GÉOMÉTRIE

qu’une seule intuition, celle du mouvement qui trace les lignes, décrit les cercles, tire la ligne droite, image du temps. Ce n’est que par abstraction, grâce à la distinction, préalable à toute critique, entre nous comme sujet connaissant et un système d'objets qui affectent notre sensibilité, que nous pouvons isoler en droit dans notre intuition ce qui se rapporte uniquement au moi. « Ce qui produit d’abord le concept de la succession c’est le mouvement comme acte du sujet... et par conséquent la synthèse du divers dans l’espace, si nous faisons abstraction de celui-ci et faisons attention seulement à l’action par laquelle nous déterminons le sens intime conformément à sa forme » (1). Aïnsi la représentation du temps n’est obtenue que par abstraction de l’espace dans la synthèse spatiale. Mais comment faire abstraction de l’espace s’il n’est déjà donné, préalablement à la synthèse ? |

La difficulté se manifeste si l’on veut préciser les rapports entre les différentes branches des mathématiques. L’arithmétique serait science du temps, la géométrie science de l’espace (?). Mais d’une part le temps est une grandeur continue ; d'autre part la symétrie est rompue par la différence des méthodes : la géométrie seule procède déductivement à partir des définitions et des propositions synthétiques à priori que sont les axiomes ; l’arithmétique, au contraire, va du particulier au particulier. « Quoique la proposition 7 + 5 = 12 soit synthétique, elle est cependant seulement particulière. En tant qu'ici on a seulement en vue la synthèse de l’homogène (des unités), la synthèse ne peut s’accomplir que d’une seule façon, quoique l’usage de ces nombres soit après universel. Si je dis : avec trois lignes dont deux réunies sont plus grandes que la 32, on peut dessiner un

(x) Déduction transcendantale, l. c., p. 128. C'est nous qui soulignons. (2) Au moins dans la Critique; sur les oscillations de KANT à ce sujet, ci. L. BRUNSCHvICG, L. c., p. 257 sq.

ALGÈBRE a

triangle, j'ai ici la simple fonction de l'imagination reproductrice qui peut tirer des lignes plus ou moins grandes et de même les faire se rencontrer sous des angles arbitraires » (*). En réalité, ce qui est sur le même plan que la géométrie, science « des simples grandeurs (quanta) », c’est l'algèbre, science de la simple grandeur (quantitas), « où on fait complètement abstraction de la constitution de l’objet qui doit être pensé d’après un tel concept de grandeur. Elle se choisit alors certain mode pour désigner toutes les constructions de grandeurs en général (nombres), comme l'addition, la soustraction, etc …, et. elle représente dans l'intuition, d’après certaines règles générales, toutes les opérations grâce auxquelles la grandeur est produite ou changée : là où une grandeur doit être divisée par une autre, elle les pose toutes deux ensemble dans l’algorithme de la division et arrive ainsi au moyen d’une construction symbolique, aussi bien que ia géométrie, après une ostensive ou géométrique (des objets mêmes) là où la connaissance discursive au moyen de simples concepts ne pouvait jamais parvenir » (2). Si l’algèbre est « connaissance par construction de concepts », cette construction s'effectue donc aussi dans l’espace. Quant à l’arithmétique, quoique plus particulière que l’algèbre en apparence (substituabilité d’un nombre particulier aux lettres), elle domine également les deux sciences ; il faut se rappeler que le nombre est un schème pur supérieur à l’espace et au temps : « l’image pure de toutes les quantités (quantorum) pour le sens extérieur est l’espace, celle de tous les objets des sens en général, le temps. Mais le schème pur de la quantité (quantitatis) considérée comme concept de l’entendement est le nombre » (*). La fausse symétrie, intervenant dans ce passage même, doit être rompue

(1) Axiomes de l'intuition, p. 158.

(2) Méthodologie, l. c., p. 487.

(3) Schématisme, I. c., P. 144.

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entre l’espace et le temps : si le temps est au niveau du schématisme il n’est pas image, mais «méthode pour procurer à un concept son image » (1). L’arithmétique ne nous livre pas de théorèmes, mais de simples « formules numériques » s'imposant à toutes les sciences d'objets. Mais ceci (rôle de l'algèbre) est déjà plutôt interprétation de l’épistémologie kantienne : et trois difficultés subsistent : 1° suivant la remarque de L. BRUNSCHvICG, le problème du continu est escamoté, par le glissement du temps-schème, qui donne le nombre entier, au temps image spatialisée ; 20 la situation de l'algèbre n’est pas précisée : son autonomie comme science procédant par constructions symboliques n'est que signalée accidentellement, sans que soit justifiée son indépendance par rapport à la géométrie qui s'occupe « des objets mêmes » ; 3° les axiomes enfin sont posés comme un fait sans que soit donné ni critère pour les reconnaître, ni fil conducteur pour les recenser ; ils « expriment les conditions de l'intuition sensible 4 priori sous lesquelles seulement on peut établir le schéma d’un concept pur de phénomène extérieur » (?)}. Leur seule évidence vient de la pratique de ia construction : on ne peut faire autrement pour unifier les objets.

C'est l'originalité de l’intuitionnisme brouwérien que son eftort direct pour résoudre le problème actuel du fondement des mathématiques l’ait amené à reprendre les thèmes essentiels du Kantisme : caractère intuitif immédiat de la connaissance mathématique où la vérité se constate dans une expérience sw generis ; définition de son développement comme une construction imprévisible, indépendante de la logique ; enfin primat du type de construction arithmétique

(x) Schématisme, L. c., p. 144.

(2) Axiomes de l'intuition, p. 158.