PRÉFACE

mirk ses talens et Vintérôt qu'il seul répandre sur tout ce quU écrite et que son amabilité m'a touché davantage quand fai eu le plaisir de le voir à son pas-

sage à Lausanne.

Enfin, dans la même année 1802, parut la Géométrie de position y du savant auteur cité , où l’on trouve cette phrase (page xxiij). Le citoyen de Velay professeur de mathématiques à Lausanne y dans son Introduction à l’algèbre, en 1799, s'était déjà servi des dénominations de quantités directes et inverses. Je l'ignorais lorsque je nî arrêtai à ces mêmes dénominations dans mon traité de la corrélation des figures. Cette rencontre singulière, dont je suis flatté , prouve que ces expressions se présentent comme cC elles -mêmes dans la question dont il s'agit. Au surplus la théorie du citoyen de Velay et la mienne n’ont absolument rien de commun que ces dénominations , qui même ne sont

■■■ *V-,iv.

'Ajjjlt . ^ . Vi

iv PRÉFACE.

pas tout-à-fait prises dans la même «cception par lui et par moi.

Du reste ; ceux qui ne seront pas mécoQtens de ma théorie, qui voudront la connaître mieux encore, et la comparer à celle de Carnot, pour voir si elle en diffère autant qu’il l’assure , ceux-là, dis- je, feront bien de lire, dans l'Algèbre d Emile, le Chapitre intitulé: Naissance des quantités directes et des quantités inverses , et les six premières pages des opérations sur les quantités simples et monogrammes. Ils feront bien dè' lire ensuite, dans mon Application de V Algèbre à la Géométrie, le Chapitre III de la première partie, et la Digression sur le sens du signe — dans quelques formules , digression qui termine le Chapitre IX de la seconde partie. • '

I N T R O D U cV ION

JDûs qiîantités Directes ou positives, et des quantités Inverses ou négatives.

§.l. Je suppose que le lecteur possède l’arithmctique , et qu’il connaît la signification et l’usage ordinaire des signes 4 - plus, — moins, x multiplié par, : divisé par , = égale.

Je rappellerai cependant que ces signes, placés entre deux quantités , désignent, communément, le premier l’addition de ces quantités, le second leur soustraction, le troisième leur multiplication, le quatrième leur division, et le cinquième leur égalité.

§. 2, Cela posé, j’imagine qu’on nous demande de résoudre cette question bien simple :

Combien- 2 ^ mètres et 3 décamètres fonUils de mètres ?

En nous rappelant que lè de'camètre vaut dix mètres , nous verrons que 3 décamètres valent 30 mètres, et nous dirons;

2 f + 30 = ff.

C’est-à-dire que la réponse à notre question sera : ff mètres.

§. 3. Mais , en y faisant attention , on observera que nous n’aurons point, dans le vrai , ajouté ainsi des décamètres , considérés comme tels, avec des mètres ; parce qu’on ne saurait additionner des quantités qui ne sont point semblables.

Qu’avons - nous donc fait ? Nous avons réduit les décamètres en mètres , pour n’avoir plus que des quantités homogènes et susceptibles d’être ajoutées les unes avec les autres.

§. 4. De même, si l’on nous demande ceci : Combien I2f centimes moins 12 déçu mes foîit~elles de centimes ? En nous rappelant

que la décime vaut dix centimes , nous verrons que 12 décimes valent 120 centimes, et nous dirons :

C’est-à-dire que la re'ponse à notre seconde question sera : f centimes.

§. f . Mais , nous n’aurons point , dans le vrai , soustrait ainsi des décimes , considérées comme telles , de centimes ; parce que des décimes ne peuvent être contenues , comme décimes , dans des centimes , et qu’on ne saurait retrancher d’une chose ce qu’elle ne renferme pas.

Qu’avons-nous donc fait ? Nous avons réduit les décimes en centimes , pour n’avoir plus que des quantités homogènes et susceptibles d’étre soustraites les unes des autres.

§. 6 . Maintenant, s’il s’agit de déterminer et de représenter l’état de la fortune d'un homme qui a vingt mille francs dans sa

caisse , et qui a cinq mille francs de dettes , nous écrirons :

20000' — fooo = Ifooo.

C’est-à-dire que nous déduirons f ooo francs de 20000 francs , pour avoir le reste I f ooo francs. Et cette formule servira ainsi à déterminer l’état de la fortune en question , et représentera , en quelque sorte , cet état.

§. 7. Cependant, nous n’aurons point, dans le vrai , soustrait ainsi une somme de

dettes d’une somme de biens ; parce que des

dettes , considérées comme telles , ne peuvent être contenues dans des biens, et qu’on ne saurait retrancher d’une chose ce qu’elle ne renferme pas.

Mais , nous avons considéré le moment où le possesseur des 20000 francs en sortirait fOOO de sa caisse, pour acquitter ses dettes ; et nous avons vu que son fonds se réduirait alors à I f 000 francs.

Of, il est clair que, dans ce cas, c’est

fOOO francs de biens qui sont soustraits de 2O0Q0 francs de biens. Et voilà ce que notre formule représente.

§. S. De même , s’il s’agit de déterminer et de représenter la quantité des dettes d’un homme qui devait hier 2QOOO francs, et qui vient de livrer aujourd’hui fOOO francs d’argent comptant à ses créanciers , en déduction de sa dette , nous écrirons encore :

20000 — fooo =: ifooa

C’est-à-dire que nous déduirons fooo francs de 20000 francs , pour avoir le reste l fooo firancs. Et cette formule servira ainsi à déter-c miner la quantité des dettes en question , et représentera cette quantité.

§. 9. Cependant, nous n’aurons point,' ^ns le vrai , retranché ainsi une somme d’argent comptant d’une quantité de dettes ; parce que de l’argent comptant ne peut être contenu dans des dettes , considérées comme telles , et qu’on ne saurait retrancher d’une chose co qu’elle ne renferme pas.

Mais , nous avons considéré le moment oü le débiteur des 20000 francs, en payant fooo francs d’argent comptant , avait ainsi diminué sa dette de toute cette quantité, et l’avait réduite à I f 000 francs.

Or, il est clair que, dans ce cas, c’est fooo francs de dettes qui sont soustraits de 20000 francs de dettes. Et voilà ce que notre seconde formule représente.

§. 10. Cela posé, reprenons nos questions. La première était celle-ci : Combien 2T mètres et 3 décamètres font - ils de mètres ?

Pour la résoudre , nous l’avons , en quelque sorte, traduite ainsi: Combien 2S mètres / et 30 mètres font-ils de mètres ? (§. 2 et 3. )

/ - C’est-à-dire que la question proposée nous

obligeant à indiquer des mètres^ nous avons réduit en mètres toutes les quantités qui devaient entrer dans notre calcul.

§. II. Notre seconde question était celleci : Combien I2f centimes moins 12 décimes fonhelles de centimes ? ( §• 4. )

Pour la résoudre, nous l’avons, en quelque sorte, traduite ainsi : Combien izf centL mes moins 1 20 centimes font-eües de centimes? (§. 4 etf.)

C’est-à-dire que la question proposée nous obligeant à indiquer des centimes y nous avons réduit en centimes toutes les quantités qui devaient entrer dans notre calcul.

§. 12. Notre troisième question était celle<^ ci : Quel est le bien é£un homme qui a 20000 francs dans sa caisse , et qui a fooo francs de dettes ? 6 .)

Pour la résoudre, nous l’avons, en quelque sorte , traduite ainsi : Quel est le bien d?un homme qui a 20000 francs de biens moins fooo francs de biens? ( §. 6 et 7. ) '

C’est-à-dire que la question proposée nous obligeant à indiquer un bien , nous avons réduit en biens toutes les quantités qui devaient entrer dans notre calcul.

§. 1 J. Enfin, notre dernière question était celle-ci : A quoi montent les dettes dÙun bomm^ qui , devant hier 20000 francs ^ vient (^ent

payer aujourd'hui fooo en argent comptant?

' Pour la résoudre , nous l’avons , en quelque sorte, traduite ainsi : A quoi montent les dettes d’un homme qui a 20000 francs de dettes moins foOO fraJtcs de dettes ? ( §. 8 et 9. )

C’est-à-dire que la question proposée nous obligeant à indiquer K«<? nous avons réduit en dettes toutes les quantités qui devaient entrer dans notre calcul.

§. J 4. Et comme il serait facile de raisonner ainsi sur toute autre question , il en résulte, en général :

. 1°. Que plusieurs quantités ne peuvent

point entrer dans une même opération de calcul si elles ne sont point semblables et homogènes; si elles ne sont point composées des mêmes élémens ; si leurs unités ne sont pas les mêmes. (§. 5. f. 7, 9, ) Cela est sensible pour l’addition et la soustraction ; et l’on sait que toutes les opérations d’arithmétique reviennent à ces deux-là. . . .

2°. Que si une question présente des

quantités hétérogènes à faire entrer dans une même opération de calcul , on traduit cette question dans une autre question qui ait le même sens que la première , et qui ne pré- ^sente plus que des quantités homogènes. Cette espèce de traduction est souvent tacite, et se ^ fait même quelquefois sans que ^l’on s’en doute. (§. 10 . II. 12 . 13. )

3°. Que la réduction des unités d’une espèce en unités d’une autre espèce se fait toujours dans le sens des unités principales; c’est-à-dire , de celles qui doivent servir de réponse à la question. Ainsi , si l’on demande des mètres , on réduit tout en mètres , (§. 10. ), si l’on demande des centimes, on réduit tout en centimes, ( §. II.), si l’on demande des biens , on réduit tout en biens , (§. 12), si l’on demande des dettes , on réduit tout en dettes , ( §. 13.), etc. , etc.

§. If. Il y a cependant une différence essentielle entre ces réductions ; car , si l’on a réduit des décamètres en mètres, ou des décimes en centimes , etc. , on peut dire qu’il

y a égalité entre la quantité concrète proposée et la quantité concrète dans laquelle on Ta réduite. Ainsi :

B décamètres = 30 mètres,

12 décimes 120 centimes, *

etc., etc.

Mais , si l’on a réduit , pour me servir de cette expression , des dettes en biens, ( §. 12.), ou des biens en dettes , ( §. 1 3. ) , on ne peut plus dire qu’il y ait égalité entre la quantité concrète proposée, et la quantité concrète dans laquelle on l’a réduite. Ainsi , il n’y a pas égalité entre fooo francs de dettes, comme dettes , et f ooo francs de biens ,

/' comme biens. Bien plus, quelque somme de

de dettes et quelque somme de biens que l'on prenne, il ne pourra jamais y avoir éga» lité entre ces quantités concrètes ; tant qu’elles seront ainsi représentées.

§. 16. Donc, pour résoudre nos deux dernières questions, (§. 6 et 80 > nous n’a- Yons point mis à la place des quantités qui

nous étaient proposées d’autres quantités qui leur fussent égales ; mais bien plutôt des quantités qui leur étaient contraires et opposées. ( §• 7 et 9. ) Aussi ces substitutions n’ont-elles pu se faire qu’à la faveur d’une espèce de redressement ou de rectification de la question qu’il fallait résoudre. Quelques réflexions pourront éclaircir encore mieux cette matière.

§• 17* Quand on nous propose d’ajouter des décamètres avec des mètres , ou des décimes avec des centimes , la substitution que nous faisons ne change point l’opération , qui reste' toujours une addition.

Mais quand on nous demande quelle est la fortune d’un homme qui a 20000 francs d’argent, et qui a fooo francs de dettes* ( §• ) V question , qui semblerait in-

diquer une addition , à cause du verbe avoir ^ mis au devant des deux quantités , ne peut cependant se résoudre que par une soustraction; ensorte qu’on ne peut point, à proprement parler, ajouter des dettes avec des biens, ou des biens avec des dettes.

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ji'Voir des biens , c’est vraiment posséder comme le fait entendre le mot avoir. En échange,) avp/V des dettes, c’est le contraire de posséder ; et le mot avoir se trouve là très-mal placé. .

i Tout ce que l’on a véritablement, ou tou^-

ce que l’on possède, doit pouvoir s’addi-

tionner , pour faire une somme. Ainsi , demander la fortune d’un homme qui a des biens et qui a des dettes , c’est , en quelque sorte , demander d’ajouter des biens avec des dettes. Le calculateur rectifie ou redresse la question ; et la prétendue addition devient une soustraction.

. §. 18- Nous voyons donc , d’abord , qu’il existe des quantités qui, n’étant point contraires ou opposées , peuvent être prises les unes pour les autres , indépendamment même de toute question relative à ces quantités.

Nous en avons des exemples dans les décimes et les centimes, dans les décamètres et lea mètres , etc. ( §. I f . )

§. 19 . Nous voyons, ensuite , qu’il existe

ides quantités qui , étant contraires ou opposées , ne pourraient , sans quelque artifice particulier , être prises les unes pour les autres ; à moins que ce ne fut pour résoudre certaines questions , susceptibles d’un redresseraent, ou d’une rectification. Nous en avons des exemples dans les biens et les dettes , eto. (§. If et ï6 )

§. 20. Cela posé , quand il s’agira , dans une question , de déterminer des biens , et que les biens seront , par conséquent , les unités principales, ( §. 14 . 3 °.), cette espèce de quantité , se trouvant alors directement dans le sens indiqué par la question , nous pourrons lui donner le nom de QUANTITÉ DIRECTE; et, en échange, désigner alors les dettes sous le nom de QUANTITÉS INVERSES.’

De même , quand dans une question les unités principales seront des dettes , ces quantités prendront , dans ce moment-là , le nom de quantités directes , et les biens , en échange , celui de quantités inverses.

§. SI. En général : Les quantités directes seront les quantités prises dans le sens indiqué; et les quantités inverses seront les quantités prises dans le sens contraire au sens

indiqué.

§. 22. Ainsi , quand il s’agira d’une distance vers l’Orient, toute distance vers l’Orient sera une quantité directe ; et toute distance vers l’Occident sera une quantité inverse.

En échange , quand il s’agira d’une distance vers l’Occident, toute distance vers l’Occident sera une quantité directe ; et toute distance vers l’Orient sera une quantité inverse. .

Quand il s’agira des élévations du soleil au dessus de l’horizon , ces élévations seront les quantités directes ; et les abaissemens du soleil au dessous de l’horizon seront les quantités inverses.

En échange , quand il s’agira d’abaisseniens au dessous de l’horizon , ces abaissemens seront les quantités directes; et les. élévations

C If )

au dessus de l’horizon seront les quantités inverses.

Quand il s’agira d’un gain , les gains seront les quantités directes ; et les pertes seront les ^ quantités inverses.

En échange, quand il s’agira d’upe perte, les pertes seront les quantités directes ; et les ' gains seront les quantités inverses.

Quand il s’agira d’un mouvement accéléré, tout mouvement de cette espèce sera une quantité directe ; et tout mouvement retardé sera une quantité inverse.

En échange, quand il s’agira d’un mouvement retardé , tout mouvement de cette espèce sera une quantité directe ; et tout mouvement accéléré sera une quantité inverse, ect. ect.

§. 23. Quant aux quantités abstraites, nous verrons bientôt s’il est possible de leur appliquer ces principes ; et si l’on peut aussi les considérer sous le point de vue de quantités directes et inverses.

§. 24. Maintenant , si l’on nous fait cette • question ; A quelle distance vers l'Orient est

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placé un point qui est à f mètres vers VOrient , et, de plus , à 2 mètres de ce même côté ? Nous répondrons que ce point est à 7 mètres de distance vers l’Orient. Et nous conclurrons de là que la combinaison de la quantité directe f ( §. 22. ) avec la quantité directe 2 est une addition.

§. 2f. Si l’on nous fait ensuite cette seconde question : A quelle distance vers l Orient est placé un point qui est à f mètres vers l Occident et , de plus , à 2 mètres de ce même côté ? Nous répondrons que la question a été mal posée, et nous la rectifierons, en la traduisant ainsi : A quelle distance vers t Occident est placé un point qui est à f mètres vers l'Occident , et, de plus , à 2 mètres de ce même côté ?

Alors , nous dirons que le point dont il s’agit , est à 7 mètres de distance vers l’Occident. Et nous conclurrons de là que la combinaison de la quantité directe f , de la question rectifiée , avec la quantité directe 2 , ( §. 22.) , est une addition.

§. 26. Et comme nous verrons facilement

qu’il

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qu’il en serait de même de tout autre exemple , nous dirons , en général , que la combimison d'une quantité directe ctvec une quan~ tité directe est une addition. ( §. 24. 2f. )

§. 27. En échange , si l’on nous fait cette question : A quelle distance vers l'Occident est placé un point qui est à 7 mètres vers l'Occident , et y en même tems , à 7 mètres vers t Orient?

Nous observerons d’abord, que cette question semble poser en fait une chose impossible , c’est qu’un seul et même point puisse occuper à la fois deux places différentes. Mais , ' en y réfléchissant, nous comprendrons que ce n’est pas là ce qu’on a voulu dire , et qu’on a simplement demandé d’indiquer à quoi se réduisait, au vrai, une pareille supposition. Alors nous répondrons que le point dont il s’agit ne peut être ni vers l'Occident , ni vers l’Orient ; la distance qu’on nous demande vers l’Occident étanttout-à-fait.détruite, dans cette hypothèse, par la distance égale vers l’Orient; et se trouvant ainsi nulle ou zéro. Et nous

conclurrons de là que la combinaison de la quantité inverse 7 (vers l’Orient )(§. 22 ) avec la quantité directe 7 ( versTOccident) est une soustraction; la quantité inverse ayant, dans ce cas, tout-a-fait détruit la quantité directe.

§. 28- Si l’on nous fait ensuite cette seconde question : A quelle distance vers t Orient est placé un point qui est à 7 mètres vers t Orient, et, enmèmetems, à f mètres vers VOccident? Nous répondrons (§.27.) qu’il est à 2 mètres de distance vers l’Orient. Et nous conclurrons de là que la combinaison de la quantité inverse f avec la quantité directe 7 est une soustraction ; la quantité inverse , plus petite , ayant , dans ce cas , détruit en partie la quantité directe plus grande.

§. 29. Enfin , si l’on nous fait cette troisième question : A quelle distance vers t Orient est placé un point qui est à 6 mètres vers P Orient, et, enmèmetems, à lo mètres vers POccident ? Nous répondrons que la question a été mal posée ; et nous la rectifierons , en la traduisant ainsi : A quelle distance vers POc-

cident est place un point qui est à lo mètres vers r Occident y et , en même tems , à 6 mètres vers P Orient ?

Alors , nous dirons ( §. 27. ) que le point dont il s’agit , est à 4 mètres de distance vers l’Occident. Et nous conclurrons de là que 1% combinaison de la quantité inverse 6 , de la question rectifiée, avec la quantité directe lo , de la même question, ( §. 22. ), est une soustraction ; la quantité inverse , plus petite, ayant, dans ce cas, détruit en partie la quan> tité directe plus grande.

§. 30. Et comme nous verrons facilement que tout autre exemple , analogue à ceux des §.27, 28 et 29 , nous donnerait le même résultat, nous dirons, en général, que la combinaison d'une quantité inverse avec une quantité directe , égale ou plus grande, est unè soustraction , opérée par la quantité inverse.

Ainsi donc , au lieu de dire que l'on^ ajoute une quantité inverse avec une quantité directe, égale ou plus grande , il faudrait dire , en d’autres termes, et d’une manière plus exacte , que

Von soustrait une quantité directe d’une autre quantité directe, égale ou plus grande. ( §. 17.)

§. 31. Le direct augmentant donc le direct, (§. 25. )> auquel on rapportait tout, et l’inverse , en échange , diminuant le direct j (§• 30.'), on en a conclu que les mêmes signés qui servaient à indiquer l’addition et la soustraction des quantités en général, pourraient être employés à représenter l’état et la manière d’étre des quantités considérées comme directes et inverses. On a, en conséquence, affecté le signe + aux premières, et le signe — aux secondes. ^

Ainsi , l’on a dit , par exemple , que cette expression: •+• f francs de biens, pourrait représenter la quantité f francs, prise directement dans le sens indiqué par le mot de biens, ( §.*2I. et que cette autre expression : — ^francs de biens, pourrait représenter la quantité f francs , prise à l’inverse du sens indiqué par le mot de biens ; c’est-à-dire, prise dans le sens des dettes. Et ainsi des autres quantités.

§. 32. Alors , considérant le signe

comme affirmant que la quantité était prise

dans le sens indiqué, et le signe — comme niant que la quantité fut prise dans le sens indiqué, on a nommé les quantités directes POSITIVES , et les quantités inverses négatives. Mais il parait que, dans cette acception , on aurait dû nommer les premières afir~ mativcs.

Quoiqu’il en soit , les de'nominations que je viens d’indiquer sont reçues et employées par tous les auteurs; et, par conséquent , il &ut les connaître.

§. 33 . D’après tout ce que nous avons dit , on voit que les quantités directes et inverses sont des quantités tout aussi réelles les unes que les autres ; et que , sous ce point de vue , elles sont les unes et les autres positives ; du moins dans le sens que l’on attache communément à ce mot

Il est si vrai que ces quantités sont aussi réelles les unes que les autres , que les directes peuvent devenir inverses , et les inverses

directes , suivant l’état de la question.

Les quantités inverses ne sont donc point au dessous de zéro et moins que rien , comme on l’a prétendu. Il n’est pas besoin de les envisager ainsi , pour expliquer l’effet qu’elles produisent sur les quantités directes. D’ailleurs, il ne peut rien y avoir au dessous de zéro ; et , pour parler exactement , moins que rien n’est rien , et ne peut pas être soumis au calcul.

§. 34. Les quantités directes et inverses , quand elles sont considérées seules, d’une manière isolée , et sans les soumettre pour le moment au calcul , doivent pourtant , en général , être précédées de leurs signes ; afin de ne pas donner lieu aux équivoques.

Ainsi, l’on doit écrire; 4 “ f de biens, ou — f rfe biens , suivant que la quantité f de biens est directe ou inverse.

Cependant , quand une quantité , considérée RELATIVEMENT à sa direction , n’a point de signe , on lui suppose naturellement le signe

4-. Ainsi , l’expression : f de biens est naturellement prise pour + ^ de biens. Et c’est ce dont il faut être averti.

§. Jf. Répétons d’ailleurs ceci : c’est que les signes 4- et — ont un usage double,

1°. Ces signes peuvent indiquer l’addition et la soustraction; mais, dans ce cas, ils ne sont jamais placés qu’entre deux quantités dont il faut trouver la somme ou la différence.

2". Ils peuvent aussi servir à désigner les quantités directes et inverses , et alors on les rencontre souvent au devant de quantités isolées, que l’on considère seules , sans les soumettre pour le moment au calcul.

§. 56 . Ce n’est pas tout; si des quantités concrètes on passe aux quantités abstraites, comme il n’est alors plus question de biens , de dettes , d’orient , d’occident , etc. , le sens, qu’on suppose indiqué, reste indéterminé.

Dans ce ca9», l’expression 4” f désigne

que la quantité f est prise dans le sens direct,

quel qu’il soit ; et l’expression — f désigne que la quantité f est prise dans le sens inverse du sens direct , quel que soit ce dernier. (§ 21. 23.)

§, 37. En conséquence , les quantités abstraites , qu’elles soient isolées ou non , sont toutes considérées comme directes ou inverses : toutes celles qui n’ont point de signe , ou qui sont précédées du signe -f- , sont envisagées comme directes ; et toutes celles qui ont le signe — sont envisagées comme inverses. Et il n’y a point d’inconvénient à généraliser ainsi la chose ; puisque la combinaison du direct avec le direct est une addition , ( §. 26 . ) ; tandis que la combinaison de l’inverse avec le direct est une soustraction. ( §. 30. )

§. 38. Tout cela posé, il est bien clair que 4- f , nombre abstrait , ne peut pas , comme direct, être égal à — f , aussi nombre abstrait, mais inverse; puis que ce sont là deux quantités opposées, qui, étant mêlées, se détruisent l’une l’autre.

( ar )

Mais , si l’on a — S de biens , c’est alors la quantité i* prise dans le sens inverse des biens; c’est-à-dire, prise dans le sens direct des dettes, (§. 31 .); et, par conséquent, l’on peut dire que

— f de biens = +• f de dettes.

De même , — ^ de dettes , c’est la quantité f prise dans le sens inverse des dettes ; c’est-à-dire, prise dans le sens direct des biens ; et , par conséquent , l’on peut dire que

— f de dettes = -f- ç* de biens.

Il serait bon de s’exercer, à quelques substitutions semblables.