LOGIQUE INTUITIONNISTE

sitions d’absurdités : l’absurdité de l’absurdité de l’absurdité est équivalente avec l’absurdité (:). HEYTING a développé de façon formelle (2) les conséquences de ces modifications pour une logique intuitionniste, Elles représentent les «règles universelles d’après lesquelles sont formées de façon intuitivement close à partir de théorèmes connus de nouveaux théorèmes » (#)}. La présence de cet élément fixe n'affecte pourtant pas le devenir de la construction mathématique : HEYTING ne voit dans son travail qu’une étude mathématique de la langue mathématique ; hors de celle-ci les règles qu’il formule « sont dépourvues de sens ». On est donc loin des prétentions de l’ancienne logique qui voulait régir la pensée même et poser des existences. Pour les principes qui subsistent, comme le principe de non contradiction, leur application n’est « qu’une apparence, en réalité il s’agit de l'affirmation qu’une construction mathématique qui doit satisfaire à des conditions données ne peut réussir » (*). On retrouve ici sans changement, la distinction kantienne entre « déductions (Beweise) acroamatiques » comme celles de la philosophie « qui se laissent conduire avec des mots (l’objet dans la pensée) et les démonstrations qui comme l'expression l'indique déjà, progressent dans l'intuition de l’objet » {5). Le monde d'éléments idéaux projetés par la logique pour satisfaire ses axiomes — en particulier le tiers exclu — doit disparaître des mathématiques : il n’y a pas derrière chaque problème une solution implicite-

(1) BROUWER (IV), p. 253. En effet si a implique b, l’absurdité de b implique celle de a : or la vérité (qui remplace la propriété a) implique l’absurdité de l’absurdité (b) : donc l’absurdité de l’absurdité de l’absurdité implique l’absurdité. Inversement puisque la vérité de a entraîne l’absurdité de l’absurdité de a, en remplaçant a par l’absurdité, l’absurdité entraîne l’absurdité de l’absurdité de l’absurdité.

(2) HEYTING (I) et (II).

(3) HEYTING (IV), p. 14.

(4) Zbid., p. 13.

(5) KANT, Méthodologie, L. c., p. 498.

J. CÀ VAILLÈS 3

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ment attachée à ses termes, de sorte qu’on puisse parler des objets qu’elle définit comme s’ils existaient. Un problème n'apparaît soluble qu’autant qu’on le résout : « la possibilité de la connaissance ne se manifeste à nous que par l’acte de connaître lui-même » (1). D'où la nécessité d’une transformation radicale des mathématiques classiques.

D'abord le continu traditionnel ne peut subsister. WEYL avait déjà critiqué la définition de DEDEKIND (?) : si un nombre réel est une coupure ou en général une certaine propriété commune aux nombres rationnels d’un ensemble, un ensemble de nombres réels sera défini par un caractère À de propriétés de nombres rationnels. La borne supérieure de cet ensemble sera l’ensemble des nombres rationnels possédant la propriété B qu'il existe, leur convenant, une propriété quelconque de caractère À. Mais, ou bien la notion de propriété de nombres rationnels a déjà une extension déterminée, ce qui donne bien un sens à B, puisque cette propriété se réfère à la totalité des propriétés des nombres rationnels (au sein de laquelle le caractère fait un partage) et alors B n’en peut faire partie : contradiction. Ou bien l'existence d’une propriété est sa construction, à possibilités toujours ouvertes ; mais alors la définition de B suppose B déjà construit, sans quoi elle n’aurait aucun sens : cercle vicieux. Sur ce cercle vicieux, dit WEYI., est fondée toute l'analyse. Deux solutions : s’en tenir aux propriétés — nombres réels — effectivement construisibles à partir des nombres rationnels ; on a alors un continu dénombrable (partout dense dans le continu classique) analogue au continu borélien ; ou bien rejeter aussi comme illégitime la totalité des nombres rationnels (ou des entiers), ne reconnaître comme existant que les êtres faisant l’objet d’une construction positive. C’est la position de BROUWER, et le remar-

(2) HEYTING (III), p. 107.

(2) WEYL (II).

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quable est qu’il obtient de la sorte un continu non dénombrable, de mesure non nulle qui lui permet de sauvegarder les résultats essentiels de la théorie des ensembles mesurables B.

D'une façon générale un « ensemble pur à détermination n-uple (finie) est une loi d’après laquelle si... un des nombres 1, 2 .. n est choisi, chacun de ces choix engendre une série déterminée de signes. Chaque suite de séries de signes, ainsi engendrée par une suite illimitée de choix est un élément de l’ensemble » (). Un ensemble se trouve donc en réalité défini par deux lois : la première restreignant la liberté des choix, la seconde coordonnant à chaque suite finie de choix autorisés un objet mathématique déjà défini. Dans le cas du continu (0 .. 1) BROUWER prend l'exemple d’un ensemble à détermination triple : la première loi restreint tout choix à trois possibilités données par le choix précédent, la 2€ loi coordonne à chaque choix une fraction dyadique. Pour le rer choix on prend :

Œ 3Ë 3 DIE OMEOUET Fo 1 Pobr-lernr:

I I An = ni — pe ou (C7 OÙ Uyr pu

« L'introduction de la construction d’ensembles, sur laquelle repose donc la multiplicité déterminée et supradénombrable du continu, n’a besoin, après appel à l'intuition mathématique primitive de la dyade — qui sert de fondement à tout l’intuitionnisme —— de recourir à aucune autre notion et n'implique aussi aucun cercle vicieux. Car dans l'intuition primitive se trouve la possibilité d’une snsertion entre 2 éléments (savoir la considération de la liaison comme nouvel

(1) BRoUWER (VIII), p. 5.

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élément) par suite aussi la construction » (!) de ces suites quelconques d’intervalles emboîtés qui permettent de définir tout nombre réel (2). La liberté dans le choix à chaque étape donne au rombre réel une mobilité qui lui permet de parcourir tout l’ancien continu géométrique. Cependant les caractères sont modifiés : n’ont de sens en général que les questions pour lesquelles « il suffit de connaître les lois ou conditions restrictives des choix » (3). Ainsi le continu n’est ordonnable (loin d’être bien ordonnable) d'aucune façon : étant donnés deux de ses éléments il est en général impossible de savoir si l’un est plus grand ou plus petit que l’autre ou s’ils sont égaux ; il faudrait, comme l'avait déjà noté BOREL, posséder « une méthode pour résoudre tous les problèmes mathématiques » (*). Tout ce que l’on peut définir est un ordre virtuel : la relation ordonnante n’est établie que pour une partie du continu dont les éléments satisiont à certaines conditions effectivement observables dans les développements qui les définissent. De même le continu est impossible à dissocier en systèmes partiels disjoints : dans toute dissociation en systèmes partiels, l’un d’eux est identique avec le continu. Les propriétés classiques de la densité en soi (5) de la séparabilité (5), de la connexion (*) dis-

(1) BRoUWER (VIII), p. 6.

(2) Un intervalle n’est bien entendu rien de géométrique : dire qu’au

à ; = I n'ème choix le nombre est dans l'intervalle | —— . . 2n 2n + TI

dans son développement binaire, le n'ème terme est 1 et le n + xrième o.

(3) HEYTING (IV), p. 27.

(4) BROUWER, 1bid., p. 8.

(5) Si on appelle élément principal d'un ensemble tout élément limite d’une suite dénombrable croissante ou décroissante d'éléments de l’ensemble, un ensemble est dense en soi si chacun de ses éléments est élément principal.

(6) Un ensemble ordonné E est séparable s’il existe une suite dénombrable S de ses éléments telle qu'entre deux éléments quelconques de E il y ait un élément de S.

(7) Un ensemble ordonné E est connexe si dans toute dissociation de E en deux parties E, et E, telles que tout élément de Æ, précède tout élément

de E;, E; ait un dernier élément et E, pas de 127 élément, ou E n'ait pas de dernier et E2 ait un 1er élément.

) revient à dire que