VI SI VI

= — sin' ^

et est essentiellement négative. Quand ^ est très petit, on peut remplacer le sinus par la tangente et écrire

E = — tang- ^.

Dans le cas où la réactance du circuit dérivé du wattmètre est exprimée par 2izCjT, on a

Si T = i/i25e de seconde, R = 3oooohms, iP = o,383 hennv on trouve alors t =- — o,oi.

Conducteurs avec réactance.

L'expression de la puissance moyenne à mesurer est alors V I cos If, iji représentant l'angle de phase du conducteur i l'essai. La bobine fixe du wattmètre possède trop peu de spires pour altérer sensiblement cet angle.

Si, comme c'est généralement le cas, l'influence de la capacité des circuits est faible vis-à-vis de celle de leur self-inJuction, il existe un retard de phase du courant sur la différenie de potentiel agissante, à la fois dans le circuit d'utilisation, où est inséré l'enroulement fixe du wattmètre, et dans le circuit dérivé de celui-ci. Il s'ensuit une tendance au rappnv chement des phases des courants dans les deux circuits, qui peut avoir pour effet de renforcer l'indication de l'instni-j ment au delà de la valeur correspondant à la puissance réelle contrairement à ce qui se proiluit dans le cas d'un conducteii sans réactance.

Le courant qui passe dans la bobine mobile a une mtensit efficace V cos 'J/ / R et la réaction électrodynamique des deu bobines est proportionnelle à

T V cos if

cos (o - \),

de sorte que l'erreur relative est

I V I cos if CQS (y — 4*) — V I cos ? V I cos «

= cos* <|/ -f- cos <{/ sin if tang y — i

= cos if sin if tang ç — sin* <J*.

Pour de petites valeurs de if, on peut poser

t' = tang if tang ^ — tang* •{< = £ -|- tang o y — t.

Si o est positif, ce qui a lieu quand il n'existe pas de capac importante dans le circuit principal, l'erreur est négative et les indications de l'appareil sont trop faibles tant que 9 Mais, en général, ^ > i}» et l'erreur est positive.

MESURE DES PlISSANCES ÉLECTRlOrES.

Ainsi, avec £ ^ — o,oi et ^ = 6o", valeur qu'atteint le retard de phase clans les transformateurs statiques fonctionnant à vide, il vient e' = o,i63. Ce résultat montre qu'avec un wattmètre capable de mesurer à i pour ino près la puissance dans un conducteur sans réactance, on pieut ccmimettre des erreurs très considérables dans les circuits à forte inductance. En général, lorsque cos 9 < 0,4, le wattmétre donne peu d'exactitude.

En résumé, si ie circuit où l'on mesure la puissance ainsi que le circuit dérivé du wattmétre ont des réactances positives, les indications de l'instrument sont ordinairement trop fortes; si le circuit dérivé possètle une réactance négative, elles sont trop faibles. Si le circuit, jirincipal a une réactance négative, le résultat est habituellement trop grand quand le circuit dérivé a également une réactance négative ; il est trop petit lorsque la réactance de ce dernier est positive. Enfin, dans le cas où le circuit principal n'a pas de réactance, tandis que celle du circuit dérivi- n'est pas négligeable, les lectures sont toujours trop faibles.

Pour se faire rapidement une idée de la valeur d'un wattmètre, on le raccorde à un circuit sans réactance, tel que des lampes à incandescence, qu'on soumet à une différence de potentiel de valeur efficace constante et l'on fait croître la fréquence. Si les indications de l'appareil diminuent, c'est que la réactance de son circuit dérivé n'est pas négligeable.

Puisqu'un wattmétre pour lequel -J^ n'est pas iml renseigne une puissance V I cos ^ cos if — "j-), au lieu d'indicjuer la puis- .sancc cherchée V I cos a, il faut, pour obtenir cette dernière, multiplier son indication par le rapport cos ç , cos <^ cos {'-f — «j*). Connaissant le coefficient de self-induction C du circuit dérivé, on peut calculer <^ par la formule tang -^ = a X'/ R et dresser un tableau des valeurs du terme de correction pour diverses pulsations a et différents déphasages ».

Nous avons raisonné ci-dessus dans l'hypothèse de variations simplement sinusoïdales. Dans les autres cas, les harmoniques apportent des perturbatitins liées à leur fréquence et il n'est généralement plus possible d'estimer l'erreur provenant de

l'influence des inductances et capacités. Il faut alors s'attacher à réduire le plus possible la réactance du circuit dérivé du wattmètre.

Il peut arriver que les ondes du courant coïncident avec les ondes de la diflérence de potentiel, mais ne présenterit pas les mêmes déformations. C'est ce que l'on constate dans les arcs à courants alternatifs. Il n'y a pas de déphasage et cependant il faut multiplier le produit des valeurs efficaces de la tension et du courant par un facteur de puissance, qui descend jusqu'à 0,7, pour obtenir la puissance absorbée. L'usage du wattmètre s'indique dans de telles conditions.

Courants polyphasés.

Considérons le cas des courants triphasés et supposons d'abord qu'on ait affaire au montage en étoile, fig.. 173. Si les

FiR. 173.

notations du schéma désignent les courants et les potentiels en grandeur et en signe à un moment quelconque, la puissance instantanée déi)enscc dans les trois branches est

/ ^ I , (\-, - r) + h (Vo - v) + h (Va - r) ( i)

et, comme on a constamment la condition

Il + I2 + 13 = o, (2)

MESURE DES PUISSANTES ÉLECTRIQUES. 343

on peut écrire plus simplement

/ = Il V, + I» Vî + I3 V3, expression qui, par l'élimination de I3 grâce à (2), se ramène à / = I, (Vi - V3) + I2 (Vt - V3). (3)

Dans le cas du montage en triangle, fig. 174, il vient

Fig. 174-

avec

d'où

Il = il — h, Ij = h — il ;

/ = I,(V, -V3) + I.(Ve-V3),.

équation identique à (3).

Pour avoir la puissance moyenne, il suffit de prendre la somme des mojennes des produits formant les seconds membres de (i), (4) ou (5) :

^ = - II, (V, -v)dt+ ^ j I, (Vs - v) cit + ^ l I3 {V, - v) cit. (6)

P = ^ I, (V, - Va) rf/ + ^ U (Va -

Va) rf^ (8)

Les termes des seconds membres des égalités (6) et (7) peuvent être obtenus à l'aide de trois wattmètres. Si 9, 6' et f sont les indications de ces appareils, dont les constantes sont k, k' et k",

Dans le cas du montage en étoile, si le centre de celle-ci n'est pas accessible, il suffit de réunir entr' elles les extrémités libres des résistances additionnelles des trois wattroètres.

Il est possible de combiner les trois instruments en un seul, en superposant les bobines mobiles le long d'un axe commun et en les soumettant respectivement à l'action des bobines fixes correspondantes.

Quand les phases sont également chargées, on peut se contenter d'un seul wattmètre, dont la bobine fixe reste dans l'un des fils d'alimentation, tandis que la bobine mobile et sa résistance additionnelle sont dérivées successivement entre

Fif;. 175-

ce fil et chacun des deux autres. On évite le changement de connexions en créant un point neutre artificiel o, fig. 175, au(]uel aboutissent le circuit dérivé du wattmètre ainsi que

MESURE DES PUISSANCES ÉLECTRIQUES

deux résistances r égales à la résistance de ce circuit et attachées, d'autre part, aux deux conducteurs de ligne non utilisés. L'application de l'équation (8) ne demande que deux wattmètres reliés à des parties du système étudié toujours accessibles. La fig. 176 montre les liaisons dans l'hypothèse de circuits triphasés A, B et C connectés en triangle. On remarquera qu'elles sont les mêmes que pour la mesure de la puissance dans deux circuits diphasés M et N à retour commun. Avec les courants triphasés, si l'on n'a qu'un wattmètre à sa disposition, on peut intercaler la bobine fixe successivement dans deux quelconques des fils d'alimentation, tandis que la

l'-ig. 176.

bol)ine mobile est disposée successivement entre chacun de ces deux fils et le troisième.

Il est à noter que les deu.x termes du second membre de ré<iuation (8) prennent des signes contraires dans le cas de tléphasages considérables, tels que ceux des moteurs asynchrones tournant à vide. Il faut alors faire la difiérence des indications des deux wattmètres, qui accusent des déviations «le sens opposés. Dans un wattmètre double, les actions des enroulements fixes sur les bobines mobiles s'ajoutent ou se retranchent comme il convient. Aussi, cette dernière disposition est-elle utilisée pour les compteurs.

En vue de rendre compte de l'interversion signalée, considérons un moteur enroulé en étoile ('), fig- 177- Les valeurs

('1 Bull, de r.Ass. des Ing. declr. sortis de tlnstittt! MmtUfiore. Vol. 1K94-95, }>. 249. — Gauthier-Villars, Paris.

maxima des difierences de potentiel entre les points A, B, C et O sont représentées graphiquement, fig. 178, par les vecteurs O Va , O Vu , O Vc décalés de 120", et celles des courants dans les trois branches de l'étoile par les vecteurs OL , 01» , Ole. Les amplitudes des différences de potentiel V^ — Vc et V„ — Vc s'obtiennent en changeant le sens du vecteur OVc et en traçant les résultantes OM et ON.

Le wattmètre dont la bobine fixe est traversée par le courant Ia et dont le circuit dérivé est soumis à la tension Va — Vo donne l'intégrale

L \ (\\ - V,.) sin at I. si» {at + ^) dt = -- {\\ - V,) I, cos <l. T I 2 '

Le wattmètre correspondant au courant I,, et à la tension

V|, — \'c mesure l'intégrale

' I ( V„ - W") sin {at - ') \, sin {at - '; - 0)rf/ = ' (V. - Ve) Lcos* 1 J 3 J 2

Il est aisé de constater que, si le déphasage du courant sur la difierence de potentiel dans chacune des phases du inoteur vaut (xv>, l'une des intégrales s'annule; s'il est supérieur à 6cr\ elle devient négative. L'angle de 60" rcjirésente un facteur de puissance égal à o,5.

MESURE DES PUIS

Dans la pratique, il n'est guère possible de se tromper, car les résultats sont manifestement inexacts si l'on commet l'erreur de signe. En faisant les deux observations avec un même ■ wattmètre, si l'on a soin de transporter les connexions symétriquement d'une des positions à l'autre, le sens de déviation Bde la bobine mobile change dans le cas où les signes des deux intégrales sont différents. Un inverseur introduit dans le circuit dérivé de l'appareil permettra d'effectuer les lectures

Idans toutes les circonstances.

Avec les hautes tensions alternatives, les résistances aiUlitionnelles à insérer à la suite des bobines à fil fin des wattmètres deviennent coûteuses. On a songé â raccorder les bobines à des transformateurs réilucteurs semblables à ceux Kdes voltmètres. Si ces auxiliaires sont peu chargés, leur tension ^■secondaire est sensiblement opposée à la tension jirimaire. ^■Toutefois, la disposition en question ne peut convenir que pour Hdes instruments de tableau, <lont la précision est restreinte.

V Wattmètres spéciaux. Modèles Siemens et Halske, Kelvin, Sumpner, à induction. — Le wattmètre Siemens et Halske à lecture directe donne des déviations proportionnelles aux puissances mesurées et pratiquement indépendantes de la /réquenée et de la forme des courants alternatifs, ftg. ijy.

^P Le cadre fixe de l'instrument est combiné de manière à créer, dans la région où se meut la bobine mobile, un champ magné-

I tique sensiblement radial, analogue à celui des giiKanoniétres peprez et d'Arsonval. A cet effet, le côté supérieur et le côté Inférieur des spires de son enroulement sont constitués par des circonférences auxtiuelles les côtés rectilignes latéraux aboutissent suivant les extrémités d'un diamètre, de telle sorte que te courant principal traverse les circonférences en se dérivant entre leurs moitiés en parallèle. Ces circonférences et les bran-

Iches qui les raccordent sont découpées dans une tôle en cui\re Se 0,3 mm d'épaisseur et ont une largeur de 14 mm. Les bandes métalliques sont pourvues de rainures destinées à empêcher la formation de courants de Foucault. L'enroulement comporte 32 spires séparées par des épaisseurs de papier du Japon im-

prégné d'un vernis isolant et groupées différemment en série ou en pnrallùle suivant l'intensité maxima des courants à transmettre. Quand toutes les spires sont reliées en série, l'enroulement mesure o,u37^ ohm à 17° C, présente un coefficient de self-induction négligeable de o,oooo56 henry et peut supporter IJ,5 ampères. Le courant peut atteindre 400 ampères avec toutes les spires connectées en dérivation.

Fig. 179.

La bobine mobile comporte 400 spires de fil de cuivre de 0,1 mm de diamètre. Sa résistance vaut loo ohms et son coefficient de self-induction o,ot)88 henry. Elle est montée entre pointes, dirigée par deux ressorts spiraux enroulés en sens inverses et pourvue d'un amortisseur à air constitué par un dist)ue à bords élargis coulissant dans un tube courbe fermé à l'un des bouts. En vue d'éliminer l'influence de la température

MESURE DES PUISSANCES ÉLECTRIQUES

[et de l'inductance de la bobine mobile, ainsi que pour obtenir fune constante de proporttonn;ilité convenable, l'enroulement à [fil fin est muni d'un shunt et d'un rhéostat en série, tous deux len manganine et enroules en diiuMe, qui portent la résistance [tle l'ensemble à i cxio ohms. Dans ces conditions, une diffé- Irence de potentiel de 3o volts peut être appliquée au système. jPour les voltages supérieurs, on ajoute en tension des résisîces supplémentaives non-inductives en manganine, à raison |de I ooc) ohms par 3o volts, de manière à maintenir l'intensité lu courant dérivé du wattmetre inléricure à o,o3 ampère.

La position relative de la bobine mobile et du cadre fixe 'hangeant a\ec la puissance à é\aluer, il importe que le loeflicient d'induction mutuelle des deux enroulements reste iégligeable dans toutes les positions. D'une valeur de 0,000 16 lenry quand l'index de l'instrument est au zéro de la graduaion, ce coefficient descend à o,orx302 henry quand l'aiguille larque qo", pour remonter jusqu'à o,0(X)i5 henry p<iur la déviation maxima de i5o".

Lord Kelvin a imaginé un wattmetre de tableau à lecture

lirecte, où le conducteur en série est un gros fil, courbé en

forme de S dont les deux boucles embrassent chacune une

Ibobine à fil fin. Les deux bobines enroulées en sens inverses

[constituent un système astatique soustrait aux influences

îxtérieures et sont fixées à un axe commun portant l'aiguille

îdicatrice.

M. Sumpner a cherché à introiluire les électro-aimants dans

construction des wattmétres pour courants aiternatits, en

'inie d'accroître la sensibilité de ces instrununts. Dans un de

ses modèles, le circuit dérivé constitue l'enroulement fortement

înductil et peu résistant d'un noyau magnétique feuilleté, entre

les pôles duquel pivote une bobine ra[i|ielée piw des ressorts

lirecteurs et reliée au secondaire de grande résistance d'un

'transformateur sans fer, dont le primaire fst intercalé en

série dans l'installation à contrôler. Les courants dans les deux

parties de l'appareil, appro.\imativement en quadrature respec-

ivement avec la différence de potentiel agissante et avec le

rourant de service, conservent entr'eux sensiblement le même