LES DÉFINITIONS POSITIVES AI

paraissent : elles sont remplacées par des propriétés dont la définition fait intervenir de façon effective la construction des éléments. Ainsi pour la densité en soi : on définira dans le continu « virtuellement ordonné » un intervalle fermé {a b) comme le système des éléments c du continu pour lesquels ni les relations c>a, c > b, niles relations c < a,c< bne peuvent subsister simultanément (n’interviennent que les éléments € dont la loi de définition permet d’énoncer l'affirmation précédente). Un éiément est entre # et b s’il est distinct de a et d et cependant appartient à l'intervalle fermé (4 b) (il est évident que si la relation a < best établie on retombe sur la définition habituelle). Enfin un élément e est dit élément principal de l’ensemble s’il existe une suite indéfinie d’intervalles fermés distincts contenus les uns dans les autres, contenant tous e et tel que tout élément qui leur est commun à tous soit identique avec e. Dans ces conditions tout élément est -— par définition même du continu — un élément principal : le continu est dense en soi.

La mathématique intuitionniste se caractérise non seulement par cette introduction exclusive de propriétés dont l’appartenance à un objet soit toujours effectivement décidable d’après la manière dont est donné l’objet, mais aussi par la juxtaposition de définitions positives à côté des définitions négatives de la mathématique classique. Puisqu’un point est déterminé par une suite d’intervalles emboîtés, coïncidence où séparation de deux points seront définissables positivement : deux points coëncident (dans le continu linéaire) si tout intervalle de l’un (servant à sa définition) contient un intervalle de l’autre et réciproquement ; deux points sont séparés (entfernt) ou distincts localement si l’on peut indiquer un intervalle du premier et un intervalle du second qui soient extérieurs l’un à l’autre ; on écrit alors a 4: b. il est seulement absurde que 4 coïncide avec b on retrouve la relation négative classique — évidemment moins utilisable — 4 -< b (a distinct de b). On peut encore