TT- = — = T

r l sj'i

soit o,o58 pour ioo. Partant, la mesure du diamètre doit être faite avec une approximation de 0,029 pour 100.

Il peut être avantageux de s'imposer une autre condition que celle de Tégalité des erreurs partielles ; c'est le cas lorsqu'il est possible d'accroître l'exactitude de certaines observations avec une faible dépense de temps. Il vaut mieux alors, étant donnée Terreur permise sur le résultat, diminuer Terreur partielle due à ces observations, de manière à pouvoir tolérer des erreurs partielles plus grandes dans les autres.

Il va sans dire que si Ton désire le résultat le plus exact possible, il faut tâcher de diminuer toutes les erreurs partielles, sans cependant perdre son temps à rechercher des approximations mal équilibrées. Ainsi, dans la détermination de l'effet utile d'une machine à vapeur, il est inutile de mesurer la longueur de la course du piston à 0,01 pour 100 près, si une erreur de 1 pour 100 peut être faite dans l'évaluation de la vitesse.

Si Ton admet, l'égalité des erreurs partielles, on peut déduire quelques conséquences intéressantes :

i° L'erreur relative limite d'une somme est égale à celle de chacune des parties.

Soit

on a

Donc

da db + de

db de db -\- de da

2° L'erreur relative limite d'une différence est supérieure à celle de chacun des termes de celle-ci, d'autant plus que ces termes sont plus voisins de l'égalité.

a = b — c, on déduit l'erreur limite

d'où

da db 4- de

db de db — de .

da __ a

db — de 4- 2 d e db , i de b — e ~~ b ' b — c

3° L'erreur relative limite d'un produit ou d'un quotient de 2 quantités est égale au double de l'erreur commise sur chacune de celles-ci.

a = bc et a = -

donnent l'erreur relative limite

da db de

l6 CHAPITRE I.

4° L'erreur relative de la puissance nc d'une quantité est égale à n fois Terreur commise sur celle-ci.

5° L'erreur relative de la racine nc d'une quantité est égale à la ne partie de l'erreur que comporte cette dernière.

Ces résultats montrent que, dans le choix des méthodes de mesure, on doit chercher à éviter celles qui donnent la valeur désirée sous forme d'une puissance élevée, d'un produit d'un grand nombre de facteurs ou d'une différence minime.

En s'habituant à discuter les méthodes d'essai, on finit par acquérir le sens pratique, qui permet de distinguer rapidement les erreurs partielles négligeables et les corrections, relatives à l'effet de la température, de la pression, etc., qu'on peut laisser de côté. On évite ainsi l'obstacle sur lequel se buttent les personnes qui accordent une importance exagérée à certaines corrections se prêtant à des développements de calcul pour lesquels elles se sentent des aptitudes spéciales, et qui laissent de côté des circonstances physiques ou s'appuient sur des hypothèses susceptibles d'apporter des erreurs très supérieures aux précédentes.

Opérations numériques effectuées sur des valeurs approximatives. Règles à calcul. — Connaissant Terreur moyenne relative d'un résultat direct ou Terreur probable relative d'un résultat indirect, on peut apprécier le nombre de chiffres significatifs admissibles dans l'expression de ce résultat. Par chiffres significatifs, il faut entendre ceux qui n'ont pas simplement pour objet de déterminer la position de la virgule indicatrice des unités. Il faut que le dernier chiffre significatif soit seul incertain, Tavant-dernier étant exact. Ainsi, pour une erreur relative de 0,1 pour 100, le résultat ne doit pas comporter plus de 4 chiffres significatifs, bien que certaines opérations numériques effectuées pour calculer ce résultat puissent en fournir beaucoup plus. Si, par exemple, une division avait donné pour quotient 19369973, il faudrait écrire, en forçant le dernier chiffre, 19370000 ou plus simplement 1937 ^

Voici quelques-unes des approximations qu'on peut atteindre dans les mesures électriques. Les valeurs absolues de l'ohm, du volt et du coulomb sont connues à 0,1 pour 100 près. Les étalons à mercure de l'ohm peuvent être reproduits à 0,001 pour

ioo près; les étalons métalliques de la même grandeur sont réalisés à 0,0 1 pour 100 près; les résistances des boîtes usuelles sont des copies exactes à o,5 pour 100 près. Les condensateurs isolés au mica sont étalonnés à 0,2 pour 100 près. Les mesures de résistances effectuées au pont de Wheatstone ne dépassent pas ordinairement l'approximation de 0,2 pour 100. La détermination électrolytique de l'intensité d'un courant peut atteindre l'approximation de o,o5 pour 100. L'évaluation des forces électromotrices au moyen de l'étalon Clark permet une approximation de 0,1 pour 100. Le coefficient de self-induction des bobines sans fer peut s'estimer à o,3 pour 100 près; mais, avec les bobines h noyau en fer, l'erreur peut atteindre 3 à 4 pour 100. L'emploi des ampèremètres et des voltmètres usuels entraîne des erreurs généralement supérieures à o,5 pour 100. Dans les mesures industrielles qui cumulent les erreurs du voltmètre et de l'ampèremètre, on ne dépasse ordinairement pas l'exactitude du centième. C'est la raison pour laquelle il est recommandé d'utiliser la régie à calcul pour les opérations numériques effectuées sur les résultats des mesures industrielles (*). Cet instrument, dans les mains d'une personne exercée, abrège les opérations, évite les erreurs grossières et épargne beaucoup de peine. Il a l'avantage de conserver sensiblement la même approximation à tous les calculs effectués sur une même échelle. Se prêtant au calcul des résultats au fur et à mesure que s'effectuent les observations, il permet, en cas d'erreur, de recommencer celles-ci pendant que l'expérience est encore montée. Pour les mesures industrielles, la règle de 26 cm ou celle de 52 cm suffisent. Pour les calculs plus précis, on peut utiliser la règle hélicoïdale de Fuller, qui procure une approximation de 0,02 pour 100. Ces utiles appareils constituent un outillage qui devrait se trouver sur la table de tous les ingénieurs , de même que les formulaires donnant les tableaux des carrés des nombres, des cubes, etc.

I1) Sella et Montefiore, Théorie et Pratique de la Règle à calcul; Baudrv, Paris.

l8 CHAPITRE I.

Interpolation. — Il arrive fréquemment qu'on ne peut réaliser les conditions physiques requises pour amener un appareil de mesure dans une position déterminée. Par exemple, il se peut qu'on ne parvienne pas à graduer le courant qui traverse un galvanomètre de manière à amener l'aiguille sur une division ô donnée de l'échelle , mais qu'on connaisse deux intensités voisines /, et /2, pour lesquelles l'aiguille occupe des positions 5, et o2, situées de part et d'autre de la position requise. Les valeurs des courants étant peu différentes, on est alors en droit d'admettre , si ce n'est pas la règle , que les déviations sont proportionnelles aux intensités dans les limites observées. Une simple proportion fournit la valeur du courant inconnu :

"> fc IV J»

i'a — t\ "~ x — i, ' d'où l'on tire

(8 -a,» (it-i,)

On ne peut extrapoler en dehors des limites d'observation en adoptant le procédé ci-dessus qu'à la condition de s'écarter très peu de ces limites.

Préparation d'un essai. Notes d'expérience. Rapports. Représentation graphique des résultats. — On ne doit exécuter un essai qu'après avoir étudié consciencieusement la méthode à employer et discuté, au préalable, les meilleures conditions d'expérience.

La méthode étant connue et un schéma bien net de l'installation ayant été tracé, on procède au placement des appareils d'essai en adoptant le plus grand ordre dans la disposition de ceux-ci. En ce qui concerne les connexions électriques , on ne saurait apporter trop de soin dans l'arrangement des fils, ni de propreté dans les contacts des conducteurs, des fiches et des clefs de circuit. Des négligences sous ce rapport entraînent souvent de longues recherches de dérangements. On évitera de tordre les fils de connexion sous forme de boudins qui accroissent inutilement la résistance et la self-induction des circuits.

11 faut se persuader que la préparation des expériences constitue la partie la plus difficile et souvent la plus longue d'un essai.

INTRODUCTION. IQ

L'expérimentateur relève dans un carnet de notes toutes les observations au fur et à mesure que celles-ci sont exécutées. Les notes doivent être assez nettes pour qu'une personne au courant de la méthode d'essai puisse les comprendre.

On enregistre soigneusement les circonstances de l'essai, en commençant par la date et l'heure, la température de l'air ambiant et les autres conditions physiques. Pour avoir négligé de noter la température, on ne peut faire les corrections, souvent très importantes, que l'effet de celle-ci entraîne.

Les calculs conduisant aux résultats et la discussion de ceux-ci sont établis de manière à permettre de revoir aisément la suite des opérations.

Après l'essai, on dresse un rapport ou compte rendu de celui-ci. Le rapport rappelle la théorie de la méthode employée, donne une courte description des appareils utilisés, si ceux-ci n'ont pas été décrits déjà dans un rapport précédent; il énumère toutes les données d'expérience et reproduit bien nettement les calculs numériques, à l'aide des signes spéciaux; enfin, les résultats y sont mis en évidence sous forme de tableaux bien ordonnés.

Lorsque les résultats fournissent les variations d'une grandeur en fonction d'une autre grandeur indépendante, par exemple les variations de la résistance d'un conducteur en fonction de sa température ou celles de la force électromotrice d'une dynamo en fonction du courant débité, il est utile de représenter graphiquement ces variations en se servant de papier millimétré. On adopte, autant que possible, pour le rapport un format capable de contenir les feuilles de diagrammes non pliées.Le format du papier ministre est généralement suffisant. Après avoir choisi des échelles de coordonnées convenables, on porte les valeurs de la variable indépendante en abscisses et les résultats correspondants en ordonnées. Les points ainsi définis sont précisés par l'intersection desdeux branches de petites croix ou par les centres de petits cercles. On trace alors, à la main ou au pistolet, la courbe moyenne qui satisfait le mieux aux points trouvés.

L'échelle des ordonnées peut différer de l'échelle des abscisses pour éviter des courbes qui s'étendent trop en longueur ou en hauteur. Il peut être utile, dans le même but, de commencer

à noter les ordonnées ou les abscisses à partir d'une valeur différente de o, ce qui correspond à un simple transport des axes de coordonnées.

Les représentations graphiques offrent de nombreux avantages. Elles permettent d'embrasser d'un coup d'œil l'ensemble des résultats, de juger de la concordance ou de la divergence des observations et d'interpoler des résultats intermédiaires ; en outre, elles permettent de juger, par analogie, de la forme de la fonction algébrique qui a le plus de chance de représenter la loi empirique du phénomène.

Si le diagramme est une droite ou s'en rapproche sensiblement, la fonction cherchée est évidemment

y = a + bx.

Comme Ton a, d'après la formule de Mac Laurin,

la fonction inconnue peut, en général, se mettre sous la forme

y=za-\-bx-{-cx2-\-.. .,

si les coefficients décroissent rapidement.

On peut employer cette formule parabolique, réduite à trois termes, lorsqu'à une partie de courbe sensiblement rectiligne succèdent des ordonnées croissant plus rapidement que les abscisses.

Si l'on a affaire à une courbe dont la première partie est sensiblement rectiligne et dont les ordonnées croissent ensuite de moins en moins rapidement de manière à tendre vers une asymptote parallèle à l'axe des abscisses, on essaiera la fonction hyperbolique

i + bx

C'est le cas de la courbe empirique du magnétisme de Frolich. Si les ordonnées du diagramme croissent ou décroissent rapidement, il y a lieu de tenter une fonction exponentielle, telle que

bx y z=ac

— bx

Enfin, si les ordonnées sont périodiquement positives et négatives, on trouve la solution dans une fonction circulaire

y = a sin bx -f a sin b'x -f- • . • >

qui, dans beaucoup de cas, peut être réduite à un terme.

Les valeurs les plus probables des paramètres de ces fonctions se déterminent par l'application de la méthode des moindres carrés.

Il est prudent de ne pas attribuer une portée théorique à une fonction ainsi déduite empiriquement, parce qu'on serait conduit à des extrapolations erronées. Une extrapolation semblable a fait attribuer une limite nulle à la perméabilité du fer.

Unités de mesure. — Unités fondamentales. On ramène toutes les actions électriques à des forces et on les exprime par suite à l'aide des trois grandeurs primordiales : la longueur, la masse et le temps.

Les électriciens ont choisi pour mesurer ces grandeurs le centimètre, le gramme et la seconde.

Le centimètre est approximativement la billionième partie du quadrant terrestre; rigoureusement, il est la centième partie du mètre étalon conservé à rétablissement international de Sèvres.

Le gramme représente environ la masse d'un centimètre cube d'eau distillée au maximum de densité. Un étalon du kilogramme existe également à Sèvres.

La seconde est la 86 4oomc partie du jour solaire moyen.

Ces unités, dites fondamentales, sont représentées par les symboles [L], [M], [T].

La valeur numérique d'une quantité s'exprime par le rapport de celle-ci à l'unité choisie. Une longueur mesurée par un nombre / aura une valeur concrète égale à / [L]. Si Ton adopte une autre unité [L'], il viendra une valeur numérique /', telle que

/•[Ll = /fL], d'où j = ffi

On voit donc que la valeur numérique d'une quantité est en raison inverse de la grandeur de l'unité choisie.

Unités dérivées. Pour exprimer les diverses grandeurs physiques, on pourrait choisir des unités arbitraires et indépendantes les unes des autres. Cette méthode, suivie pendant longtemps, ne présente pas d'inconvénient quand les mesures sont directes. Mais le plus souvent on évalue les quantités au moyen d'unités d'espèces différentes, en se servant des méthodes indirectes ou absolues. Par exemple, pour mesurer une surface, on ne la compare pas directement avec un étalon de surface, mais on détermine ses éléments linéaires, à l'aide de l'unité de longueur, et l'on applique la relation existant entre la surface et ses dimensions.

Pour un carré s, de côté c, la relation est

s = kc1.

Si c = i, s ■=. k.

Le facteur arbitraire fc, qui représente la surface du carré ayant l'unité de côté, peut être égalé à i. L'unité de surface ainsi déterminée est le carré dont les côtés sont égaux à un centimètre ; elle est liée à l'une des unités fondamentales et s'appelle, pour cette raison, unité dérivée de surface.

De même l'unité dérivée de volume est le cube ayant un centimètre de côté.

On peut ainsi définir des unités dérivées pour toutes les grandeurs physiques, en débarrassant de leurs coefficients arbitraires les relations qui unissent ces grandeurs entre elles.

Le système d'unités déterminé par ce procédé se désigne par les initiales des unités fondamentales choisies.

Le système C. G. S. d'unités, adopté par les électriciens, a pour base le centimètre, le gramme et la seconde.

Unités mécaniques dérivées. Er. poursuivant le procédé de raisonnement appliqué ci-dessus, on voit sans peine que l'unité de vitesse est la vitesse d'un mobile qui parcourt l'unité de longueur en l'unité de temps ; cette unité dérivée est la vitesse d'un centimètre par seconde.

L'unité de vitesse angulaire correspond à l'unité d'angle (arc égal au rayon ou radiant parcouru en l'unité de temps.

L'unité d'accélération est l'accélération pour laquelle la vitesse s'accroît d'une unité par seconde.

L'unité de quantité de mouvement est la quantité de mouvement de l'unité de masse se déplaçant avec l'unité de vitesse.

L'unité de force, qui a reçu le nom de dyne, est la force qui, appliquée à l'unité de masse, lui imprime l'unité d'accélération.

L'unité usuelle de force est le poids du gramme, c'est à dire la force capable, sous notre latitude, d'imprimer à l'unité de masse une accélération approximativement égale à 981. Le gramme équivaut par conséquent à 981 dynes.

L'unité de travail, appelée erg, est le travail accompli par l'unité de force, dans sa propre direction, suivant l'unité de longueur.

L'unité usuelle de travail est le kilogrammètre, qui vaut 981 < ior* ergs.

L'unité de puissance ou erg par seconde est la puissance d'un moteur développant l'unité de travail en l'unité du temps.

Les unités usuelles de puissance sont le cheval-vapeur, qui équivaut à j5 < 981 X 103 = j36 X io7 ergs par seconde, et le poncelet, défini par le Congrès de Mécanique de 1889 comme équivalant à 100 kilogrammètres par seconde, soit 981 X io7 ergs par seconde.

L'unité de densité est la densité d'un corps qui contient l'unité de masse dans l'unité de volume.

L'unité de module d'élasticité est le module d'un corps qui, supportant l'unité de force par unité de section, prend un allongement égal à sa longueur primitive.

Unités C. G. S. magnétiques et électriques. L'existence de l'action magnétique du courant permet d'établir un système d'unités dans lequel toutes les grandeurs électriques et magnétiques sont définies en fonction d'un pôle.

L'unité de pôle magnétique, définie par la loi de Coulomb, est le pôle qui repousse un pôle égal situé à la distance d'ui> centimètre avec la force d'une dyne.

Les autres grandeurs magnétiques se mesurent à l'aide d'unités dérivées, définies par leurs relations avec l'unité de pôle rappelées ci-après r :

(') Eric Gérard, Leçons sur l'Electricité ; Gauthier- Villnrs. Paris.,

Potentiel magnétique xp^zS—.

Intensité de champ 3C = -rr-

Moment magnétique X = / S m.

Intensité d'aimantation 5 = —

Densité superficielle a = --•

Puissance d'un feuillet <£== ss.

Flux de force magnétique X = m w.

Coefficient d'induction 3R, = -^ •

Coefficient d'aimantation ou de susceptibilité x = — ■

Coefficient de perméabilité \l = i +4^x.

L'effet magnétique d'un courant est identique à celui d'un feuillet de même contour et de puissance égale à l'intensité du courant.

Un courant circulaire d'intensité /, de longueur / et de rayon r, par exemple, développe, sur l'unité de pôle placée au centre, une force

rÀ

On déduit de cette relation que l'unité d'intensité est l'intensité d'un courant circulaire de rayon unité produisant, par unité de longueur, l'unité de force sur l'unité de pôle placée au centre de l'arc.

L'unité de quantité d'électricité se déduit de la relation

C'est la quantité transportée par l'unité de courant en l'unité de temps.

La résistance électrique est liée à l'intensité du courant par

la loi de Joule

L'unité de résistance est, par suite, celle d'un conducteur dans lequel l'unité d'intensité développe l'unité de chaleur en l'unité de temps.

Le potentiel électrique, qui sert de mesure à la force électro-

motrice, trouve dans la loi d'Ohm une relation avec l'intensité et la résistance :

L'unité de force électromotrice ou de différence de potentiel produit l'unité de courant dans un conducteur ayant l'unité de résistance.

La capacité d'un corps s'exprime, en fonction de la charge et du potentiel, par la formule

L'unité de capacité est représentée par la capacité d'un conducteur qui contient l'unité de charge sous l'unité de potentiel.

Unités pratiques. Les unités C. G. S. électriques sont représentées par des quantités qui diffèrent beaucoup, en général, des grandeurs qu'on rencontre dans les applications. Ainsi , la résistance électrique de i oo m de fil de fer de 4 mm de diamètre équivaut à environ un milliard d'unités de résistance.

Afin de n'être pas obligé d'employer des nombres très forts ou très faibles pour exprimer les grandeurs usuelles, on a adopté des unités pratiques représentées par des multiples des unités C. G. S. C'est pour une raison semblable que l'unité de longueur du système métrique, définie par la Convention Nationale, est, non pas le

quadrant terrestre, mais sa — - partie.

L'unité pratique de résistance, qui a reçu le nom d'o/im, est égale à io9 unités C. G. S. de résistance. Cette unité est représentée par un étalon constitué au moyen d'une colonne de mercure d'un millimètre carré de section. Des expériences poursuivies jusqu'en 1884 ont établi que la longueur de la colonne correspondant à la résistance d'un ohm est, à la température de o» C, voisine de 126 centimètres, ce qui a fait proposer cette longueur pour la définition de Yohm légal, faisant foi dans les transactions commerciales. Toutefois, cette proposition n'a pas rencontré la sanc-

tion des Etats. Comme , d'ailleurs, des expériences plus précises , exécutées depuis 1884, ont montré que Yohm vrai est représenté, avec une approximation de i/5ooo, parla résistance, à la tempéra-

turc de la glace fondante, d'une colonne mercurielle de 14,4521 grammes, d'une section transversale constante et d'une longueur de io6,3 cm, cette dernière définition a été agréée par le Congrès de Chicago sous le nom d'ohm international.

L'unité pratique d'intensité, appelée ampère international, est égale au dixième de l'unité C. G. S.

Les recherches expérimentales ont montré qu'un courant de cette intensitédépose, en une seconde, 1,1 i8mmg. d'argent et 0,327 mmg. de cuivre, en décomposant un sel de ces métaux.

En appliquant les relations connues entre les grandeurs électriques, on déduit de ces deux unités les autres unités du système pratique.

L'unité pratique dérivée de force électromotrice , appelée volt international , est la force électromotrice qui , appliquée à un conducteur dont la résistance est un ohm international, produit un courant égal à un ampère international.

L'unité de quantité, le coulomb international, est égale au dixième de l'unité C. G. S.

L'unité de capacité , le farad international , est la capacité d'un conducteur chargé d'un coulomb international au potentiel d'un volt international.

L'unité pratique de travail ou d'énergie électrique, correspondant à 1 volt-coulomb, s'appelle jow/e.

1 joule = 10" ergs

= — r- — kiloerammètre.

L'unité pratique de puissance électrique , qui représente le voltampère, a reçu le nom de watt.

Le kilowatt vaut 1 ,36 cheval-vapeur. L'emploi de cette unité est recommandé pour désigner la puissance des machines motrices, concurremment avec le poncelet, lequel équivaut à 100 kilogrammètres par seconde ou 0,981 kilowatt environ.

Jl est à remarquer que les unités pratiques pourraient se déduire directement des équations entre les grandeurs électriques, à la condition de choisir comme unités fondamentales, au lieu du centimètre et du gramme, io,J centimètres, soit environ la longueur

du quadrant terrestre, et la — n- partie du gramme; la seconde

étant conservée pour l'unité de temps.

ÎNTROM'CTION. 2J

Les coefficients d'induction étant homogènes à une longueur, seront exprimés en centimètres dans le système C. G. S. et en billions de centimètres dans le système pratique. Les Américains ont adopté pour l'unité pratique de coefficient d'induction le nom de henry, qui a été sanctionné par le Congrès international de Chicago. Auparavant , cette unité était appelée, en Europe, secohm ou quadrant.

Le tableau suivant réunit les noms adoptés pour les unités magnétiques et électriques y compris les dénominations de Gauss et Maxwell admises par le Congrès de 1900 pour les unités C. G. S. d'intensité de champ et de flux de force magnétique.

Le système d'unités adopté par les électriciens a donné lieu* à diverses critiques.

Heaviside a fait observer que la définition de l'unité de pôle magnétique acceptée, a l'inconvénient de ne pas tenir compte de la perméabilité du milieu et qu'elle conduit au facteur 41c incommode dans tes calculs. Pour éviter ce dernier, il a proposé un système d'unités, dit rationnel, dans lequel le pôle unité est celui qui repousse un pôle égal placé à 1 cm avec une force de 4* dynes. Ce système a lui-même le défaut d'introduire le facteur incommensurable 47c dans le rapport entre les nouvelles unités et les anciennes. M. Fessenden a remarqué que si l'on considère la perméabilité de l'éther comme égale à 4* au lieu de l'unité, on évite ce facteur, sauf pour deux des unités.

Sans être aussi radical, M. Blondel estime qu'à l'heure actuelle le système pratique avec ses divers exposants de 10 est compliqué .et que rien n'empêcherait de prendre pour unité usuelle de courant l'unité C. G. S. et pour unité usuelle de potentiel io* unités C. G. S. Dans ces conditions, les rapports entre les unités usuelles et les unités C. G. S. seraient toujours 1 ou la puissance 9e de 10.

Quels que soient les mérites de ces propositions, il ne faut pas perdre de vue qu'il a fallu des années pour faire admettre les unités électriques actuelles par les praticiens et que des lois les ont consacrées dans divers pays. De nouvelles unités, de nouveaux noms, seront donc difficilement sanctionnés par l'usage.

es O

Ct h «»

1 1 1 "1 1 i \ao

i O i OVO o

Nff» N