METRES
Résultat moyen : i6j,-6 Différence moyenne : if»
Le résultat est i6j,j6 ± 0,16 mètres. Ce résultat doit éventuellement être corrigé des erreurs constantes connues. Si les •erreurs constantes ont varié pendant les observations, chaque résultat partiel doit être corrigé isolément, avant le calcul des moyennes.
Le nombre des observations à adopter dépend des différences que celles-ci présentent entre elles. Si les différencessont faibles, on conçoit qu'il est inutile de multiplier les mesures. Dans tous les cas, le calcul des probabilités enseigne que le crédit qu'on doit accorder au résultat moyen croît, non pas comme le nombre d'observations, mais comme la racine carrée de ce nombre, qui dépasse rarement 10.
Uerreur relative moyenne est le rapport de l'erreur moyenne
au résultat moyen. Dans l'exemple précédent, cette erreur est —^ — ,.,
soit environ 0,001, c'est à dire 0,1 pour 100. Comme on le verra, c'est Terreur relative moyenne qui sert généralement de base dans la discussion des méthodes d'essai.
Les erreurs fortuites suivent une loi qui a été découverte par Laplace et qui permet de calculer Yerreur fortuite probable du résultat moyen, celui-ci restant éventuellement entaché des erreurs systématiques inconnues. Dans les mesures électrotechniques, celles-ci sont souvent supérieures aux erreurs fortuites et peuvent difficilement être éliminées. Aussi est-il rarement utile, dans ces mesures, de faire les calculs compliqués qu'exige la détermination de Terreur fortuite probable. L'indication de Terreur moyenne suffit pour édifier sur la valeur des observations. Lorsque la précision des mesures comporte la détermination de Terreur fortuite probable, on calcule celle-ci suivant les règles indiquées dans les traités spéciaux sur le calcul des probabilités.
Il y a un genre d'erreurs que nous avons laissées de côté. Ce sont les fautes grossières d'observation ou de calcul, les copies inexactes des résultats, etc. Souvent ces erreurs sont évidentes à la simple inspection des résultats ; on arrive à les éviter par le soin et Tordre dans le travail.
Mesures indirectes. Erreur limite et erreur probable. —
Lorsqu'un résultat est obtenu indirectement à l'aide de données expérimentales, il est important, aux points de vue de la discussion de la méthode et de la détermination des conditions d'essai les plus favorables, de fixer l'influence que présentent les erreurs moyennes commises dans les diverses observations sur l'exactitude du résultat final.
Lorsque, par exemple, Tintensité d'un courant est mesurée à Taide de la déviation d'un galvanomètre, il est utile de vérifier quelle importance une erreur de lecture peut avoir sur la détermination de Tintensité. On arrive ainsi à définir dans quelle région de Téchelle l'influence de Terreur de lecture est la plus faible. On peut déterminer par expérience entre quelles limites il est possible de faire varier Tintensité du courant sans apporter de modification sensible à la déviation du galvanomètre; mais il faudrait de longs tâtonnements pour déterminer dans quelle région de Téchelle Terreur relative, due au défaut de sensibilité de Tappareil, est la plus petite. Le calcul permet de résoudre directement ce problème.
Il est non moins important d'estimer l'influence des erreurs partielles afin de déterminer les observations qu'il est utile défaire avec le plus de soin et celles dans lesquelles une erreur a peu d'importance. On arrive ainsi à utiliser de la meilleure manière possible le temps dont on dispose.
Le résultat des mesures indirectes est entaché des erreurs systématiques des observations qu'elles comportent. De plus, une erreur systématique peut encore provenir de ce que le résultat n'est pas lié aux données expérimentales parla fonction qu'on a admise. Ces erreurs constantes s'éliminent en variant les méthodes d'essai, les instruments et les modes d'observation, et en corrigeant les défauts connus.
Reste l'erreur du résultat due aux erreurs fortuites moyennes des diverses observations ; voici comment on l'estime.
Supposons que le résultat cherché j' soit une fonction de diverses données d'observation xiy jc2,... x„ , sur lesquelles des erreurs 84, B2,... 8n, peuvent être commises. Si ces erreurs sont assez faibles pour qu'il soit permis de négliger leurs carrés, on peut les supposer infinitésimaleset les désigner pardxndx.2^.. dxn; on détermine alors l'erreur du résultat en appliquant les règles du calcul différentiel, ce qui permet de simplifier les opérations. Il faut toutefois se rappeler que , dans les applications usuelles, ce procédé n'est pas d'une rigueur mathématique absolue et ne donne que des résultats approchés.
Les erreurs partielles dxi , dx2 ,... dxu , s'estiment en ayant égard à la précision des instruments qui ont servi à effectuer les diverses observations. Si chaque observation a été répétée un certain nombre de fois d'une manière indépendante, on prend pour dx^ dx2,... dx^s les erreurs fortuites moyennes, calculées comme on l'on vu précédemment.
De la fonction •
on tire, en appelant dy Terreur totale du résultat,
^ i df i df . df .
±. dy = :+: /- dxh rt -r±- dxo =t . . . . ± .— dx„. (2
^ dXt dX-> " J.Vn
Les erreurs partielles du résultat, dues aux erreurs des observations isolées, sont exprimées en grandeur par
àf a df j df a
1 dx{ f £ dx2 axa
Le signe des termes du second membre de ( 2) est indéterminé ; pour connaître X erreur absolue limite du résultat, on suppose que toutes les erreurs s'ajoutent, d'où
Ei = t», + et + . . . -f- eD = --L dx{ + -J- dxt + • • • + f~ dxD.
Dans le cas particulier où les expériences sont conduites de manière à rendre les erreurs partielles égales, on a
Ki
Ci = e.) •=. . . . . = eQ =
L'erreur relative limite commise sur y est une fonction de la forme
Ei
= 9 (.r,, .r2, vu). (3)
Lorsque la fonction y ne renferme qu'un seul terme , on trouve directement Terreur relative limite en prenant le logarithme de la fonction et en dirTérentiant. Tel est le cas suivant.
L'intensité lumineuse d'une lampe à incandescence est proportionnelle au cube du produit de la tension par le courant :
I = k («fi)*.
De là on tire
Lognép. I = Lognép. k -(- 3 Lognép. tf + 3 Lognép. I.
En différentiant, on arrive directement à
d\ 3 de . 3 di
Dans cet exemple, si l'on s'impose l'égalité des erreurs relatives partielles, = *—r , on obtient pour l'erreur résultante
d\ .de . di
c'est à dire que Terreur relative limite du résultat est sextuple de celle qu'entraîne la lecture de l'intensité du courant.
Au lieu de supposer que toutes les erreurs partielles s'ajoutent, ce qui est le cas le plus défavorable, on peut admettre que ces erreurs peuvent être aussi bien positives que négatives. Le calcul des probabilités montre qu'alors la valeur la plus probable de Terreur, appelée l'erreur absolue probable, est
Ep = yjef + <y + • • • • + <v*.
L1 erreur relative probable est
— ! » = ©' (A41, , .V2, . . . A"ii). (4)
Si Ton s'impose Tégalité des erreurs partielles, on arrive dans ces conditions à
EP Dans l'exemple précédent, on a pour Terreur relative probable
si les erreurs relatives partielles sont égales, on voit que Terreur relative probable du résultat est égale à 3 \h fois celle que
comporte la mesure du courant.
Conditions les plus favorables d'une mesure indirecte. — Il
arrive fréquemment qu'on peut modifier les conditions d'une mesure de manière à rendre minima Terreur relative du résultat.
Cas d'une seule variable. — Soit, par exemple, le cas de l'emploi d'un galvanomètre des tangentes shunté, qui donne l'intensité d'un courant par l'application de la formule
i = K tang a ;
K étant un facteur qu'on peut faire varier à volonté, en modifiant le shunt employé.
On peut se poser le problème de déterminer la valeur de a qui
rend minima Terreur relative que comporte i. L'erreur absolue rfi, due à une erreur dx commise dans la lecture de l'angle, est
dx = K -—-• cosJ a
L'erreur dx correspond à o,5, o,25, ... 0,1 de division de l'échelle suivant la finesse de l'aiguille indicatrice, l'écartement des traits limites et l'habileté de l'observateur.
L'erreur relative limite est
di 2 d% . ,
1 sin 2a
La condition du minimum de l'erreur s'obtient en posant
dv (a)
Elle conduit à cos 2ï = ooua= 45°. On vérifie facilement que la dérivée seconde est positive pour x =45° et que, par conséquent, on a bien affaire à un minimum. Dans beaucoup de cas, la seule inspection du résultat montre si l'on se trouve en présence d'un maximum ou d'un minimum.
Il est important de rechercher le minimum de l'erreur relative et non celui de l'erreur absolue du résultat. Dans l'exemple précédent, l'erreur absolue est minima pour x = o ; c'est la valeur pour laquelle le galvanomètre présente le maximum de sensibilité , mais alors l'erreur relative devient énorme.
Il n'est pas toujours possible de trouver des conditions d'expérience correspondant à un minimum de l'erreur. Dans le cas du galvanomètre des tangentes sans shunt, on ne peut pas modifier K de manière à obtenir, pour une valeur quelconque de 1, une déviation a voisine de 45°.
Il arrive assez fréquemment que les méthodes ou les appareils dont on dispose ne permettent pas de se placer dans les meilleures conditions d'essai. Lorsqu'on mesure le courant débité par une dynamo, à l'aide d'un ampèremètre à divisions égales, le minimum d'erreur relative limite correspond à la déviation maxima ; mais si le courant fourni par la machine ne dévie pas l'aiguille au delà des premières divisions de l'échelle et si l'on n'a pas d'autre appa-
reil à sa disposition, il faut bien accepter Terreur considérable qui en résulte. Dans ce cas, on a
d'où
di d*
Pour une erreur absolue d% déterminée, Terreur relative -.-
diminue quand a croît ; mais a est lié aux valeurs invariables / et K. Il en est ainsi pour toute expression telle que
dans laquelle les paramètres de a sont invariables et i est déterminé, car une seule valeur est alors possible pour a.
Cas de plusieurs variables. — Dans le cas de plusieurs variables, nous avons trouvé pour Terreur relative limite,
Ei__
et pour Terreur relative probable
Le minimum de Terreur relative limite est donné par
dy dtf d?
dxK dx2 dxn
et le minimum de Terreur relative probable par
dy dy d?
dxK dx.> dxn
On distingue le minimum d'un maximum par la condition que les dérivées du second ordre soient positives, à moins que l'inspection des résultats ne rende cette distinction évidente. Souvent on trouve la condition de minimum en appliquant des règles simples: dans certains cas, la quantité à rendre minima est une somme de deux termes dont le produit est constant ; la plus petite valeur de la somme correspond à Tégalité des termes.
Ainsi qu'on Ta fait remarquera propos des fonctions à une seule variable, il n'est pas toujours possible de réaliser la condition du minimum d'erreur, maison doit chercher à s'en rapprocher.
En général, l'importance des erreurs varie peu au voisinage du minimum, de sorte qu'il n'y a aucun inconvénient, dans la plupart des cas, à s'écarter, dans une certaine mesure, des conditions théoriques les plus favorables.
C'est la raison pour laquelle on détermine fréquemment les meilleures conditions d'expérience en cherchant à rendre minima non Terreur relative probable, dont l'expression affecte souvent la forme d'une fonction compliquée, se prêtant difficilement au calcul, mais bien Terreur relative limite qui est ordinairement beaucoup plus simple.
Considérons le cas fréquent de deux variables,
jr=f(xt, x2).
Deux solutions se présentent :
î). On peut chercher le rapport -*- qui rend minima Terreur
relative du résultat. La connaissance de ce rapport est suffisante lorsque les conditions d'expérience fixent la meilleure valeur à donner à Tune des variables. Le problème se réduit alors à la recherche de la valeur minima d'une fonction à une seule variable.
2,. Si Ton veut déterminer les valeurs de x^ et de x2 considérés comme variables indépendantes, on dérive la fonction successivement par rapport à x{ et à x2 et Ton égale les dérivées à o.
Une application fera mieux comprendre ce qui précède. Dans plusieurs mesures que nous étudierons dans le cours de cet ouvrage, la grandeur numérique c d'une quantité est obtenue en fonction de celle de son étalon c par deux déviations galvanométriques a et a', telles que
On peut se demander quel est le meilleur rapport de a à a', qui rende minima : a) soit Terreur relative limite commise sur c, b) soit Terreur relative probable faite sur la même quantité.
a). Considérons d'abord Terreur relative limite. On a pour les erreurs partielles
de , c a.' ,
