UNITÉ TRANSCENDANTALE ET UNITÉ PRÉDICAMENTELLE

82. L'unité, la multitude. — Tout être, quel qu'il soit, est un être, indivis en soi, distinct des autres.

La multitude comprend des êtres dont chacun est supposé un être indivis en soi, distinct d'autrui.

Le multiple, comme tel, ne forme point une unité. Phisieurs êtres ne sont d'aucune façon, dans la réalité, im être.

Mais plusieurs êtres peuvent être réunis par l'esprit en un objet de pensée : ils forment alors un ensemble d'unités, une multitude. Telle la multitude d'astres qui brillent dans le ciel, la multitude d'arbres d'une forêt, ou des individus réunis en foule.

Pour être ainsi réunis en un objet de pensée, les atomes de la multiplicité doivent être considérés sous un même aspect^ de sorte que, matériellement plusieurs, ils offrent néanmoins à l'esprit qui les considère un même objet formel.

La conscience nous dit, en effet, que nous sommes incapables de nous représenter des choses multiples, en tant que multiples. « Intellectus potest quidem multa intelligere per modum unius, non autem multa per modum multorum » ^).

85. Le nombre en général. — Le contenu de la multitude est indéfini; le nombre est une multitude composée d'une somme définie d'unités. Lorsque l'esprit conçoit successivemeut des unités distinctes, gardant toujours le souvenir des unités déjà conçues, il additionne les unités qu'il pense ; U7ie somme d'u7iités est un nombre. L'esprit conçoit les unités qu'il pense successivement, comme autant de parties d'un même tout, il totalise les unités : un total d'unités est un nombre.

Des unités, la distinction de ces unités, unité de conception de ces unités distinctes : tels sont les trois caractères de la multitude. Unités, distinctioi:, unification mentale des unités distinctes, terminaison par une dernière unité ou totalisation, tels sont les caractères disîinctifs du nombre.

Etant essentiellement terminé par une dernière unité, le nombre est fini.

En résumé, le nombre (abstrait) est un ensemble de choses distinctes, considérées sous un même aspect et réunies par

') Summ. Theol., 1^, q, 85, art. 4. Saint Thomas se fait l'objection que nous connaissons des choses composées, par exemple, un homme, une maison. Nous connaissons donc simultanément, semble-t-il, les multiples parties qui les composent.

Non, répond-il, l'inférence n'est pas fondée. Ou bien, en elfet, nous nous représentons les parties comme les composantes du tout, et alors nous les connaissons confusément au moyen de la connaissance du tout. Ou bien nous nous les représentons comme des entités distinctes, et alors nous n'en avons pas une connaissance unique. « Partes possunt intelligi dupliciter : uno modo, sub quadam confusione, prout sunt in toto ; et sic cognoscuntur per unam formam totius, et sic simul cognoscuntur. Alio mxodo cognitione distincta, secundum quod quaalibet cognoscitur per suam speciem (intelligibilem) et sic non simul intelliguntur ». Ihid., ad 3.

De même, nous jugeons que deux choses ditièrent l'une de l'autre,

la pensée en un même total ; plus brièvement, le nombre est un total d'unités.

Un nombre (concret) est le total que forment les unités totalisées.

La raison pour laquelle un total déterminé est le total qu'il est n'est autre que sa dernière unité.

En conséquence, ce qui constitue le nombre et le distingue des autres, en un mot, ce qui le spécifie, c'est sa dernière unité. « Si aliquid addatur aut subtrahatur a numéro aliquo, etiam si sit minimum, non erit idem numerus secundum speciem. Minimum autem in numeris est unitas, quae si addatur quaternario, crescet quinarius quse est alia species numeri. Et hoc ideo est quia ultima unitas est species numeri » ^).

Étant un composé total, le nombre est décomposable : les objets multiples qui résultent de la décomposition du nombre total sont les imités de ce nombre. Retrancher mentalement à un nombre une de ses parties, c'est lui soustraire une unité.

Tout nombre étant limité, il est inévitable que des soustractions successives l'épuiseni : le nombre peut donc se définir, par opposition à la multitude en général, une multitude épuisable.

Le nombre se forme par l'addition de ses parties composantes ; inversement, il se décompose par la soustraction successive de ses unités. Additionner et soustraire sont les deux opérations fondamentales de la science des nombres. 11 est vrai que Ton distingue couramment quatre opérations fondamentales, mais il n'est pas difficile de faire voir que la

nous les comparons l'une à l'autre : ce jugement, cette comparaison n'exigent-ils pas la présence simultanée des termes du jugement ou de la comparaison ? Saint Thomas répond : « Quando intellectus intelligit ditterentiam vel comparationem unius ad alterum, cognoscit utrumque differentium vel comparatorum sub ratione ipsius comparationis vel differentias, sicut dictum est quod cognoscit partes sub ratione totius ». Ibid., ad 4.

') In VIII Metaph., lect. 3. Cfr. IV Sent., dist. VIII, q. 2, art. 3, ad 7.

MÉTAPHYSIQUE GÉNÉRALE l79

multiplication est essentiellement une addition, la division essentiellement une soustraction.

Il est intéressant de distinguer le double point de vue, l'un génétique^ de composition^ l'autre distributif] de décomposition^ auquel le nombre peut être considéré.

Le premier point de vue est primordial : Le dénombrement suppose déjà formé le nombre que la distribution mentale dénombre. Il est impossible, en effet, de saisir plusieurs choses à la fois sans les considérer sous un même aspect, c'est-à-dire sans les considérer comme un nombre.

£n résumé, au point de vue génétique, un nombre est un ensemble fini d'objets considérés par la pensée comme autant de parties d'un même tout. Chacune des parties composantes est une unité, ^addition des unités forme le nombre.

A un second point de vue, formel, le nombre est un ensemble limité d'objets considérés sous un même aspect. Chacun des objets de cet ensemble est une imité. Considérer successivement les unités qui entrent dans le total d'un nombre, c'est les « compter », les « supputer ».

Aux deux points de vue, l'idée de nombre comprend quatre éléments : L'unité, la distinction de plusieurs unités, l'unité de la pluralité d'unités, la totalisation des unités.

Quel est l'aspect formel à raison duquel des objets distincts deviennent les unités d'un même nombre?

C'est l'unité transcendantale des êtres : elle convient à tout être quel qu'il soit, individu ou espèce, espèce ou genre, substance ou accident, être réel ou même être de raison. Dès qu'elle est réunie à d'autres sous un même concept, l'unité transcendantale est une unité de nombre. Pierre, Paul, Jacques sont trois individus d'une même espèce : ils forment un nombre. Deux pommiers et deux poiriers forment quatre arbres ; deux poires et deux p)ommes sont quatre fruits. Deux pommiers et deux chenilles sont quatre êtres vivants. Deuj^

pommiers, deux chenilles, deux cailloux sont six corps. Un caillou, un pommier, une chenille, un homme, un ange sont cinq substances. Les cinq substances énumérées tout à l'heure et tel mouvement du caillou, tel acte de réflexion de l'homme, tel vouloir du pur esprit peuvent être considérés comme huit choses, huit unités.

Autant l'on peut distinguer de formalités dans un être, dit Cajetan, autant on peut lui attribuer d'unités : autant il y a de façons de le considérer comme unité de nombre.

84. Unité prédicamentelle , unité de mesure; le nombre, expression de la mesure d'une grandeur. — L'unité dont nous avons parlé jusqu'à présent est transcendantale : elle se vérifie en tout être, corps ou esprit, substance ou accident.

Mais il est une autre conception de l'unité à laquelle l'esprit arrive par la division du continu : l'unité ainsi entendue n'est donc attribuable qu'à une catégorie spéciale d'objets ; on l'appelle de ce chef « prédicamentelle ».

Le continu est divisible, réellement ou idéalement, en parties de nature identique, distinctes les unes des autres. Ces parties peuvent être considérées comme les unités d'un même tout et, par leur ensemble, former un nombre.

Le nombre ainsi formé a donc sa source dans la division ^ de l'étendue, * numerus sequitur divisionem ».

Les parties du continu sont des grandeurs.

On compare des grandeurs entre elles à l'effet de voir si elles sont égales ou inégales.

En chaque espèce de grandeur on choisit arbitrairement une grandeur-type à laquelle les autres grandeurs de même espèce pourront être comparées : cette grandeur-type s'appelle unité de mesure.

On appelle grandeurs commensiirables, celles qui sont multiples de l'unité de mesure ; mcommensurables, celles qui ne vérifient pas cette condition.

Le nombre exprime combien de fois la grandeur mesurée contient l'unité de mesure.

Toute grandeur commensurable a pour mesure un nombre entier ou une fraction ; celle-ci n'est d'ailleurs qu'un ensemble de deux nombres entiers. Réciproquement, toute grandeur dont un nombre entier ou fractionnaire est la mesure est une grandeur commensurable avec l'unité de mesure.

L'unité de mesure étant choisie arbitrairement, il est possible qu'une grandeur soit mesurable sans qu'elle le soit au moyen de la grandeur qui a été prise pour unité de mesure. L'expression de la mesure d'une grandeur incommensurable avec telle ou telle unité choisie est aussi un nombre : il est appelé incommensurable ou irrationnel par opposition aux nombres entiers ou fractionnaires, qui expriment la mesure des grandeurs commensurables ou rationnelles, et s'appellent, pour ce motif, nombres rationnels.

Nombreuses sont les choses que nous mesurons : les trois dimensions de l'espace, longueur, largeur, profondeur ; les lignes, les surfaces, les volumes ; la masse, le poids, la densité ; le mouvement, le temps ; la force, le travail et leurs multiples applications aux faits d'ordre mécanique, physique ou chimique.

Mais, en réalité, il n'y a que trois grandeurs primordiales, la longueur, la masse et le temps, et trois unités fondamentales, le centimètre, le gramme et la seconde ^).

Or, la longueur est évidemment une portion d'espace ; le centimètre, par exemple, est approximativement le billionième du quadrant terrestre.

Le mouvement local est la série continue des positions

*) Quel est le sens précis de ces unités de mesure ?

Si l'analyse chimique pouvait conduire à une matière homogène élémentaire, et qu'il existât, de cette matière unique, des quantités minimales absolues, nous posséderions de véritables unités de matière ; des atomes au sens rigoureux, étymologjique (àxofjLOs), de l'expression. Une

successives d'un corps dans l'espace : or, les notions de niasse et de temps sont inséparables de celle du mouvement.

Le temps, quelle qu'en soit la définition, intervient indubitablement dans la mesure de la vitesse et dans celle de V accélération^ dont les notions précisent l'idée qu'on se fait d'un corps en mouvement.

La m,asse a pour expression le rapport entre la force et l'accélération. La/orce se mesure par l'accélération qu'elle communique à une masse donnée. Or V accélération^ dans le mouvement rectiligne uniformément varié, est la vitesse communiquée à l'unité de masse, après une seconde ; et la vitesse d'un mouvement uniforme est le rapport de l'espace parcouru au temps employé à le parcourir, ou, ce qui revient au même, l'espace parcouru dans l'unité de temps.

Donc les trois unités fondamentales, le centimètre, le

matière sensible quelconque serait alors un multiple de l'atome. Mesurer une quantité de matière reviendrait à compter le nombre de ses atomes.

Mais il n'en est pas ainsi. Ni les analyses du chimiste, ni aucun autre procédé de décomposition ne parviennent à réduire les corps de la nature à une matière élémentaire homogène : les quantités de matière, que l'expérience nous permet d'apprécier, ne sont donc point absolues, mais proportionnelles.

Le chimiste compare le rapport qu'il y a entre le poids et le volume d'un corps de telle espèce, par exemple du carbone, au rapport qu'il y a entre le poids et le volume d'un corps de telle autre espèce, par exemple de l'hydrogène; de la comparaison de ces rapports, il peut voir surgir des relations d'égalité, c'est-à-dire des proportions ; mais il ne peut faire davantage L'évaluation quantitative des diverses espèces de corps, réunies sous ce nom collectif indéterminé : la matière, n'est que proportionnelle.

Et la matière homogène, propre à chaque espèce de corps, comment l'évalue-t-on ?

Elle est formée de parties constitutives, la matière première et la forme spécifique, nous le voulons bien, mais ces parties échappent à notre perception directe, se révèlent par l'intermédiaire des propriétés des substances corporelles : de ces propriétés, la plus fondamentale est l'étendue.

Or, à quel résultat mène la décomposition de l'étendue ?

Donne-t-elle un minimum absolu d'étendue, un atome, entendu, cette

gramme, la seconde, mesurent l'espace ou sont dépendantes de la mesure de l'espace.

Les autres unités de mesures sont toutes dérivées de ces unités fondamentales : nous ne pouvons poursuivre la preuve de cette assertion dans le détail infini de ses applications, mais quelques exemples nous en feront apprécier la portée.

La force^ avons-nous dit, se mesure par l'accélération qu'elle communique à une masse donnée. Ainsi, la force de la pesanteur a pour mesure 9^,81, parce que 9'",81 est la vitesse communiquée par la pesanteur à l'unité de masse après une seconde.

Le travail — et conséquemment la force vive dépensée à l'accomplir — a pour mesure le produit de la force par le chemin parcouru dans la direction de la force.

La densité n'est qu'un rapport entre le poids et le volume.

Les variations de pression et de température peuvent se

fois, au sens physique ou mécanique du mot? Non. Toute matière étendue est continue et le continu est essentiellement divisible.

Il en résulte que l'unité de mesure de la matière est une quantité continue, et partant divisible, de matière, encore que cette quantité soit considérée conventionnellement comme indivisible.

A cette unité de mesure on a dû s'arrêter. Mesurer une quantité quelconque, c'est déterminer combien de fois une quantité minimale, tenue conventionnellement et provisoirement pour indivisible, est comprise dans une quantité plus considérable L'expression de la mesure de cette quantité plus considérable est donc formée d'unités : on l'appelle un nombre.

Le nombre «cprime combien de fois la quantité minimale, prise pour unité, est comprise dans une grandeur à mesurer. Il est formé par une addition successive d'unités ; aussi, de même que l'unité, qui sert de mesure, est une quantité, de même le nombre, somme d'unités, est une quantité.

« Mensura, dit admirablement saint Thomas, nihil aliud est quam id quo quantitas rei cognoscitur : quantitas vero rei cog;noscitur per unum et numerum. Per unum quidem, sicut cum dicimus unum stadium vel unum pedem ; per numerum autem, sicut cum dicimus tria stadia vel très pedes ; ulterius autem omnis numerus cognoscitur per unum, eo quod unitas aliquoties sumpta quemlibet numerum reddit ». In Metaph., lib. X, lect. 2.

mesurer par le déplacement d'un corps, par exemple, par le déplacement d'une colonne de mercure sur une échelle graduée,

La force électrique se mesure par son équivalent mécanique.

La gamme des sons est basée sur le nombre d'oscillations du corps sonore ; celle des couleurs^ sur le nombre de vibrations du corps lumineux, pendant l'unité de temps.

Enfin, les forces chimiques se mesurent par leurs manifestations mécaniques ou physiques.

En dernière analyse, c'est donc toujours la quantité que nous mesurons ; par conséquent, Vunité de mesure, principe du nombre, et le nombre, expression de la mesure, ne s'appliquent, à proprement parler, qu'à la catégorie de la quantité.

Même lorsqu'elle est considérée abstraitement l'unité garde cette signification prédicam,entelle.

Sans doute, l'unité de longueur est une longueur, l'unité de masse une masse, l'unité de temps une portion du temps ; mais la longueur, la masse, le temps S'ont des grandeurs ; on conçoit donc une unité de grandeur, unité abstraite applicable indifféremment à l'étendue, à la masse et au temps.

Il importe de distinguer avec rigueur cette unité prédicamentelle de l'unité transcendantale : la solution de plusieurs problèmes de philosophie mathématique dépend de cette distinction.

85. Deux acceptions diverses du uombne. — Tout nombre est un total d'unités.

Celles-ci peuvent être des unités transcendantales ou des unités de grandeur.

D'où il suit que le nombre désigne deux idées diverses.

Le signe I est le symbole de l'unité. Les signes II, III, IIII, etc., ne désignent à proprement parler que des unités juxtaposées, des pluralités d'unités, des multitudes ou collections d'unités distinctes.

Pour exprimer le nombre, on ajoute au symbole de la pluralité, le signe -f, qui marque l'union des unités en un même tout, la totalisation.

Les nombres ont pour expression 1 -|- 1 ; 1 -f 1 4- 1 ; 1 -[- 1 -|- l 4- 1 et ainsi de suite ; en abrégé 1 -\- 1 s'exprime par 2 ; 1 -|- l -f 1 s'exprime par 2 -f- 1 ou par 3 ; l 4- 1 -|- 1 -f 1 s'exprime par 2 -f- 1 -f- 1 ou par 3 -|- 1 ou par 4. En résumé, des unités distinctes considérées ensemble forment une multitude ; une multitude d'unités distinctes totalisée forme un nombre.

La série des nombres formés par l'addition d'une unité au nombre précédent peut se poursuivre indéfiniment. Après tout nombre 71, disent les mathématiciens, il y a un autre nombre n -\- l.

Considéré comme un tout parfait par une dernière unité, le nombre s'appelle cardinal.

Considéré par rapport au nombre qui le précède, le nombre s'appelle ordinal ^).

1, 2, 3, 4,... n, sont les nombres cardinaux.

lei', 2'^e, 3'^e, 4"^e^... ^me gont les nombres ordinaux.

Or, dans une première acception, le nombre est un total d'unités transcendantales : il est applicable à des objets de n'importe quelle catégorie, aux substances, aux qualités, aux relations, aux actions, etc., aux corps et aux esprits. Aristote compte les substances séparées ; la théologie chrétienne compte neuf chœurs d'anges, trois personnes de la sainte Trinité ').

') Lire à ce sujet Couturat, De V infini mathématique, pp. 305-329, et Revue de Met. et de Mor., mars 1904, pp. 212 et suiv.

') Les Averroïstes, désireux de conclure à l'existence d'une seule âme intellective pour l'humanité entière, soutenaient que le nombre ne peut avoir d'autre origine que la division de la matière. Au contraire, dit saint Thomas, dans sa réponse à Siger de Brabant, chaque substance séparée est une unité et fait partie d'un nombre. « Relinquitur ergo quod quaslibet substantia separata sit unum numéro. Nec verum est quod

Mais sous l'extension de l'unité transcendantale est rangée l'unité de grandeur ou de mesure. Up total d'unités de grandeur forme un nombre dans l'acception restreinte du mot ^).

Dans cette seconde acception, le nombre est l'expression de. la mesure d'une grandeur, il provient de la division du continu. En conséquence, il présente nécessairement les caractères suivants :

1° Les unités du nombre en général ont une commune relation avec le tout dont elles forment les parties composantes, mais n'ont pas entre elles un ordre naturel. Au contraire, l'expression d'une grandeur part nécessairement d'une première grandeur, prise comme unité de mesure, et toutes les unités successivement additionnées pour former la

omnis numerus causatur a materia : frustra enim Aristoteles quîesivisset numerum substantiarum separatarum. Ponit etiam Aristoteles in V Metaphysic. quod multum dividitur non solum numéro, sed etiam specie et génère ». De unitate intellectiis contra Averroïsias.

Ailleurs, saint Thomas écrit : « Cum divisio multitudinem causet, indivisio vero unitatem, oportet secundum rationem divisionis, de une et multo ju^icium sumi. Est autem quaedam divisio quae omnino genus quantitatis excedit, quae scilicet est per aliquam oppositionem formalem, quœ nuUam quantitatem concernit. Unde oportet quod multitudo hanc divisionem consequens et unum quod hanc divisionem privât, sint majoris communitatis et ambitus quam genus quantitatis». De potentia, q. IX, a. 7. C.

') « Numerus et unitas, secundum quod sunt in génère quantitatis, non inveniuntur nisi in quibus invenitur commensuratio quantitatis : unde inveniuntur tantum in rébus habentibus quantitatem continuam. Unde Philosophus dicit quod numerum cognoscimus divisione continui; et hic tantum numerus est sub arithmetica, ut etiam Avicenna dicit ». I Sent., dist. XXIV, q. 1, a. 3.

« Unitas et numerus quas considérât arithmeticus, non sunt illa unitas et multitudo quae inveniuntur in omnibus entibus, sed solum secundum quod inveniuntur in rébus materialibus secundum quod pluralitas causatur ex divisione continui. In hoc enim possunt inveniri omnes illse passiones in numeris, quae arithmetici demonstrant, sicut multiplicatio, et aggregatio, et hujusmodi, quas fundatur super divisionem infînitam continui. Unde est infinitas in numéro. Et ideo etiam talis unitas est potentia omnis numerus ». Idem.y art. 1, ad 2.

MÉTAPHYSlyL'E GÉNÉRALE 187

série des nombres gardent avec cette première unité une relation essentielle. Ainsi, par exemple, Michel, Gabriel, Raphaël sont trois esprits : pour les réunir en nombre, il est indifférent que je considère premièrement Michel, seconde^ ment Gabriel, troisièmement Raphaël, ou que, inversement, je commence par Raphaël ou par Gabriel pour finir j)ar Michel.

Au contraire, pour exprimer la mesure d'une longueur, on prend un mètre et l'on compte combien de fois ce mètre étalon peut être porté sur la grandeur à mesurer. La place de la première application du mètre étalon est fixée par la limite extrême du continu à mesurer, celle de la seconde application est fixée par la place du premier mètre ; chacune des suivantes applications du mètre, sur la grandeur qu'il s'agit d'évaluer, est immédiatement déterminée par l'application précédente, et toutes sont fonction du premier mesurage.

Les unités successives, qui expriment les mètres compris dans le continu à mesurer, sont donc ici rangées en un ordre qui s'impose à l'esprit.

Le symbole du nombre en général est 1 -|- 1 -|- 1 -f- 1, peu importe l'ordre de succession des unités totalisées.

Au contraire, le nombre issu de la division du continu est formé d'unités qui ont entre elles un ordre naturel. La première unité est l'unité-type, la mesure d'après laquelle s'évalue l'égalité des unités subséquentes. Les unités de ce nombre possèdent donc, de par la nature des choses^ une signification ordinale : elles forment essentiellement série.

Nous disions : de par la nature des choses. Rien n'empêche, en effet, que dans la constitution d'un nombre quelconque, l'esprit ne se trace un ordre de succession. Mais tandis que l'ordre de succession d'unités transcendantales est arbitraire, subjectif, la supputation des unités qui résultent de la division du continu se fait suivant un ordre naturel, objectif.

2^ Les nojnbres qui expriment les grandeurs forment

nécessairement une série indéfinie. En effet, la grandeur, — la longueur, la masse, le temps — étant continue, la division de la grandeur donne indéfiniment des parties continues. Après tout nombre w d'unités transcendantales, il y a possiblement un nombre n -f- 1 ; mais après tout nombre d'unités de grandeur, il y a nécessairement un nombre n -\- i. « Talis unitas (quae invenitur in rébus materialibus) est potentia omnis numerus » ^).

30 Tout nombre d'unités quantitatives est essentiellement fini, attendu qu'il est l'expression de la mesure d'une quantité. Evidemment tout ce qui est mesurable ou est supposé tel, est, par définition, fini ; donc le nombre qui exprime la mesure d'une grandeur mesurable est fini. Au contraire, une multitude d'unités quelconques n'est pas, par définition, finie. La notion de multitude fait abstraction du point de savoir si les unités multiples forment un ensemble fini ou infini. Aucune d'elles n'est essentiellement une première unité ; leur multitude n'est pas essentiellement épuisable par des soustractions successives d'unités ^).

1) / Sent., dist. XXIV, q. 1, art. 1, ad 2.

') Saint Thomas a bien marqué dans les lignes suivantes de son Commentaire à la Métaphysique d'Aristote, la distinction des deux acceptions de l'unité et du nombre.

« Unum quod est principium numeri, aliud est ab eo quod cum ente convertitur. Unum enim quod cum ente convertitur, ipsum ens désignât, superaddens indivisionis rationem, quas, cum sit negatio vel privatio, non ponit aliquam naturam enti additam. Et sic in nuUo diftert ab ente secundum rem, sed solum ratione. Nam negatio vel privatio non est ens naturae sed rationis, sicut dictum est Unum vero quod est principium numeri addit, supra substantiam, r<^aonem mensurae, quae est propria passio quantitatis, et primo invenitur in unitate. Et dicitur per privationem vel negationem divisionis, quae est secundum quantitatem continuam. Nam numerus ex divisione continui causatur. Et ideo numerus ad scientiam mathematicam pertinet, cujus subjectum extra materiam esse non potest, quamvis sine materia sensibili consideretur. Hoc autem non esset, si unum quod est principium numeri, secundum esse a materia separaretur, in rébus immaterialibus existens, quasi cum ente conversum ». In Metaph., IV, lect. 2.

86. Corollaires. — 1. La mathématique pure a pour objet le nombre dans la double acception du mot.

Mais la mathématique appliquée à la physique a jjour objet la mesure de la grandeur, le nombre dans l'acception spéciale du mot.

2. On comprend en quel sens il est vrai de dire, d'une part, que les êtres immatériels échappent à la loi du nombre, — ils ne sont pas des grandeurs susceptibles de mesure — et, d'autre part, que tout ce qui est créé est soumis au nombre, au poids, à la mesure ; ils sont des unités susceptibles d'être considérées ensemble.

On a parlé ci-dessus, incidemment, de la possibilité d'une multitude infinie ^).

Avant de poser le problème, écartons une équivoque.

87. L'indéfini. — Tout nombre est essentiellement fini, attendu qu'il est clos par une dernière unité. Mais, disent certains auteurs, la série naturelle des nombres 1, 2, 3, 4, 5, G... n est infinie : car, après tout nombre 7Z, il y a un autre nombre n -{- l.

Non, la série naturelle des nombres n'est pas infinie, mais infinie en puissance, indéfinie.

Il faut prendre garde de confondre l'infini et l'indéfini.

On appelle yîm tout ce qui a une limite. La limite d'une réalité est la négation d'une réalité ultérieure. Nous parlerons tout à l'heure d'une acception spéciale, mathématique, de la limite.

Le fini est quelque chose alïecté de la négation d'autre chose au delà.

Le fini se rencontre, à proprement parler, dans la quantité, soit continue, soit discrète, — l'étendue, la collection d'unités — et, métaphoriquement, dans les degrés de perfection des

^) Nous discutons ex professa ce problème dans nos le(,ons de Théodicée.

êtres, lorsque l'esprit compare une perfection à d'autres et considère la première comme équivalente à plusieurs.

L'étendue fiîiie est une étendue au delà de laquelle il n'y a plus rien qui appartienne au sujet étendu. Une collection^^n^ d'unités est terminée par une unité au delà de laquelle il n'y en a plus qui appartienne à la collection. Une perfection finie est considérée à tel degré à l'exclusion d'un degré supérieur.

Uinfini est la négation de la limite.

Uhîdéfini^ que l'on appelle aussi infini en puissance^ a une limitey mais variable.

Dans la nature tout être a une limite ou n'en a pas, il est donc fini ou infini : entre les deux il n'y a point de milieu.

L'indéfini n'existe pas comme tel.

L'indéfini est l'œuvre de la pensée : Voici une circonférence et, dans cette circonférence, un polygone inscrit. Le nombre des côtés de ce polygone peut augmenter toujours. Plus il augmentera, plus le polygone s'approchera de la circonférence, mais jamais il ne se confondra avec elle. Le périmètre du polygone inscrit est une variable^ la circonférence est, suivant le langage des géomètres, sa limite. Le rapport entre la variable et sa limite est une quantité qui peut devenir aussi petite qu'on le voudra, s'approcher indéfiniment de l'unité ; mais jamais un polygone régulier, quel que soit le nombre de ses côtés, ne sera une circonférence, jamais la différence entre la variable et sa limite ne sera réduite à zéro, elle sera toujours une q\xdir\X\ié finie.

Soit la fraction décimale 0,66666 comparée à la fraction

ordinaire 2/3. La fraction 2/3 est la limite de la variable

0,66666 Celle-ci s'approchera de celle-là d'aussi près que

je voudrai ; la difi"érence entre l'une et l'autre sera une quantité aussi petite que je le voudrai, mais sera toujours finie en acte, indéfiniment fmie en acte.

Soit, enfin, une somme de quantités finies dont le nombre

augmente indéfiniment • 1 + ^ + "4 "^ S' "^ 16 "^ 32 "^ "*

La limite de cette série est 2. Si grand que je suppose Ir, nombre des quantités finies ainsi additionnées, leur somme n'égalera jamais la limite de la série.

On le voit, Vindéfini est tout autre que Vinjifii.

\J infini est une perfection qui n'a point de limite.

L'indéfini est une quantité variable — continue, discrète, métaphysique — que l'esprit considère par rapport à une autre quantité fixe et telle que la différence entre la première et la seconde peut devenir aussi petite qu'on le veut.

^^, Possibilité d'une multitude infinie. Objections des finitistes. — La division du continu donne naissance à une série indéfinie d'unités ; néanmoins, une collection quelconque de ces unités a eu son principe dans une première unité ; elle forme donc nécessairement une collection finie^ c'est-à-dire un nombre. Au surplus, le nombre formé d'unités quantitatives est, par définition, l'expression de la mesure d'une grandeur ; il est donc fini.

Les collections successives provenant de la division du continu forment une série indéfinie de nombres finis.

Des êtres dépourvus d'étendue peuvent, à l'instar des parties du continu, être rangés en un espace imaginaire : une série quelconque d'êtres ainsi représentés et totalisés débute par un premier terme; elle est donc finie; en conséquence, elle aussi constitue un nombre.

S'ensuit-il que toute multitude d'êtres ait nécessairement un premier terme et, par suite, soit nécessairement un nombre ?

Une multitude infinie d'êtres est -elle intrinsèquement impossible ?

Oui, dit-on, les notions de multitude et d'infini s'excluent \).

') Voir en particulier Renouvier, Essais de critique générale, passiin. Lu nouvelle monadologie, pp. 36 et 37. Les dilemities de la inétaphysiqiit pure, chapitre 11. Les derniers entretiens, publiés par Louis Prat, Cfr. Beurier, M. Renouvier et le criticisine français, dans la Revue

En effet, ajoute-t-on, le nombre est l'expression de la mesure d'une quantité. Or tout ce qui est mesuré ou mesurable est évidemment fini. Donc, nombre infini est une contradiction dans les termes.

Aussi bien, une multitude peut toujours être augmentée. Or l'infini n'est pas susceptible d'être augmenté. Donc un nombre infini implique contradiction.

D'une multitude supposée infinie retranchez une unité, la multitude sera finie. Donc une multitude finie plus une unité serait une multitude infinie : c'est absurde.

Supposez, par exemple, une multitude infinie d'arbres ; chaque arbre a plusieurs branches, chaque branche des feuilles ; il y a donc plus de feuilles que d'arbres ; il y aurait donc un infini plus grand que l'infini : ce qui est contradictoire.

Soit la série des nombres pairs ; sous chacun des termes de la série, rangeons un nombre impair. Chacune des deux séries est infinie. Additionnons-les, nous aurons une somme plus grande que chacune des séries additionnées, un infini plus grand que l'infini ^) : toujours la même absurdité.

Un critique, savant mathématicien, qui a bien voulu discuter les arguments qui précèdent, nous écrit que l'on peut faire ressortir davantage la force de ce qu'on appelle parfois le théorème de Galilée. Si nous avons, dit-il, une suite infinie

philosophique, 1877. Les arguments de Chi Renouvier sont exposés et discutés dans la substantielle étude d'Edgar Janssens, Le Néo- Criticisine de Ch. Renouvier. Louvain, 1904.

*) « On peut varier en mille manières la démonstration des absurdités qui ressortent de la supposition d'un infini actuel de parties homogènes d'un tout donné. Elle revient toujours en abstrait à ceci :

Soit la série des nombres abstraits :

» Si cette suite est infinie en acte, c'est-à-dire, si elle est, d'une part, donnée en son intégralité, et telle, d'autre part, que ses termes, considérés ensemble, ne répondent à aucun nombre déterminé n, quelque

MT^-TAPHYSIOTTE GKNF.RALE lOH

en acte, nous pouvons attribuer aux objets c[ui la composent les nombres entiers successifs ; à une seconde série infinie nous pourrions attribuer les nombres pairs, 1 x 2, 2 X 2,

3x2 ou les nombres carrés parfaits, l\ 2'\ 3^... ; puis

nous pouvons poser une correspondance terme à terme de la seconde série avec la première 1x2, correspondant à 1, 2 X 2 à 2, 3 X 2 à 3 et ainsi de suite, ou bien 1'"^ à 1,

2'^ à 2, 3^ à 3 Nous aurons ainsi deux suites en acte se

correspondant terme à terme d'une façon univoque et réciproque : les deux séries contiennent donc forcémct le même nombre de termes. Or la seconde n'en contient que la moitié de la première, ou même infiniment moins dans le second cas. Il y a donc contradiction.

89. Réponses des infinitistes. — Cependant, des penseurs de premier ordre — Aristote, saint Thomas et bien d'autres — n'ont pas vu que le concept de multitude infinie soit contradictoire.

Toujours est-il que les considérations que nous venons de rappeler ne prouvent point qu'il le soit.

D'abord, confondre la multitude en général avec le nombre qui, par définition, est une multitude y^Mz^, c'est trancher par une pétition de principe un des problèmes les plus délicats de la métaphysique.

grand que n puisse être, il faut qu'elle contienne autant de termes pairs qu'impairs, puisque pour chacun des termes qu'elle contient, il faut qu'elle en contienne, un aussi qui soit le double de celui-là. Donc la série i

contient autant de termes que la série (a). Mais tous les termes de la

série (b) sont pairs, et la série (a) qui les contient tous, contient en

outre les impairs :

dont le nombre est pareillement infini. Nous avons dit que la série (b) avait autant de termes que la série (a) : donc il faut que la série (a) contienne plus de termes, infiniment plus de termes qu'elle n'en contient, ce qui est contradictoire in terminis ». Ch. Renouvier et L. Prat, La nouvelle monadologie, p. 35. Ig

Le problème de la possibilité d'un ensemble infini d'êtres ne s'applique pas au nombre, mais à la inultitude.

Encore faut-il s'entendre sur le sens du mot infini dans l'expression multitude infinie.

Assurément, une multitude qui serait en tons sens infinie ne serait pas susceptible d'être augmentée. Mais ne conçoiton pas une multitude d'êtres dont aucun ne serait, dans la nature, premier, encore que toute collection de ces êtres groupée par la pensée, fût un nombre fini ? Supposez un monde créé ab œterno^ aucun événement de ce monde ne serait tel qu'il n'y en eût point avant lui ; aucun ne serait donc premier a parte ante ; néanmoins la série des événements serait finie, susceptible d'accroissement, a parte post.

Les âmes spirituelles sont immortelles ; leurs actions se succéderont sans fin. La série d'actions d'une âme créée dans le temps a donc commencé ; elle a eu un premier terme, elle est finie a parte ante. Mais dans l'avenir, telle qu'elle se présente, en son ensemble, au regard de l'intelligence divine, a parte post^ est-elle finie ?

Deux multitudes infinies de ce genre forment donc ensemble une multitude plus grande que chacune d'elles à part. S'il y avait une infinité d'arbres en feuilles, il y aurait évidemment plus de feuilles que d'arbres.

Tout cela est exact.

Mais il ne s'ensuit pas que la multitude finie a parte post^ soit telle que, par des soustractions successives de quantités finies, elle doive pouvoir être réduite à zéro.

Retranchez d'une multitude infinie une ou plusieurs unités, autant d'unités et de nombres d'unités que vous voudrez, la multitude restera infinie : infinité signifie ici, en effet, inépuisabilité.

On a tort de considérer la série des nombres pairs et celle des nombres impairs comme deux séries infinies, elles ne sont qvCindé finies .^ c' est- k- dire finies avec une limite variable.

M^.TAPHYSIQUE GÉNÉRALE 195

Deux séries quelconques de nombres, les uns pairs, les autres impairs, additionnables sont finies. Leur somme est finie.

(^n n'est pas autorisé à supposer les nombres entiers successifs attribués à tous les objets d'une multitude infinie en acte. Toute série de nombres successifs est finie. Les nombres qui la composent sont attribuables à des objets d'une multitude supposée infinie en. acte. Mais ^/ar delà la collection finie d'objets auxquels une série quelconque de nombres a pu être attribuée, il reste une infinité d'objets auxquels aucune attribution n'a été faite, n'a pu être faite.

On a essayé d'infirmer cette réponse par un autre biais. On a dit : « La supposition de deux multitudes infinies dont l'une serait plus grande que l'autre est absurde : la multitude infinie, si elle était possible, serait nécessairement unique. En effet, dans la multitude que l'on dit la moindre des deux, chaque unité, puisqu'elle est suivie d'une autre unité, ne pourrait être dépassée par la multitude considérée comme la plus grande : un parallélisme rigoureux s'établirait entre les deux multitudes et leur nature infinie répugnerait à toute inégalité quantitative.

» Ainsi l'infini est unique. Et l'application de ce concept, soit à l'ordre de la quantité continue, soit, dans l'ordre de la quantité discrète, d'une part, aux êtres matériels et étendus, d'autre part, aux êtres constitués de plusieurs parties, cette application amène à concevoir des infinis inégaux. D'où il suit que la notion d'infinitude quantitative, dans les limites fixées, renferme des concepts contradictoires ».

Toujours la même confusion.

Deux séries d'unités issues de la division du continu ont l'une et l'autre nécessairement un premier terme à partir duquel elles sont comparables.

Mais la multitude supposée infinie a parte ante^ ne provient évidemment pas de la division du continu. Elle n'a pas essen-

lÔG MÉTAPHYSIQUE GKNKRALR

tiellement un premier terme. Deux multitudes infinies aparté ante, ne sont donc pas comparables à partir d'un premier terme respectivement propre à chacune d'elles.

Sans doute, il nous est loisible de comparer entre eux des nombres finis d'unités empruntés aux deux multitudes et d'établir artificiellement entre eux un parallélisme rigoureux. Mais aucun de ces nombres, aucune multiplication de ces nombres ne sont adéquats à la multitude infinie, attendu que celle-ci a pour caractère propre d'être inexhaustible.

Pour atteindre les infinitistes, il faudrait leur prouver que le concept de multitude est lié à celui de limite, en d'autres mots, incompatible avec celui d'infinitude. L'analyse du concept de multitude d'unités transcendantales, par opposition à celui du nombre issu de la division du continu, nous semble plutôt montrer le contraire.

En résumé, que la question de la possibilité d'une multitude infinie soit discutable, nous le voulons bien, mais le débat ne peut être tranché par cette considération sommaire que, toute agglomération d'unités est essentiellement finie. Confondre la multitude et le nombre, ce serait résoudre une controverse par une pétition de principe.

L'unité soit transcendantale, soit prédicamentelle est-elle Vimité numérique ? L'unité prédicamentelle est-elle identique kV unité du continu?

90. L'unité numérique. — L'unité numérique signifie toute unité faisant partie d'un nombre. Or, l'unité transcendantale, comme telle, ne fait pas essentiellement partie d'un nombre, mais est susceptible d'en faire partie.

L'unité transcendantale s'appelle numérique^ lorsqu'elle est regardée comme faisant ou pouvant faire partie d'un ensemble d'objets identiques sous un certain rapport.

Entre l'unité transcendantale et l'unité numérique il n'y a donc qu'une différence de point de vue.

Quant à l'unité de mesure, elle est essentiellement relative

aux grandeurs qui lui sont comparées. Elle est donc formellement une unité numérùjtie.

Comme la multiplication du type spécifique a pour principe la matière quantifiable, l'unité numérique de l'individu s'appelle aussi unité matérielle ; par contre, l'unité du genre et de l'espèce s'appelle formelle.

91. L'unité du continu. — L'unité de mesure, propre à la quantité, et principe du nombre, est-elle identique à l'unité du continu ?

Non. Elle présuppose et enveloppe dans son concept l'unité du continu, mais y ajoute la relation de mesure.

La continuité est Vindivision de l'étendue et, par conséquent, son unité ; elle est donc une des applications de l'unité transcendantale. L'unité est l'indivision de l'être : applicable à tout être, substance ou accident, elle l'est aussi à la quantité. Or, la continuité est l'indivision propre à l'étendue. Donc l'unité transcendantale embrasse dans son extension l'unité du continu : celle-ci est une unité transcendantale accessoire qui s'ajoute à celle de la substance ^).

Mais la notion de mesure est postérieure à celle du continu; elle présuppose plusieurs continus comparables entre eux.

L'unité du continu a un caractère absolu; l'unité de mesure, un caractère relatif, consécutif au premier.

La première unité convient à toute quantité continue ; la seconde ne convient qu'à telle quantité minimale indivisible ou du moins envisagée comme indivisible.

Donc l'unité du continu et l'unité principe du nombre ne peuvent être confondues.

92. Résumé et conclusion. — Nous devions parler, dans ce paragraphe (§ B), de l'unité transcendantale. Celle-ci est un attribut absolu de l'être comme tel; elle consiste dans

^) Sur la nature du composé qui résulte de l'union de U substance avec ses accidents, voir plus loin, Troisième Partie.

l'indivision de l'être ; peu importe, d'ailleurs, que cette indivision ne soit que la condition actuelle d'un être ou qu'elle exclue la possibilité même de sa division. Cette unité appartient donc à l'être, en tant qu'être : elle dépasse, en extension, tous les genres, et s'appelle, par conséquent, à bon droit, transcendantale (I).

Ni la composition métaphysique ni la composition physique ne sont incompatibles avec l'unité de l'être (II).

L'unité qui consiste dans l'indivision interne de tout être, ne peut être confondue avec l'unité qui sert de mesure à la quantité divisible et se trouve être ainsi le principe du nombre, dans une acception spéciale du mot. La première unité est transcendantale, la seconde, prédicamentelle (III).