MATHÉMATIQUES ET LOGIQUE

formalistes et logicistes font du discours une fin en soi. Pourtant aucun chercheur ne s’y trompe : il y a nombre de façons d’exprimer la même vérité, de décrire le même procédé ; c’est à une certaine intuition que l’on s'assure de la vérité, c'est au succès par la résolution de problèmes du même ordre que l’on reconnaît avoir compris une théorie. Seul « exact (dans la mesure où cela est possible) est le système construit dans l’esprit du mathématicien » (1).

L'origine de cette croyance « en un pouvoir magique », ou tout au moins possédant une valeur propre, de la langue doit être cherchée dans «une erreur bien plus ancienne et. plus profondément enracinée, la confiance aveugle dans la logique classique » (?). « Dès l'Antiquité on a disposé d’une langue parfaite pour la considération mathématique des groupes finis d'objets stables » (2). La syntaxe de cette langue est la logique, avec ses trois principes de non contradiction, du tiers exclu, du syllogisme, qui permettent de passer mécaniquement de propositions à d’autres, sans souci de leur contenu : l’expérience ratifie toujours le résultat parce que ces opérations ne sont que le corrélat linguistique (la traduction) d'opérations intuitives effectuées sur un système d'objets finis. Or, pour l'expérience quotidienne, la considération d’un univers discret et fini est suffisante. D'où l'explication d’un succès constant par je ne sais quelle autorité supérieure attribuable aux principes logiques, d’où les difficultés et les paradoxes que provoque leur utilisation pour la langue de la mathématique infinie. Avec celle-ci une révision s'impose que supportent seuls les principes de non contradiction et du syllogisme, le tiers exclu disparaît.

De nombreux exemples peuvent en être donnés : d'une façon générale si on appelle propriété fugitive j une propriété «dont on peut vérifier l'existence — ou l’absurdité — pour

(1) HEYTING, tbid.

(2) BROUWER, tbid.