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Et ces quatre parties constituantes £t , £2 , £3, £4, des cinq racines (173) de l'équation proposée (172), sont précisément les racines £ de l'équation réduite (83), qui, pour la présente équation du cinquième degré (172), prend la forme

• • • (l8°) o = Y0 + Yf.Ç + YaX + %>? + ou bien , d'après (97), la forme . . . (180)'

o = t - QA3 + QA* - Q3.£ + Q4;

équation réduite dans laquelle il s'agit maintenant, et à son tour, pour accomplir la solution théorique de l'équation du cinquième degré (172), de déterminer, toujours d'après leur forme fondamentale (88) , les coefficients Y ou Q , à l'aide de la présente génération primitive ou fondamentale (178) des quatre racines £t, £2, £3, £4 de cette équation réduite (180) ou (180)', en prenant les sommes (99) de leurs puissances , et en introduisant ces sommes PCT dans les formules (100) ou (101) qui, avec ces sommes Pra, donnent les coefficients Qp , ou Ym p en question.

PHILOSOPHIE. cxcv Et il faut également ici ne pas perdre de vue que la présente génération primitive et universelle (178) des racines £t, £2, £3, £4, qui sont les parties constituantes des cinq racines (173) de l'équation du cinquième degré, offre déjà la solution complète de cette équation (172) du cinquième degré, puisque, comme nous l'avons bien fait remarquer pour la solution précédente de l'équation du quatrième degré (i 55) , cette génération primitive ou technique (178) peut toujours, en suivant le susdit procédé (56) à (61), et même d'autres procédés plus convenables , que nous verrons ci-après , être transformée en génération-neutre , sous la forme de laquelle , en participant ainsi à la génération théorique , elle reçoit , dans tous les cas , comme nous le savons déjà , une complète détermination numérique, réelle et même idéale (imaginaire). — C'est donc, en outre de cette solution primitive ou technique (178) de l'équation du cinquième degré , que nous allons ici , pour sa solution purement théorique , procéder à la détermination en question des coefficients Y ou Q de sa présente équation réduite (180) ou (180)'.

Pour cela , commençons de nouveau par développer les cinquièmes puissances des polynômes qui entrent dans les expressions (178) des racines £I} £2, £3, £4> Et suivant aussi, à cette fin, la loi (106) et (107), nous obtiendrons, avec la même facilité^que plus haut , pour ces racines £ , , \ 2 , \ 3 , \ ^ , les développements complets que voici . . . (181)

= (-AcO-J1 + 0 — 5.Ao.A2.A3.0a -f- io.A^A^A2 + A*.A3).®3

- io.A0.(3.A'.A2 + a.A^.A* + 2. A0. A*.A* ).04 +

+ A0.(2i.aJ + o.Ao.A2 -+- 11. A*. A* + i4o.A0.At.A2.A3 -+- a3o . AQ . A* . A2 . A3 j .

— etc. , etc. | ,

= (AO)2.04. jo + A*.0 - 5.AO.A^A^.02 + "A0.A;.(A2 + 6.\.A2.A3) + io.Ao2.A'.A34].03

"5.A0.A4.(8.A^.A3 + 3i.Ao.A2.A33 + 12. A*. A2) + 10. A*. A2. (2. A,. A2 + An.\\) 4- etc. , etc. j , ;3 = (Ao)3.04Jo + A2.0 - 5.A;.A4.02 +