Ac.A9.(Ai.A; + A22.A3) + a.AjJ.e

-+- etc. , etc. j ,

cxcvj RÉFORME DE LA

li — (— AO)4.04. o 4- A3.0 - 5.At.A2.A4.02 4-

4 (A* + 2.Ag.A2.A;) + 2. A*. A*. A3 ].03

Ao-A34.(A2 + 6.A;.Aa3 + 2o.AI.A22.A3) + 2.A^.A2.A2.(2.Al.A3 4- A2)

etc. , etc.

Et alors , d'après (99) , la somme Px des premières puissances de ces quatre racines £l5 £2, £3, j- en réunissant les termes qui correspondent à la même puissance de la fonction génératrice 0, sera . . . (182)

= — A0 + o + 5.A2.A2.A3.02 — 10. A2. (A,. A2 4- A2.A3).03 4- 4- io.A*.(3.A3.A2 + 2. AQ.AI.A3 4- 2. A„. A2. A3 ) .04

- 10. A^. (2. A" 4- A0.A2 4- A20.A3 + i4-A0.AI.A2.A3 4- 23.AO.A2.A2.A2).0 4- etc. , etc.

Et par conséquent, d'après les formules (100), tel sera également ici, dans l'équation réduite (180) ou (180)', correspondant à l'équation proposée (172) du cinquième degré, le premier coefficient, savoir . . . (i83)

Comme tel , ce premier coefficient , et il en sera évidemment de même de tous les autres coefficients Q2 , Q3 , Q4 , ou Y2, Yr , YQ, de la présente équation réduite (180) ou (180)', se trouve de nouveau donné par une génération indéfinie, qui constitue ainsi la génération indéfinie (117) dans le développement de la forme théorique (88) des coefficients YQ , Yt, Y2 , Y3 , etc., de l'équation réduite générale (83) , lorsque la plus grande puissance v , dans le dénominateur de cette forme théorique (88), n'est pas zéro. — Il s'ensuit donc également ici, et à plus forte raison, que la présente solution fondamentale (173) de l'équation du cinquième degré (172), appartient aussi, et il en sera évidemment de même de la solution pareille (5o)lv de toutes les équations de degrés supérieurs, à cette classe susdite dont le caractère distinctif consiste en ce que son exécution pratique conduit d'abord au développement indéfini (117) de la forme théorique (88) des coefficients Yo, Yx , Y2 , Y3 , etc., de l'équation réduite (83); développement duquel , pour revenir à la forme théorique (88) , il faut passer par tous les degrés progressifs de la génération - neutre qui correspond à ce développement indéfini (117), jusqu'à ce qu'on parvienne au degré de cette générationneutre qui constitue primitivement et fondamentalement la forme théorique (88) dont il est question.

Ainsi, dans la présente solution (173) de l'équation du cinquième degré (172), comme dans la précédente solution (i56) de l'équation du quatrième degré (i55),

PHILOSOPHIE. cxcvij pour revenir de l'actuelle génération indéfinie (182) du premier coefficient Q: ou Y3 à sa forme primitive ou théorique (88) , il faut , par les procédés susdits, transformer cette génération technique (182) en génération -neutre correspondante, en passant par les degrés progressifs de cette génération-neutre ; degrés qui, comme nous l'avons déjà dit, offriront ainsi progressivement les déterminations algébriques, de plus en plus exactes, des coefficients Yo , Yt , Y2 , etc., en question, nommément ici du coefficient Y3 ou Q . Et, comme nous l'avons dit plus haut , pour faire ces calculs , les cinq ou six degrés progressifs de la génération - neutre , que nous avons produits, sous les marques (y y 4) et (797)' dans le Complément de la Réforme des Mathématiques, pourront de nouveau servir de règles, en y changeant les lettres AQ , A.l , A2, A3 , etc., en B0 , Bt , B2 , B3 , etc. , pour faire dépendre ces transformations progressives de la susdite série générale (168), à laquelle devront être comparées les présentes générations indéfinies (116) des coefficients Ym en question, et nommément ici la présente génération indéfinie (182) du coefficient Y3 ou Qr dans l'équation réduite (180) ou (180)' correspondant à l'équation (172) du cinquième degré, qu'il s'agit de résoudre. — Cette comparaison de la présente génération indéfinie (182) du coefficient Qr ou Y3 avec la série générale (168), donnera, pour les coefficients de cette série, les déterminations . . . (184)

K = ~ Ao Bf = o, B2 = + 5.A*.A2.A3,

b3 = - io.ai(k-< + a:.a3),

B4 = 4- io.A^.(3.A'.A2 + a.A^A^A, + 2.Ao.A2.A^) ,

B5 = 10. A;. (2. A* + AD.A2 + aJ.aJ + I4.Aq.Ai.A^.A; + 23.AG. A^. A2. k\ ) , etc. , etc.

Et ce sont là les valeurs qu'il faut introduire dans les susdites formules (774) et (797) des degrés progressifs de la génération - neutre , en laquelle il s'agit ici de transformer la génération indéfinie (182) du premier coefficient Y3 ou Qt en question, pour ramener cette génération indéfinie (182) vers sa forme théorique et fondamentale (88), en ne perdant pas de vue que, dans ces formules (774) et (797), il faut changer les lettres A en B, pour les rendre propres à l'introduction des présentes valeurs (184). Ainsi, en introduisant ces valeurs dans la troisième des formules (774)5 que nous avons ici reproduite à la marque (170), on obtiendrait une telle première détermination théorique du coefficient Y3 ou Qt dont il s'agit, comme nous en avons obtenu une pareille, à la marque (171), pour l'équation du quatrième degré (i55). Mais, cette première détermination serait également peu exacte ; et elle ne saurait guère servir que pour les cas où, dans la présente équation du cinquième degré (172), le terme A(J serait suffisamment grand par rapport aux trois coefficients Ax, Aa, A3. — En employant ici, comme nous l'avons prescrit pour l'équation du quatrième degré

cxcviij RÉFORME DE LA

(i 55), la quatrième et surtout la cinquième des formules (774) qu'il s'agit de suivre pour avoir les degrés progressifs de la génération-neutre en question , et dont la dernière de ces formules se trouverait déjà fondée sur tous les six premiers termes (i84) de la génération indéfinie (182) du présent coefficient Qr ou Y3, on obtiendrait également une deuxième et une troisième déterminations de ce coefficient, dont la dernière serait déjà suffisamment exacte dans beaucoup de cas. Mais, comme nous l'avons bien dit à l'occasion de l'équation du quatrième degré (1 55) , quelque utiles que soient, en pratique, ces degrés progressifs de la génération-neutre , qui donnent , sous une forme finie , en fonctions des coefficients AQ, Ar , A2 , A3 , de l'équation proposée (172), des déterminations de plus en plus exactes des coefficients YQ, YI , Y2 , Y3 , de l'équation réduite (180), nommément ici la détermination du dernier Y3 de ces coefficients, il ne faut pas non plus perdre de vue qu'en tbéorie , ce ne sont là que les degrés progressifs de l'acheminement vers la détermination théorique et finale (88) de cette génération-neutre qui , d'après les lois fondamentales (81), constitue le véritable algorithme par lequel se trouvent donnés généralement les coefficients Y , Yt, Y2, Y3 , etc., dans toutes les équations réduites (83). Et comme nous l avons déjà fait remarquer à l'occasion de l'équation du quatrième degré (i55), cet acheminement, qui nous approchera de plus en plus de la détermination théorique (88) , et qui devra même nous y conduire finalement , sera opéré par ces seuls procédés généraux de la génération - neutre , dont les susdites formules (774) et (797) de notre Réforme des Mathématiques présentent les premiers degrés progressifs.

Pour avoir ensuite les trois autres coefficients Y2 , Y i , YQ , de la présente équation réduite (180) , afin de pouvoir ainsi accomplir la solution théorique de l'équation du cinquième degré (172) , à laquelle appartient cette équation réduite (180), il faut de nouveau, d'après ce que nous avons prescrit généralement sous les marques (99) et (100), prendre successivement les secondes, les troisièmes, et les quatrièmes puissances des développements (181), ou bien les dixièmes , les quinzièmes , et les vingtièmes puissances des polynômes primitifs (178), pour avoir, d'après la règle (99), les sommes P2 , P3 , et P4 des puissances correspondantes des racines

Ç,, £a, E3> £4> de l'équation réduite (180); car, avec ces sommes P2 , P3 , P4 , jointes à la somme P, des premières puissances de ces racines, que nous avons déterminée à la marque (182), les formules (100) donneront les trois autres coefficients Y2, Y,, YQ, savoir, Q2, Q3, Q4- — Et comme pour l'équation du quatrième degré (i55), deux corollaires immédiats sont également manifestes ici. D'abord , les trois coefficients Y2 , Yt , Yc , déterminés ainsi par les formules (100), et ordonnés toujours, dans leurs développements , d'après les mêmes puissances de la fonction génératrice 0 , se trouveront de nouveau donnés par des générations indéfinies, pareilles à celle (182) du premier Y3 ou Qr de ces coefficients ; et ces générations représenteront tou-

PHILOSOPHIE. cxcix jours le développement indéfini (117) de la forme théorique et fondamentale (88) des coefficients généraux Ym de toutes les équations réduites (83). Ensuite, pour s'acheminer vers cette forme théorique et fondamentale (88) des coefficients Ym p des équations réduites (83), et pour pouvoir y parvenir finalement, il faut, comme nous venons de le prescrire pour le premier Y3 ou Qr des coefficients de la présente équation réduite (180) ou (180)', transformer en génération -neutre toutes ces générations indéfinies (116) de ces coefficients en question , en y procédant par les degrés progressifs que nous venons de signaler, sous les marques (774) et (797)? dans notre Réforme des Mathématiques , et dont nous avons, à l'occasion de l'équation du quatrième degré (1 55) , reproduit ici, à la marque (170), le premier de ces degrés progressifs. — On aura donc, pour la présente équation du cinquième degré (172), comme nous l'avons eu pour l'équation du quatrième degré (1 55) , avec telle exactitude que l'on voudra, en fonctions finies des quatre coefficients A0, A£ , A2 , A3 de l'équation proposée (172), les quatre coefficients YQ, Yt, Y2 , Y3 , de son équation réduite (180) du quatrième degré, dont les quatre racines £t, £2, £3, £ , seront les parties constituantes dans les expressions fondamentales et absolues (173) des cinq racines xt , x2 , x^ , , x5 , de cette équation proposée (172) du cinquième degré. Et la science obtiendra enfin , par cette méthode philosophique, la solution fondamentale (173) des équations du cinquième degré, cette solution absolue que, par ses propres moyens, elle n'a pu obtenir jusqu'à ce jour, malgré les efforts réitérés de tous les grands géomètres.

Bien plus , par les procédés que nous venons d'indiquer et de réaliser dans leurs principales parties constituantes, pour la résolution théorique des équations du second, du troisième, du quatrième et du cinquième degrés, et surtout par les lois générales que nous venons de donner pour tous ces procédés, dans tous leurs éléments et dans toutes leurs parties systématiques , nous offrons ici , sur cette voie philosophique , la résolution générale des équations de tous les degrés , cette résolution dont les géomètres ont fini par désespérer, et qu'ils n'auraient effectivement obtenue jamais dans l'ignorance où ils se trouvent des principes métaphysiques de leur science , de ces principes supérieurs et décisifs que nous avons dévoilés dans notre Philosophie des Mathématiques , et que nous appliquons et réalisons actuellement dans notre présente Réforme des Mathématiques .

En effet, pour ce qui concerne le grand problème de la résolution des équations , que nous venons de résoudre , rien autre que les principes de notre philosophie absolue , appliqués au système de réalités qui constitue l'objet des mathématiques , comme ils s'appliquent à tous les autres systèmes de réalités , n'aurait pu nous conduire à cette difficile et décisive solution , comme nous allons le démontrer après avoir résumé les résultats positifs que nous venons de produire. — Or, en partant de l'équation générale (34) d'un degré quelconque m, savoir . . . (i 85)

o = A0 + \t.x + A2.j;2 + A3.x3 . . . + Am.x"' ,

le premier des grands et décisifs résultats que nous avons obtenus , est la forme absolue (49)"' et (5o)IV des racines des équations, savoir . . . (186)

*, = Pl.i/% + fMl, + pM^% ■•..' + fi-z.*SÇZ »

m ni m m

*3 = h-vït + ps-vT, + p'.^t3 • • • + pri-^c;,

*..-= e„.i/£ + pMTa + pM^r3 • • • + C^-.^ï^-rî

forme que les géomètres n'ont connue que pour l'équation du deuxième et du troisième degrés, et qu'ils ont mal comprise et même dénaturée dans la solution d'Euler de l'équation du quatrième degré , dans cette solution qui , comme nous l'avons prouvé, sous les marques (i4°) à (i 54) > n'est qu'une modification de la solution téléologique de Ferrari.

Le deuxième résultat décisif que nous avons obtenu , est la relation théorique des {m — 1) quantités |t , £ , £3, . . . %,m t, qui, dans la présente forme absolue (186) des racines des équations, sont leurs parties constituantes; relation théorique qui se trouve fixée par les équations fondamentales (81) de cette grande question, savoir, par les m équations . . . (187)

0 = tf(«-t-i).£l0 — #{n).£ll + i).H2 — #{n— 2).fl3 . . . + (—1)^.^(1 — m).£lu

o = 5*(« + 2).ft0 — H(n+i).Çli + «(n).na — i).fl3 . . . + (— i)""*.*^ —

o = i<(» + 3).ft0 — + 8(B+i).fta — tf(«).a, . . . + (^r)""\H(3 — w).Û

o = $(n+m)M0 — ${n+m— i).£lx + «(«+/»— 2).Q9 — «(/t+w— 3).fl3 . . . + (—1) .tf(o).n

Le troisième résultat décisif que nous avons obtenu , et qui dérive immédiatement des présentes m équations fondamentales (187) , est la détermination théorique de ces mêmes quantités £r, £2, £3, . . . £m I, qui sont les parties constituantes dans les racines (186) des équations (i85) ; détermination théorique, telle qu'elle est donnée par l'équation (83) qui résulte des m équations fondamentales (187), et qui, n'étant que du degré inférieur (m — 1), forme l'équation à laquelle se réduit ainsi la solution de l'équation générale (i85) du degré m, c'est-à-dire, l'équation réduite . . . (188)

o = Y0 + Y,.^ + Ya.È? + Y3.f . . . + Y^.if-1 ,

dans laquelle les (m — 1) racines \ sont les (m — 1) parties constituantes ,

PHILOSOPHIE. ccj £a> £3» • • • Zm-! q»i entrent dans la forme absolue (186) des m racines x des équations proposées (i85).

Le quatrième résultat décisif que nous avons obtenu , et qui dérive encore immédiatement des présentes m équations fondamentales (187), est la forme théorique (88) des coefficients Yo , Yt , Y2 , Y3 , etc. , de l'équation réduite (188), savoir, la forme . . . (189)

Y = (M)Q + (M)x.ft + (M),. H2 + (M)3.ft3 . . . + (M)^.if ^ (N)0 + (N)t.Û + (N)2.tf + (N)3.il3 . . . + (N)v.tf

dans laquelle les coefficients (M)c, (M)1 , (M)9, etc., et (N)G, (N),, (N)2, etc., sont des fonctions rationnelles et finies des coefficients Ao , A( , A2, A3 , etc., de l'équation générale proposée (i85), et la fonction génératrice il est la quantité . . . (190) j

Ainsi, les coefficients Y , Yt , Y2 , Y3 , etc., de l'équation réduite (188), sont des fonctions rationnelles et finies des coefficients AQ , At , A2 , A3 , etc. , de l'équation proposée (i85) d'un degré quelconque m; et par conséquent, comme nous l'avons reconnu à priori dans notre Philosophie des Mathématiques (pag. 111 et suivantes), toutes les équations, quelque grand qu'en soit le degré /n, peuvent recevoir une solution finie, sous la forme primitive et fondamentale (186), déterminée par la même forme des racines \ de son équation réduite (188), d'où résulte, par la combinaison successive de cette même forme identique (186), pour les racines x d'une équation (i85) du degré m , la forme définitive qu'à l'endroit que nous venons de citer dans notre Philosophie des Mathématiques , nous avons assignée à ces racines des équations, c'est-à-dire, la forme radicale de l'ordre (m — 1) , qui implique le nombre infini 00 m — 1 du même ordre (*). De plus, la présente forme générale (189) des coefficients YQ , Yr , Y2 , Y3 , etc., de l'équation réduite (188), constitue manifestement notre algorithme de la génération-neutre, dont le développement, lorsque l'exposant v de la plus grande puissance de son dénominateur n'est pas zéro, constitue la génération indéfinie (117), savoir . . . (191)

Y„,p = Zo + Z,.a + Z2.H2 + Z3..Q3 + Z,.a4 + etc. , etc. ,

par laquelle , lorsqu'on la connaît d'ailleurs , on peut revenir progressivement à sa primitive génération finie (189), constituant l'algorithme de la générationneutre , en laquelle on peut effectivement transformer progressivement toute série ou génération indéfinie (191).

(*) "Vingt ans après la publication de notre Philosophie des Mathématiques , un jeune mathématicien , qui est aujourd'hui un des membres illustres de l'Académie des sciences de Paris, a produit, comme sa découverte, celte forme radicale d'un ordre n qui implique toujours l'infini du même ordre; et depuis rr temps , il ne fonde son illustration académique sur aucune autre découverte fondamentale.

xxvj

ccij REFORME DE LA

Le cinquième et essentiel résultat décisif que nous avons obtenu , et qui constitue, tout à la fois, le principe et la condition de tous les autres, est la loi (92) et (93) qui est donnée par la présente application du problème- universel , de cette deuxième loi fondamentale des mathématiques , et qui préside ainsi à la détermination immédiate, technique ou universelle, des parties constituantes £x, J;^, £3, etc., de la forme absolue (186) des racines des équations , de ces parties constituantes qui forment les problématiques racines auxiliaires £ des équations réduites (83) ou (188). Et cette loi (92) et (93), qui constitue ainsi la loi primordiale de la grande question de la résolution des équations , et qui , à elle seule , donne immédiatement , avec la forme absolue ^5o)lv des racines, qu'elle produit en même temps, la solution également absolue des équations de tous les degrés , est tellement simple qu'elle dépasse toute l'attente où l'on pouvait en être après tant et de si désespérants efforts qu'ont faits infructueusement les plus grands savants. En effet , cette décisive loi qui apporte enfin au monde la résolution des équations , est tout simplement • • • (!92)

Ç, = (- ao)\ (h« + H?.e + .e2 + h? .e3 h

l'expression générale des coefficients H étant . . . (193) / a/1 a^2 a/3 aK"'-0

. (i) Ai ,A2 ,A3 ' • * Am l 4gr. 1 -, ; — X

[JU|l [X2 1 t ^[X3|l (J,(/H l)|l

et les indices (ju , p.2 , [/.3 , . . . f/.(w. — 1) étant les nombres entiers et positifs , y compris zéro , qui satisfont à l'équation indéterminée . . . (194)

et qui forment le nombre entier k par la formule . . . (195) k = —.1 (i.pti + 2.'[/.2 + 3.[/.3 . . . (m — i).p.(w2 — 1) j — (i — 1) | .

Le sixième résultat décisif que nous avons obtenu , et qui complète cette solution générale des équations , est la transformation de la génération indéfinie (192) des parties constituantes £ , \ , £3, etc., des racines (186) des équations, en leur génération finie par le moyen de l'équation réduite (188) dont les racines £ forment ces parties constituantes £r, £2, £3 , etc. Et pour opérer cette finale transformation , de laquelle dépend la solution des équations sous une forme finie , il a suffi de construire les coefficients YQ , Yx , Y2 , Y3 , etc., de cette équation réduite (188), d'abord, par le moyen de la génération indéfinie (192) des racines £ de cette équation (188), dont les coefficients YQ , Yt , Y2 , Y3 , etc., sont notoirement des fonctions symétriques, pour obtenir,

PHILOSOPHIE. cciij sous la forme (116), savoir . . . (196)

= (— O^'-Qp-x = Uo + Ut.n -+- U2.iî2 + U3.f23 + U4.^4 + etc. ,

le développement fondamental (117) ou (191) de la forme théorique et finie (88) ou (189) de ces coefficients Ym , savoir, le développement fondamental . . .

Ym p = Zo + Zf.fl + Z2.tf + Z3.£î3 + Z4.£î4 + etc., etc.

Car, ayant ainsi obtenu cette génération technique ou indéfinie des coefficients Y,„ p de l'équation réduite (83) ou (188), on pouvait alors, par le procédé intermédiaire de la génération-neutre , revenir à la génération théorique (88) ou (189) de ces mêmes coefficients Ym . Et on le pouvait d'autant plus facilement , que cette forme théorique et primitive (88) ou (189) des coefficients Ym en question, constitue précisément cet algorithme même de la génération - neutre , en lequel il s'agissait de transformer la génération technique ou indéfinie (196) ou (197) de ces coefficients Ym . Il suffisait donc finalement de transformer leur génération technique et indéfinie (196) ou (197) en génération - neutre , pour revenir progressivement, avec une exactitude de plus en plus grande, à la génération théorique et finie (88) ou (189) de ces coefficients Ym qui appartiennent à l'équation réduite (83) ou (188), à cette équation réduite de laquelle dépend , par ses racines \ , la détermination théorique et finie des parties constituantes |1? £2, £3, etc., des racines (186) des équations, et par conséquent la solution théorique et finie de ces équations (i85) elles-mêmes. — Or, en tenant compte de la relation (91) des fonctions génératrices O. et 0, si I on représente généralement par . . . (198)

Y,„p = Bo + B,.0 + B2.02 + B3.03 + B4.04 + etc., etc.,

les générations techniques et indéfinies (196) ou (197) des coefficients Ym en question , générations dont nous avons donné des exemples , d'abord , pour l'équation du quatrième degré ( 1 55) , sous les marques (166) et (169), et ensuite pour l'équation du cinquième degré (172) , sous les marques (182) et (184) , on aura, pour la transformation de cette génération indéfinie ou technique (198) en génération-neutre, les degrés progressifs que nous avons indiqués, dans notre Réforme des Mathématiques , sous les marques (774) et (797). Et comme ces six premiers degrés de la génération -neutre , spécialement le troisième, le quatrième, et le cinquième, suffiront déjà complètement et généralement pour tous les besoins de la science, lorsqu'on saura préparer convenablement les équations qu'il s'agit de résoudre, préparation que nous ferons encore connaître pour couronner par là cette méthode philosophique de la résolution des équations , nous allons reproduire ici ces premiers degrés progressifs et suffisants pour la présente transformation des générations indéfinies (198) en génération-neutre. Suivant la notation générale (796) , savoir . . . (199)

CCIY

[",-Nf]

REFORME DE LA = Mf.N? - M.

qui, lorsque les lettres M et N représentent ici la même lettre B, forme généralement la notation . . . (199)'

[B .Bl = B .B

L p ij p i

et par conséquent ,

[Br2] = B' - B^B^, ; si l'on construit de plus les quantités auxiliaires . .

S6 = Bi:[Ba.B3] - B2.[B22] ,

etc.

en désignant par les indices 6 et 9 les sommes des produits des indices multipliés par les exposants ; on aura , pour les premiers ordres progressifs de la génération -neutre des coefficients Ym p de l'équation réduite (83) ou (188), correspondant à leur génération indéfinie (198), les déterminations suivantes . .

= Bn +

etc. , etc.

BI.[B:].[By.0^

S6.[Bs] - B^B.-S,)