Deux acceptions diverses du nombre
: Se à
D'où ral suit que le nombre “désigne deux es Se
ue des pluralités d'unités, des multitude ou a d'unités distinctes. *
= tac exprimer le nombre, on one au symbole de la ss “pluralité, le signe +, qui marque l'union des unités en un 5 même tout, la fotalisation.
Les nombres ont pour expression 1 + 1; 1 < 1 +1; 4 =. sis 1 Æ + 1 et ainsi de suite ; en abrégé 1 + 1 s'exprime par 2 :1 + 1 + 1 s'exprime par 2 + 1oupar3; 1+1+ I ET s'exprime par 2 + 1 + 1 ou par 3 + 1 ou par 4. En résumé, « des unités distinctes considérées ensemble forment
une multitude ; une multitude d'unités distinctes totalisée
forme un nombre. DA La. série des nombres formés par l'addition d’une unité
tout nombre #, disent les HE EU il y a un autre nombre # + 1.
Considéré comme un tout parfait par une init unité, L nombre s'appelle cardinal.
: . Considéré por rapport au nombre qui le précède, le nombre
1 d. de, 3me, Ame... pme sont les nombres ordinaux. Or. dans une première acception, le nombre est un total
d'unités trancendantales : il est applicable à des objets de
Lies qu Catégorie, aux HUE aux quatses, aux
tive pour lPhumanité entière, soutenaient que le nombre ne peut d’autre origine que la division de la matière. Au contraire, dit in … dans sa réponse à à Siger de Brabant, staque substance
au nombre précédent peut se poursuivre indéfiniment. Après
es ee siens de ne à PÉitanee d’une seule âme -
mot !). | À Dans cette seconde acception, le nombre at l'expr
dat En conséquence,
il présente Déesennt caractères ane : | LEE
communitatis et a btEde quam genus a De potentie,
AAC
inveniuntur nisi in us invenitur commensuratio quantitatis : inveniuntur tantum in rebus habentibus quantitatem continuam. D Philosophus dicit quod numerum cognoscimus divisione continui; tantum numerus est sub arithmetica, ut etiam Avicenna dicit » » IS HSE XIV, d Las eee D « Unitas et numerus quæ considerat arithmetieusss non sunt ile
quod inveniuntur in rebus materialibus secundum quod on satur ex divisioné continui. In hoc enim possunt inveniri omne passiones in numeris, quæ arithmetici demonstrant, sicut multiplicati ), et aggregatio, et hujusmodi, quæ fundatur super divisionem infinitam, continui. Unde est infinitas in numero. Et ideo etiam talis unitas potentia omnis numérus ». Zdem, art, 1, ad 2.
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série des nombres gärdent avec cette première unité uné È … relation essentielle. Ainsi, par exemple, Michel, Gabriel, Raphaël sont trois esprits : pour les réunir en nombre, il est indifférent que je considère premièrement Michel, seconde- | . ment Gabriel, troisièmement Raphaël, ou que, inversement, je commence par Raphaël ou PSE Gabriel pour finir par à & Michel. | É. Au re. pour exprimer la mesure d’une longueur, on : prend un mètre et l’on compte combien de fois ce mètre étalon peut être porté sur la grandeur à mesurer. La place de la première application du mètre étalon est fixée par la limite extrême du continu à mesurer, celle de la seconde application à est fixée par la place du premier mètre ; chacune des ne suivantes applications du mètre, sur la Andes qu'il s’agit : d'évaluer, est immédiatement déterminée par l'application agente, et toutes sont fonction du premier mesurage. Les unités successives, qui expriment les mètres compris dans le continu à mesurer, sont donc ici APE en un ordre qui s'impose à l'esprit. | “Le symbole du nombre en général est 1 + 1 + 1 + 1, peu
‘es importe l’ordre de succession des unités totalisées. Au contraire, le nombre j issu de la division du continu est
: one d'unités qui ont entre elles un ordre naturel. La . première unité est l’unité-type, la mesure d’après laquelle
à s’évalue l'égalité des unités subséquentes. Les unités de ce nombre possèdent donc, de par la nature des choses, une
“4 signification ordinale : elles forment essentiellement série.
. Nous Harpe de par ee our des choses. Rien n'empêche,
v dre . succession d'unités tie est arbitraire, subjectif, la supputation des unités qui résultent de la division du continu se fait suivant un ordre naturel, objectif.
nd Les nombres qui expriment les grandeurs forment
- ne Cu de
ment un nombre ni + l; mais après tout nombre d'u
point . savoir si les unités ne. forment un fini ou infini Aucune d'elles n’est essentieller ent ui
PORTE unité ; leur ni Rise n'est — a à
tinuam.
Nam numerus ex { divisione continui causatur, Et dec nur 1er!
sum ». In Metaph, IV, lect. 2. RU EG
86. Soroliatres. — 1, La Harhématique pure à pour objet le nombre dans la double acception du mot.
: Mais la mathématique appliquée à la physique a pour objet + mesure de la Pranqeur le nombre dans l’acception spéciale du: mot. À | £
«19, Of comprend en quel sens il est vrai de dire, d’une part, if que les êtres immatériels échappent à la loi du nombre, ils ne Sont pas des grandeurs susceptibles de mesure — et - d'autre part, que tout ce qui est créé est soumis au nombre, ' au poids, à la mesure ; ils sont des unités susceptibles d’être | considérées ensemble. é On a parlé ci-dessus, den de la possibilité d’une = multitude infinie *).
. Avant de poser le problème, écartons une équivoque.
: 87. L’indéfini. — Tout nombre est essentiellement fini, atfendu qu’il est clos par une dernière unité. Mais, disent : certains auteurs, la série naturelle des nombres 1, 2, 8, 4, 5, e.. ch est infinie: Car, après tout nombre ñ, il y a un autre ds n + L
ous discutons ex professo ce problème dans nos leçons de Théo-
êtres, lorsque l'esprit compare une perfection à
CORRE la PTÉMIÈTE comme équivalente à phsieurs | 7
en a plus qui tone à la collection. Une pertéctial .. considérée à tel degré à à l’exclusion d'un degré 2. CARE est la négation de la limite.
limite, mais variable. à
Dans la nature tout être a une limite ou n’en a | pas, Et donc fini ou infini : entre les deux il n’y a point de milieu. . . Ho n'existe pas comme ee FE
aussi petite qu’on le voudra, s approcher mn. c l’unité ; maïs jamais un polygone régulier, quel. que soit | nombre de ses côtés, ne sera une circonférence, jamais différence entre la variable et sa limite ne sera réduite à à zér elle sera toujours une quantité finie. — ÉRSES So la fraction ARS 0,66666.... comperses à la fract on
quantité aussi petite que je le voudrai, mais sera à touja finie en acte, indéfiniment finie en acte. MR Re Soit, enfin, une somme de Ho Anis dont 1e: nom!
augmente indéfiniment : + ++ ee de TE at
La limite de cette série est 2. Si grand que je suppose le Fe nombre des quantités finies ainsi additionnées, leur somme n’égalera j Jamais la limite de la série.
On le voit, Pindéfin est tout autre que l'infini. L'infini est une perfection qui n’a point de limite. : L’ indéfini est une quantité variable — continue, discrète, à métaphysique — que lesprit considère par rapport à une autre quantité fixe et telle que la différence entre la première etla seconde peut devenir aussi petite qu’on le veut. 88. Possibilité d’une multitude infinie. Cbicctions des finitistes. — La division du continu donne naissance à une série indéfinie d'unités : néanmoins, une collection quelconque de ces unités a eu son principe dans une première unité ; elle forme donc nécessairement une collection finie, pe c'est-à-dire un ombre. Au surplus, le nombre formé d’unités quantitatives est, par définition, l'expression de la mesure + d’une grandeur ; il est donc fini.
Les collections successives provenant de la division du = onuna forment une série indéfinie de nombres finis.
Dés êtres dépourvus d’étendue peuvent, à l'instar des
EE Dee
parties du continu, être rangés en un espace imaginaire : une série quelconque d'êtres ainsi représentés et tolalisés*
; débute par un premier terme ; elle est donc finie ; en consépins élle aussi constitue un #ombre.
S ’ensuit- il que toute multitude d'êtres ait nécessairement : ‘un premier terme ie par suite, soit nécessairement un 4 nombre?
Une multitude due d'êtres est-elle a
4) Voir en particulier Renouvier, Essais de critique générale, passim.
a. ae Dore res 16, PP: 96 etor. Les dilemimes de la re |
