A^.Aj. Aa.0J — etc. , etc

(Ao)2.04.jA4 o + 8.Ao.A;.a:.02 - i6.Ao.At.A2.03 +

+ 8.A0.A4.[A4 + 6.Ao.A4].04 — etc., etc. ,

(-Ao)3.04. Ja24 - 2.A;.A:.0 + Aa:.[4.A0.< 4- 3.A4].02

aI.[i8.A0.A: + f A4.A2].03+ [Ao.A4.(5.A0.A; + ^. A4) + -±.A9] V - etc.

Ainsi , d'après (99) , la somme Vt des premières puissances de ces trois racines £I? £2, £3, en réunissant les termes qui correspondent à la même puissance de la fonction génératrice 0, sera . . . (166)

Pf = - AG + o + 2.a:.A22.02 - 6.a:.a;.A2.0 +

+ AQ. At.0 — 24.AO.AI.A2.0 + etc., etc.

Et par conséquent, d'après les formules (100), tel sera aussi, dans l'équation réduite (164) ou (164)', correspondant à l'équation proposée (1 55) du quatrième degré, le premier coefficient, savoir . . . (167)

p. = Qx == - \ •

Ce premier coefficient , et il en sera de même de tous les autres coefficients de la présente équation réduite (164) ou (164)', se trouve ainsi donné par une génération indéfinie, qui constitue conséquemment la génération indéfinie (117) dans le développement de la forme théorique (88) des coefficients Yo , Yi , Y2 , Y3, etc., de l'équation réduite générale (83), lorsque la plus grande puissance v, dans le dénominateur de cette forme théorique (88) , n'est pas zéro. Il s'ensuit que la présente solution fondamentale (i56) de l'équation du quatrième degré (i55), appartient déjà à la classe dont le caractère distinctif consiste en ce que son exécution pratique conduit d'abord au développement indéfini (117) de la forme théorique (88) des coefficients YQ , Yt , Y2 , etc. , de l'équation réduite (83), développement duquel, pour revenir à la forme théorique (88), il faut

PHILOSOPHIE. clxxxix passer par tous les degrés progressifs de la génération-neutre qui correspond à ce développement indéfini (117), jusqu'à ce qu'on parvienne au degré de cette génération -neutre qui constitue primitivement et fondamentalement la forme théorique (88) dont il est question.

Ainsi, pour revenir de la présente génération indéfinie (166) du premier coefficient Qr ou Y2 à sa forme primitive ou théorique (88) , il faut , par les procédés que nous avons déjà indiqués plusieurs fois , transformer cette génération technique (io'6) en génération- neutre correspondante, en passant par les degrés progressifs de cette génération - neutre , degrés qui offriront ainsi progressivement les déterminations algéhriques , de plus en plus exactes , des coefficients YQ , Yj , Y2 , etc. , en question , nommément ici du coefficient Y2 ou Qj. Et pour ces calculs, les susdits cinq ou six degrés progressifs de la génération-neutre, tels que nous les avons produits, sous les marques (774) et (797) > dans le Complément de la Réforme des Mathématiques ( pages xxxij et lxxij ) , pourront servir de règles dans ces transformations. Il suffira, pour ne pas confondre les lettres A , Ax , A2, A3, etc., qui entrent dans ces formules (774) et (797) > avec nos pi'ésents coefficients Ao , Ai , A , A3 , etc. , de l'équation générale (89), de substituer, dans les formules (774) et (797) dont il s'agit, les lettres BQ , Bt , B2 , B3 , etc., à la place des lettres Ao , Aj , A , A3 , etc. , en supposant ainsi que la série générale (765) , dont ces formules présentent la transformation progressive en génération - neutre , série que nous avons rappelée plus haut, à la marque (118), soit . . . (168)

Fx = BQ + Bt.(yx) + B2.(<p^)2 B3.(<p.r)3 -\- B4.(cp.r)4 + etc., etc.

En effet, comparant avec cette série nos présentes générations indéfinies (117) des coefficients YQ , Yl , Y2 , Y3 , etc., telle que l'est ici la génération (166), les formules (774) et (797) donneront immédiatement les degrés progressifs de leur transformation en génération-neutre, pour s'acheminer, par ce progrès, vers la génération théorique (88) de ces coefficients Ym , et pour obtenir par là des déterminations toujours convergentes , et de plus en plus exactes , de ces coefficients de l'équation réduite générale (83). Ainsi, dans notre présente solution (162) de l'équation du quatrième degré (i55), en comparant, avec la série générale (168), la génération indéfinie (166) du premier coefficient Qt ou Y de l'actuelle équation réduite (164) ou (1 64)'5 on aura d'abord, pour cette série prototype (168) , les valeurs . . . (169)

BG = - A0) B, = o, B2 = + -2.Al.Al, B3 = - 6.A;;.A*.A2,

B4 = + -|..A*.Aj , B. = — a4.A0.A*.A^, etc., etc.,- et 9* = 0

Et introduisant ensuite ces valeurs dans les formules (774)» après y avoir changé la lettre A en B , pour préparer ces formules à de telles substitutions , comme

cxc RÉFORME DE LA

nous venons de le dire, on obtiendra immédiatement, pour le premier coefficient Y9 ou QI dont il est question, les degrés progressifs de sa générationneutre , conforme à la génération théorique et fondamentale (88) de ces coefcients Ym de l'équation réduite générale (83). — Or, la troisième de ces formules (774) ? qui ? 'a première , présente ici une application utile , donnera ainsi généralement , pour tous les coefficients Ym en question , le premier degré progressif de leur génération- neutre , savoir . . . (170)

x B.B .0 + [bI — BT.B, 1.02

et par conséquent, en y introduisant les présentes valeurs (169), cette formule

offrira une première détermination du coefficient (166) ou (167), dont il s'agit ici en premier lieu , savoir . . . (171)

2.A\a\©2 A . ! A^ — 8 . A . A — 6" . A2 I Q = — Y, = — A„ ^ °— » — 0 1 * 2— * ïl ;

A2 + 3.AX.0 8.AC.A2 + 6.Ar

détermination qui se trouvera ainsi donnée, sous une forme finie, en fonction des trois coefficients AQ , Ar , A2 , de l'équation proposée (i55) du quatrième degré , dont il s'agit d'opérer la solution. Mais , comme premier degré dans cette progressive génération-neutre, cette première détermination (171) du coefficient Qt ou Y2 en question , qui n'est fondée que sur les quatre premiers ternies de la génération indéfinie (166) de ce coefficient, est encore peu exacte. Par exemple, pour AQ = o, cette formule (171) donnerait Qt = o, tandis que la génération indéfinie (166), qui serait alors extrêmement divergente, donnerait P = Qr = 00 , comme cela doit être. Elle ne saurait donc avoir déjà quelque exactitude que pour le cas où, dans l'équation (1 55) , le terme AQ serait suffisamment grand par rapport aux deux coefficients At et A2 . — En employant la quatrième et surtout la cinquième des formules (774) 5 dont nous nous servons ici , et dont la dernière se trouverait alors fondée sur tous les six premiers termes de la génération indéfinie (166) du coefficient Q£ ou Y2 , on obtiendrait une deuxième et une troisième déterminations de ce coefficient en question , dont la dernière serait déjà suffisamment exacte dans beaucoup de cas. Toutefois, quelque utiles que puissent être, en pratique, ces degrés progressifs de la génération -neutre , qui donnent , sous une forme finie , en fonctions des coefficients Ao , At , A2 , de l'équation proposée (1 55) , des déterminations de plus en plus exactes des coefficients Yo , Y£ , Y2 , de l'équation réduite (164), nommément ici la détermination du dernier Y2 de ces coefficients, il ne faut pas perdre de vue qu'en théorie , ce ne sont là que les degrés progressifs de l'acheminement vers la détermination théorique et finale (88) de cette génération -neutre qui, d'après nos lois fondamentales (81), constitue le vérita-

PHILOSOPHIE. cxcj ble algorithme par lequel se trouvent donnés généralement les coefficients YG , Yj , Y2 , Y3 , etc. , dans toutes les équations réduites (83). Et comme nous le savons déjà , cet acheminement , qui nous approchera de plus en plus de la détermination théorique (88), et qui pourra même nous y conduire finalement, sera opéré par ces seuls procédés généraux de la génération-neutre des quantités, dont nous venons de signaler, dans notre Réforme des Mathématiques, les premiers degrés progressifs (774) et (797) .

Pour avoir les deux autres coefficients Yr et YQ de la présente équation réduite (164) , afin de pouvoir ainsi accomplir la solution de l'équation du quatrième degré (i 55) , il faut, d'après ce que nous avons prescrit généralement sous les marques (99) et (100), prendre successivement, d'abord, les secondes puissances des développements ( 1 65) , ou bien les huitièmes puissances des polynômes primitifs (162), pour avoir la somme P2 des secondes puissances des racines £t, £2, £3, de l'équation réduite (164), et ensuite les troisièmes puissances des développements (i65) , ou bien les douzièmes puissances des polynômes primitifs (162), pour avoir la somme P3 des troisièmes puissances de ces mêmes racines ^ , £2, £3 ; car, avec ces sommes P2 et P3, jointes à la somme Pt des premières puissances, que nous avons déterminée sous la marque (166), les formules (100) donneront les deux autres coefficients en question Yt et Y0 , savoir, Q2 et Q3. — Il est sans doute inutile de faire ici remarquer, d'abord , que ces deux coefficients Yt et Y , en ordonnant toujours leurs développements d'après les mêmes puissances de la fonction génératrice 0 , se trouveront de nouveau donnés par des générations indéfinies, pareilles à celles (166) du premier Qt ou Y2 de ces coefficients , et que , sous une telle forme , ces générations représenteront toujours le développement indéfini (1 17) de la forme théorique et fondamentale (88) des coefficients généraux Ym de toutes les équations réduites (83). Et il est sans doute également inutile de faire ici remarquer, ensuite , que , pour s'acheminer vers cette forme théorique et fondamentale (88) des coefficients Y m des équations réduites (83) , et pour pouvoir y parvenir finalement, il faut, comme nous venons de le faire pour le premier coefficient Q ou Y2 , transformer en génération -neutre toutes ces générations indéfinies (117) des coefficients en question, en y procédant par les degrés progressifs que nous venons de signaler, sous les marques (774) et (797), dans notre Réforme des Mathématiques , et dont nous venons de reproduire ici , à la marque (170), le premier de ces degrés progressifs. — On aura ainsi, avec telle exactitude théorique que l'on voudra, en fonctions finies des trois coefficients A , At , A2 , de l'équation du quatrième degré (1 55) , les trois coefficients Yn , Y , Y2 de son équation réduite (164) du troisième degré, dont les trois racines £I? £ , £3, seront les parties constituantes dans les expressions fondamentales et absolues (i56) des quatre racines xl, x2, x3 , x^, de cette équation proposée (i55). Et la science obtiendra enfin, par cette voie philosophique, la

cxcij RÉFORME DE LA

solution fondamentale (i56) des équations du quatrième degré, cette solution absolue que, par ses propres moyens, elle n'a pu obtenir jusqu'à ce jour.

Procédons à la même solution fondamentale et absolue de l'équation du cinquième degré. — Pour cela , faisons m — 5 dans l'équation générale (89) ; et nous aurons , pour les équations du cinquième degré , en y supposant immédiatement == o , comme plus haut à la marque (5i), la forme générale . . • • • (i72)

o = AQ + A1.x -H A2.a?2 + A3.^r3 -f- x5 .

De plus , en vertu de la forme fondamentale (49) "' ou (5o)IV des racines des équations , nous aurons , comme à la marque (54)', pour les cinq racines xI , r2 , x3 , x^ , x5 de la présente équation du cinquième degré , les déterminations . . . (173)

xt =

+ pm/t2 +

pM/Ts +

pM/Ys +

pt-i/V4 ,

dans lesquelles, d'après (35)', les quantités pr, p2 , p3 , p4 , p5, sont les cinq racines cinquièmes de l'unité, telles que nous les avons produites sous les marques (54)" et (55)IV; et dans lesquelles de plus, d'après (5o)'", les quatre parties constituantes £t, \% , £3, £4, sont données par la loi (92), en y faisant m = 5, et A4=o dans l'expression générale (93) de ses termes H^. Ainsi, cette expression générale (93) se réduira ici à la forme . . . (174) / A(J.i At*2 4t*3

H, =A§r •( ^ir.^.^ + + 3.^3-4] .(-A0)j;

dans laquelle l'agrégat, désigné par la caractéristique Agr.^ , doit être formé des termes correspondant à toutes les valeurs entières et positives , y compris zéro, des indices (/.i , , j/,3 , donnés par l'équation indéterminée . . . (175)

[). = jxi + ji2 + {/.3 ; et dans laquelle forme (174)5 Ie nombre entier k doit être fixé par la formule • • • (176)

k = — .( 1 + p-i 4- 2.p.2 + 3.JI.3 — i) ,

en ne perdant pas de vue que , pour toute valeur fractionnaire de ce nombre k ,

PHILOSOPHIE. cxciij les termes correspondants H^ sont zéro. Et pour calculer tous ces termes H^'', d'après les formules présentes (174) et (176), il faut ici, comme nous l'avons fait, sous la marque (161), pour l'équation du quatrième degré, obtenir toutes les solutions de l'équation indéterminée (175), et fixer, par la formide (176), tous les nombres entiers et possibles k. — Or, nous avons déjà, par anticipation, fait ces calculs sous la marque (5i)"', du moins pour les cinq premières valeurs o , 1 , 2 , 3 , 4 de l'indice p. des termes auxquels on arrêterait les développements (49)' ou (54) des parties constituantes 3t ou \. dans les racines (54)' de l'équation du cinquième degré (5i). Et nous avons ainsi obtenu, sous la marque (54) , ces premiers termes dans les développements (49)' des quatre parties constituantes El5 S2, E3, S,, pour cette équation du cinquième degré (5i). — Voulant étendre ces développements aux termes ultérieurs p. = 5 , p = 6, p = 7, etc., il faudra, aux solutions (161) de la présente équation indéterminée (175), ajouter ses solutions ultérieures, correspondant à ces valeurs ultérieures de l'indice p. Ainsi , pour étendre ces développements jusqu'au terme suivant p = 5 , qui les rendra déjà suffisamment utiles , il faudra ajouter, aux solutions (161), les vingt-une solutions suivantes . . . (177)

Et il faudra , avec ces valeurs , calculer les termes correspondants H ^4 \ soit parles formules présentes (174) et (176), soit par la formule générale (53)'. — En réunissant alors ces derniers résultats avec ceux que nous avons obtenus sous la marque (54) , nous aurons , suivant la loi (92) , pour les quatre parties constituantes S£, B2, S3, S4 , ou £t, £2, £3, £4, des racines (173) de l'équation du cinquième degré (172), les déterminations . . . (178)

(S,) = (-A0).|i + o - Ao.A

2A0.(3.A^.A2 + 2.A0.AI.A33 + 3.A„. A^.A^.e4 + y.A0.(ai.A* + 9.AG.A* + n.A^.Aj + 180. An. A, • A2. A3 + 270. A0. à". Aa.A3

cxciv RÉFORME DE LA

— Ao.(8.A^.A3 + 7.AC.A2.A3 + i2.A2.A2).04 +

— etc. , etc. i

^ = (33)5 = (-Ao)'-j° + A9.e - A2.02 + 3A0.(Al.A2 + a:.A3).03

— A0.(2.A0.A4 + 7.Ar.A9 + 2i.A2.A2.A3).04 -f-

+ 7.A0.(3.A4.A3 4- 6.A3.A: + 4.A0.A'.A2 + 8. A0.At. A2.A3 ).05

— etc. , etc. j i

^ = (34)5 = (~A0)4.jo + A3.0 - At A2.02 + (A3 + 2.Ao.A2.A;).03

— Ao-(A2 + 6.A2.A3 + i2.AI.A^.A3).04 +

+ A^.A^.Aj + 22. A2. A3 + i8.A0.A2.A3 + 44- A3.A2. A3 ) .05 ) 5

— etc. , etc. j ;

la quantité 0 , comme fonction génératrice de ces développements , ayant ici , d'après sa détermination générale (91), la valeur . . . (179)