vy:=~i '

qui donne notoirement . . . (iSj)'

Pr = + , P2 = — I , P3 = — l/1^ , p4 = + 1 ;

et les trois parties constituantes Sf , H2 , H3 , ou tt, £2, £3, étant données par la loi (92), en y faisant m = 4 > et en faisant de plus A3 = o dans l'expression générale (93) de ses termes H^. Ainsi, cette expression générale (93" se réduira ici à la forme . . . (i58)

„(«) j (i) Ai -K r -,((*- 01-4 t

H. = ^ "j ^ ^ + " 3J -(~Ao) '

l'agrégat, désigné par AgrA'\ étant formé des termes correspondant à toutes les valeurs entières et positives, y compris zéro, des indices pu et y.2, donnés par l'équation indéterminée . . . (139)

et le nombre entier £ étant fixé par la formule . . . (160

clxxxvj RÉFORME DE LA

en ne perdant pas de vue que , pour toute valeur fractionnaire de k , les termes correspondants sont zéro. Et pour calculer tous ces termes H^' d'après les formules (i58) et (160) , il faut ici, comme nous l'avons fait plus haut, par anticipation sur l'équation du cinquième degré (5i), obtenir toutes les solutions de l'équation indéterminée (i5p) , pour fixer, par la formule (160),

tous

ies

nombres

entiers et

possibles

aura ainsi

Pour

i — jxi

rour

2 [xi

jfca ,

Pour

4 = [xi

Poul-

(ii — o »

(io— i) ,

Calculant alors, avec ces éléments, les différents termes H*-^ dans la loi généraie (92), et tenant compte de la valeur (91) de la quantité 0 , qui est la fonction génératrice de cette loi (92), on obtiendra ici, pour les trois parties constituantes Sz, S2 , H3, ou £t, £a , £3, des racines (i56) de l'équation du quatrième degré (i 55) , les déterminations . . . (ïO2)

PHILOSOPHIE. clxxxvij

, ,4 , vl I .22 3 .2,3

(S,) = (-A0).ji + o - T.Ao.A2.0 + T.A0.A,.A9.e

g-.Ao.L7.Ai + 5.AO.A2J.0 + — .Ac.AI.Aa.e + etc., etc.

(S2)4 = ( AQ)2. | At .0 - o + 2- A0.Aj. A^.03 - 4-Ao.A;.A2.04 +