SR K~-$R
L'erreur qui peut entacher c est la somme des erreurs commises sur a, 3 et T0.
MESURE DES CAPACITES.
Il faut que la période d'oscillation du galvanomètre soit grande par rapport à la durée de la décharge* du condensateur. Pour s'en assurer, on ajoute dans le circuit du galvanomètre une résistance égale à celle de ce dernier. Si, en répétant la mesure, l'élongation balistique ne varie pas, c'est que la condition est satisfaite.
Méthode directe par comparaison. — La méthode par comparaison, dans laquelle on utilise un condensateur étalon, est la plus communément employée.
Fig. i3i.
Le condensateur étudié est chargé à l'aide d'une pile par l'intermédiaire d'une clef d'inversion k{ et d'une clef de charge k%. On lit Pélongation provoquée par le courant de charge dans un galvanomètre. En manœuvrant la clef ft2, on note ensuite l'élongation produite par la décharge. Si les armatures du condensateur sont parfaitement isolées, les deux élongations sont égales ; sinon, le courant de perte accroît la première élongation et diminue la, seconde : on prend, dans ce cas, l'élongation moyenne. kz est une clef de court-circuit destinée à arrêter les oscillations du galvanomètre, si celui-ci est un appareil du type Deprez et d'Arsonval. Il faut avoir soin de relever la clef de décharge avant la clef d'inversion, car si l'on opère en sens inverse le condensateur se vide par cette dernière. On répète les mêmes mesures avec le condensateur étal<Mir-En-appelant e exe les capacités, a et a' les élongations, on a
De là, on tire
de a + a - a j
c aa a
en supposant que les erreurs de lecture s'ajoutent. Il est facile de voir que Terreur due aux lectures est la plus faible quand la déviation % est la plus grande possible et la déviation a' voisine de a. Au besoin, on peut employer un condensateur étalon gradué, pour égaliser autant que possible les déviations, ou utiliser pour les deux expériences des piles différentes, dont les forces électromotrices sont dans un rapport connu, ou encore adopter des shunts de galvanomètre inégaux en déterminant au préalable le facteur de correction.
Les condensateurs isolés au moyen de diélectriques impurs prennent une charge résiduelle qui prolonge la durée de la charge et de la décharge et entache d'erreur les résultats fournis par la méthode précédente. La capacité propre du diélectrique correspond alors à la quantité d'électricité qui s'écoule au premier instant de la décharge (4). Soit q la charge disponible ainsi définie et e la différence de potentiel des armatures, on a
Pour mesurer cette charge disponible, on remplace le levier de la clef de charge ordinaire par l'une des branches d'un diapason dont les vibrations sont entretenues par un trembleur électrique. Le galvanomètre est disposé dans la branche traversée par le courant de décharge seulement. En appelant n le nombre de décharges effectuées par seconde, on obtient une déviation a due au courant moyen et l'on peut poser
i = \ = nce = 7i
k étant la constante permanente du galvanomètre. Pour que l'emploi de cette méthode soit justifié, il faut que, pendant la durée
(') Eric Gérard, Leçons sur l'Électricité ; t. I, chap. VII.
MESURE DES CAPACITES.
du contact produit par le diapason, le condensateur ait pris sa charge normale. Pour s'en assurer, il convient de faire varier la période de vibration du diapason par des poids pouvant glisser le long de ses branches et de rechercher si un déplacement des poids n'occasionne pas de modification sensible dans le résultat.
Cette variante de la méthode de comparaison n'est pas employée dans les laboratoires industriels pour les câbles dont les diélectriques ont une forte charge résiduelle, car il y a intérêt à connaître cette charge. C'est pourquoi, dans ce cas, on mesure la décharge après une durée d'électrisation de i minute environ.
Méthode de Faraday. — On commence par charger le condensateur c et le décharger à travers le galvanomètre. On observe une élongation a telle que
= ce.
Après l'avoir rechargé , on réunit les deux condensateurs c et c' parla cleffr,, la clef A, éiant ouverte; puis on décharge dans le
Fig. i32.
galvanomètre la quantité d'électricité qui est restée dans le condensateur c.
En appelant e' la différence de potentiel commune des armatures des deux condensateurs après la réunion, on a
e' (c + c') =zec;
d'où
a , ec
— = ce = c — ; — -, K c + c
Il résulte de là que
On a vu, dans l'Introduction, que, pour une expression de cette forme, Terreur relative limite est minima quand a = 2,4 a'.
L'erreur n'est pas sensiblement plus grande si l'on adopte le
rapport — = 2, qui conduit à
de - d*
Méthode de zéro de M. de Sauty. — On adopte un dispositif analogue à celui du pont de Wheatstone, comportant deux résis-
Fig. i33.
tances réglables sans self-induction, r et r' , les deux condensateurs à comparer c et c' et un galvanomètre balistique g; une pile est réunie au pont par une clef de charge et de décharge k.
On règle les résistances r et r' jusqu'à ce que, lors de rabaissement et du relèvement de la clef, le galvanomètre ne dévie plus. On a alors
Pour établir la relation précédente, appelons i, ï et r les courants qui, à un instant donné de la décharge des condensateurs, traversent les branches r, r' et g, lorsque l'équilibre n'est pas encore atteint.
En appliquant la seconde loi de Kirchhoff au circuit formé par ces trois branches et en représentant par X le coefficient de selfinduction du galvanomètre, on a
En multipliant les deux membres de l'équation par dt et en intégrant le premier membre entre les limites o et t de la durée de la décharge et le second membre entre les valeurs nulles que présente le courant i" au commencement et à la fin de celle-ci, il vient
qr — q'g — q'r' = o.
Si Télongation est nulle, <f = o, d'où
qr = q r, ou
ce r = c' e r\
On déduit de là la relation posée.
Pour déterminer l'erreur limite que comporte la méthode, remarquons que
*V=jSr*r==*r""*v-
Mais
q + q' = ce et q t— q* = c'e
d'où
a e (cr — cV) q K~ fT + r fr"
A une erreur de lecture dx correspond une erreur de telle que
da. er de
De là, on tire
de
^da+C—rda,
Ke r c
Kecc
Pour réduire Terreur relative limite, il convient donc de choisir K,eet r' aussi grands que possible. Il en résulte que r sera grand aussi, puisque r et r' sont dans le même rapport que c' et c. Il est toutefois inutile de prendre pour r et r' des valeurs plus grandes que celles pour lesquelles une variation d'un ohm dans Tune des branches ne produit pas d'élongation sensible au galvanomètre.
Méthode de M. Gott. — La méthode précédente est sujette à plusieurs causes d'erreur, provenant de ce que la self-induction et la capacité des bobines formant les résistances r et r' ne sont géné-
Fig. 134.
ralement pas négligeables et de ce que les condensateurs peuvent donner lieu à des courants de perte entre les armatures. Ce dernier inconvénient se présente toujours lorsqu'on mesure la capacité d'un câble électrique. Dans ce cas, une autre cause d'erreur importante intervient : la durée de la charge d'un câble est beaucoup plus
grande que celle des condensateurs étalons. Il s'ensuit . que , si même qr = q' r', les potentiels aux bornes du galvanomètre n'ont pas à chaque instant la même valeur. Le condensateur étalon se chargeant rapidement, le galvanomètre sera traversé, pendant les premiers moments, par un courant dirigé vers ce condensateur ; ensuite le courant se portera vers le câble.
M. Gott a cherché à résoudre ces difficultés en intervertissant, dans la méthode de M. de Sauty, la pile et le galvanomètre, fig. 134. On abaisse d'abord la clef de la pile de manière à laisser le régime permanent s'établir dans les résistances et les condensateurs, puis on abaisse la clef du galvanomètre, afin de vérifier si le potentiel du point de jonction des résistances est égal au potentiel du point de jonction des condensateurs.
On a alors, en appelant i le courant dans les résistances et q la charge des condensateurs,
ir = i et iV=i-, c c
d'où
Les meilleures conditions d'expérience sont les mêmes que dans la méthode de M. de Sauty.
On évite, par ce procédé, les effets sur le galvanomètre de la self-induction des bobines r et r' et de la durée de charge du câble; mais le galvanomètre est toutefois traversé par le courant de perte du câble.
Méthode de Lord Kelvin. — Pour supprimer ce dernier inconvénient, Lord Kelvin a adopté la méthode suivante, qui est en usage pour déterminer la capacité des longs câbles.
On charge le câble c' et le condensateur étalon c en abaissant les clefs 1, 2 et 3. En appelant i le courant qui traverse les résistances r et r', les condensateurs c et c' prennent des charges
q = c ir .
On relève ensuite les clefs 2, 3 et 1 , et Ton abaisse 4 de manière à
permettre aux condensateurs de se décharger l'un dans l'autre; puis on ferme la clef 5, afin d'écouler le résidu de la charge des
— 1/lA/l/lA/V
A/VWl/l/> —
Fig. i35.
condensateurs dans le galvanomètre. En réglant ret r'de telle sorte que ce résidu soit nul, on a
Comme dans les méthodes précédentes, on choisit r et r assez grands pour qu'une différence de i ohm dans la valeur de Tune de ces résistances ne cause pas d'élongation appréciable du galvanomètre*
Il est récommandé de manœuvrer les clefs dans Tordre indiqué, sinon Ton s'expose à ce que les condensateurs se déchargent dans les résistances.
Cas d'un courant continu. Wattmètre. — La puissance électrique absorbée dans un conducteur soumis à une différence
çwm
Fig. i36.
de potentiel e et parcouru par un courant i , a pour expression ei, s'il s'agit d'un courant continu et constant.
Ce produit peut être déterminé par voie indirecte, en mesurant séparément les facteurs e et i à l'aide d'une des méthodes indiquées
précédemment ou par voie directe , au moyen d'appareils appelés wattmètres.
Les wattmètres les plus employés sont des électrodynamomètres. Cependant on a transformé en wattmètres des balances de Kelvin, qui constituent d'excellents appareils de contrôle.
Dans un électrodynamomètre, la bobine fixe, composée d'un petit nombre de tours de gros fil, est disposée en série avec le circuit dans lequel est absorbée la puissance à mesurer. La bobine mobile, ordinairement composée de quelques tours de fil plus fin, est mise en tension avec une grande résistance et le tout est raccordé en dérivation par rapport aux points qui limitent le circuit étudié, fig. 1 36. Appelons r la résistance de la bobine fixe, R la résistance de la bobine mobile et du rhéostat additionnel , e la différence de potentiel des points a b, et 1 l'intensité du courant qui passe au point a. Le couple électrodynamique qui sollicite la bobine mobile peut être représenté par
A , X ï+ii
Il est mesuré par une torsion 6. Si r est suffisamment petit, on peut négliger ri devant e et il vient
Pour faciliter les lectures , il est bon d'adjoindre au wattmètre un amortisseur à air ou à liquide.
Lorsque les expériences sont faites très près de dynamos ou de conducteurs parcourus par des courants, dont on craint l'influence, on peut, pour supprimer les perturbations, dédoubler les deux bobines de manière à constituer un système mobile astatique.
Les connexions telles qu'elles sont indiquées dans le croquis amènent, comme on le voit, une légère erreur en trop dans les indications du wattmètre, puisque le voltage aux bornes du circuit dérivé est accru de la chute de tension dans la bobine fixe de l'appareil. Si l'on raccordait le circuit mobile du wattmètre directement à la résistance utile , on commettrait encore une erreur positive , car la bobine fixe serait alors traversée par le courant
utile augmenté du courant dérivé. Le wattmètre fonctionnerait dans ce cas , même si le circuit utile était interrompu, car les deux bobines de l'appareil seraient traversées par un courant.
On détermine la constante K de l'appareil en reliant celui-ci à une résistance connue, traversée par un courant d'intensité déterminée.
On pourra toujours estimer Terreur relative commise en négligeant ri ; elle a pour expression
i* r ir ex e
Cas des courants périodiques. — Lorsque la puissance électrique est transportée sous forme de courants périodiques, le choix d'une méthode de mesure exige une attention toute particulière.
Il y a alors deux cas à considérer :
i° Le conducteur qui absorbe la puissance à mesurer a une réactance négligeable. Il en est ainsi avec les lampes à incandescence.
20 La réactance du conducteur n'est pas négligeable.
Si les champs constants n'ont pas d'action sur les bobines traversées par des courants alternatifs , par contre , il faut craindre l'action répulsive exercée par les courants de Foucault engendrés dans les pièces métalliques de consolidation. Il faut diviser ces pièces et éviter les couvercles en métal.
Conducteurs sans réactance. Lorsqu'un conducteur de la première catégorie est soumis à une différence de potentiel périodique, il est le siège d'un courant dont les phases coïncident avec celles de la différence de potentiel. Par suite , la puissance moyenne est égale au produit de la différence de potentiel efficace par le courant efficace.
On peut déterminer séparément l'intensité efficace du courant à l'aide d'un électrodynamomètre et la différence de potentiel efficace par un voltmètre pour courants alternatifs.
Dans l'hypothèse où la puissance considérée est transformée intégralement en chaleur par l'effet Joule, on peut déduire cette quantité de chaleur de l'intensité ou de la différence de potentiel mesurées respectivement par l'indication d'un électrodynamomètre
ou par celle d'un voltmètre convenable. On a , en appelant p la résistance, supposée connue , du conducteur sur lequel on expérimente
-t / eidt = ' r I fldt = \r \eHt-
La méthode la mieux adaptée aux mesures industrielles est celle du wattmètre , qui est indépendante de la loi du courant. Il faut employer un appareil dans lequel la réactance de la bobine mobile et de la résistance additionnelle est négligeable. On arrive à ce résultat en composant la résistance additionnelle de bobines à double enroulement ou de lampes à incandescence, ou encore en utilisant une résistance liquide sans capacité de polarisation sensible.
Le courant qui traverse le circuit dérivé du wattmètre est alors en concordance de phase avec la différence de potentiel, et l'angle de torsion de l'appareil est directement proportionnel à la puissance moyenne
JLJL /
— K T / eidt:
La constante K est déterminée au moyen d'une résistance traversée par un courant continu.
Mais souvent la réactance de la branche dérivée n'est pas négligeable, lorsque la résistance additionnelle est formée par des bobines. Il en résulte un affaiblissement du courant dans cette branche et un décalage de sa phase sur celle de la différence de potentiel, qui ont pour effet de réduire les indications du wattmètre en dessous de la valeur correspondant à la puissance réellement absorbée par le conducteur p.
On pourrait rendre les indications du wattmètre correctes en enroulant la bobine mise en série avec le cadre mobile de telle manière que sa capacité neutralise l'effet de la self-induction du circuit dérivé et qu'ainsi la réactance s'annule. Mais il est plus simple d'employer un électrodynamomètre ordinaire, en se servant en guise de résistance additionnelle de lampes à incandescence, dont la réactance est presque nulle, et de faire passer dans le circuit
de l'enroulement mobile un courant assez intense pour permettre de réduire autant que possible le nombre de spires de cet enroulement.
Pour apprécier Terreur due à la réactance du circuit de la bobine mobile, on remarquera que le courant dans ce circuit est
au Heu de
Eeff
Ieff = -g- cosç,
Eeff
I#rr désignant l'intensité efficace du courant principal, le couple électrodynamique moyen est proportionnel à Ieff z'eff cos cp , car on sait que le produit moyen de deux facteurs sinusoïdaux I et i décalés d'un angle <p est
T Eeff Ieff «
Ieff «eff COS 9 = ^ COS* Ç.
L'erreur relative est donc égale à
Eeff Ieff , Eeff I«ff
cos2 9 —
R R . « = — sm* f .
Eeff Ieff
Elle est essentiellement négative. Pour des angles faibles, on peut remplacer le sinus par la tangente et écrire
s = — tang* ? .
Exemple. Dans le cas où la réactance du circuit dérivé du
wattmètre est exprimée par %=- £, on a
Alors, si
2* Z tang f = ^ — .
T = — r de seconde,
R = 3 000 ohms,
£ = o,383 henry,
Conducteurs avec réactance. Emploi du wattmètre. L'expression de la puissance moyenne est alors de la forme
Eeff Ioff cos <I>,
$ représentant l'angle de phase dû à la réactance du conducteur.
La bobine fixe du wattmètre possède trop peu de spires pour
altérer sensiblement cet angle. Si , comme c'est généralement le
' cas, l'influence de la capacité des circuits est faible vis-à-vis de
celle de la self-induction, il y a un retard de phase du courant sur la différence de potentiel agissante, à la fois dans le circuit principal comprenant l'enroulement fixe du wattmètre et dans le circuit dérivé de celui-ci. Il en résulte une tendance à la concordance des phases du courant dans les deux circuits, ce qui peut avoir pour effet de renforcer les indications de l'instrument au delà de la valeur correspondant à la puissance réelle, contrairement à ce qui se produit dans le cas d'un conducteur sans réactance.
Le courant qui passe dans la bobine mobile a pour intensité
efficace -—- cosqp et la réaction des deux bobines est proportion-
R nelle à
— X Icff X cos (<I> — ç).
R Par suite, l'erreur relative est
. E<.ff I«.ff COS 3 COS («I» — ç) — Eoff Icff cos <&
L.rr loir cos «l> = cos2 9 -J- cos ç sin 9 tang «1» — i =. cos 9 sin 9 tang <ï> — sin2 9.
Pour de petites valeurs de 9, on peut écrire
s' = tang 9 tang 4> — tang2 9 = e + tang 4> y/ — e.
Si 4> est positif, ce qui a lieu toutes les fois qu'il n'existe pas de capacité importante dans le circuit principal, l'erreur est négative tant que 4> < 9, c'est à dire que les indications de l'appareil sont alors trop faibles. Mais, en général * > y et l'erreur est positive.
Ainsi, avec e = — 0,0 1 et * = 6o°, valeur qu'atteint le retard de phase dans les transformateurs fonctionnant à vide, on a
Ce résultat montre qu'avec un wattmètre capable de mesurer à 1 pour 100 près la puissance dans un circuit sans réactance, on peut commettre des erreurs très considérables dans les circuits à forte inductance ; en général, lorsque cos <ï> < 0,4, le wattmètre donne peu d'exactitude.
En résumé , si le circuit dans lequel on mesure la puissance , ainsi que le circuit dérivé du wattmètre ont une réactance positive, les indications de l'instrument sont ordinairement trop fortes ; si le circuit dérivé possède une réactance négative, les indications sont trop faibles.
Si le circuit principal a une réactance négative, le résultat est trop grand ou trop petit, suivant que le circuit dérivé de l'appareil a une réactance négative ou positive.
Enfin, si le circuit principal a une réactance nulle, tandis que celle du circuit dérivé n'est pas négligeable , les indications sont toujours trop faibles.
Pour se faire rapidement une idée de l'exactitude d'un wattmètre, on le branche sur un circuit sans réactance, tel que des lampes à incandescence. On soumet celles-ci à une différence de potentiel de valeur efficace constante et l'on fait croître la fréquence du courant. Si les indications du wattmètre diminuent, c'est que sa réactance n'est pas négligeable.
Mesure de la puissance dans le cas des courants polyphasés. Considérons le cas le plus compliqué qu'on rencontre dans les applications, celui des courants triphasés et supposons d'abord qu'on ait affaire au montage en étoile, fig. 137.
La puissance dépensée dans les 3 branches est, à un moment quelconque ,
les signes des courants et des différences de potentiel étant implicites.
Comme on a, d'autre part, la condition
ij6
on voit que
p = lt v. + IjVj+IaVs, (3)
expression qui, par la combinaison de (2) et (3), peut être ramenée à
p = I, (V,— Vs) + I, (V, - Vj). (4)
Fig. 137.
Dans le cas du montage en triangle, fig. 1 38, il vient p = i< (V, - V,) + 4(V«- V3) + «3 (V,- VJ,
ls
Bgfl5B<WUtfflU'<iKfr»m
Fig. i38.
avec
et
h = h — h ; d'où
équation identique à (4).
Pour obtenir l'expression de la puissance moyenne, il suffit de prendre la somme des moyennes des produits formant les seconds membres des équations (1), (5) ou (6) :
I|(V|-v)A+i I lf(V,-v)A+~ / I3(V3-v)<fc, (7)
T P^f / MV,~V3U* + 4- / I,(V2-V3)<fr (9)
Les sommes constituant les seconds membres des équations (7) et (8) peuvent être obtenues à l'aide de 3 wattmètres. Si 6, ô7 et 6" sont les indications des trois appareils dont les constantes sont *, W et *",
On peut combiner les trois wattmètres en un seul, en superposant le long d'un même axe les 3 bobines mobiles et en faisant agir celles-ci respectivement sur les bobines fixes correspondantes. Enfin, si le générateur fournit un courant suffisamment constant et si l'énergie absorbée par les appareils de mesure ainsi que la réactance de ceux-ci peuvent être négligées, un seul wattmètre ordinaire, intercalé successivement dans les trois branches du circuit , peut donner les trois termes de la puissance.
En appliquant l'équation (9), on peut se contenter de deux
wattmètres ou d'un wattmètre double. Il est à remarquer que les deux termes du second membre de cette équation prennent des signes contraires dans le cas de décalages considérables comme ceux des moteurs tournant à vide ; il faut alors prendre la différence des indications des wattmètres, lesquels accusent des déviations inverses. Si Ton emploie un wattmètre double, les actions des enroulements fixes sur les bobines mobiles s'ajoutent ou se retranchent suivant les cas.
Pour rendre compte de l'interversion signalée ci-dessus, considérons un moteur enroulé en étoile ( * ) , fig. 1 39 et 140.
Fig. 139. Fig. 140.
Les valeurs maxima des différences de potentiel entre les points A, B, C et O, sont représentées graphiquement parles vecteurs OVA, OVB , OVc décalés de 1200 et les courants maxima dans les trois branches de l'étoile par les vecteurs OIA , OIB , OIc .
Les maxima des différences de potentiel VA — Vc , VB — Vc s'obtiennent en changeant le sens du vecteur OVc et en traçant les résultantes OM et ON.
Le wattmètre dont le gros fil est parcouru par le courant IA et dont le fil dérivé est soumis à la tension VA — Vc donne l'intégrale
