III

une tout autre valeur; comme il est facile de le voir. i

Notre première équation se changera donc en celle-ci :

D. D’où nous tirerons , ( §. 1 . k. ) :

E. Mais , l’inconnue x étant ici multipliée

par 8 — 6 diviserons les deux mem-

bres de l’équation par 8 — 6 , et nous aurons enfin :

(*') Il faut faire ici plusieurs observations.

D’abord il est clair que quand deux quantités sont égales , si on les divise par un même nombre les quotients sont égaux.

11 n’est pas moins évident que lorsqu’on divise un produit par un de ses facteurs , on a pour quotient

l’autre facteur. Ainsi en divisant le produit (g 6) x

par le facteur ( 8 6) , on a pour quotient l’autre

Acteur X.

Enfin , comme il est permis , pour indiquer une di.

Résultat final qui donne toujours f pour la valeur de x ; mais qui a l’avatitage de montrer les opérations qu’il faut nécessairement faire pour trouver cette valeur. ,

§. 143. En considérant ce dernier résultat, nous observerons que le nombre 130 représente là la dépense totale , le nombre 6 l’écot d’une femme , le nombre 20 toutes les personnes , et le nombre 8 l’écot d’un homme.

§. 144. (\\îè i pour trouver la va-

leur de X , il faut multiplier le nombre des personnes par récot d'une femme ^ retrancher ce produit de la dépense totale , et diviser le reste par la dijférence de Pécot d’un homme avec celui d'une femme.

§, 1 4f . Appliquant cela à nos autres questions , nous aurons , tout d’un coup , sans mettre ces questions en équation , et sans •passer par les détails intermédiaires :

vision d’écrire le diviseur sous le dividende, en les séparant par un trait, t §. noce.), nous pouvons, représenter comme nous l’avons fait la division du ^cond membre de notre dernière équation par 8 — ‘

Pour

Pour la seconde , ( §. 1 3 8- ) •

fO X

- fo

la

troisième ,

If X

- If

la

quatrième ;

§. 146. On comprendra donc, par cet exemple, comment la solution d’un problème péut conduire à la solution d’une foule d’autres problèmes analogues au premier.

Il faut pour cela , quand on résout le problème original , ne pas effectuer les opérations qui se présentent à faire, et se contenter de les indiquer dans les différentes égalités successives par lesquelles on passe. ( §. 141. ) §. 147. Mais ce n’est pas tout : pour aller plus facilement de la solution de notre premier

problème à la solution des autres , nous avons déduit de cette première solution une espèce de règle que nous avons énoncée au §. 144.

Or, il est facile de voir que cette règle serait abrégée, simplifiée, qu’elle deviendrait, du moins , plus saillante , et se lirait , en quelque sorte, d’un coup-d’œil, si on lui donnait la forme suivante :

Dép. tôt. — L’écot d’unefem X Le nomb. des pers.

L'ücot d’un hom. — L’écot d’une fem.

§. 148. D’ailleurs on sentira facilement l’avantage, soit de l’énoncé du §. 144 , soit de la formule dans laquelle nous venons de le changer ; car , dans l’un et dans l’autre , les mots Dépense totale , par exemple , ne signifient pas plus 130 que 660, que f 40, que 86 ; ( §. i4f. ) : la valeur de ces mots dépend de la question ; et il en est de même des autres mots employés dans l’énoncé et dans la formule. Ensorte que cet énoncé et cette formule peuvent s’appliquer à tous les problèmes analogues au problème original.

Pour résoudre ces problèmes, il faudra

( Ilf )

substituer aux mots de l’énoncé ou de la formule les nombres qu’ils sont destinés à représenter dans chaque question particulière.

§. 149. Mais un premier pas conduit à un second ; et nous ne tarderons pas de voir que notre formule peut se simplifier beaucoup encore ; car , au lieu d’écrire : Dép. tôt. on pourrait se contenter d’écrire : d. t. et même, tout simplement: d, en ne mettant que la première lettre du mot dépense; et cela n’aura pas d’inconvénient si nous n’oubliohs pas quelle est la signification de ce d.

En partant de là, nous pourrons représenter l’écot d’un homme par h , première lettre du mot homme; l’écot d'une femme par/, première lettre du mot femme; et enfin le nombre des personnes par «, première lettre du mot nombre.

Notre formule prendra alors cette forme très-simple :

Ef de cette manière, nous en saisiron»

bien mieux l’ensemble , nous y lirons plus tellement les opérations à faire pour résoudre tous les problèmes analogues au problème original.

§. I f O. D’ailleurs il est bien clair qu’au lieu de ces lettres nous aurions pu en mettre d'autres , en convenant d’avance de ce que nous voulions leur faire représenter.

Ainsi l’écot d’un homme aurait tout aussi bien pu être exprimé par a que par l’écot d’une femme par b que par /; et ainsi de suite.

§. ifi. Il n’est pas moins évident que puisque nous avons trouvé une formule qui peut résoudre nos quatre questions, et bien d’autres encore, qu’il serait facile d’imaginer, et que, dans cette formule, les différentes quantités sont représentées par des lettres , on aurait pu nous proposer une question dans laquelle les quantités auraient été immédiatement tepréstntées par des lettres. Et sans doute que de la question , ainsi présentée , nous

aurions pu descendre à la formule. C’est ee que nous allons essayer de faire.

§. If 2. Question générale : Un certain nombre connu de personnes , hommes et femmes , mangent dans une auberge ; et ce nombre est représenté par n ; fécot d’un homme est de a décimes ; l'écot d'une femme est de b décimes ; et la dépense totale est de d décimes. On demande le nombre des hommes et celui des fenrmes.

Nous avons :

Le nombre des personnes ;/.

L’écot d’un homme a.

L’écot d’une femme è*

La dépense totale d.

Nous ferons le nombre des hommes . x.

Celui des femmes , égal au nombre total moins le nombre des hommes , sera , par

conséquent « — x,

La dépense de tous les hommes est égale « a décimes multipliées par le nombre abs^

trait X \ ou , ce qui revient au même , elle est égale à x décimes multipliées par le nombre abstrait a.

Mais pour multiplier a: par 8 » nous avons écrit 8 A' ; et, par conséquent , pour multiplier X par rt , nous pourrons écrire ax \ en convenant que quand deux lettres seront ainsi écrites l’une à côté de l’autre , sans aucun signe entre deux, les nombres qu’elles représentent devront être multipliés l’un par l’autre.

La dépense de tous les hommes sera > donc ax.

Pour avoir la dépense de toutes les femmes, il faudra multiplier l’écot d’une femme, ou b décimes , par un nombre abstrait égal au nombre des femmes, ou par;/ — x. Ou, ce qui revient au même , il faudra multiplier n — X décimes par b nombre abstrait. Il est clair que cela nous donnera, d’après ce que nous avons vu précédemment, (§. i3f. f.