ÉRIC GERARD

ciftAPITRE I.

Dans les premières, on ramène la comparaison entre la grajideur inconnue et son étalon à la comparaison tie deux grandeurs d une autre espèce. Ainsi, dans la balance à ressort, le rapport de deux poids est réduit au rapport de deux longueurs. Dans les secondes, on identifie les effets de la grandeur cherchée avec ceux de l'étalon. Dans la balance à fléau, on équilibre le poids inconnu à l'aide de poids connus.

Les méthodes de déviation, qui sont ordinairement plus rapides, permettent de suivre la marche tl'un phénomène ; c'est ainsi qu'un galvanomètre gradué indique les variations du courant qui le traverse. Par contre les appareils à déviation sont sujets à varier, par suite des altérations des ressorts ou des aimants qu'ils comportent. Ils peuvent être affectés par des causes perturbatrices extérieures, telles que des champs parasites. Si l'on ajoute que l'erreur de lecture est souvent importante, on comprendra que ces appareils procurent rarement une grande approximation.

Les méthodes de zéro sont généralement plus précises, parce qu'elles utilisent l'appareil de mesure dans les meilleures conditions de sensibilité et qu'elles permettent d'éliminer les causes d'erreur ci-dessus. Comme elles sont relativement lentes, on les réserve aux mesures de laboratoire, tandis que les méthodes de déviation s'appliquent aux essais courants.

Mesures directes. Erreurs systématiques et erreurs fortuites. — Les résultats d'essais présentent inèvit.iblement des erreurs qui proviennent soit de la méthode employée, soit des instruments utilisés, soit de l'observateur même. Ces erreurs se divisent en deux classes.

La première comprend les erreurs, dites constantes ou systématiques, qui affectent le résultat dans un sens déterminé, toujours le même. Elles peuvent provenir d'un vice de méthode, d'une défectuosité d'appareil ou d'un défaut physique de l'observateur. Le déplacement du zéro d'un galvanomètre, la lenteur d'un obser\ateur qui doit l'aire partir un chronomètre au moment où il voit ou entend un phénomène, amènent des erreurs systématiques.

On ne peut corriger ces erreurs qu'en variant les méthodes

INTRODUCTION

d'observation, les instruments et les observateurs. La comparaison des divers résultats avec le résultat moyen permet d'estimer les erreurs systématiques. On peut souvent modifier les conditions d'expérience de manière qu'une erreur positive devienne négative, ce qui procure une moyenne exacte. Par exemple, le déplacement du zéro d'un galvanomètre augmente ou diminue la lecture faite sur la graduation suivant que le courant traverse l'instrument dans l'un ou l'autre sens.

Les changements tels que ceux qui sont dus à l'influence de la température sur la longueur ou sur la résistance électrique des corps, des variations du magnétisme terrestre sur les aimants, de la polarisation sur la force électromotrice d'une pile, doivent être regardés comme des erreurs systématiques, qu'on peut corriger lorsqu'on connaît l'importance et le mode

^■d'action de ces causes.

Les erreurs de la seconde catégorie, dites variables ou fortuites, ^ «mt caractérisées par la propriété de fournir indifféremment ^ des valeurs plus grandes ou des valeurs plus petites que le résultat vrai. Ainsi, lorsqu'un observateur mesure plusieurs lois une longueur de quelques mètres en employant un mètre [(talon, il trouve généralement des nombres différents, qui peuvent s'écarter aussi bien en plus qu'en moins de la valeur

U>rsque toutes les observations ont comporté le même soin, |h Valeur la plus probable est fournie par la moyenne arithmé- ("lUe des résultats. Cette moyenne élimine, autant que posnWe, les erreurs variables, mais elle reste affectée des erreurs constantes qui, dans l'exemple précédent, peuvent tenir à une rourbure du mètre étalon, à un défaut de graduation de fflui-ci, etc., et pour lesquelles des corrections séparées [(doivent être faites.

n est important d'insister sur la nécessité d'apporter la irmc rigueur dans toutes les observations entrant dans la no\Tnne. Les débutants ont une tendance à se guider sur les premiers résultats obtenus et à rejeter ceux qui s'en écartent,

! crainte d'arriver à des tableaux discordants. D'autres fois,

i opérateurs ont une idée préconçue du résultat et éliminent

les observations qui s'en éloignent. S'il connaît le résultat auquel il doit arriver, l'observateur doit agir comme s'il l'ignorait et n'écarter que les résultats qui s'éloignent delà moyenne par suite d'une faute évidente. Les derniers résultats doivent être notés avec autant de soin que les premiers ; ils ont plutôt plus de valeur puisque, dans le cours des expériences, l'obser\'ateur a pu se perlectionner.

Il est Inm de s'habituer à estimer le dixième de la dernière division de l'instrument dont on se sert. Si même le fil de réticule ou l'index qui sert aux lectures est un peu grossier, il vaut mieux écrire la fraction estimée en dixièmes que sous la forme '/j, '/«i quitte à mentionner (]uc l'erreur possible de lecture est o,5 ou o,2.t d'une division. Avec un fil de réticule suffisamment fin, on arrt\e très bien à estimer le dixième d'une division correspondant à i mm. L'erreur maxima ccmiporte alors u,i mm.

La moyenne des résultats a d'autant pius de chances de se rapprocher du résultat vrai inconnu que les nombres trouvés diflièrent moins entr'eux. On peut avoir un terme de comparais(m à cet égard en considérant Vcrreiir ntoyoïrtf, iléfinie pari la moyenne des différences entre le résultat moven et les! observations isolées, abstraction faite ilu signe de ces diflerences.

Ainsi , supposons nombres suivants :

(|uc des mesures aient conduit aux

NOMMRKS

167,60 167,60 i67,vS7 167.8S i6S,oo 167.85 167.83 167,60

Résultat moyen : 167,76 Différence moyenne : 16

DIFFKRKXCKS

INTRODUCTION

Le résultat est 167,76 ± 0,16. Ce résultat doit cvt'ntut'licment être corrigé dés erreurs constantes connues. Si les erreurs «■stématiiiucs ont varié pendant les observations, chaque résullat partiel doit être corripé isolément , avant le calcul des inojcnnts.

Le nombre d'observations à adopter dépend des diffén-nces (|uc celles-ci présentent entrVlles. Si les difiérences sont faibles, on con(;oit qu'il est inutile de multiplier les Tnesures. Dans tous les cas, le calcul des probabilités enseigne que le crédit qu'on doit accorder au résultat moyen croit, non pas comme le nombre d'observations, mais comme la racine carrée (le ce nombre, qui dépasse rarement 10.

L'erreur relative moyenne est le rapport de l'erreur moyenne au résultat moyen. Dans l'exemple précédent, cette erreur est

il6 It)7,7h, soit environ 0,001, c'est-à-dire 0,1 pour im).

omme on le verra, c'est l'erreur relative moyenne qui sert !généralement de base dans la discussion des méthodes d'essai.

Lts erreurs fortuites suivent une loi qui a été découverte par

[Laplacc et qui permet de calculer V erreur for tuile probable du

Irésullnt moyen, celui-ci restant éventuellement entaché des

rreurs systématiques inconnues. Dnns les mesures électro-

fcchni(]ues, celles-ci scmt souvent supérieures aux erreurs

ftuites et peuvent dirticilement être éliminées. Aussi est-il

rement utile, dans ces mesures, de faire les calculs compliucs qu'exige la détermination de l'erreur Ibrtuite probable.

inilic;ition de l'erreur moyenne suffit pour édifier sur la

leur des observations. Lorsque la précision des mesures

mportc la déterminatitm d*- l'erreur fortuite probable, on calcule celle-ci suivant les régies indi(iuées dans les traités

Éciaux sur le calcul des probabilités.

Il y a un genre d'erreurs (jue nous avons laissé de côté, sont les fautes grossières d'»)bservation ou de calcul, la

ie inexacte des résultats, etc. Souvent ces erreurs sont

lentes à la simple inspection des résultats ; on arrive à les r par le soin et l'ordre dans le travail.

[Mesures indirectes. Erreur limite et erreur probable. —

u'un résultat est obtenu imlirectement à l'aide de don-

^caki

nées expérimentales, il est important, aux points de vue de la discussion de la méthode et de la détermination des conditions d'essai les plus favorables, de fixer l'inftuence que présentent les erreurs moyennes commises dans les diverses observations sur l'exactitude du résultat final.

Quand, par exemple, l'intensité d'un courant est mesurée à l'aide de la déviation d'un galvanomètre, il est utile de vérifier quelle importance une erreur de lecture peut avoir sur la détermination de l'intensité. On arrive ainsi à définir dans quelle régiitn de l'échelle l'influence de l'erreur de lecture est la plus faible. On peut trouver par l'expérience entre quelles limites il est possible de faire varier l'intensité du courant sans apporter de modification sensible à h» déviation du galvanomètre; mais ii faudrait de longs tâtonnements pour déterminer dans quelle région de l'échelle l'erreur relative, due au défaut de sensibilité <le l'appareil, est la plus petite. Le calcul permet de résoudre directement ce problème.

Il est non moins important d'estimer l'influence des erreurs partielles, afin de connaître les observations qu'il est utile de faire avec le plus de soin et celles dans lesquelles une erreur a peu de gravité. On arrive ainsi à utiliser de la meilleure manière possible le temps dont on dispose.

Le résultat des mesures indirectes est entaché des erreurs systématiques des observatiims qu'elles comportent. De plus, une erreur systématique peut encore provenir de ce que Krésultat n'est pas lié aux données expérimentales par la fonction qu'on a admise. Ces erreurs constantes s'éliminent en variant les méthodes d'essai, les instruments et les modes d'observation, et en corrigeant les défauts connus.

Reste l'erreur du résultat due aux erreurs fortuites moyennes des diverses observations. Voici comment ou l'estime.

Supposons que le résultat cherché y soit une fonction de diverses données d'observation jr,, .rj, ... .Vn, sur lesquelles des erreurs ôi, oj, ... o„ peuvent être commises. Si ces erreurs sont assez faibles pour qu'il soit permis de négliger leurs carrés, on peut les supposer infinitésimales, les désigner par tixi, dx^, ... dxn et déterminer l'erreur du résultat en appliquant les règles

INTRODCCTION.

du calcul différentiel, ce qui simplifie les opérations. Il faut toutefois se rappeler que, clans les applications usuelles, ce procédé n'est pas d'une rigueur mathématique absolue et ne donne que des résultats approches.

Les erreurs partielles </.v,, dxi, ... dx,, s'estiment en ayant égard à la précision des instruments qui ont servi à effectuer les diverses observations. Si chaque observation a été répétée un certain nombre de fois d'une manière indépendante, on prend pour i/.r,, dx;, ... dxn les erreurs fortuites moyennes, calculées comme on l'a vu précédemment.

De la fonction

on tire, en appelant dy l'erreur totale du résultat,

I on ti

W Les erreurs {)articlk's du résultat dues aux erreurs di-s

I observations isolées sont exprimées en j^randeur par

± rfy = ± f/ rfi, ± ^ dx-, ± rf.»i a Xi

e, = - dxi, t- = - dx-., ax, rf.Vï

± f dx,.

dXn

t\\ = -/- dXn.

dXn

Les signes des termes du second membre de (2) sont indéterminés. Pour connaître Verreitr absolue liiiiifi du résultat, nn suppose que toutes les erreurs s'ajoutent :

El = ^, + *•; +

.+,;„= 5 rf.v, + ^ dx, +

rf.Vi a Xi

-H f dx.. dx,.,

Dans le cas particulier où les expériences sont conduites de manière à rendre les erreurs partielles égales, on a

Jerreur relative limite commise sur v est une foncticm île la forme

Lorsque la fonction v se réduit à un seul tenue, rm trouve

directement l'erreur relative limite en prenant le logarithme et en différentiant. Tel est le cas suivant.

L'intensité lumineuse d'une lampe électrique à incandescence est proportionnelle au cube du produit de la tension par le courant :

I = k (eif.

De là on déduit

Lognép. I = Logn*p. k + 3 Logn«p. « + 3 Logn*p. /'•

Par difl'érentiation on arrive immédiatement à rf I 3 rf<r , 3 rf»

Dans cet exemple, si l'on s'impose l'égalité des erreurs relatives partielles, 3 de!e = 3 diji, on obtient pour l'erreur résultante

d l ^ de ,- di

c'est-à-dire que l'erreur relative limite du résultat est sextuple (le l'erreur relative qu'entraîne la lecture de l'intensité du courant.

Au Heu de supposer que toutes les erreurs partielles s'ajoutent, ce qui est le cas le plus défavorable, on peut admettre que ces erreurs peuvent être aussi bien positives que négatives. Le calcul des probabilités montre qu'alors la valeur la plus probable de l'erreur, appelée Verreur absolue probable, est

L'erreur relative probable est

Si l'on désire l'égalité dos erreurs partielles, on est conduit dans ces conditions à

INTRODUCTION

Dans l'exemple précédent, on a, pour l'erreur relative probable,

et, quand les erreurs relatives partielles sont égales, 3 V^ fois l'erreur relative que comporte la mesure du courant.

Conditions les plus favorables d'une mesure indirecte.

— 11 arrive fréquemment qu'on peut modifier les conditions d'une mesure de manière à rendre minjma l'erreur relative du ré ^ oiltat.

dJas d'une seule variable. Soit, par exemple, le cas de l'emploi iVtjM 31 galvanomètre des tangentes shunté, qui donne l'intenéité «l'ï-i n courant par l'application de la formule

« = K tang X,

K «étant un facteur qu'on peut faire varier à volonté en mc:> <lifiant le shunt utilisé.

^II3n peut se poser le problème de déterminer la valeur de a <li>- i rend minima l'erreur relative sur ».

^t^'erreur absolue di, due à une erreur d» commise dans la lec: ture de l'angle, est

rf; = K '^- .

cos' a

* — 'erreur dx correspond à o,5, o,25, . . . o,i de division de '*-* *^ lielle suivant la finesse de l'aiguille indicatrice, l'écartement de *^ traits limites et l'habileté de l'observateur.

-t — ^'erreur relative est

di 2 rfa / -.

t sm 2a '

-* — a condition du minimum de cette erreur s'obtient en posant

da.

«^*^"ti l'on tire cos|2a o ou a -- 45". On vérifie facilement fV^e la dérivée seconde est positive pour a 45" et que, par

lO

conséquent, on a Dien aflaire à un minimum. Dans beaucoup de cas, la seule inspection du résultat montre si l'on se trouvten présence d'un maximum ou d'un minimum.

Il est important de rechercher le minimum de l'erreur relative et non celui de l'erreur absolue du résultat. Dans l'exemple considéré, l'erreur absolue est minima pour a - o, valeur pour laquelle le galvanomètre présente le maximum de sensibilité ; mais alors l'erreur relative devient énorme.

Il n'est pas toujours possible de trouver des conditions d'expérience correspondant à un minimum de l'erreur. Avec le galvanomètre des tangentes sans shunt on ne peut pas modifier K lie fa(;on à obtenir, pour une valeur quelconque de /, une dé\ iation a \oisine de 45".

Il arrive aussi que les méthodes ou les appareils dont on dispose ne permettent pas de se placer dans les meilleures conditions d'essai. Lorsqu'on mesure le courant débité parune dynamo, à l'aide d'un ampèremètre à divisions égales, le minimum de l'erreur relative correspond à la déviation maxima ; mais, si le courant fourni par la machine n'avance pas l'aiguille au delà des |>remières divisions de l'échelle et si l'on n'a pas d'autre appareil, il l'aut Bien accepter l'erreur considérable qui en résulte. Dans ce cas, on a

I = K a, d'où

di rfa • a.

Pour une erreur aiisolue (/a donnée, l'erreur relative diji diminue quand a croit ; mais a est lié aux valeurs déterminées de i et K. Il en est ainsi chaiiue fois ijue, dans la relation

les paramètres de a sont invariables, car une seule valeui est alors possible pour a avec un même courant.

Cas de plusieurs variables. Dans le cas tle plusieurs variables, nous avons trouvé, pour l'erreur relative limite,

tn)

INTRODUCTION'

et, pour l'erreur relative probable,

Ep

= 9'{x>. -Vj ïn).

r ^e minimum de l'erreur relative limite est donné par

dtf

titf

dxi dx-> rf.Vii

et 1« minimum de l'erreur relative probable par d<f' rfs' df'

dx.

rf.V;

dXn

»n distingue le minimum d'un maximum en examinant si Ic'S dérivées du second ordre sont positives, à moins que , ï'irispection des résultats ne rende le doute impossible.

^iouvent on trouve la condition de minimum en appliquant *ie^ règles simples : quand la (|uantité à rendre minima est une somme de deux termes dont If produit est constant, sa plus Petite valeur correspond à l'égalité des termes.

-A.insi qu'on l'a fait remarquer à propos des fonctions à une sevile variable, il n'est pas toujours possible de réaliser la con- '•'ticn d'erreur minima, mais on doit chercher à s'en rajv procher.

Eln général, l'importance de l'erreur varie peu au voisinage "* minimum, de sorte qu'il n'y a pas d'inconvénient, dans la P'»-ipart des cas, à s'écarter, dans une certaine mesure, des conditions théoriques les plus favorables.

^~^ 'est la raison pour laquelle on détermine fréquemment les ™^illcures circonstances d'expérience en cherchant à rendre •"^rtima non l'erreur relative probable, dont l'expression affecte so la vent une forme compliquée, se prêtant difficilement au calcul, mais bien l'erreur relative limite, i]ui est ordinairement beaucoup plus simple.

Considérons le cas fréquent de deux variables :

Deux solutions se présentent.

i). On peut chercher le rapport .v,/.Va qui rend minima l'erreur relative du résultat. La connaissance de ce rapport est suffisante lorsque les comlitions d'expérience fixent la meilleure valeur à donner à l'une des variables. Le problème se réduit alors à la recherche du minimum d'une fonction à une seule variable.

2). Si l'on veut déterminer les valeurs de .r, et de .v« considérés comme variables indépendantes, on dérive la fonction y successivement par rapport à .r, et à .r», et l'on égale les dérivées à o.

Une application fera mieux comprendre ce qui précède.

Dans plusieurs mesures que nous étudierons dans le cours de cet ouvrage, la grandeur numérique c d'une quantité est obtenue en fonction de celle c' (le son étalon par deux déviations galvanométriques a et a' telles que

On peut se demander quel est le rapport de a à a' rendant minima: fl) l'erreur relative limite commi.se sur c, b) l'erreur relative probable faite sur la même quantité.

a). Prenons d'abord l'erreur relative limite. On a, j)our les erreurs partielles,

iia. (a