TT

rfa' =

dJ;

d'où, en admettant que les erreurs «le lectiire da. et da! égales et donnent des erreurs partielles qui s'ajoutent,

et

du.

INTRODUCTION. ^^^^1 13

Posons

il vient

El ti (« + i) rfï

En considérant * comme seule variablo, le minimum «le l'erreur relative limite correspond à

fi = 2,4i5.

b). Le carré de l'erreur probable du résultat est, pour dct — da!,

et le carré de l'erreur relative probable

Le minimum de l'erreur relative probable satisfait à

On trouve approximativement « = 2,2, résultat très peu di fieront de celui auquel conduit la considération de l'erreur limite.

Rapport à établir entre les erreurs partielles d'un résultat indirect. — Il est à remarquer qut-, si un résultat comporte jilusieurs mesures et si quelques-unes de celles-ci admettent une approximation plus grande que les autres, il est superflu de chercher à obtenir, p<ivii" Us données partielles, une exactitude très supérieure à celle que peimct d'atteindre l'tjbser\'ation la moins exacte. Cependant, pour que les erreurs partielles aient toutes la même influence, il peut arriver «lu'il soit nécessaire de faire quelques observations avec plus d'exactitude que d'autres. On a vu que, dans l'évaluation ilu rendement lumineux d'une lampe à incandescence, la mesure

(lu voltage doit se faire avec une précision sextuple de celle ([ue comporte l'intensité lumineuse.

Voici un autre exemple. La résistivité d'un conducteur électrique de longueur /, de diamètre o et de résistance r est donnée par la fonnulc

TtO"

On trouve l'erreur relative limite en prenant la diflërentielle du logarithme de cette lonction et en supposant que les erreurs partielles s'ajoutent

rfp

di , dr , dl

On voit que, si l'erreur partielle commise dans l'estimation du diamètre doit être égale à celle due à la mesure de la longueur, la première évaluation doit être laite avec une approximation double de celle que comporte la seconde. On doit donc apporter plus d'exactitude dans la détermination du diamètre, qui est précisément la plus difficile. Si l'on ne peut mesurer le diamètre à moins de i pour loo près à l'aide de la jauge dont on dispose, il est inutile d'obtenir une exactitude supérieure dans l'estimation de la longueur, puisque le complément de temps et de soin que demande cette approximation plus grande n'augmente la précision ilu résultat final que d'une quantité insignifiante.

Si, dans l'exemple précédent, on considère l'erreur relative probable, on obtient

rfÔ-

</r« dr

Quand on e.xige que les erreurs relatives partielles soient égales, il vient

idZ

dr

dl

En s'imposant l'erreur relative probable admissible dans le résultat, l'équation (l) permet de fixer les erreurs relatives

INTRODUCTION

partielles des diverses observations. Si, dans l'hypothèse de l'égalité de celles-ci, l'erreur relative probable sur la résistivité doit être de o,i pour loo au plus, on a

Ep

o,oi)i ;

d'où

2 rfo dr 0 ■ r

(il D.OOI

.soit o,o58 pour 100. Partant, la mesure du diamètre doit alors être faite avec une approximation de o,02Q pour 100.

Il peut être avantageux de s'imposer une condition autre que l'égalité des erreurs partielles. C'est le cas lorsqu'il est possible <raccroitre l'exactitude de certaines observations avec une faible dépense de temps. Il vaut mieux alors, étant donnée l'erreur permise sur le résultat, diminuer les erreurs partielles dues à ces observations, de manière à pouvoir tolérer des erreurs partielles plus grandes dans les autres.

Il va sans dire que, si l'on désire le résultat le plus exact possible, il faut tâcher de diminuer toutes les erreurs partielles, sans cependant perdre son temps â rechercher des approximations mal équilibrées. Ainsi, dans la détermination de l'effet utile d'une machine ;i vapeur, il est inutile de mesurer la longueur de la course du piston à u,ui pour loo près, si une erreur de i pour kjo peut être commise dans l'évaluation de la vitesse.

Si l'on admet l'égalité des erreurs partielles, on peut mettre en évidence quelques conséquences intéressantes :

1). L'erreur relative limite d'une somme est égale à l'erreur relative de chacune des parties.

Soit

On a

da a

dbj- de

l6 CHAPITRE I.

Donc, lorsque dbjb — de je,

da db de abc

Si les erreurs partielles difierent, l'erreur sur la somme est au plus égale à la plus forte.

2). L'erreur relative limite d'une différence est supérieure k l'erreur relative de chacun des termes, d'autant plus que— ceux-ci sont plus voisins de l'égalité.

De

a = b — c, on déduit l'erreur relative limite

da __ db + de

Or

Par suite,

db ^de ^db- de

da db — de + 2 de db 2 de a b — e b b — e

3). L'erreur relative limite du produit ou du quotient de deu.\ quantités est égale au double de l'erreur relative commise sur chacune de celles-ci.

a = be et a =

correspond l'erreur relative limite

da db de a b e

4). L'erreur relative de la puissance ;/<■■ d'une quantité est égale à « fois l'erreur relative commise sur celle-ci.

.5). L'erreur relative do la racine w d'une quantité est égale ù la ;/••■ partie de l'erreur relative (iu(> comporte cette dernière.

INTRODIXTION.

Ces résultats montrent que, dans le choix des méthodes de mesure, on doit chercher à éviter celles qui donnent la valeur désirée sous l'orme d'une puissance élevée, d'un produit d'un grand nombre de facteurs ou d'une différence minime.

En «'habituant à discuter les méthodes d'essai, on finit par acquérir le sens pratique qui permet de distinguer rapidement les erreurs partielles négligeables et les corrections, relatives à l'effet de la température, fie la pression, etc., qu'on peut laisser •le côté. On é\"ite ainsi l'obstacle sur lequel se buttent les perii>nnes qui accordent une importance exagérée à certaines [corrections se prêtant à des développements de calcul pour ! lesquels elles se sentent des aptitudes spéciales, et qui omettent \ des circonstances physiques ou s'appuient sur des h\ pothèses * susceptibles d'apporter des erreurs très supérieures au.\ précédentes.

Opérations numériques effectuées sur des valeurs approximatives. Règles à calcul. — Connaissant l'erreur nioycnne relative d'un résultat direct ou l'erreur probable rela- Itive d'un résultat indirect, on peut apprécier le nombre de [Chiffres significatifs admissibles dans l'expression de ce résul- |t''>t. Par chiffres significatifs il faut entendre ceux qui n'ont Ipu simplement pour objet de <léterminfr la ptisition de la (Virgule indicatrice des unités. On pousse les calculs jusqu'à un icniffa> (le plus que ne le comporte l'exactitude des essais, de nanicre que le dernier chiffre signiffcatii soit seul incertain, si, pour une erreur relative de o, i pour loo, le résultat ne ûoit pas comporter plus de 4 chifi"res significatifs, bien que Certaines opérations numériques effectuées pour calculer ce résultat puissent en fournir beaucoup plus. Si, par exempU', |Doe division avait donné pour quotient 193(39973, il faudrait crirc.en forçant le dernier chiffre. 19 370000 ou plus simplement

Voici quelques-unes des approximations qu'on peut atteindre Mas les mesures électriques.

Les valeurs absolues de l'ohm, du volt et du coulomb sont nnucs à 0,1 pour lix» près. Les étalons à mercure de l'ohm uvent être reproduits i\ 0,002 pour icw près; les étalons

métalliques de la même grandeur sont réalisés à o,OI pour l<«i près; les résistances des boites usuelles sont ries copies exactes à 0,2 pour uxi prés. Les condensateurs isolés au mica sont étalonnés à 0,2 pour loo près. La détermination électrolytique de l'intensité d'un courant peut atteindre l'approximatiim de o,o5 pour 100. L'évaluation des forces électromotrices au moyen de l'étalon Clark permet une approximation de 11,1 pour 100. Le coefficient de sell-induction des bobines sans 1er peut s'estimer à o,3 pour lor» près ; mais, avec les bobines à no\ au en ler, l'erreur peut atteindre 3 à 4 pour loo. L'emploi lies ampèremètres et des voltmètres usuels entraîne des erreurs généralement supérieures à o,3 pour loo.

On voit (|ue les essais de résistance sont les mesures électriques qui permettent la plus grande approximation. C'est pourtjuoi l'on cherche en général à ramener ces mesures à la comparaison de tleux résistances.

Dans les mesures industrielles qui cumulent les erreurs ilu voltmètre et de l'ampèremètre, on ne dépasse ordinairement pas l'exactitude du centième. C'est la raison pour latpielle il est recommandé d'utiliser la règle à calcul pour les opérations numériques efiectuées sur les résultats des mesures industrielles ('). Cet instrument, dans les mains d'une personne exercée, abrège les opérations, évite les erreurs grossières et épargne beaucoup de peine. Il a l'avantage de conserver sensiblement la même approximation à tous les calculs effectués sur une même échelle. Se prêtant au calcul des résultats au fur et à mesure que s'effectuent les observations, il permet, en cas d'erreur, de recommencer celles-ci pendant que l'expérience est encore montée. Pour les mesures industrielles, la règle de 26 cm, ijui donne o,3 pour loo d'approximation, suffit. Pour les calculs plus précis, on peut utiliser la règle de 52 cm ou la règle hélicoïdale de FuUer; celle-ci procure une approximation de 0,02 pour loti. Ces utiles appareils constituent un outillage qui devrait se trouver sur la table de tous

(•) SELL.^ ET MoNTEFioKE ; ThtorU et pratique àe la règle à calcul. — Baudry, Paris.

INTRODUCTION

les ingénieurs, de nitnie que les l'ormulaires donnant les tableaux des carrés des nombres, des cubes, etc.

Si l'on doit jiousser plus loin l'approximation des opérations numériques sur des résultats réunis en tableau, on l'ait le premier calcul avec l'exactitude voulue et l'on pratique ensuite à la règle les opérations sur les différences entre le premier résultat et les suivants. Quand ces différences sont faibles, on <-onserve facilement l'apyiioximation désirée. Par exemple, pour multiplier les nombres du tableau tir la page 4 p)ar l5 en vue d'obtenir îles produits exacts à 0,1 pour icw près, on multiplie la valeur moyenne 107,76 de manière à conserver quatre chiffres et l'on fait à la règle les multiplications par l5 des différences de la colonne de droite, afin de voir dans quelle mesure varie le 4^^ chiHVe dans les autres produits.

Interpolation. — Il arrive fréquemment qu'on ne pc-ut pas réaliser les conditions physiques reijuises pour amener l'index d'un appareil de mesure dans une positiim iléterminée. Par exemple, il se peut qu'on ne parvienne pas à graduer le courant qui traverse un galvanomètre de manière à arrêter l'aiguille sur une division 0 donnée de l'échelle, mais qu'on connaisse deux intensités voisines i\ et /; pour lesquelles l'aiguille occupe des positions ôj et oo situées de part et d'autre <le la position requise. Les valeurs des courants étant peu différentes, on est alors en droit d'admettre, si ce n'est pas la règle, que les déviations sont proportionnelles aux intensités dans les limites observées. Une simple proportion fournit donc la valeur <iu courant inconnu / :

de sorte que

(5- 5,) (le — /,)

Cela revient à supposer i]ue la courbe 1 ^/(S) se confond avec une droite entre les abscisses o, et o-.

On ne peut extrapoler en dehors des limites d'observation,

en adoptant le procédé ci-dessus, qu'à la condition de s'écarter très peu de ces limites.

Préparation d'un essai. Notes d'expérience. Rapports. Représentation graphique des résultats. — On nv doit e-xécutt-r lui essai ([u'après avoir étudié consciencieusement la méthode à emp!o3-er et discuté, au préalable, les meilleures conditions d'e.vpéricnce.

La méthode étant connue et un schéma bien net de l'installation ajant été tracé, on procède au placement des appareils d'essai en adoptant le plus grand ordre dans la disposition de ceux-ci. En ce qui concerne les connexions électriques, on ne saurait apporter trop de soin dans l'arranf^ement des fils, ni de propreté dans les contacts des conducteurs, des fiches et des clefs de circuit. Des négligences sous ce rapport entraînent souvent de longues recherches de dérangements. On évitera de tordre les fils de liaison sous forme de boudins, qui accroissent inutilement la résistance et la self-induction des circuits.

Il faut se persuader que la préparation des expériences constitue la partie la plus difficile et souvent la plus longue d'un essai.

L'expérimentateur relève dans un carnet de notes toutes les observations au fur et à mesure ijue celles-ci sont efléctuées. Les notes doivent être assez nettes pour qu'une personne au courant de la méthode d'essai puisse les comprenilre. En \-ue de mieux ordonner les résultats, on dresse des tableaux à colonnes ctmtenant les nombres similaires.

On enregistre soigneusement les circonstances de l'essai, en commençant par la date et l'heure, les numéros des appareils emiiloyés, la température de l'air ambiant et les autres conditions physiques. Pour avoir négligé de noter la température, on ne peut faire les corrections, souvent très importantes, i]ue l'effet de celle-ci entraîne.

Les calculs conduisant aux résultats et la discussion de ces derniers sont établis de manière à permettre la révision aisée de la suite des opérations.

Après l'essai, on dresse un rapport ou compte-rendu de celui-ci. Le rapport rappelle la théorie de la méthode emploj-ée.

INTRODVCTION.

donne une courte description des appareils utilisés, s'ils n'ont pas été décrits déjà dans un rapport précédent, énumère toutes les données d'expérience et reproduit bien nettement les calculs numériques à l'aide des signes spéciaux ; les résultats y sont mis en évidence sous forme de tableaux bien ordonnés.

Lorsque les résultats fournissent les variations fl'une granlieur en fonction d'une autre grandeur indépendante, par exemple les variations de la résistance d'un conducteur en Ibnction de sa température ou celles de la force électromotrice «l'une dynamo en fonction du courant débité, il est utile de représenter graphiquement ces variations (yi se servant de papier quadrillé. On adopte, autant que possible, pour le rapport un format capable de contenir les feuilles <le diagrammes non pliées. Le format <lu papier ministre est généralement suffisant. Après avoir choisi des échelles de coordonnées convenables, on porte les valeuis de la variable indépendante en abscisses et les résultats correspondants en ordonnées. Les points ainsi définis sont précisés par l'intersection des deux branches de petites croix ou par les centres de petits cercles. On trace alors, à la main ou au pistolet, la courbe moyenne <|ui satisfait le mieux aux points trouvés. On peut se servir dans le même but d'une règle flexible d'acier à bord garni de plomb, qu'on courbe suivant la ligne médiane.

L'échelle des ordonnées peut ilifférer de l'échelle des abs-

' cisses pour éviter des courbes qui s'étendent trop en longueur ou en hauteur. Il peut aussi être utile de commencer ii noter 'o* ordonnées ou les abscisses à partir d'une valeur différente

I "«ï 0, ce qui correspond à un simple transport des axes de

[coordonnées.

II est parfois nécessaire de déterminer l'ordonnée moyenne d'un diagramme. A cet effet, on planimètre l'aire comprise entre ^ courbe et des parallèles aux axes de coordonnées. Un

r moyen rapide, quand on n'a pas de planimètre à sa disposition et qu'une approximation de 5 pour loo suffit, consiste à dwsiner le diagramme sur du papier fort et régulier, à décou-

jper la âgure à surfacer, pour la peser, et à comparer le poids

[à celui d'un carré connu tracé sur le même papier.

Les représentations graphiques offrent de nombreux avantages. Elles permettent d'embrasser d'un coup d'ceil l'ensemble des résultats, de juger de la concordance ou de la divergence des observations et d'interpoler des résultats intermédiaires; en outre, elles font juger, par analogie, de la forme de la fonction algébri(|ue qui a le plus de chance de représenter la loi empiritiue iki phénomène.

Si le diagramme est une droite ou s'en rapproche sensiblement, la fonction cherchée est évidemment

Comme l'on a, d'après la formule de Mac Laurin,

la fonction inconnue peut, en général, se mettre sous la forme

y = a ■{■ Itx ■\- ex" -{■ . . . ,

si les coefficients décroissent rapidement.

On peut employer cette formule parabolique, réduite à trois termes, lorsqu'à une partie de courbe sensiblement rectiligne succèdent des ordonnées croissant plus rapidement que les abscisses.

Si l'on a affaire à une courbe dt)nl la première partie est sensiblement rectilignc et dont les ordonnées croissent ensuite de moins en moins rapidement, de manière à tendre vers une as\Tnptote parallèle à l'axe des abscisses, on essayera la fonction hyperbolique

ax