da = — ttô «*i
ai (a — a )Â
de . , c' a , , .
an (a — a )*
d'où, en admettant que les erreurs de lecture rfa et d-x sont égales et donnent des erreurs partielles qui s'ajoutent,
r, c' ( a + *') da
et
El a -4- a' ,
Posons
il vient
Ki ;i ( n -\- 1 1 dn
En considérant n comme seule variable, le minimum de Terreur relative limite correspond à
b). Le carré de Terreur probable du résultat est, pour dz = dx\
Ep = — ; ru — da2 ;
et le carré de Terreur relative* probable
£p. — (*a + g'2) rfg1 — (w2+ 0 »* j^
Le minimum de Terreur relative probable correspond à
ïi:i — 2 n- — i = a.
INTRODUCTION. l3
On trouve approximativement « = 2,2, résultat très peu différent de celui auquel conduit la considération de Terreur limite.
Rapport à établir entre les erreurs partielles d'un résultat indirect. — Il est à remarquer que si un résultat comporte plusieurs mesures et si quelques unes de celles-ci admettent une approximation plus grande que d'autres, il est superflu de chercher à obtenir, pour les résultats partiels, une exactitude très supérieure à celle que permet d'atteindre l'observation la mains exacte. Cependant, pour que les erreurs partielles aient toutes la même influence, il peut arriver qu'il soit nécessaire de faire quelques observations avec plus d'exactitude que d'autres. On a vu que, dans l'évaluation du rendement lumineux d'une lampe à incandescence, la mesure du voltage doit se faire avec une précision sextuple de celle que comporte l'intensité lumineuse.
Voici un autre exemple. La résistibilité d'un conducteur de longueur /, de diamètre 0 et de résistance r, est donnée par la formule
ko* 1
On trouve l'erreur relative limite en prenant la différentielle du logarithme de cette fonction et en supposant que les erreurs partielles s'ajoutent
d? — ^ di A dr udl
On voit que, si l'erreur partielle commise dans l'estimation du diamètre doit être égale à celle due à la mesure de la longueur, la première évaluation doit être faite avec une approximation double de celle que comporte la seconde. On doit donc apporter beaucoup plus d'exactitude dans la mesure du diamètre, qui est précisément la plus difficile. Si l'on ne peut mesurer le diamètre à moins de 1 pour 100 près, à l'aide de la jauge dont on dispose, il est inutile d'obtenir une exactitude supérieure dans l'estimation de la longueur, puisque le complément de temps et de soin que demande cette approximation plus grande n'augmente la précision du résultat final que d'une quantité insignifiante.
Si, dans l'exemple précédent, on considère Terreur relative probable, on obtient
E* dV . dr* . dl* . .
Si Ton exige que les erreurs relatives partielles soient égales, il vient
2 do dr dl E,,
?sjl
En se donnant Terreur relative probable admissible dans le résultat , Téquation ( i ) permet de déterminer les erreurs partielles relatives des diverses observations. Si, dans Thypothèse de Tégalité de celles-ci, Terreur relative probable sur la résistibilité doit être 0,1 pour ioo au plus, on a
EP
— --= o,ooi ;
d'où
ido dr dl o.ooi 0
